Hoofdstuk drie : stelsels van eerstegraadsvergelijkingen

Hoofdstuk drie : stelsels van eerstegraadsvergelijkingen.
1 definitie , notatie.
2 x  3 y  7 eerstegraadsvergelijking in de onbekenden x en y
2x1  3x2  ... eerstegrvg in meerdere onbekenden.
Stelsel van 1e graadsvergelijkingen met n onbekenden xi   (i =1,2,…n)
Stellen we de standaard voor als volgt:
a11 x1  a 22 x2  a33 x1  ...a n xn  b1
a 21 x1  a 22 x2  a 23 x3  ...a 2 n xn  b2
.
.
.
a m1 x1  a m 2 x2  a m3 x3  ...a mn xn  bm
met aij , b j  

een stelsel heet homogeen 
x+y+2 = 0
2x+3y = 0
x-4z = 0

A
A = coëfficientiematrix
a11
a12
a13
a14
a21
a 22
a 23
a24
.
.
.
.
am1
am 2
a m3 ...a mn
naar mxn matrix
x1
x2
b1

= x
,
xn
b2

=b
bn
 we kunnen stelsel (I) schrijven als volgt:
 
Ax = b
(mxn)
(nx1) (mx1)
een opl (I) zou kunnen zijn


A1 * A * x  A1 * b
Als det(A) verschillend is van 0
Hoofddeterminant van (I) =
Determinant ( een grootste reguliere deelmatrix van A )
Rang van stelsel = r = orde van de hoofddeterminant.
2. Oplossen van nxn stelsels
(#vgl = #onbekenden)
2.1 regel van Cramer.
Stelsel heeft juist 1 oplossing  det(A) verschillend is van 0


 x  A1 * b
5 x1  x3  1
vb : x1  3x2  2 x3  1
 x 2  x3  0
(I)
-> 3x3
5
1
0
A= 1 3
0 _1
2
1
0  15
Determinant = 1
0
= (-1)
 15 9
1
1
9
3
2
1
1
= -(-15+9) = 6
1

onafhankelijke termenmatrix = b =  1
0
dus :
1
0
1
5
A1 =  1 3  2
0 1 1
0
1
A1(R2+R1) = 0
3
3
0 1
3
3
1 1
= 3-3 = 0
1
A2 = 1  1  2
0 0
1
1
=
1
1
A2 =
5
1
1 1
5
0
1
A3 = 1 3  1
0 1 0
A3 =
5
1
1 1
A2 = -5-1
A3 = -5-1
A2 = -6
A3 = -6
A1
0
det A
A2
 6 / 6  1
det A
A3
 6 / 6  1
det A
0

-> x   1
1
2.2 Methode van de inverse matrix.


Het stelsel heeft juist 1 oplossing  det(A) verschillend is van 0 , x  A1 * b
x yz 0
Vb : 2 x  y  z  6
3x  2 z  4
1
1
1
A = 2  1  1 -> det A
3 0 2
Cofactoren van A
A11 
A12 
1 1
0
2 1
3 2
2
=2
= -(-4+3) = 1
1
R 2 R1
1
1
3 0
= 2  1  1 == (-6) = 6
3 2
3 0 2
A13 
2 1
3
A21  
A22 
1
0 2
1
1 1
3 0
1
=3
1
1 1
1
1
=0
1
2 1
1
2 1
=2
= -2-3 = -5
3 2
A32  
A33 
1
1
A23  
A31 
=3
0
= -(-1-2) = 3
= -1-2= -3
2 2
0
A ji
adj ( A)
1
A 

 *1  5 3
det( A) det( A) 6
3 3 3
1
1/ 3 1/ 3

A * b  1/ 6  5 / 6
1
1/ 2
1/ 2
0
0
2
1/ 2 * 6 =
0 5
 1/ 2 4
0
2  3 1  0
controle : 4  3  1  7  1  6
62  4
0
3
0
2 =
2
2
3=
1

x =
x1
x2
x3
2.3 Methode van Gauss Jordan of spilmethode :
maakt gebruik van de elementaire rij-transformaties van matrices
Ri -> Rj en omgekeerde
Ri -> α *Ri
Ri -> α*Ri + β*Ri
Waardoor we gelijkwaardige stelsels bekomen !!!
x1  2 x2  2 x3  3x4  6
Vb : (I) : 2 x1 5 x2  3x3  x4  22
x 2  4 x3  4 x 4  7
We vormen een verhoogde matrix A van (I) en we proberen een driehoeksmatrix of een
diagonaalmatrix te verkrijgen.
1 2 2
A= 2 5
3
0 1
4
6 10 
 
 1 22  31
 4 7  8 
3
1 2 2
R2-2R1 -> 0 1
7
0 1
4
6 10 
 
 7 10 11 
 4 7  8 
3
 14   12 


 7 10 11 
 4 7  8 
1 0  16 17
R1 -2R2 -> 0 1
0 1
7
4
 14   12 


_ 7 10 11 
3
 3   3 
1 0  16 17
R3-R2 ->
0 1
7
0 0
3
 14   12 


 7 10 11 
1
1 1 
1 0  16 17
R3*(-1/3) -> 0 1
0 0
7
1
2 4 
 
(R1 + 16R3) -> 0 1 7  7 10 11
0 0 1  1 1 1 
1 0 0
1
2  4
 
R2-7R3 -> 0 1 0 0 3  4 
0 0 1  1 1 1 
1 0 0
1
x1  x1  2
(I’) x 2  3
=>
   ||
x3  x1  1
(I’) gelijkwaardig aan (I)
2.4 Stelling van Rouché
r = rang vd coeff matrix = orde van hoofddet ( een grootste reguliere deelmatrix van de
coeffmatrix)
m= aantal vgl
n= aantal onbekenden
2.4.1 m=n=r
De unieke oplossing van het stelsel bekom je door
-regel v kramer
-inverse matrix


x  A1 * b
-Gauss –spilmethode.