1 Getallen en meetwaarden

3 Notatie en nauwkeurigheid
Probleem 1 – tellen
Sjeng en Steve doen een praktische opdracht en ze moeten
tellen hoeveel auto’s in een uur passeren. Hoe doen ze dit
met pen en papier?
Probleem 2 – pizza
Carel zit een groep van 13 personen, ze hebben 10 pizza’s
besteld.
De groep van Corné is met 17 personen. Corné bestelt voor
zijn groep zoveel pizza’s dat in zijn groep per persoon
ongeveer evenveel te eten is als in de groep van Carel.
Hoeveel pizza’s bestelt Corné?
Probleem 3 – rapportcijfer
Joice heeft voor haar proefwerken Duits de volgende cijfers behaald: 4,1 –
6,4 – 5,1 – 6,3. Alle proefwerken wegen even zwaar. Op het rapport staan de
cijfers afgerond op één decimaal. Tijdens de rapportvergadering wordt
gekeken naar het aantal onvoldoendes en daarvoor wordt per vak het
gemiddelde afgerond op een geheel getal.
Welk cijfer krijgt Joice op haar rapport voor Duits? Heeft Joice een
onvoldoende voor Duits?
Probleem 4 – grote getallen
Het zonlicht heeft ongeveer 8 minuten en 19 seconden
nodig om de aarde te bereiken.
De lichtsnelheid is 299 792 458 meter per seconde.
Bereken met je rekenmachine de afstand van de Aarde
tot de zon in kilometers nauwkeurig.
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid (1/10)
8 juli 2009
3.1 Turven en talstelsels
Om op papier bij te houden hoeveel auto’s Sjeng en Steve in een uur hebben geteld,
gebruiken ze een trucje dat heet turven. Hiernaast zie je het getal 23 geturfd. Het is
een oude en eenvoudige manier om een getal te noteren.
We gebruiken in ons moderne talstelsel (onze manier van getallen noteren) niet
alleen het streepje, de 1, maar nog negen andere cijfers: 2 tem 9 en 0. Een cijfer is
een teken of symbool voor een getal – maar niet voor elk getal is er een cijfer. In de
turfnotatie zie je, naast de 1, al een ander cijfer: het ‘hekje’ voor het getal vijf.
In een talstelsel worden cijfers gebruikt om andere getallen te noteren. Ons talstelsel is afkomstig uit
India en via de Arabieren is het in Europa ingevoerd. Maar er zijn in de loop van de geschiedenis ook
andere talstelsels ontstaan en sommige worden nog steeds gebruikt.
3.2 Romeinse cijfers
In Europa zie je soms op oude gebouwen jaartallen staan geschreven met Romeinse cijfers. Maar ook
op wijzerplaten van klokken en zelfs moderne horloges kunnen Romeinse cijfers staan.
Waarschijnlijk is deze notatie afkomstig
I
= 1 XI
= 11 XXX = 30 CCXXIV = 224
van Etruskische schaapherders die op
II = 2 XII = 12 XL
= 40 CCC
= 300
kerfstokken turfden als ze de schapen
III = 3 XIII = 13 L
= 50 CD
= 400
telden. De Romeinse cijfers moeten bij
IV = 4 XIV = 14 LX
= 60 D
= 500
elkaar opgeteld worden, behalve als een
V = 5 XV = 15 LXX = 70 DC
= 600
cijfer wordt gevolgd door een met een
VI = 6 XVI = 16 LXXX = 80 DCC
= 700
hogere waarde. Want dan moet het cijfer
VII = 7 XVII = 17 XC
= 90 DCCC
= 800
er juist van worden afgetrokken. Zie
VII
XVII
hiernaast, bijvoorbeeld IX, XIV, XC.
=8
= 18 C
= 100 CM
= 900
I
I
IX = 9 XIX = 19 CXI = 111 M
= 1000
X = 10 XX = 20 CC
= 200 MM
= 2000
3.3 Het getal nul en de positionele notatie
Een belangrijke ontdekking in de geschiedenis van de talstelsels is het getal nul, dat in het Romeinse
talstelsel nog niet voorkomt. De tekens voor de cijfers 1 t.e.m. 9 waren in India meer dan tweeduizend
jaar geleden uitgevonden. Ze komen voor in inscripties vanaf de 3e eeuw v. Chr. Maar het duurde tot
de 5e eeuw na Chr. dat de nul zijn intrede deed. Het is een bijzonder natuurlijk getal, het wordt niet
gebruikt om te tellen maar wel om een aantal aan te geven. Bijvoorbeeld, het aantal bomen langs een
weg kan nul zijn, maar het is onzin om te spreken van de nulde boom.
Ons positionele talstelsel heeft het grondtal tien omdat er slechts tien cijfers gebruikt worden.
‘Positioneel’ wil zeggen dat de plaats van een cijfer in het getal een bepaalde waarde
vertegenwoordigt, namelijk, van rechts naar links gelezen: 1, 10, 100, 1000 enz. Dit zijn de machten
van het grondtal tien, immers, 100=1, 101=10, 102=100, 103=1000, enz. Het getal 349
(3×100+4×10+9×1) is daardoor een heel ander getal dan 493 (4×100+9×10+3×1).
Met de tien cijfers 0 tot en met 9 is elk willekeurig natuurlijk getal te schrijven. Bij grote getallen van
meer dan vier cijfers kunnen groepjes van drie cijfers worden gescheiden door een spatie (of door een
punt). De groepering is steeds van rechts naar links, bijvoorbeeld 2 360 000. In Angelsaksische
landen, China, India en Japan, gebruikt men een komma als scheidingsteken, bijvoorbeeld 2,360,000;
dit kun je ook op sommige rekenmachines aantreffen.
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid (2/10)
8 juli 2009
Opgaven
Opgave. Schrijf in de turfnotatie de getallen 17 en 9. Tel deze bij elkaar op.
Opgave. Op de gevel van een huis staat een jaartal, zie de foto. In
welk jaar is dit huis gebouwd? Let op de bijzondere schrijfwijze
van een M: CIƆ en een D: IƆ. Op een ander huis staat het jaartal
CIƆIƆCCXCIV. Hoe oud is dit huis?
Opgave. Schrijf je geboortedag, maand en jaar als Romeinse
getallen. Let op: schrijf niet meer dan één cijfer voor een cijfer met
een hogere waarde, om dit ervan af te trekken (bijvoorbeeld: 8 is
niet IIX maar VIII). Bovendien, alleen een I mag voor V of X
staan, alleen een X voor L of C, alleen een C voor D of M.
Daardoor mag je voor 99 niet IC schrijven maar moet het zijn XCIX.
NB. Deze beperkingen zijn uit de Middeleeuwen, de Romeinen kenden ze niet.
Opgave. In het Romeinse talstelsel is XC een ander getal dan CX, dus de plaats van de cijfers ten
opzichte van elkaar is van belang. Toch is dit geen positioneel talstelsel. Waarom niet?
Opgave. Waarom is het cijfer 0 voor de positionele notatie noodzakelijk?
Opgave. Wat is de betekenis van de woorden dozijn en gros? Bedenk situaties waarin het rekenen in
het twaalftallig stelsel gebruikelijk is of waarvoor het handig zou zijn.
Opgave. Schrijf in woorden de volgende getallen in het Nederlands, Duits, Engels en Frans:
12, 13, 14, 15, 25, 52, 73, 86, 97.
Schrijf achter ieder woord de cijfers in de volgorde waarin ze in dat woord voorkomen. (schrijf voor
bijvoorbeeld twintig/zwanzig/twenty/vingt een 2). Welke getallen in welke taal geven problemen? Wat
merk je op ten aanzien van de volgorde van de cijfers en het gebruik van het grondtal?
Opgave. Schrijf in woorden de volgende getallen (alleen in het Nederlands):
9765
643 981
1 023 230
37 211 435 078
Opgave. Wat wordt in Amerika bedoeld met: “This car costs $ 24,500”? Wat voor soort auto koop je
in Nederland voor € 24,50?
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid (3/10)
8 juli 2009
3.4 Breuken
Als je twaalf muntjes voor een kermisattractie verdeelt onder vier personen krijgt ieder drie muntjes.
Het deeltal (dat gedeeld wordt, 12) is een veelvoud is van de deler (4). Het quotiënt (de uitkomst van
de deling, 3) is een geheel getal, de deling gaat ‘mooi’ op. Maar twaalf muntjes zijn niet op een
eerlijke manier te delen met twintig personen.
Met pizza’s is dat anders: als twaalf pizza’s eerlijk worden gedeeld met twintig personen krijgt met
ieder 12
 53 pizza. Het deeltal is geen veelvoud van de deler, de uitkomst is niet een geheel maar een
20
gebroken getal dat wordt geschreven als een breuk.
Breuken worden rationale getallen genoemd omdat ze een verhouding (ratio) aangeven tussen twee
getallen (de teller en de noemer). De rationale getallen zijn de gehele getallen en de gebroken getallen
samen. Elk rationaal getal is als een breuk te schrijven, ook een geheel getal, bijvoorbeeld 3  13 .
De verhouding tussen teller en noemer blijft dezelfde bij vermenigvuldigen met hetzelfde getal. De
getalswaarde van de breuk verandert niet. Je kunt dus ook teller en noemer door hetzelfde getal delen
om de breuk te vereenvoudigen. Dat kan eventueel in stapjes, je deelt steeds teller en noemer door een
 249  83 (eerst teller en noemer gedeeld door 2, daarna
gemeenschappelijke deler, bijvoorbeeld 18
48
door 3). Je kunt ook eerst teller en noemer schrijven als producten van priemfactoren en dan delen
door de gemeenschappelijke factoren. Die vormen immers samen de ggd.
Om breuken bij elkaar op te tellen, van elkaar af te trekken of te vergelijken, is het nodig om ze
gelijknamig (de noemers gelijk) te maken. Daarvoor heb je een gemeenschappelijk veelvoud van de
noemers nodig, bijvoorbeeld 56  34  10
 129  19
 1 127 . Hier is als nieuwe noemer 12 gekozen omdat
12
12
dit het kgv van 6 en 4 is. Het is natuurlijk ook mogelijk om het product van de twee noemers te nemen
(6 × 4 = 24) maar dat levert extra rekenwerk op en je moet zeker achteraf de breuk vereenvoudigen.
3.5 Kommagetallen, percentages en promillages
Kommagetallen zijn een uitbreiding op het positionele talstelsel doordat posities met waarde 10-1= 101 ,
1
1
10-2= 100
, 10-3= 1000
, enz. zijn toegevoegd. Bijvoorbeeld:
71,36  7
1,
3
6
36
 70  1  103  100
 71 100
6
 101  100  101  10 2
.
Kommagetallen (of decimale getallen of tiendelige breuken) zijn een handige schrijfwijze voor
breuken waarvan de noemer 10, 100, 1000, enz. is. Bovendien worden ze vaak gebruikt om een goede
benadering te geven van andere breuken en van getallen die niet als breuk te schrijven zijn. 4,667 is
667
4 1000
en dit is een benadering, in drie decimalen nauwkeurig, van 4 23 . In plaats van een komma
schrijft men in landen als Amerika en Japan een punt en daar laat men vaak een enkele 0 voor de
komma weg. Een half wordt dan genoteerd als .5. Je kunt dit ook zo op een rekenmachine intikken.
Percentages zijn een bijzonder soort kommagetallen. Het procentteken % is waarschijnlijk ontstaan als
een slordige schrijfwijze van No/c. No is een afkorting van numero (getal) en c staat voor cent
5
(honderd). Dus 5% is eigenlijk de breuk 5/100 of 100
en dat is weer, als kommagetal geschreven: 0,05.
Naast percentage er is ook het promillage ‰: per mille (mille is duizend).
Een breuk schrijven als een kommagetal is lang niet altijd mogelijk. Bijvoorbeeld,
1
7  0,14285714285714285714285714285714 afgerond op 32 decimalen: het is niet precies gelijk
aan het kommagetal. Je ziet wel de regelmaat in de decimalen: de serie 142857 herhaalt zich, we
noemen dit een repeterende breuk. Er is een speciale notatie voor, het repeterende gedeelte wordt
aangegeven door een schuine streep door het eerste cijfer en door het laatste cijfer. Bijvoorbeeld
1
en 13 
.

7
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid (4/10)
8 juli 2009
Opgaven
Opgave. Als de teller van een breuk groter is dan de noemer, dan noemt men dit een onechte breuk
omdat het mogelijk is om helen er uit te halen. Er blijft dan een echte breuk over, bijvoorbeeld
11
 84  34  2 34 . Als de helen er uit gehaald zijn heb je beter een idee waar het getal zich op de
4
getallenlijn bevindt.
Schrijf de volgende getallen zonder onechte breuken: 73 , 47
, 54
, 57
.
6
9
24
Opgave. Om breuken te vermenigvuldigen of te delen is het juist makkelijker als de ‘helen’ er niet
uitgehaald zijn. Los op en schrijf het resultaat zonder onechte breuken en vereenvoudigd:
a. 2 85  1 73
b.
7 12 : 2 14
Opgave. Vereenvoudig de breuk
40964
a. 78606
door stapsgewijs te delen door een gemeenschappelijke priemfactor;
b.
c.
22022
43197
40964
78606
door eerst teller en noemer te schrijven als producten van priemfactoren.
door eerst de ggd te bepalen met behulp van het algoritme van Euclides (als je dit
algoritme kent, zie …..).
Welke methode vind jij het handigst?
Opgave. Vergelijk het rekenwerk bij de optelling 121  181 als je
a. als nieuwe noemer het product van 12 en 18 kiest
b. als nieuwe noemer het kgv van 12 en 18 kiest.
Het resultaat moet vereenvoudigd zijn!
Opgave. Schrijf de getallen 8 152 , 358
, 54 137 als repeterende breuken (de laatste breuk heeft een
925
repeterend gedeelte van 6 cijfers).
Opgave. Elke breuk is te schrijven als repeterende breuk, al kan de serie cijfers die zich herhaalt wel
erg lang worden als de noemer van de breuk veel cijfers heeft. Met behulp van een deling van teller
gedeeld door de noemer, kun je het repeterende gedeelte vinden.
Schrijf met behulp van een deling 171 als repeterende breuken. Beredeneer dat het aantal cijfers in het
repeterende gedeelte niet meer kan zijn dan de waarde van de noemer.
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid (5/10)
8 juli 2009
3.6 Afronden
Afronden is een manier om een getal met veel cijfers kleiner te schrijven zonder dat belangrijke
informatie verloren gaat. Meestal zijn we helemaal niet geïnteresseerd in veel cijfers in getallen.
Bijvoorbeeld, op 1 januari 2009 telde Nederland, volgens het Centraal Bureau voor de Statistiek
(CBS), 16 486 587 inwoners. Zo’n getal wordt meestal afgerond: Nederland telde 16 miljoen
inwoners, of 16,5 miljoen inwoners, of 16 487 000 inwoners (afgerond op een duizendtal). Let op dat
je afgeronde getallen niet nog eens mag afronden: 16,5 miljoen nog eens afgerond op een heel aantal
miljoenen wordt 17 miljoen, en dat is niet juist. Getallen met veel (of oneindig veel) cijfers achter de
komma (decimalen) kunnen ook worden afgerond.
De meest gebruikelijke manier van afronden is als volgt. Zet een stippellijn of streepje achter het
laatste cijfer dat je wilt behouden. Staat daar een 5 of hoger achter, dan rond je af naar boven door 1 op
te tellen bij dat laatste cijfer. Vervolgens mag je de cijfers die achter de stippellijn of het streepje staan
door nullen vervangen (of je laat ze weg als ze achter de komma staan). Bijvoorbeeld: 14 587, 86 531
op 2 decimalen afgerond is 14 587, 87 en afgerond op een honderdtal 14 600 .
Als je in een supermarkt cash betaalt, dan wordt er afgerond op 5 cent nauwkeurig. Bijvoorbeeld, een
bedrag van €17,07 wordt afgerond op €17,05 omdat dit bedrag er het dichtst bij ligt, kijk maar op de
getallenlijn:
In sommige situaties is de algemene regel van afronden naar het dichtstbijzijnde (gehele) getal
helemaal niet gewenst en je moet afronden naar ofwel het hogere ofwel het lagere getal. Bijvoorbeeld,
als je voor een recept 1,2 liter melk nodig hebt en je kunt de melk alleen in pakken van hele liters
kopen, dan moet je afronden naar boven: 2 pakken melk.
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid (6/10)
8 juli 2009
Opgaven
Opgave. Rond de volgende getallen af op 3 decimalen: 0,43726, 43,72694, 0,00084, 23,8995.
Opgave. Rond de volgende getallen af op een duizendtal: 43726, 4372694, 379925.
Opgave. Rond de volgende bedragen af op 5 cent: €0,43, €12,36, €24,68, €8,256, €9,376.
Opgave. Een goederenlift heeft een draagvermogen van 370 kg. Een metselaar wil zoveel
mogelijk zakken cement van 25 kg met de lift naar boven brengen. Hoeveel zakken cement
kunnen er in de lift?
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid (7/10)
8 juli 2009
3.7 Wetenschappelijke notatie (extra)
Voor heel erg grote (of kleine) getallen is er de scientific of (natuur)wetenschappelijke notatie.
Daarvoor worden machten van 10 gebruikt.
In de wetenschappelijke notatie wordt een getal geschreven als een kommagetal met maar één cijfer
(geen nul, dus het meest significante cijfer) voor de komma. Zo nodig wordt dit kommagetal
vermenigvuldigd met een macht van tien.
Bijvoorbeeld, in de wetenschappelijke notatie wordt 2345 geschreven als 2,345 × 103.
Op een rekenmachine kan dit er zo uitzien:
Praktisch gezien betekent ‘E3’ dat de komma 11 plaatsen naar rechts moet schuiven. Het kan ook
voorkomen dat de komma naar links moet:
Hier zie je dat 0,00068 gelijk is aan 6,8 ×10-4 (de ‘E-4’ betekent dat de komma 4 plaatsen naar links
moet).
Opgave. Schrijf de volgende getallen, die hier in wetenschappelijke notatie staan, als een kommagetal:
7,458×105, 5,8977×103, 2,9×10-2, -1,23×10-4.
Opgave. Schrijf de volgende getallen in wetenschappelijke notatie: 987654321, 0,0098, 7985,5431.
Opgave. Veel rekenmachines kennen naast de normale en scientific notatie ook de engineering
(ingenieurs)notatie, die iets afwijkt van de wetenschappelijke notatie. Zoek uit waar dit verschil in zit.
3.8 Significantie (extra)
Een groot aantal cijfers kan een verkeerde indruk geven van de nauwkeurigheid. Bijvoorbeeld, op een
verkeersbord staat dat de afstand Apeldoorn – Vaassen 6 km is de snelheidsmeter op je fiets laat zien
dat je met een vrijwel constante snelheid van 16 km/uur fietst. Dan kun je berekenen dat je
6
 60  22,5 minuten over de fietstocht zult doen. De duur van de fietstocht is uitgedrukt in een
16
getal (22,5) met drie cijfers. Maar de afstand van 6 km had ook 6,4 km kunnen zijn (verkeersborden
6, 4
geven geen cijfers na de komma) en dan komt je berekening uit op 16  60  24 minuten. Het
verschijnsel waar we hier mee te maken hebben heet significantie. Het gaat daarbij om het aantal
significante (betekenisvolle) cijfers in getallen. “Nederland heeft 16,5 miljoen inwoners” betekent niet
dat er precies 16 500 000 mensen in Nederland wonen. Het aantal is afgerond op 0,1 miljoen en
daardoor zijn er drie significante cijfers (1, 6 en 5). Pas op: er is verschil tussen ‘afgerond op 3
decimalen’ (wat wil zeggen: 3 cijfers na de komma) en ‘3 significante cijfers’. Het hangt van de
situatie af hoeveel cijfers significant (betekenisvol) zijn. Bij sommige vakken (scheikunde,
natuurkunde) zijn er regels voor het bepalen van het aantal significante cijfers in berekeningen.
Opgave. Een auto heeft een gewicht van 967 kg. De vier banden wegen elk 6,2 kg. Bereken het
gewicht van de auto zonder de banden.
Opgave. Het aantal inwoners in Apeldoorn op 1 januari 2008 is 155 108. Hiervan is 43,7 %
ongehuwd. Bereken het aantal ongehuwde Apeldoorners op 1 januari 2008.
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid (8/10)
8 juli 2009
3.9 Rekenen bij de Maya’s (extra)
De Maya’s vormden vóór Columbus een van de grootste culturen in Centraal
Amerika. Tegenwoordig leven ongeveer 8 à 9 miljoen Maya’s in Mexico en
Midden Amerika, de meesten in Guatemala. De Maya cultuur kent een
positioneel talstelsel met grondtal 20. Zij hadden dus 20 cijfers die op zich
weer opgebouwd waren twee soorten symbolen: liggende streepjes en punten.
Een speciaal symbool was er voor de nul: een lege schelp. Zie hiernaast.
De Maya’s noteerden getallen in een positioneel stelsel, zoals wij dat ook doen. fig. Maya cijfers
De cijfers schrijven ze niet achter elkaar, maar boven elkaar: het cijfer met de
hoogste waarde staat boven. Zie de figuur hiernaast.
Opgave. Schrijf in de Maya notatie de getallen 37 en 29. Tel deze getallen bij elkaar op
en schrijf de som in de Maya notatie.
Hoe zou een Maya de som hebben uitgerekend?
Van enkele andere oude culturen is eveneens bekend hoe men getallen noteerde en hoe er
gerekend werd. Er is hierover veel te lezen in bibliotheken en op internet, zie
bijvoorbeeld www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis.
3.10 Talstelsels in de informatica en gecombineerde talstelsels (extra)
In de informatica wordt veel gerekend in andere positionele talstelsels dan ons decimaal stelsel.
Sommige rekenmachines, bijvoorbeeld, de rekenmachine die met het softwarepakket MS Office
geleverd wordt (zie hiernaast), kennen een instelling voor
deze talstelsels. Het meest elementaire talstelsel is het
tweetallig of binaire stelsel, dat maar twee cijfers kent: 0
en 1. Voor het getal twee heb je dan al twee cijfers nodig:
102 (om verwarring te voorkomen, wordt het afwijkende
grondtal aangegeven). Voor het getal tien zijn dan in het
tweetallig stelsel vier cijfers nodig:
10=8+2=1×23+0×22+1×21+0×20=10102.
Het binaire stelsel is niet erg handig als de getallen groter
worden. Voor het getal duizend heb je bijvoorbeeld al tien
cijfers nodig: 1000=11111010002. Daarvoor is het
volgende bedacht: er worden groepjes cijfers samengenomen, bijvoorbeeld steeds
binair
octaal
drie cijfers. Die drie cijfers vormen dan één cijfer in het nieuwe talstelsel. Hiernaast 000
0
zie je de mogelijke groepjes van drie binaire cijfer en het nieuwe octale cijfer: er
001
1
zijn nu immers acht cijfers dus we zijn overgegaan naar het octale of achttallige
010
2
stelsel. Nu is 1000=11111010002=17508. Een leuk boekje over het achttallig stelsel
011
3
is ‘Het land van Okt’ van Fred Goffree (Noordhoff, 1995).
100
4
101
5
In de informatica is het hexadecimale of zestientallig stelsel het meest gebruikelijke
110
6
gecombineerde talstelsel.
111
7
Opgave. In het zestientallig stelsel is er een tekort aan symbolen voor de cijfers. Hoe heeft men dit
opgelost? (zie de afbeelding van de rekenmachine)
Opgave. In ons decimale stelsel kennen we ook een groepering van 3 cijfers, zowel in de notatie als in
de uitspraak van de getallen. Bedenk een passende naam voor dit nieuwe gecombineerde talstelsel.
Opgave. Het rekenen met hoeken werd vroeger gedaan in een zestigtallig stelsel, waarbij een graad
was verdeeld in 60 minuten en een minuut in 60 seconden. Noem een andere toepassing van dit
talstelsel. Ken je meer situaties waarin een afwijkend grondtal wordt gebruikt?
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid (9/10)
8 juli 2009
Oplossingen van de instapproblemen
Probleem 1 – tellen
Sjeng en Steve turven, ze zetten een streepje voor elke auto die langs komt en elk vijfde streepje is de
diagonaal van een hekje.
Probleem 2 – pizza
In de groep van Carel krijgt men gemiddeld
10
13
pizza. Corné heeft dus 17  10

13
pizza’s nodig. Hij zal er dus 13 bestellen, het verschil is per persoon maar
Andere manier, met kommagetallen:
In de groep van Carel krijgt men gemiddeld
1
13
17

170
13
1
13
 169
 131  13 131
13
 13
1
pizza.

17  13 221
 0,769 pizza. 17×0,769 = 13,073. Corné moet 13
pizza’s bestellen, het verschil per persoon is 0,769  0,004 pizza.
10
13
Probleem 3 – rapportcijfer
Het gemiddelde cijfer is (4,1 + 6,4 + 5,1 + 6,3) : 4 = 5,475. Afgerond op één decimaal is dit een 5,5 en
dat krijgt Joice op haar rapport te zien. Tijdens de rapportvergadering wordt haar cijfer voor Duits wel
als een tekortpunt geteld, want afgerond op een geheel getal is haar cijfer een 5.
Echter, op sommige scholen wordt de 5,5 afgerond naar een 6 en dan niet als een voldoende geteld.
Dit is rekenkundig onjuist omdat het oorspronkelijke getal (5,475) dichter bij 5 is dan bij 6.
Let op: men spreekt hier van ‘cijfers’ omdat het vroeger gebruikelijk was met gehele getallen van 1 tot
en met 10 te beoordelen (een ‘tien’ was een hoge uitzondering). De beoordeling werd dus meestal in
een enkel cijfer uitgedrukt. In bijvoorbeeld het Engels heeft men een ander woord voor deze
afwijkende betekenis van het woord ‘cijfer’ (figure in plaats van digit).
Probleem 4 – grote getallen
8 minuten en 19 seconden is 8 × 60 + 19 = 499 seconden.
De berekening met een rekenmachine zie je hieronder.
De onderste regel is ‘rekenmachinetaal’ voor 1,495964365×1011, wat gelijk is aan 1,495964365 keer
een 1 met 11 nullen, dus de gevraagde afstand is 1,1495964365  100 000 000 000 
149 596 436 500 meter, dat is ongeveer 150 000 000 km. Afronden is hier nodig omdat de 8
minuten en 19 seconden weinig nauwkeurig was.
Het getal 299 792 458 is een exact getal, het is geen benadering zoals de 8 minuten en 19 seconden. In
1
de natuurkunde wordt tegenwoordig de meter gedefinieerd als de afstand die het licht in 299792458
seconde aflegt. Dit komt uiteraard overeen met oudere definities van de meter (het tienmiljoenste deel
van de afstand van de evenaar tot de Noordpool, of de lengte van een staaf platina-iridium die in Parijs
wordt bewaard) die minder secuur zijn.
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid (10/10)
8 juli 2009