PROEFEXAMEN WISKUNDIGE ANALYSE 1 KAHO ST

PROEFEXAMEN WISKUNDIGE ANALYSE 1
KAHO ST-LIEVEN DEPT.I.I.
BA1 IND.WET.
EP1 ACADEMIEJAAR 2009-2010
GENT
Maximaal 3u45’ tijd – Gebruik van rekenmachine toegestaan
1. Elementaire functies (8 ptn)
(a) Bewijs dat sec2 x + csc2 x = sec2 x · csc2 x
(b) Bepaal de afgeleide functie van y = sec x en van y = arcsecx
(c) Bepaal alle primitieven van arcsec door gebruik te maken van
partiële integratie.
(d) Bepaal de maclaurinveelterm van de zesde graad voor sec x zonder
gebruik te maken van de opeenvolgende afgeleiden van sec x in nul.
2. Toepassingen van afgeleiden (10 ptn)
(a) Bereken de kromming in het punt met abscis 1 (en positieve
ordi½
x = sinh t
naat) van de hyperbool met parametervoorstelling
y = cosh t
(formule voor de kromming moet niet afgeleid worden !)
Bepaal ook de vergelijking van de raaklijn in dat punt door gebruik te maken van een impliciete vergelijking van de kromme.
(b) In een kegel met hoogte 2 m en straal van het grondvlak gelijk
aan 1 m is een tweede veranderlijke kegel ingeschreven (de top
van deze laatste ligt in het grondvlak van de eerste kegel). De
hoogte van die veranderlijke kegel is x m. Druk het volume van
de ingeschreven kegel uit als functie van x en bepaal voor welke
waarde van x de inhoud van de ingeschreven kegel maximaal is.
Hoeveel bedraagt deze maximale inhoud ?
3. Toepassingen van integralen (10 ptn)
(a) Bereken d.m.v. een integraal de oppervlakte van het gemeenschappelijk deel van de krommen r = sin ϑ en r = cos ϑ.
½
x = t2
(b) Beschouw de paraboolboog met parametervoorstelling
y = 2t
waarbij 0 ≤ t ≤ 2.
Bereken d.m.v. een integraal de inhoud van het omwentelingslichaam dat voortgebracht wordt door wenteling van deze kromme
rond de x–as . Doe dit op twee manieren (schijfmethode en schilmethode)
(c) Bereken d.m.v. een integraal de booglengte van de kromme uit
vraag 3(b). Doe dit door gebruik te maken van een cartesiaanse
vergelijking van de kromme die je uit de parametervoorstelling
haalt.
4. Getallenreeksen en reeksontwikkeling (4 ptn)
+∞
X
1
(a) Onderzoek de convergentie van de getallenreeks
door toe2
n
n=1
passing van één van de geziene convergentiecriteria.
(b) Bepaal de fourierbenadering van vierde orde van de functie die
ontstaat door periodieke uitbreiding van f (x) = x voor −π ≤
x ≤ π met periode 2π.
5. Differentiaalvergelijkingen (8 ptn)
(a) In de bodem van een vat is een opening met oppervlakte a waardoor de vloeistof naar buiten stroomt. Stel de differentiaalvergelijking op die toelaat om de vloeistofhoogte in het vat te bepalen
als functie van de tijd.
Los deze dv op in het bijzonder geval van een cilindrisch vat met
hoogte 4 m en met de straal van het grondvlak r = 2 m en met
a = 0, 01 m2 .
(b) Bepaal de oplossing van de lineaire 2de orde dv met constante
coëfficiënten : y 00 − y = 2 ex met randvoorwaarden y(0) = 0 en
y 0 (0) = 1.