Veelvlakken, deel 1

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje ‘Regelmaat in de Ruimte’ door A. K.
van der Vegt]
Inleiding
1.1. Waar gaat het over?
Vraag je aan iemand om een veelvlak te noemen, dan is het meest voor de hand liggende
antwoord: een kubus. Die kennen we als dobbelsteen of als doos, maar ook in vervormde
gedaante, als rechthoekig of scheefhoekig blok. Ook prisma’s zijn bekend: staven met vlakke
kanten (als er vierkanten zijn, zitten we weer in de buurt van de kubus). Verder: piramiden,
beroemd vanuit Egypte.
Maar niet alle denkbeeldige veelvlakken zijn van een zelfde belang: alleen die exemplaren die een
duidelijke regelmaat vertonen, bijvoorbeeld omdat alle hoekpunten en/of alle zijvlakken gelijk
en/of regelmatig zijn. De blokken en de piramiden vallen dan af, behalve als de piramide
driezijdig is, want dan kan hij uit vier gelijkzijdige driehoeken bestaan.
Zo hebben we al twee geheel regelmatige veelvlakken gezien: de kubus (het zesvlak) en het
viervlak. Er blijken, zoals we al snel zullen ontdekken, nog drie te bestaan: het achtvlak, het
twaalfvlak en bet twintigvlak. Dit vijftal is al boeiend genoeg om uitvoerig te bekijken, elk op
zichzelf en in hun onderlinge relaties.
Maar er is meer! Op verschillende manieren kunnen we onze verzameling uitbreiden,
bijvoorbeeld door concessies te doen aan de eis van volledige regelmaat (we komen dan bij de
half-regelmatige veelvlakken terecht) en ook door naar stervormige lichamen te kijken. Hele
werelden gaan dan open, die we in dit boekje een beetje zullen gaan verkennen.
Maar eerst een heel summier overzicht over wat de mens in de afgelopen 25 eeuwen over
veelvlakken te weten is gekomen.
1.2. Een oud onderwerp
2500 jaar geleden (rond 520 voor Christus) wist Pythagoras al van het bestaan van drie van de vijf
geheel regelmatige veelvlakken: hij beschreef de kubus, het viervlak en het twaalfvlak.
Plato (rond 350 voor Christus) kende ze alle vijf (al had Plato zijn kennis wellicht van een andere
Griek), inclusief achtvlak en twintigvlak, en bracht ze als 'kosmische bouwstenen van de wereld'
in verband met de vier ‘elementen’ die in zijn tijd werden onderscheiden: vuur, lucht, water, aarde
en, omdat hij zodoende nog een veelvlak over had, ook met het ‘universum’. Vandaar de
aanduiding van het vijftal als 'Platonische lichamen’. Euclides (rond 300 voor Christus) beschreef
ze nog eens in groter detail.
Aan Archimedes (rond 250 voor Christus) wordt door Pappus (500 jaar later!) kennis van de 13
halfregelmatige of Archimedische lichamen toegeschreven.
Dan, na een heel lange tijd, komt Kepler (1571-1630) met een samenvattende beschrijving van de
vijf Platonische en de dertien Archimedische lichamen. Van Kepler is ook de gedachte dat de vijf
Platonische lichamen verband houden met de structuur van het zonnestelsel (er waren, behalve
de Aarde, in die tijd nog maar zes planeten bekend, en hij plaatste de veelvlakken tussen de
planetenbanen). Kepler kwam bovendien op het idee dat ook pentagrammen (regelmatige
vijfhoekige sterren) tot regelmatige veelvlakken kunnen leiden, en construeerde de kleine en de
grote sterdodecaëder.
Het duurde nog twee eeuwen voordat Poinsot (1777-1859) deze serie van twee aanvulde tot de
complete verzameling van vier geheel regelmatige ster-veelvlakken.
Daarna verschijnen, stuk voor stuk, de op stervorming gebaseerde halfregelmatige lichamen.
Telkens worden er weer een paar 'ontdekt', waarbij onder andere de namen Pitsch, Brueckner en
Hess geregeld voorkomen (allen eind 19de eeuw).
Coxeter maakte een diepgaande mathematische analyse van de diverse veelvlakken en tevens van
de uitbreiding naar hogere dimensies.
Ten slotte: het fotoboek van Wenninger geeft een summiere analyse en een briljant overzicht van
een groot aantal veelvlakken. Bovendien bevat dit boek uitvoerige aanwijzingen om de
veelvlakken zelf te plakken.
1.3. Wat zijn veelvlakken?
Veelvlakken zijn afgesloten delen van de ruimte, die begrensd worden door vlakke veelhoeken,
zoals de kubus, die begrensd wordt door zes vierkanten. Bij het bekijken van veelvlakken zullen
we dus eerst de aandacht moeten richten op de zijvlakken.
Maar ook de hoekpunten zijn van belang; hierin komen namelijk een aantal zijvlakken (minstens
drie) bijeen in een bepaalde rangschikking, en tevens een aantal ribben (ook drie of meer). De
zijvlakken zijn veelhoeken, de hoekpunten vormen veelvlakshoeken; elk van deze is
gekarakteriseerd door: al dan niet regelmatigheid, aantal ribben enz. Om iets van veelvlakken te
begrijpen zullen we dus eerst zowel de zijvlakken als de opbouw van de hoekpunten moeten
bezien.
1.4. Veelhoeken
Een veelhoek is een vlakke figuur, begrensd door een gesloten keten van een aantal lijnsegmenten
(de zijden) A1A2, A2A3, A3A4, … An-1An, AnA1, die opvolgende paren van n punten A1, A2, ... , An
(de hoekpunten) verbinden (figuur 1.1). Voorlopig beschouwen we veelhoeken waarvan de zijden
elkaar niet snijden.
Een veelhoek noemen we gelijkzijdig als alle zijden gelijk zijn, en gelijkhoekig als de hoeken gelijk
zijn. Zijn veelvlakken zowel gelijkzijdig als gelijkhoekig dan heten ze regelmatig. Er zijn uiteraard
oneindig veel regelmatige veelhoeken; we geven ze aan met {n}. Dit is het geval bij de
gelijkzijdige (regelmatige) driehoek, {3}, het vierkant, {4} etc.
Wel gelijkzijdig doch niet regelmatig is bijvoorbeeld de ruit; wel gelijkhoekig doch niet regelmatig
is de rechthoek. De hoeken van een regelmatige n-hoek {n} kunnen berekend worden door te
bedenken dat een n-hoek gesplitst kan worden in n - 2 driehoeken met als totaalsom der hoeken
(n-2).180°, dus per hoekpunt 180°.(n-2)/n. Voor {3}, {4}, {5}, {6}, {8} en {10} wordt dit
respectievelijk 60°, 90°, 108°, 120°, 135° en 144°.
Elke {n} heeft een omgeschreven en een ingeschreven cirkel; hun stralen, respectievelijk ro en ri,
staan in de volgende relaties tot elkaar en tot de ribbe l:
l = 2rosin(180°/n) = 2ritg(180°/n)
Het oppervlak van {n} is:
O = (n/4)*ro2*sin(180°/n) *cos(180°/n)
Voor zeer grote n nadert dit tot het oppervlak van de omgeschreven cirkel, .ro2.
Figuur 1.1. Veelhoek.
1.5. Veelvlakshoeken
Veelvlakshoeken worden gevormd door een aantal m (drie of meer) vlakken die elkaar in een
punt O snijden (figuur 1.2) en die zodanig zijn gerangschikt dat doorsnijding met een ander vlak
dat niet door O gaat, een veelhoek vormt (B1 B2 ... Bm). De lijnen OB1, OB2, ... , OBm zijn de
ribben van de veelvlakshoek; de vlakdelen die door deze ribben begrensd worden, zijn de zijden.
Het is duidelijk dat het aantal ribben zowel als het aantal zijden gelijk aan m is.
De grootte van de zijden wordt uitgedrukt in de hoek die door de begrenzende ribben gevormd
wordt (bijvoorbeeld B2OB1), terwijl onder de hoeken van een veelvlakshoek de standhoeken, dat
wil zeggen de hoeken tussen de vlakken, verstaan wordt. Een veelvlakshoek kan evenals een
veelhoek gelijkzijdig of gelijkhoekig zijn; als beide het geval zijn, is de veelvlakshoek regelmatig.
Een voorbeeld van een regelmatige viervlakshoek is de top van een regelmatige vierzijdige
piramide, waarvan het grondvlak een vierkant is.
Figuur 1.2. Veelvlakshoek.
Figuur 1.3. Standhoek.
Als ,  en  de zijdelingse hoeken zijn van een drievlakshoek zijn dan is de hoek (standhoek)
tussen de vlakken met zijden  en  gegeven door (zie figuur 1.3):
cos  = (cos  - cos ·cos )/(sin ·sin )
(1.1)
Dit is eenvoudig af te leiden door tweemaal de cosinusregel toe te passen.
1.6. Veelvlakken
Een veelvlak is een lichaam, begrensd door een aantal veelhoeken (zijvlakken), die twee aan twee
aansluiten langs gemeenschappelijke zijden (ribben), en waarvan drie of meer samenkomen in
gemeenschappelijke hoekpunten.
Ook bij veelvlakken kunnen we spreken van gelijkzijdigheid (alle zijvlakken gelijk) en
gelijkhoekigheid (alle veelvlakshoeken in de hoekpunten gelijk). Nu echter is de combinatie van
deze twee eigenschappen niet voldoende om het veelvlak ook regelmatig te noemen. Een
voorbeeld daarvan is de zogenaamde disphenoïde, die ontstaan gedacht kan worden door in een
onregelmatige scherphoekige driehoek de middens der zijden te verbinden en vervolgens de
hoekpunten ‘om te klappen’ tot een viervlak (zie figuur 1.4).
Figuur 1.4. Disphenoïde.
Wil een veelvlak regelmatig zijn dan is bovendien nodig dat de zijvlakken regelmatige veelhoeken
zijn; de veelvlakshoeken zijn dan eveneens regelmatig. Deze regelmatige veelvlakken worden
aangeduid als Platonische veelvlakken, waarvan er, zoals we al gezien hebben, vijf bestaan, en die in
hoofdstuk 2 worden behandeld.
Behalve deze Platonische veelvlakken zijn er nog die in mindere mate regelmaat vertonen, zoals
de half regelmatige of uniforme of Archimedische veelvlakken, waarvan twee soorten kunnen worden
onderscheiden:
- de zijvlakken zijn wel regelmatig doch niet gelijk en de veelvlakshoeken zijn gelijk (eerste
soort),
- de veelvlakshoeken in de hoekpunten zijn wel regelmatig doch niet gelijk en de zijvlakken
zijn gelijk (tweede soort).
Tenslotte: een heel nieuwe wereld gaat open als we de eis laten vallen dat de zijden van een
regelmatige veelhoek elkaar niet mogen snijden. We krijgen er dan hele series regelmatige
veelhoeken bij (hogere-orde veelhoeken zoals de vijfpuntige ster), en daarmee ook een nieuwe
serie regelmatige veelvlakken, en een lange reeks halfregelmatige of uniforme veelvlakken. Deze
komen in de hoofdstukken 5 tot en met 7 aan bod.
1.7. Ribben, hoekpunten en zijvlakken
Voordat we in detail gaan kijken naar de diverse soorten veelvlakken, is het nuttig om een
algemene relatie tussen de aantallen hoekpunten H, zijvlakken Z en ribben R op te zoeken. Zo'n
relatie kan ons namelijk erg goed van pas komen bij het analyseren van de mogelijkheden om een
veelvlak op te bouwen.
Er is een stelling van Euler, luidend: H + Z = R + 2, die bijvoorbeeld voor een kubus
gemakkelijk te verifiëren is: H = 8; Z = 6; R = 12. De stelling kan op diverse manieren bewezen
worden. Een der bewijzen is als volgt.
Om vlakken, hoekpunten en ribben te tellen, stellen we ons een plat vlak voor dat aanvankelijk
geheel buiten het veelvlak ligt, en dat we zodanig verschuiven dat het zich als het ware door het
veelvlak heen beweegt totdat het aan de andere kant er weer geheel vrij van is. Het vlak beweegt
zodanig dat het eerste en het laatste contact op een hoekpunt plaats vindt, terwijl het tijdens zijn
tocht steeds slechts een hoekpunt tegelijk passeert; dit is mogelijk omdat het vlak tijdens zijn
beweging in willekeurige richtingen mag krommen zonder dat dit uiteraard het resultaat
beïnvloedt.
Figuur 1.5. Stelling van Euler.
Beschouwen we eerst een willekeurige positie van het vlak ergens op zijn weg door het veelvlak;
we laten het vanuit deze positie iets opschuiven waarbij het een hoekpunt passeert. Hierbij
ontmoet het vlak voor de eerste keer p ribben (a, b, c en d in figuur 1.5) en p - 1 zijvlakken (A, B
en C). De waarden van H, Z en R groeien daarbij dus aan met respectievelijk H = 1, Z = p 1, R = p. Dus is H + Z - R niet van waarde veranderd. Dit geldt voor ieder gepasseerd
hoekpunt, behalve voor het eerste en het laatste. Als het eerste hoekpunt een m-vlakshoek is, is
bij het passeren daarvan H = 1, Z = m, R = m. Bij het passeren van het laatste hoekpunt is
H = 1, Z = 0 en R = 0. Totaal blijkt dus te gelden:
H+Z=R+2
(1.3)
De stelling van Euler geldt niet in deze vorm voor alle soorten veelvlakken. Een eerste
voorwaarde is dat dat het veelvlak vanuit een punt er binnen in enkelvoudig op een omliggende
bol geprojecteerd kan worden, anders gezegd dat men het als het ware op kan blazen tot een
enkelvoudig boloppervlak. Aan deze voorwaarde is niet voldaan bij de later te behandelen
hogere-orde veelvlakken; we zullen dan een gewijzigde en uitgebreide stelling van Euler
tegenkomen.
Een andere beperking is dat vanaf ieder hoekpunt ieder ander hoekpunt langs ribben bereikbaar
moet zijn. Dit is bijvoorbeeld niet het geval met een veelvlak bestaande uit een kubus met op een
zijvlak een in het midden staande kleinere kubus. Hiervoor is gemakkelijk te verifiëren dat H + Z
= R + 3 (16+11=24+3).
Dat een veelvlak niet convex is (ook standhoeken> 180°) doet er voor de stelling van Euler niet
toe; het kan evengoed door 'opblazen' tot een bol worden getransformeerd.
Volledige regelmaat
(Platonische lichamen)
2.1. Algemeen
Een veelvlak wordt regelmatig genoemd als zowel de zijvlakken als de veelvlakshoeken regelmatig
en identiek zijn. Dit betekent dat de zijvlakken drie vormen kunnen hebben: {3}, {4} of {5}. De
gevallen vanaf {6} en hoger zijn niet mogelijk, want reeds bij samentreffen van drie regelmatige
zeshoeken wordt een plat vlak gevormd. Kennelijk moet de som van de hoeken die in een
hoekpunt samenkomen kleiner dan 360° zijn.
Met deze voorwaarde in het oog kunnen we vijf mogelijkheden bedenken, namelijk per hoekpunt
respectievelijk 3 of 4 of 5 driehoeken, 3 vierkanten of 3 vijfhoeken. Elk van deze combinaties kan
in principe een regelmatig veelvlak vormen; of deze mogelijkheden ook werkelijk bestaan en hoe
ze er uit zien moet nog uitgezocht worden.
Dat kan op de volgende manier: Denken we ons een veelvlak in (alweer met H hoekpunten, Z
zijvlakken en R ribben), waarin op ieder hoekpunt m n-hoeken samenkomen, dan is het aantal
vlakke hoeken gelijk aan Z·n, maar ook gelijk aan H·m. Hiermee zijn tevens de ribben geteld,
doch dubbel, want elke ribbe maakt deel uit van twee vlakke hoeken. Dus:
Z·n=H·m=2·R
(2.1)
Voegen we bij deze twee relaties als derde de stelling van Euler:
Z+H=R+2
dan kunnen voor bekende n en m de waarden van Z, H en R worden opgelost.
2R/n+2R/m=R+2.
En dus:
1/n+1/m=1/2+1/R.
(2.1b)
Hieruit volgt dat
1/n+1/m>1/2,
Zodat er maar vijf mogelijkheden zijn: {3,3}, {3,4}, {3,5}, {4,3}, en {5,3}.
Als we (2.1b) oplossen naar R dan volgt er
R = m·n/(n + m – nm/2) en Z = 2·m/(n + m – nm/2) H = 2·n/(n + m – nm/2)
(2.2)
Vullen we nu de volgende combinaties voor {n, m} in de uitdrukkingen voor Z, H en R in:
{3,3}, {3,4}, {3,5}, {4,3}, en {5,3} dan vinden we de volgende waarden:
n
m
Z
H
R
naam
afkorting
{3,3} 3
3
4
4
6
viervlak (tetraëder)
R4
{3,4} 3
4
8
6
12
achtvlak (octaëder)
R8
{3,5} 3
5
20
12
30
twintigvlak (icosaëder)
R20
{4,3} 4
3
6
8
12
kubus (hexaëder)
R6
{5,3} 5
3
12
20
30
twaalfvlak (dodecaëder)
R12
Deze tabel geeft het bekende vijftal regelmatige of Platonische veelvlakken. Figuur 2.1 geeft van
elk een afbeelding. Ze kunnen met verschillende notaties worden aangeduid, bijvoorbeeld als R4,
R8 etc., doch ook naar de in een hoekpunt samenkomende veelhoeken. Zo kan R8 bijvoorbeeld
worden beschreven als (3 3 3 3) en R12 als (5 5 5), of ook, in de verkorte notatie als
respectievelijk {3,4} en {5,3}. In het vervolg zullen deze verschillende notaties door elkaar
gebruikt worden, om bij de later te beschrijven veelvlakken (halfregelmatige en hogere-orde)
gemakkelijk aan te sluiten. Voordat we nu de regelmatige veelvlakken afzonderlijk bezien, is het
goed om op te merken dat uit de vergelijkingen (2.2) voor Z, H en R de verwisselbaarheid van de
grootheden n en m ten opzichte van R blijkt, terwijl n in combinatie met H verwisselbaar is met
de combinatie van men Z. Dit is een uitvloeisel van de algemene regel in de stereometrie dat men
in elke wetmatigheid punten door vlakken en vlakken door punten kan vervangen, waarbij lijnen
gelijk blijven. Deze dualiteit blijkt ook direct uit de tabel: R6 en R8 ({4,3} en {3,4}) zijn als het
ware elkaars tegenhanger, evenals R12 en R20 ({5,3} en {3,5}), terwijl R4 of {3,3} bij duale
verwisseling in zichzelf overgaat.
{3, 3}
{3, 4}
{4, 3}
{3, 5}
{5, 3}
Figuur 2.1. De vijf Platonische veelvlakken
Alle regelmatige veelvlakken hebben een omgeschreven en een ingeschreven bol, dat wil zeggen
er is een boloppervlak dat alle hoekpunten bevat, en er is een bol die aan alle zijvlakken raakt.
2.2. Viervlak of tetraëder, R4 of {3,3} of (3 3 3)
Het regelmatig viervlak, de tetraëder, bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken, gerangschikt tot een
regelmatige driezijdige piramide. De zes ribben zijn de enige verbindingslijnen tussen de vier
hoekpunten, met andere woorden er zijn geen vlakke of lichaamsdiagonalen.
Uit formule (1.2) volgt gemakkelijk de standhoek tussen de vlakken met  =  =  = 60°: cos =
1/3 en  = 70,53°. Hieruit blijkt dat met regelmatige viervlakken de ruimte niet vol te stapelen is,
want dan zou op zijn minst 360°/ een geheel getal moeten zijn. Later zullen we zien dat er een
niet-regelmatig viervlak bestaat dat wel ruimtevullend is.
Behalve als piramide kan het viervlak ook beschouwd worden als prismoïde, namelijk door twee
overstaande ribben in evenwijdige vlakken te denken (figuur 2.2). Uit deze opstelling is
onmiddellijk te zien dat een doorsnede met een derde evenwijdig vlak op halve afstand gelegen,
een vierkant is. Het viervlak wordt hierdoor in twee gelijke helften verdeeld, elk begrensd door
twee driehoeken, twee trapezia en een vierkant.
Het loont de moeite, deze twee veelvlakjes door bijvoorbeeld plakken uit karton te vervaardigen;
als men een oningewijde voor de opgave stelt, de twee helften tot het eenvoudigst mogelijke
lichaam samen te voegen, blijkt dit een onverwacht moeilijk probleem te zijn!
Figuur 2.2. Viervlak als prismoïde.
Viervlakken kunnen op veel manieren aaneengevoegd worden tot gecompliceerde ruimtelijke
lichamen; een der aardigste mogelijkheden is om ze aaneen te rijgen tot een buis; de bijna in
elkaars verlengde liggende ribben vormen een drietal spiralen (figuur 2.3).
Figuur 2.3. Spiraalbuis van viervlakken.
2.3. Kubus of hexaëder, R6 of {4,3} of (4 4 4)
De kubus, een enkele keer ook zesvlak genoemd, is wel het bekendste regelmatige veelvlak,
waarschijnlijk omdat alle hoeken, tussen ribben zowel als tussen vlakken, de voor ons
gemakkelijke waarden van 90° hebben. De kubus is bovendien ruimtevullend, met 8 kubussen
samenkomend in een hoekpunt.
De kubus ziet er wat gecompliceerder uit als we hem op een punt zetten met de
lichaamsdiagonaal verticaal, en dan de doorsneden met horizontale vlakken bekijken (figuur 2.4).
De twee doorsneden door drie hoekpunten leveren gelijkzijdige driehoeken, de doorsnede met
een vlak op halve hoogte is een regelmatige zeshoek.
Door zorgvuldige inspectie van de kubus in deze stand is in te zien dat er een gat met vierkante
doorsnede door de kubus geboord kan worden met zodanige afmeting dat door dat gat een even
grote, en zelfs nog een iets grotere kubus kan schuiven!
De kubus op zijn punt wordt hier en daar toegepast in moderne woningbouw, onder andere in de
nabijheid van Station Blaak in Rotterdam.
Figuur 2.4. Kubus op punt.
Wanneer we de diagonalen in de zijvlakken van de kubus trekken, blijkt dat er twee R4's in een
R6 ingepast kunnen worden, waarvan de boekpunten (2 x 4) met de hoekpunten van de R6
samenvallen (zie figuur 2.5). De twee R4’s doordringen elkaar gedeeltelijk en hebben als
gemeenschappelijke kern de in R6 ingeschreven R8 (zie §2.4). De twee tetraëders vormen de
achtpuntige ster ('stella octangula') van Kepler (figuur 2.6).
Figuur 2.5. Twee viervlakken in kubus.
Figuur 2.6. De Keplerster.
2.4. Achtvlak of octaëder, R8 of {3,4} of (3 3 3 3)
Het regelmatige achtvlak kan men zich indenken als opgebouwd uit twee regelmatige vierzijdige
piramiden met een vierkant als gemeenschappelijk grondvlak. Er zijn drie vierkante doorsneden
die op deze wijze als piramide-grondvlak in aanmerking komen, immers alle hoekpunten zijn
gelijkwaardig.
De octaëder kan ook als prismoïde beschouwd worden, waarbij twee overstaande zijvlakken
grondvlak, respectievelijk bovenvlak vormen, terwijl alle zes hoekpunten in deze twee
evenwijdige vlakken liggen (figuur 2.7). Evenals bij de kubus, is de doorsnede met een vlak
halverwege tussen deze vlakken gelegen, een regelmatige zeshoek.
Figuur 2.7. De octaëder als prismoïde.
Uit formule (1.1) volgt dat de standhoeken tussen aangrenzende zijvlakken gegeven zijn door cos
 = -1/3, dus  = 109,47°. Het blijkt dus dat de standhoeken van tetraëder en octaëder elkaars
supplement zijn. De octaëder in figuur 2.7 kan dus gecompleteerd worden tot een
parallellepipedum door bovenop en aan de onderkant een tetraëder te plaatsen. Met een
combinatie van octaëders en tetraëders kan men dus door opstapelen de ruimte vullen, evenals
men dit met kubussen kan doen. De zo verkregen ruimte is echter wel vreemd scheef (Escher:
'Platwormen').
In § 2.1 is de dualiteitsrelatie tussen R6 en R8 al genoemd. Deze relatie komt o.a. hierin tot uiting,
dat de middens van de zijvlakken van R8 de hoekpunten van een R6 vormen en omgekeerd
(figuur 2.8). De nauwe verwantschap komt verder tot uiting in de mogelijkheid om een
combinatie-veelvlak te vormen, waarbij de middens van R6 en R8 samenvallen en de ribben
elkaar twee aan twee snijden (figuur 2.9). Hieraan danken de zogenaamde rombische dodecaëder
en de cuboctaëder hun ontstaan. De verwantschap tussen het viervlak en het achtvlak is reeds
gebleken in § 2.3: R8 kan zodanig in R4 worden ingepast dat 4 van de 8 vlakken samenvallen met
de vlakken van R4; de hoekpunten liggen op de middens van de ribben van R4.
Figuur 2.8. Dualiteit R6 en R8.
Figuur 2.9. 'Compound' R6 en R8.
2.5. Twaalfvlak of dodecaëder, R12 of {5,3} of (5 5 5)
De geometrie van het twaalfvlak is gecompliceerder dan we tot dusver bij de andere regelmatige
veelvlakken ontmoet hebben, omdat bij dit lichaam voor het eerst de 5- hoek zijn entree doet.
Van de 12 vijfhoeken waaruit R12 is opgebouwd, kunnen we er twee een bijzondere plaats
toekennen, namelijk als boven- en als ondervlak. De andere tien zijn dan in twee groepen van vijf
te verdelen, waarvan er een serie aan het boven- en een aan het ondervlak grenst. De
scheidingslijn tussen de twee series wordt door een niet-vlakke 10-hoek gevormd (figuur 2.10).
Figuur 2.10. De dodecaëder.
De dodecaëder is, zoals eerder opgemerkt, bijzonder nauw verwant aan de icosaëder R20. Echter
ook ten opzichte van de kubus R6 bestaat, verrassenderwijze, een nauwe relatie, een dubbele
zelfs, want zowel in als om de R12 past een kubus! In figuur 2.11 is een kubus in een dodecaëder
geplaatst; de hoekpunten van de kubus vallen samen met 8 van de 20 hoekpunten van de
dodecaëder en de ribben van de kubus worden gevormd door diagonalen van de zijvlakken van
R12.
Figuur 2.11. R6 in R12.
Figuur 2.12. R6 om R12.
Ook rondom R12 kan op eenvoudige wijze een kubus geconstrueerd worden, zoals weergegeven
in figuur 2.12. Zes van de 30 ribben van R12, dus 12 van de 20 hoekpunten, liggen daarbij in de
zijvlakken van de kubus. De ribbe van de kubus, uitgedrukt in de ribbe van R12 als eenheid, is (3
+ 5)/2; omgekeerd is de ribbe van R12 gelijk aan (3 - 5)/2 maal die van R6. De 8
overblijvende hoekpunten die niet in de zijvlakken van R6 vallen, vormen de hoekpunten van de
bovengenoemde ingeschreven kubus.
2.6. Twintigvlak of icosaëder, R20 of {3,5} of (3 3 3 3 3)
De eenvoudigste wijze waarop men zich een regelmatig twintigvlak kan voorstellen, is door het
opgebouwd te denken uit twee vijfzijdige piramides met daartussen een schijf, begrensd door een
krans van 10 driehoeken, afwisselend met de punt naar beneden en naar boven (zie figuur 2.13).
Op deze wijze past de icosaëder precies in een dodecaëder die op een van zijn zijvlakken als
grondvlak rust (zie figuur 2.14). De hoekpunten van de R20 vallen in de middens der zijvlakken
van de Rl2 (ze zijn immers duaal toegevoegd aan elkaar).
Figuur 2.13. De icosaëder R20.
Figuur 2.14. R20 in R12.
Er is echter ook een andere stand mogelijk die meer perspectieven biedt, namelijk door het
lichaam aan de onder- en bovenzijde niet door een hoekpunt maar door een ribbe te laten
begrenzen. Het blijkt dan dat, behalve dit eerste ribbenpaar, nog een ander paar in een verticaal
vlak ligt, terwijl door een derde paar een horizontaal vlak te brengen is, met andere woorden: R20
past precies in een kubus! Dit is weergegeven in figuur 2.15. Zes van de 30 ribben en alle 12
hoekpunten liggen in de zijvlakken van de kubus, die een (5 + 1)/2 maal zo grote ribbe heeft als
de R20. Dit biedt een nog eenvoudiger constructiemogelijkheid als bij de R12: men hoeft alleen
maar zes parallellen in het midden van de zijvlakken van de kubus te tekenen en daarop de juiste
lengte af te zetten om alle hoekpunten van de icosaëder te vinden.
Figuur 2. 15. Icosaëder past in kubus.