Statica in een notendop

Statica in een notendop
Systematische Probleem Analyse (SPA)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Gegevens: Lees de vraag goed door. Maak een schematische tekening van het probleem.
Gevraagd: Schrijf puntsgewijs alle dingen op waar naar gevraagd wordt.
Diagrammen: Maak een VLS (vergeet het assenstelsel niet) en eventueel andere benodigde
diagrammen.
Uitwerking: Begin met het kiezen van de te gebruiken kernbetrekkingen: welke formules zijn nodig voor
de oplossing van de gestelde vraag? Werk het antwoord uit zonder getallen in te vullen. In de meeste
gevallen zal het antwoord van deze stap zijn:
[gevraagde grootheid] = [formule met slechts bekende grootheden].
Het is nuttig om tussentijds de eenheden te controleren.
Antwoorden en conclusies: Vul getallen in bij de uitwerking van vraag 4. Schrijf het antwoord inclusief
eenheid op. Trek eventueel conclusies.
Controle:
a. heb ik antwoord gegeven op alle gestelde vragen?
b. zijn mijn antwoorden plausibel?
i. Is het teken/de richting aannemelijk?
ii. is de grootte van het antwoord aannemelijk?
c. staan bij alle antwoorden eenheden?
Krachten/Momenten (HS 2)
Krachten in een willekeurige richting kun je altijd ontbinden in verschillende
richtingen. In een 2D situatie met assen die loodrecht op elkaar staan (een
orthogonaal assenstelsel) geldt: F = Fx ⋅ i + Fy ⋅ j
Als er meerdere krachten zijn geldt voor de resultante:
R = F1 + F2 = (Fx1 + Fx2 ) ⋅ i + Fy1 + Fy2 ⋅ j
(
)
Een moment is gelijk aan kracht*arm.
Met de arm gelijk aan de loodrechte
afstand (loodlijn) van de werklijn van de
kracht naar het momentpunt.
Krachten mogen altijd
verschoven worden
langs hun werklijn.
Als een kracht loodrecht op de werklijn
verschoven wordt, moet er tevens een
moment geïntroduceerd worden.
Denk aan twee-krachtselementen:
Grootte: FA = FB
Richting: evenwijdig aan lijn AB
De vorm van het lichaam zelf is onbelangrijk, zolang er
maar niet meer krachten/ momenten op werkzaam zijn.
Resultante kracht/moment
R = ∑ Fi
Mo = ∑ Fd
i i = R⋅d
d = de loodrechte afstand van de werklijn van de kracht tot het aangrijpingspunt
Koppel
Twee krachten die even groot zijn, alleen tegengesteld van richting en waarvan
de werklijnen niet samenvallen, stellen een koppel voor. Dit kan worden gezien
als een moment waarvoor geldt: M = F ⋅ d .
Statica in een notendop
1/5
Evenwicht (HS3) en Gestellen (§4.6)
Evenwicht houdt in dat de lineaire- of rotatieversnelling gelijk aan 0 is. Dit betekent: snelheid gelijk aan 0 of
snelheid constant.
In een 2D situatie kun je maximaal 3 evenwichtsvergelijkingen per Vrij Lichaam Structuur (VLS) toepassen,
namelijk de wetten van Newton: ∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0, ∑ Mo = 0
Met deze 3 vergelijkingen kunnen dus ook maximaal 3 onbekenden uitgerekend worden per VLS. Ook kan de
momentenvergelijking tweemaal worden toegepast met 1 krachtenvergelijking of driemaal een
momentenvergelijking. Zie hiervoor het boek.
Bij gestellen moet je soms meer dan 3 krachten/momenten berekenen. In dat geval heb je meerdere VLS’en
nodig om het antwoord te berekenen. Let er ook op dat je de regel ‘actie = -reactie’ hier goed toepast.
Het maken van een correct VLS
1.
2.
3.
4.
Maak een keuze over welk lichaam je vrij wilt maken. Het gekozen lichaam zal over het algemeen met
een of meerdere van de onbekende grootheden te maken hebben.
Maak het lichaam ‘los’ van zijn omgeving door (eventueel denkbeeldig) een gesloten contour om het
lichaam te trekken.
Breng op plaatsen waar het lichaam contact heeft met zijn omgeving krachten/momenten aan (gebruik
eventueel het schema met standaard VLS’en hieronder). Teken de krachten die door de omgeving op
de contour uitgeoefend worden en niet de krachten die de contour op de omgeving uitoefent!
Breng ook volumekrachten als de zwaartekracht aan. De zwaartekracht grijpt aan in het zwaartepunt.
Weersta de neiging om krachten/momenten die er op het eerste gezicht gezicht niet lijken te zijn
of die je niet nodig denkt te hebben voor de berekeningen weg te laten! Dit is vragen om fouten te
maken!
Als van tevoren al duidelijk is in welke richting een kracht/moment werkt, teken dan de vector meteen in
de goede richting. Als het niet meteen duidelijk is, is het vaak handig om de positieve richting (aan de
hand van je gekozen assenstelsel) te nemen.
Bepaalde belangrijke grootten/namen van hoeken/lengtes kunnen ook aangegeven
worden op het VLS, maar probeer het geheel wel overzichtelijk te houden.
Geef met een assenstel bij het VLS aan welke richtingen jij positief noemt (zie het plaatje).
TIP: In sommige gevallen is het handiger om niet het ‘standaard’ x-y-assenstelsel te nemen (zoals in de figuur
hierboven), maar het assenstelsel juist te roteren of te spiegelen. Even nadenken over de keuze van het
assenstelsel kan je veel rekenwerk besparen.
TIP: Denk eraan dat wanneer een heel lichaam in evenwicht is, ook alle delen van dat lichaam in evenwicht zijn.
Hiervan kun je gebruik maken bij het kiezen van een deel voor het VLS.
TIP: Kies als momentpunt voor de som van de momenten het liefst een punt waar zoveel mogelijk werklijnen van
onbekende krachten doorheen gaan, want op deze manier vallen al deze krachten uit de vergelijking.
TIP: Geef aan om welk punt je de som van de momenten bepaalt met de naam van het punt in subscript (bv.
ΣMo). Als het punt dat je gebruikt geen naam heeft, dan kun je een vlaggetje gebruiken om het punt aan te geven
in het VLS, de bijbehorende evenwichtsvergelijking wordt dan ΣM2 =0.
TIP: Voor de bepaling van een moment van een willekeurig gerichte kracht, kan
het handig zijn om de componenten van deze kracht te gebruiken:
M = ±Fd = ±Fx dy ± Fy dx (zie de figuur hiernaast).
‘Standaard’ VLS’en
Constructie
VLS
Opmerking(en)
Kabel
Trekkracht evenwijdig
aan kabel
Glad
oppervlak
Duw-normaalkracht
(loodrecht op oppervlak)
Statica in een notendop
2/5
Ruw
oppervlak
Duw-normaalkracht en
wrijvingskracht
(evenwijdig aan
oppervlak en
tegengesteld aan
neiging tot bewegen)
Roloplegging
Duw-normaalkracht
Vrij glijdende
constructie
Normaalkracht
Scharnier
(zonder
wrijving)
Resultante met
componenten in 2
richtingen
Inklemming
Axiale kracht,
dwarskracht en moment
Zwaartekracht
Kracht ter grootte m⋅g in
massamiddelpunt
TIP: In een kabel is de kracht overal gelijk. Dit gegeven is nodig om o.a. problemen met katrollen op te lossen.
Zwaartepunten/Massamiddelpunten (§5.1-§5.4)
Het massamiddelpunt van een lichaam kan uitgerekend worden (continu) met: ∫ xdA = x ∫ dA .
A
A
Met x het massamiddelpunt per oppervlaktedeel en x het massamiddelpunt van het gehele oppervlak.
Voor samengestelde lichamen kan gebruik worden gemaakt van (discreet):
x-coördinaat
y-coördinaat
Massa
Oppervlak
Lengte
Massa
Oppervlak
Lengte
∑ ximi
∑ xi A i
∑ xili
∑ yimi
∑ yi A i
∑ yili
x=
x=
x=
y=
y=
y=
∑ mi
∑ Ai
∑ li
∑ mi
∑ Ai
∑ li
Bij oppervlakken/ massa’s geldt dat ze negatief genomen moeten worden als er op die plaats juist geen
oppervlak/ massa is. Deze moeten dus van de rest afgetrokken worden.
TIP: Let altijd op symmetrie. Als er namelijk een symmetrievlak/-lijn/-punt te ontdekken is, dan ligt het
zwaartepunt hier altijd in/op.
Statica in een notendop
3/5
Voorbeelden ligging massamiddelpunten in lokale coördinatenstelsels van enkele ‘standaard’ lichamen:
Rechthoekig oppervlak
Driehoek
¼ van een ellips
Zwaartepunt ligt precies in het
midden
Deel van een cirkelvormig opp.
a+b
h
en y =
3
3
Deel van een cirkelboog
x=
x=
4a
4b
en y =
3π
3π
Oppervlakte cirkel: A = πr 2
Omtrek cirkel: O = 2πr
Oppervlakte driehoek: ½bh
Graden/radialen: 3600 ≡ 2π rad
r sin α
α
α in radialen!
x=
2
3
r sin α
α
α in radialen!
x=
V- en M-lijnen (§5.7)
Voor een stukje balk geldt (zie figuur):
dV
= − w ⇒ dV = − wdx
dx
dM
= V ⇒ dM = Vdx
dx
Met:
w = kracht per lengte-eenheid (verdeelde belasting) [N/m]
Ofwel: de afgeleide van de dwarskrachten lijn is gelijk aan de verdeelde belasting met een min-teken en de
afgeleide van de momentenlijn is gelijk aan de dwarskrachtenlijn.
LET OP! Bovenstaande vergelijking gelden alleen tussen discontinuïteiten! Voor de V-lijn is een dwarskracht een
discontinuïteit, voor de M-lijn is een puntmoment een discontinuïteit.
Positieve tekenafspraak bij balken:
Stappenplan voor het bepalen van de V-/M-lijn
1. Bepaal steunpuntsreacties
2. Bepaal V-lijn mbv. doorsnijding en integraal
3. Bepaal M-lijn mbv. V-lijn en discontinuïteiten. Vaak is het ook handig om tussentijds belangrijke punten
te berekenen.
4. Controleer V-/M-lijn.
TIP: Bij het maken van een doorsnede om evenwicht te bepalen, ben je vrij om zowel de linker- als de rechterkant
van de doorsnede te bekijken. Kies bij doorsnedes vlak bij een uiteinde van de balk altijd het korste deel omdat
hier over het algemeen de minste krachten/momenten werken, wat het invullen van de evenwichtsvergelijkingen
vergemakkelijkt.
CONTROLE: Als er aan het uiteinde van de balk geen externe dwarskracht of moment werkt, moeten zowel de
V- als M-lijn op nul uitkomen. Werkt er wel een externe dwarskracht of extern moment aan het uiteinde dan moet
de waarde hiervan opgeteld bij de waarden van de V- resp. M-lijn op dat punt nul zijn.
CONTROLE: Op een plaats waar de dwarskracht gelijk aan 0 is, treedt een maximum/minimum op in de M-lijn.
Statica in een notendop
4/5
Wrijving (HS 6)
Als het voorwerp stilstaat:
Fw ≤ µ sN
Als het voorwerp op punt van bewegen staat:
Fw = Fw,s max = µ sN
Als het voorwerp beweegt
Fw,k max = µkN
Het bepalen of een voorwerp stil blijft staan of gaat bewegen, gaat het makkelijkst door met behulp van de
evenwichtsvergelijkingen te bepalen hoe groot de wrijvingskracht moet zijn om het voorwerp in evenwicht te
houden. Vervolgens kan je bepalen hoe de benodigde wrijvingskracht zich verhoudt tot de maximale
wrijvingskracht, door Fw,s max te berekenen.
Algemene tips / Handige wiskunde (zie ook appendix C boek)
•
•
•
Wanneer in een som bijvoorbeeld staat: ‘De grootte van de massa van het lichaam is m,’ dan weet je
niet de getalswaarde van de massa, maar de massa mag je wel als bekend aannemen. Dat wil zeggen:
je moet straks het antwoord uitdrukken in m. Wordt er niet gesproken over de massa van een lichaam,
dan betekent dat, dat je de massa van het lichaam mag verwaarlozen.
Bij een driehoek geldt dat de som van de hoeken gelijk is aan 180°. ‘Standaard’ driehoeken:
Een stelsel vergelijkingen is oplosbaar als je evenveel vergelijkingen als onbekenden hebt.
Om het stelsel op te lossen is het soms nodig om uit één vergelijking een vergelijking voor een variabele
als functie van andere variabelen te halen en deze dan in een andere vergelijking in te vullen
(substitutie).
In de meeste problemen echter kun je door slim een momentpunt te kiezen, met de vergelijking voor de
som van de momenten meteen een waarde voor een variabele vinden en deze gebruiken om andere
vergelijkingen op te lossen.
Statica in een notendop
5/5