Wiskunde_deel_I_korte_samenvatting_(14blz)

H1: Wiskundig taalgebruik en notaties
Implicatie
P
Q
P => Q
Waar
Waar
Waar
Waar
Vals
Vals
Vals
Waar
Waar
Vals
Vals
Waar

p: voldoende voorwaarde voor q

q: nodige voorwaarde voor p
vb. dat je een brommer krijgt als je er door bent in juni!
 ALS je er door bent in juni, DAN krijg je een brommer
 P: als je er door bent
Q: je krijgt een brommer
Ontkenning:
p => q is vals, als p waar is EN q vals
Equivalentie
P
Q
P <=> Q
Waar
Waar
Waar
Waar
Vals
Vals
Vals
Waar
Vals
Vals
Vals
Waar
Kwantoren


Ontkenning
o
Kwantoren omwisselen
o
Uitspraak ontkennen
Volgorde zeer belangrijk!
1
H2: Getallenverzameling
Merkwaardige producten

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(a - b)(a + b) = a² - b²
(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
Absolute waarde

|𝑎| > 0:
|𝑎| = |−𝑎|
en
−|𝑎| < 𝑎 < |𝑎|
Afstand

Afstand tussen x en y: |𝑥 − 𝑦|

Driehoeksongelijkheid:
o
|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
o
|𝑥 − 𝑦| ≤ |𝑥 − 𝑧| + |𝑧 − 𝑦|
Interval

Moet 1 geheel zijn => geen onderbreking
Open en gesloten bij ℝ

Open: rond elk punt een open interval dat zelf nog in A ligt
=> geen randpunten

Gesloten: als het complement ℝ\𝐴 open is
=> wel randpunten

Noch open, noch gesloten
o

ℚ
]−1,5]
[3,17[
Open én gesloten
o
ℝ
2
Bewijs door (volledige) inductie
1. Inductiestart: geldt het voor de kleinste waarde van de variabele?
Vb (𝑛 = 1)
2. Inductiehypothese: andere benaming voor de variabele nemen
Vb (𝑡)
inductiestap: zeggen dat het ook voor de variabele +1 geldt
Vb (𝑡 + 1)
3. Uitwerken!
De ruimtelijke structuren

Algebraïsche structuur
rekenen

Euclidische structuur
afstand en hoeken

Topologische structuur
omgeving, open en gesloten
Norm

‖𝑥‖ = √𝑥12 + 𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑛2
o
‖𝑥‖ = 1 : eenheidsvector, genormeerd
o
Bij (n = 1): ‖𝑥‖ = |𝑥|
o
Bij (n = 2) en (n = 3): ‖𝑥‖ = euclidische afstand van 𝑥 tot 0
o
Komt van Pythagoras: 𝑐² = 𝑎² + 𝑏² => 𝑐 = √𝑎² + 𝑏²

Altijd positief

Voldoet aan de driehoeksongelijkheid:
‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖
Euclidische afstand


‖𝑥 − 𝑦‖ = √(𝑥1 − 𝑦1 )2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 )²
o
Bij (n = 1): ‖𝑥 − 𝑦‖ = |𝑥 − 𝑦|
o
Bij (n = 2) en (n = 3): ‖𝑥 − 𝑦‖ = afstand
Voldoet aan de driehoeksongelijkheid:
‖𝑥 − 𝑦‖ ≤ ‖𝑥 − 𝑧‖ + ‖𝑧 − 𝑦‖
Scalair product

Niet hetzelfde als scalaire vermenigvuldiging!
o
Scalaire vermenigvuldiging: 𝜆(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = (𝜆𝑥1 , 𝜆𝑥2 , … , 𝜆𝑥𝑛 )
o
Scalair product (inproduct): ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑦𝑛
3

‖𝑥‖² = ⟨𝑥, 𝑥⟩

Het inproduct is bilineair

o
⟨𝜆𝑥 + 𝜇𝑦, 𝑧⟩ = 𝜆⟨𝑥, 𝑧⟩ + 𝜇⟨𝑦, 𝑧⟩
o
⟨𝑥 , 𝜆𝑦 + 𝜇𝑧⟩ = 𝜆⟨𝑥, 𝑦⟩ + 𝜇⟨𝑥, 𝑧⟩
Het inproduct is positief definiet
o

⟨𝑥, 𝑥⟩ ≥ 0 𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑠 ⟨𝑥, 𝑥⟩ = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑠 𝑥 = 0
Via de cosinusregel vinden we dat
⟨𝑥, 𝑦⟩ = ‖𝑥‖‖𝑦‖ cos 𝜃
o
⟨𝑥, 𝑦⟩ < 0
: hoek > 90°
o
⟨𝑥, 𝑦⟩ = 0
: hoek = 90° => orthogonaal
o
⟨𝑥, 𝑦⟩ > 0
: hoek < 90°
Cauchy-Schwarz-ongelijkheid

|⟨𝑥, 𝑦⟩| ≤ ‖𝑥‖‖𝑦‖
Open en gesloten bij ℝ𝒏

Open bol met middelpunt x en straal r
𝐵(𝑥, 𝑟) = {𝑦 ∈ ℝ𝑛 | ‖𝑦 − 𝑥‖ < 𝑟}

Open als we rond elk punt 𝑥 𝑣𝑎𝑛 𝐴 een open bol kunnen plaatsen

Gesloten als complement ℝ𝑛 \𝐴 open is
4
H3: Functies en Rijen
Componentfuncties

1 vectorfunctie bestaat uit componentsfuncties (=coördinaatsfuncties)
Functie

1 x-waarde kan maximum 1 beeld hebben => anders geen functie
=> een verticale rechte mag de grafiek hoogstens in 1 punt snijden

Bekijk functies HB blz 3.8-3.9

Niveaulijnen: projectie op het XY-vlak van de doorsnede
o
𝑁𝑐 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² | 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐}
o
Hoogtelijnen, isobaren, isothermen, isokwanten, indifferentiecurves,…
o
Hoe dichter bij elkaar, hoe harder de wijziging (stijging/daling)
Inverteren van functies


Injectief:
voor elke y hoogstens 1 x => niet injectief als 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) 𝑚𝑎𝑎𝑟 𝑥1 ≠ 𝑥2
Surjectief:
voor elke y minstens 1 x
Bijectief:
voor elke y juist 1x
Injectief => inverse functie
o
𝑔 ∶ 𝑓(𝐴) → 𝐴: 𝑦 ↦ 𝑔(𝑦) 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑏𝑖𝑗 𝑓(𝑔(𝑦)) = 𝑦
o
Functie spiegelen tov 1e bissectrice
o
y en x omwisselen en dan opnieuw y zoeken
Rijen

Expliciet voorschrift:
formule die 𝑥𝑛 uitdrukt in termen van 𝑛

Recursie voorschrift:
formule die de (𝑛 + 1)-ste term uitdrukt in functie vd 𝑛-de term

Rekenkundige rij:
𝑥𝑛 = 𝑎 + 𝑛𝑣
vast getal v bij optellen

Meetkundige rij:
𝑥𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛
vaste factor r vermenigvuldigen
Annuïteiten

Slotwaarde:
𝑆 = 𝐾 + 𝐾𝑢 + 𝐾𝑢² + ⋯ + 𝐾𝑢𝑛−1 = 𝐾

Aanvangswaarde:
𝐴=𝐾
𝑢𝑛 −1
𝑢−1
𝑢𝑛 −1 1
𝑢−1 𝑢𝑛
5
H4: Lineaire functies, eerstegraadsfunctie
Matrix

(𝑛𝑥𝑚) -matrix: 𝑛 rijen en 𝑚 kolommen

Functie is lineair als

1. 𝑓(𝜆𝑥) = 𝜆𝑓(𝑥)
𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥 ∈ ℝ𝑛 𝑒𝑛 𝜆 ∈ ℝ
2. 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)
𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛
Samen genomen
𝑓(𝜆𝑥 + 𝜇𝑦) = 𝜆𝑓(𝑥) + 𝜇𝑓(𝑦)

𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 𝑒𝑛 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ
Functie lineair => f kan je schrijven mbv een matrix
Eerstegraadsfunctie

Eerstegraadsfunctie = lineaire functie + constante

𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 is dus een eerstegraadsfunctie als
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑐 = 𝐴𝑥 + 𝑐
𝑙: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 ∶ 𝑥 ↦ 𝑙(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(0) lineair is

Lineaire functie => eerstegraadsfunctie (homogeen)

Eerstegraadsfunctie => lineaire functie alleen als 𝑓(0) = 0
o
vb 𝑥 − 3𝑦 + 5
geen lineaire functie
o
vb 𝑥 − 3𝑦 + 0
wel een lineaire functie
Markt van al dan niet concurrerende producten

𝑞𝑖 = 𝛽𝑖 + ∑ 𝛼𝑖,𝑗 𝑝𝑗

Model voor de vraag:
o
𝛼𝑖,𝑗 > 0 :substituten
(met 𝛽𝑖 > 0 en 𝛼𝑖,𝑖 < 0)
: p1 stijgt => q1 daalt => q2 stijgt => p2 daalt
↑↑ 𝑜𝑓 ↓↓
wnr de prijs van goed 1 stijgt, ga ik meer van goed 2 kopen
o
𝛼𝑖,𝑗 < 0 :complementen: p1 stijgt => q1 daalt => q2 daalt => p2 stijgt
↑↓ 𝑜𝑓 ↓↑
wnr de prijs van goed 1 stijgt, ga ik ook minder van goed 2 kopen
o
𝛼𝑖,𝑗 = 0 :afzonderlijke producten: hebben niets met elkaar te maken
Lineaire interpolatie

Benaderingsmethode om waarde te vinden tussen 2 andere gegeven waarden

Benaderen via eerstegraadsfuncties (lijnstuk = allemaal 1egraadsfuncties aan elkaar)

De waarde (𝑓(𝑥) = 𝑦) voor 𝑥 ∈ [𝑥1 ; 𝑥2 ]: 𝑦 = 𝑦1 + 𝑥2 −𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 −𝑦
2
1
6
H5: Lineaire stelsels
Lineair stelsel

Homogeen stelsel:
𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏𝑛 = 0

=> 𝐴𝑋 = 0
Matrixvoorstelling: de gerande matrix (𝐴|𝐵)
Stelsel oplossen

Oplossingen noteren in vectorvorm (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎, 𝑏, 𝑐)

Oplossen van een stelsel = geven ve oplossingenverzameling (verzameling vectoren)


o
Elke vector voldoet aan alle vgl
o
Buiten deze oplossingenverzameling bestaan er geen andere oplossingen
Aantal oplossingen: snijpunten van de rechtes
o
Geen snijpunten
: geen oplossing
o
1 snijpunt
: juist 1 oplossing
o
Vallen samen
: oneindig veel oplossingen
Homogeen stelsel
: 1 of oneindig veel oplossingen
Niet-homogeen stelsel : 0, 1 of oneindig veel oplossingen

via de substitutiemethode
(2 vgl en 2 onbekenden)
Gauss-eliminatiemethode
Gauss(-Jordan) methode

Door operaties uit te voeren op de rijen
o
Rijen wisselen
o
Vermenigvuldigen met scalair
o
Een veelvoud van een rij bij andere optellen

Leidende element = 1e element in de rij

Eens in die vorm, via achterwaartse substitutie

Echelonvorm

o
Nulrijen onderaan
o
Andere rijen 1 vooraan
o
Links en onder de 1 alleen nullen
Rijgereduceerd
o
Echelonvorm + boven de 1 ook alleen nullen
7


2 matrices zijn rij-equivalent als je via de ene de andere kan bekomen via rijoperaties
o
Elke matrix is rij-equivalent met matrix in echelonvorm/ rijgereduceerd
o
Dus we kunnen elke matrix transformeren naar echelonvorm (rijgereduceerde vorm)
Rijreduceren door pivoteringsoperaties
o
Element 1 maken en al de rest in kolom 0
= pivoteren
=> pivoteringselement/ spilelement
=> pivoteringskolom


Eliminatiemethode van Gauss
o
Schrijf gerande matrix
o
Ga via rijoperaties tot echelonvorm
o
Los het op via achterwaartse substitutie
Eliminatiemethode van Gauss-Jordan
o
Schrijf gerande matrix
o
Ga via rijoperaties tot rijgereduceerde vorm
o
Lees af
Stelsels met parameters

Bespreken van het stelsel
o
Nagaan hoe de oplossingenverz. afhangt vd parameters
o
Zo krijg je bij andere vwen andere oplossingen
Oplosbaarheidscriterium

(0 0 … 0|1) is strijdig

Rang = # niet-nul rijen

# vrijheidsgraden = # vrij te kiezen onbekenden
o
1 oplossing: geen vrijheidsgraden
o
Aantal onbekenden – rang
8
H6: Matrixalgebra
Matrix

Rekenregels voor matrices gelden ook voor reële getallen
 Niet alle rekenregels voor reële getallen gelden voor matrices!

o
Vermenigvuldiging is niet commutatief
o
Voor n>2 is er niet altijd een matrix B waarvoor 𝐴𝐵 = 𝐼𝑛
Eenheidsmatrix (𝐼𝑛 ), nulmatrix (𝑂𝑚,𝑛 )
Rekenen met matrices

Matrix * getal = elk element * dat getal

Matrix + matrix = element + element
o

Alleen zinvol indien dezelfde afmetingen
Matrix * matrix
o
𝐴𝐵 = 𝐶 met (𝑚 ∗ 𝒏)(𝒏 ∗ 𝑝) = (𝑚 ∗ 𝑝)
Transponeren

Rijen als kolommen schrijven

Matrix (vierkante) symmetrisch als 𝐴𝑡 = 𝐴

(𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 𝐴𝑡
Inverteren


Matrix inverteerbaar als 𝐴𝐵 = 𝐼𝑛 = 𝐵𝐴
o
Inverteerbaar = regulier
o
Niet inverteerbaar = singulier
Matrix inverteerbaar?
o
Gerande matrix met rechts de eenheidsmatrix
o
Proberen om links de eenheidsmatrix te bekomen
o
Rechts krijgen we dan de inverse

Alleen inverteerbaar als rang maximaal is!

Met inverse stelsel oplossen:
𝐴𝑋 = 𝐵
en dus ook
𝐴−1 (𝐴𝑋) = 𝐴−1 𝐵
waardoor
𝑋 = 𝐴−1 𝐵
9
H7: Determinanten
Determinant

Via 1 getal (determinant) bepalen of matrix inverteerbaar is

(2 ∗ 2)-matrix: 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21

(3 ∗ 3)-matrix: regel van Sarrus

De absolute waarde van de D van een (2x2)-matrix geeft de opp van de parallellogram
opgespannen door de 2 vectoren bepaald door de kolommen

Gelijkvormige driehoeken => verhouding tussen lengte van overeenkomstige zijden gelijk
Ontwikkelen naar rij of kolom

Element kiezen en rij en kolom van dit element schrappen

det(𝐴) = 𝑎𝑘1 𝐶𝑘1 + 𝑎𝑘2 𝐶𝑘2 + 𝑎𝑘3 𝐶𝑘3
o
Cofactor 𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗
o
Minor 𝑀 = determinant van de (2 ∗ 2)-matrix die overblijft
Belangrijke eigenschappen

det(𝐴𝑡 ) = det(𝐴)

Determinant is lineair in de rijen en de kolommen
o
(𝑟𝑖𝑗/𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚) ∗ 𝜆 = 𝑑𝑒𝑡 ∗ 𝜆
o
Bij het wisselen van 2 rijen/kolommen, verandert het teken van de det
o
Is een rij/kolom de som van 2 rijen/kolommen
=> det ook de som van 2 det (met de samengestelde rijen/kolommen)

Det met 2 gelijke rijen/kolommen = 0

B een matrix uit 𝐴 door bij een rij/kolom een veelvoud op te tellen => det(A) = det(B)

det(𝐴𝐵) = det(𝐴) det(𝐵)
Determinant en inverteerbaardheid

𝐴 is inverteerbaar ⟺ det(𝐴) ≠ 0
1
Als 𝐴 inverteerbaar is, dan is 𝐴−1 = det(𝐴) 𝑎𝑑𝑗(𝐴)

Met 𝑎𝑑𝑗(𝐴) =
o
De elementen vervangen door de cofactoren
o
Die dan nog eens transponeren
o
Bij een (2 ∗ 2)-matrix:
𝑎22 −𝑎12
𝑎𝑑𝑗(𝐴) = (−𝑎
𝑎11 )
21
10
H8: Eigenwaarden en eigenvectoren
Probleem

We willen een volledige en expliciete definitie vinden voor de dynamische modellen

Hoe machten nemen van grote matrices?
Diagonaliseerbaar

Diagonaalmatrix: machten nemen van de diagonaalelementen

Matrix is diagonaliseerbaar als
o
Er een inverteerbare (𝑚𝑥𝑚)-matrix 𝑄 bestaat
o
Er een (𝑚𝑥𝑚)-diagonaalmatrix 𝐷 bestaat
o
𝐴 = 𝑄𝐷𝑄 −1
Eigenwaarde en eigenvector

Als 𝐴(𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟) = 𝜆(𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟)
o
𝜆 = eigenwaarde van A
o
(𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟)= eigenvector van A

Eigenvector kan nooit nul zijn! (eigenwaarde wel)

Inverteerbare 𝑄
door de eigenvectoren als kolommen naast elkaar te schrijven
Diagonaalmatrix 𝐷
door de eigenwaarden op de diagonaal te schrijven
Berekenen van eigenwaarden en eigenvectoren

λ is een eigenwaarde van 𝐴 ⇔ (𝐴 − 𝜆 𝐼𝑚 ) niet inverteerbaar is
 Dus alleen als 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆 𝐼𝑚 ) = 0

Karakteristieke veelterm

Je vindt dus een eigenwaarde met een eigenvector
o

Alle veelvouden van die eigenvector horen ook bij die eigenwaarde
Indien onvoldoende eigenvectoren (buiten de veelvouden) om Q te maken
 Niet diagonaliseerbaar (want als je geen Q hebt, kan die zeker niet inverteerbaar zijn!!)
Toepassing
Herbekijken HBp8.12
11
H9: Elementaire meetkunde
Meetkunde in het vlak : R²
Rechte door de oorsprong

Heeft een richtingsvector (𝑥, 𝑦)

Die is niet uniek! Alle veelvouden van die vector zijn eveneens een richtingsvector
𝑅 = {𝜆(𝑥, 𝑦)| 𝜆 ∈ ℝ}

Heeft er dus oneindig veel (van dezelfde vorm)
Rechte niet door de oorsprong

Door een rechte door de oorsprong evenwijdig te verschuiven

Steunvector en richtingsvector (door oorsprong) nodig

𝑅 = {𝑣𝑠 + 𝜆𝑣𝑠 | 𝜆 ∈ ℝ}
o
De steunvector vs zorgt voor de verschuiving
o
Je telt hier dan telkens de richtingsvector 𝑣𝑟 bij op
Vectorvergelijking

𝑣 = 𝑣𝑠 + 𝜆𝑣𝑠

Zowel 𝑣𝑟 als 𝑣𝑠 zijn niet uniek

(𝜆 ∈ ℝ)
o
Zo kan je eender welk punt kiezen op de rechte voor
o
Zo zij eveneens alle veelvouden van
goede richtingsvectoren
Indien je al 2 punten kent waar de rechte doorgaat: 𝑣 = 𝑣1 + 𝜆(𝑣𝑠 − 𝑣1 )
(𝜆 ∈ ℝ)
Parametervergelijking

Haal je uit de vectorvgl => 𝑥 en 𝑦 gwn coödinaatsgewijs neer te schrijven
𝑥 = (1 − 𝜆)𝑥1 + 𝜆𝑥2
𝑦 = (1 − 𝜆)𝑦1 + 𝜆𝑦2
voor een (𝜆 ∈ ℝ)
Cartesiaanse vergelijking

Haal je uit parametervgl => Substitueren (stelsel oplossen)

(𝑦 − 𝑦1 )(𝑥2 − 𝑥1 ) = (𝑦2 − 𝑦1 )(𝑥 − 𝑥1 )

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

o
Richtingsvector = (𝑏, −𝑎)
o
Normaalvector = (𝑎, 𝑏)
o
Als 𝑏 = 0 dan is de rechte verticaal
(want inproduct = 0)
𝑦 −𝑦
Rico 𝑚 = 𝑥2 −𝑥1
2
1
12
Onderlinge stand

Evenwijdig:

Samenvallend: als naast a en b ook de c’s veelvouden zijn van elkaar

Snijdend:
als de richtingsvectoren (en normaalvectoren) veelvouden zijn van elkaar
als ze juist één punt gemeenschappelijk hebben (via stelsel zoeken)
Lineaire programmering

Lineaire functies
o
Optimalisatiemethode
o
Met randvoorwaarden en positiviteitscondities

Toelaatbaar gebied => punten (𝑥, 𝑦) die aan alle randvwen voldoen

Gemeenschappelijke kenmerken
o
Toelaatbaar gebied = convex
 als je 2 punten neemt uit het gebied, dan ligt het verbindende lijnstuk er nog
binnen

o
Het optimum ligt op een extreem punt, een hoekpunt
o
Het is een globaal optimum
Algebraïsche methode om dit op te lossen = simplexmethode
13
Meetkunde in de ruimte: R³
Voorstelling van rechten
Vectorvergelijking

𝑣 = 𝑣𝑠 + 𝜆𝑣𝑠

𝑣 = 𝑣1 + 𝜆(𝑣𝑠 − 𝑣1 )
(𝜆 ∈ ℝ)
(𝜆 ∈ ℝ)
Parametervergelijking
𝑥 = (1 − 𝜆)𝑥1 + 𝜆𝑥2

𝑦 = (1 − 𝜆)𝑦1 + 𝜆𝑦2
voor een (𝜆 ∈ ℝ)
𝑧 = (1 − 𝜆)𝑧1 + 𝜆𝑧2
Cartesiaanse vergelijking

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑧 + 𝑐′ = 0

Lemma 3.2 gebruiken
 (𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 ) = 𝜆(𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 ) ⇔ 𝑎1 𝑏2 − 𝑏1 𝑎2 = 0 𝐸𝑁 𝑏1 𝑐2 − 𝑐1 𝑏2 = 0
Voorstelling vlakken
Vectorvergelijking

𝑣 = 𝑣𝑠 + 𝜆𝑣1 + 𝜇𝑣2
(𝜆, 𝜇 ∈ ℝ)

𝑣 = 𝑣1 + 𝜆(𝑣2 − 𝑣1 ) + 𝜇(𝑣3 − 𝑣1 )
(𝜆, 𝜇 ∈ ℝ)

De drie punten zijn niet-collineaire: liggen niet allemaal op dezelfde rechte
Parametervergelijking

𝑥 = 𝑥1 + 𝜆(𝑥2 − 𝑥1 ) + 𝜇(𝑥3 − 𝑥1 )
𝑦 = 𝑦1 + 𝜆(𝑦2 − 𝑦1 ) + 𝜇(𝑦3 − 𝑦1 )
voor een (𝜆 ∈ ℝ)
𝑧 = 𝑧1 + 𝜆(𝑧2 − 𝑧1 ) + 𝜇(𝑧3 − 𝑧1 )
Cartesiaanse vergelijking

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑏 = 0
o
richtingsvector = (𝑥𝑖 − 𝑥1 , 𝑦𝑖 − 𝑦1 , 𝑧𝑖 − 𝑧1 )
o
normaalvector = (a,b,c)
(want inproduct = 0)

als d = 0 gaat het vlak door de oorsprong (0,0,0)

Lemma 3.2 gebruiken
 (a, b, c) = λ(a1 , b1 , c1 ) + μ(a2 , b2 , c2 )
⇔ a(b1 c2 -c1 b2 ) + b(a1 c2 -c1 a2 ) +c(a1 b2 -b1 a2 ) = 0
14