Formularium algebra ( 4e en 5e jaar )

1. Machten met natuurlijke, gehele of rationale exponent
Definities :
1)  a 
:n 
\
 0, 1  : a n
= a.a. ... .a ( n factoren )
Merk op : a1 = a ; a 0 = 1 als a  0
2)  a 
0
3)  a , b 
4)  a 
:n 
+
+
0
: a -n =
:n 
:m 
\
1
an
0,1 :
:n 
\
a = b  bn = a
n
 0 , 1 : a
m
n
= n am
Eigenschappen :
1)  a 
:p,q 
+
0
2)  a 
+
0
3)  a 
+
0
:p,q 
:p,q 
: a p . a q = a p+q
ap
: q = a p-q
a
: ( a p )q = a p.q
4)  a , b 
+
0
:p 
: ( a . b )p = a p . bp
5)  a , b 
+
0
:p 
:(
a p ap
) = p
b
b
2. Logaritmes
Definitie :
a 
+
0
\
1 :x 
+
0
:y 
: log a x = y  a y = x
Eigenschappen :
1)  a 
+
0
\
1 :x,y 
+
0
: log a ( x . y ) = log a x + log a y
2)  a 
+
0
\
1 :x,y 
+
0
: log a (
3)  a 
+
0
\
1 :x

+
0
: 
x
) = log a x - log a y
y
: log a x  =  . log a x
3. Merkwaardige producten
Overzicht :
1) ( A + B ) ( A – B ) = A² - B²
2) ( A ± B )² = A² ± 2 AB + B²
3) ( A + B + C )² = A² + B² + C² + 2AB + 2BC + 2AC
4) ( A ± B )³ = A³ ± 3A²B + 3AB² ± B³
5) ( A ± B ) ( A²
AB + B² ) = A³ ± B³
( Hierbij zijn A, B en C veeltermen in 1 of meerdere onbekenden )
4. Vergelijkingen met graad

2
Overzicht en oplossingen :
1) Vierkantsvergelijkingen of tweedegraadsvergelijkingen.
Algemene gedaante : ax² + bx + c = 0 ( a , b , c 
en a  0 )
De vorm b² - 4ac = ∆ noemt men de discriminant.
Oplossing(en) : ●) x =
b  
( * ) als ∆ > 0
2a
●) x = 
b
als   0
2a
●) er zijn geen oplossingen in
als  < 0
Merk op : als b even is ( stel b = 2b’ ), dan wordt ( * ) : x =
-b' 
b ' ² - ac
(' = b' ² - ac)
a
2) Bikwadratische vergelijkingen
Algemene gedaante : a x 4 + b x 2 + c = 0 met a, b, c 
en a  0
Oplossingsmethode : men stelt y = x². De vergelijking wordt dan : ay² + by + c = 0
Nadien keert men terug naar de onbekende x.
3) Willekeurige hogeregraadsvergelijkingen
Algemene gedaante : a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a1 x + a 0  0 met a n , a n-1 , ... , a1 , a 0 
en an  0; n 
en n  3
Oplossingsmethode : men ontbindt het linkerlid in factoren ( met de regel van Horner ) en
men maakt van de eigenschap gebruik : a.b. … .k = 0  a = 0  b = 0  ...  k = 0
4) Rationale vergelijkingen
Een dergelijke vergelijking bevat naast veeltermen ook veeltermbreuken. Men vermeldt
steeds de bestaansvoorwaarde.
Voorbeeld :
2x
3
+
=1
x+1
x+2
( x  -1  x  - 2 )
Oplossingsmethode : men brengt alle breuken op dezelfde noemer en lost de bekomen
vergelijking op met 1 van de hoger vermelde methodes.
5) Irrationale vergelijkingen
Dergelijke vergelijkingen bevatten een onbekende onder een wortelteken.
Hier vermeldt men naast de bestaansvoorwaarde ook de kwadrateringsvoorwaarde.
Voorbeeld : x = x+2 ( b.v. : x + 2  0 ; k.v. : x  0 )
Oplossingsmethode : door efficiënt de beide leden 1 of 2 keer te kwadrateren wordt deze
vergelijking herleid tot een niet-irrationale vergelijking. Deze kan opnieuw worden opgelost met de reeds vermelde methodes.
Eigenschappen van de wortels van een vierkantsvergelijking :
1) som van de wortels : x1 + x 2  -
b
a
2) product van de wortels : x1 . x 2 =
c
a
Ontbinden van een tweedegraadsveelterm :
ax² + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x 2 ) met x1 en x 2 de wortels van de corresponderende vierkantsvergelijking.
5. Tweedegraadsfuncties
Definitie :
f ( x ) = ax² + bx + c , met a , b , c 
en a  0
Eigenschappen :
1) vergelijking van de symmetrieas : x = 
b
2a
2) coördinaat van de top T ( -
b

b
,=f())
2a
4a
2a
3) snijpunten met de x – as : (
-b + 
-b - 
, 0 ) en (
,0)
2a
2a
4) de grafiek is een dalparabool als a > 0 ; de grafiek is een bergparabool als a < 0
Qua grafiek en tekenverloop kunnen de volgende mogelijkheden zich voordoen :
a>0
a<0
Y
Δ>0
X
Tekenverloop :
x
Tekenverloop :
x1
f(x) + 0
x2
-
x
0 +
x1
f(x)
x2
- 0
+
0-
∆<0
Tekenverloop :
Tekenverloop :
x
f(x)
x1
+ + +
x
x2
+ +
x1
f(x)
x2
- - - - -
=0
Tekenverloop :
Tekenverloop :
x
f(x)
x1 = x2
+
0
x
+
f( x )
x1 = x2
-
0
-
6. Complexe getallen
Definitie :
z 
: z = a + bi met a , b 
en i² = -1
Goniometrische gedaante van een complex getal :
z 
cos  =
|z|=
: z = | z | ( cos  + i sin  ) met   [ - ,  [ en met
a
en sin =
a²+b²
a² + b² ( | z | noemt men de modulus van z )
Complex toegevoegde
z 
b
(  is het argument )
a²+b²
_
: z = a - bi
Aanduiding van een complex getal in het vlak van Gauss :
Eigenschappen in de algemene gedaante :
1) a , b , c , d 
: a + bi = c + di  a = c  b = d
2) a ,b ,c , d 
: ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
3) a , b , c , d 
: ( a + bi).( c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc ) i
Eigenschappen in de goniometrische vorm :
1)  z1 , z 2 
: z1 . z 2  | z1 | . | z 2 | . [ cos ( 1 + 2 ) + i sin ( 1 + 2 ) ]
2)  z1 
,  z2 
3)  z 
:n 
0
:
z1
| z1 |
=
. [ cos ( 1 - 2 ) + i sin ( 1 - 2 ) ]
z2
| z2 |
: z n = | z |n ( cos n + i sin n )
Stel | z | = 1, dan bekomt men : ( cos + i sin  ) n = cos n + i sin n
( Deze identiteit staat bekend onder de formule van de Moivre )
4) Als z = | z | cos (  + i sin  ), met z 
en   [ -  ,  [ , dan hebben
de n-de machtswortels van z de volgende gedaante :
n
z [ cos (
 + 2 k
n
k = 0 , 1 , ... , n - 1
) + i sin (
 + 2 k
n
) ], met n 
\
 0 , 1 en
Binomiale vergelijkingen :
De algemene gedaante van een dergelijke vergelijking is : z n = a met n 
0
,a 
De oplossingen vindt men in het vlak van Gauss terug als de hoekpunten van een regelmatige n-hoek.
7. Matrices
Definitie :
De algemene gedaante van een reële ( m x n ) – matrix is :
 a11


a
 m1
a1n 

 met a ij  , waarbij 1  i  m en 1  j  n
amn 
Het element a ij is het getal op de i-de rij en de j-de kolom.
De getransponeerde matrix :
Men bekomt deze door bij een matrix de rijen en de kolommen om te wisselen.
Bewerkingen met matrices :
1) De som
De som van 2 ( m x n ) – matrices is opnieuw een ( m x n ) – matrix waarvan elk
element gelijk is aan de som van de overeenkomstige elementen van de oorspronkelijke matrices.
Dus : als A + B = C, dan zal ( c ij ) = ( a ij ) + ( b ij )
2) Vermenigvuldigen van een matrix met een reëel getal :
Het product van een ( m x n ) – matrix met een reëel getal is een ( m x n ) – matrix
waarvan elk element gelijk is aan het product van het overeenkomstige element van de
gegeven matrix met dit reële getal.
3) Het product van 2 matrices :
Een dergelijk product van een ( m x n ) – matrix met een ( n x p ) – matrix is een ( m x p )matrix waarvan het element op de ij-de plaats gelijk is aan het product van de i-de rij van de
de eerste matrix met de j-de rij van de tweede matrix.
Stel : A = [ a ij ] 
mxn
, B = [ bij ] 
nxp
en A.B = [ cij ] 
mxp
:
n
cij = a i1 . b1j + a i2 . b 2j + ... + a in . b nj =
a
ik
. b kj
k=1
●) Eigenschap :  A 
mxn
:B 
nxp
: t( A . B ) = t B . t A
●) Verder merken we op dat het vermenigvuldigen van matrices NIET commutatief is.
8. Determinanten
Definities :
1)  A 
2x2
: det A = a11 . a
22
- a12 . a 21
2) De minor van een element a ij van een determinant D is het reële getal dat gelijk is aan het
product van (1)i+j met de determinant die overblijft als in D de i-de rij en de j-de kolom geschrapt worden. Men noteert voor deze minor : A ij .
3) Algemeen geldt voor een willekeurige ( n x n ) – matrix A :
det A = a i1Ai1 + a i2 Ai2 + a i3Ai3 + ... + a in Ain  det A
Dit is een ontwikkeling volgens de i-de rij. Het maakt niet uit volgens welke rij men ontwikkelt. Men kan ook ontwikkelen volgens een bepaalde kolom.
4) De regel van Sarrus voor een ( 3 x 3 ) – determinant :
a11
a12
a13
a 21 a 22
a 23 = a11a 22a 33 + a12a 23a 31 + a 21a 32a13 - a 22a13a 31 - a11a 23a 32 - a 33a12a 21
a 31 a 32
a 33
5) Een matrix A is regulier  det A  0
6) De rang van een matrix is het aantal rijen of kolommen van een reguliere deelmatrix met
een zo groot mogelijk aantal rijen of kolommen.
Eigenschappen :
1)  A 
nxn
: det ( t A ) = det A
2) Een determinant verandert van teken als men 2 rijen ( of kolommen ) verwisselt.
3) Een determinant met 2 evenredige rijen ( of kolommen ) = 0.
4)  A 
nxn
:r 
: det ( r.A ) = r n .det ( A )
5) Als bij een determinant een bepaalde rij ( of kolom ) een lineaire combinatie is van een
twee andere rijen ( of kolommen ), dan is de waarde van de determinant = 0.
6)  A , B 
nxn
7)  A 
: A -1 =
nxn
: det ( A . B ) = det A . det B
1
adjA ( met det A  0 ) Hierbij is adj A de geadjungeerde madetA
trix of de adjunct van A. Men bekomt deze door van elk element a ij de minor A ij te berekenen en dit getal op de j-de rij en de i-de kolom te plaatsen.
Als detA = 0, bestaat A-1 niet.
8)  A , B 
nxn
: ( A . B )-1 = B-1 . A-1
9) Een determinant vermenigvuldigt met als volgt met een reëel getal : men vermenigvuldigt
1 rij ( of kolom ) met dit getal.
9. Lineaire stelsels
Algemene gedaante :
 a11

A.X = T met A = 
a
 m1
a1n 


a mn 
 x1 
 
 x2 
, X =   en T =
 
 xn 
 
 
 t1 
 
 t2 
 
 
 tm 
 
 
Oplossingsmethodes :
1) De methode van Gauss
Hierbij gaat men de verhoogde matrix AT na een eindig aantal elementaire rijoperaties omvormen tot een matrix met een benedendriehoek die alleen uit nullen bestaat.
Vb. : stel dat men een ( 3 x 3 ) – stelsel wil oplossen. Dan heeft de verhoogde matrix
 a11

de volgende gedaante :  a 21
a
 31
a12
a13
a 22
a 23
a 32
a 33
t1 

t 2  . Na een eindig aantal elementaire rijt 3 
* * * *


operaties is deze matrix om te vormen tot  0 * * * 
0 0 * *


Deze elementaire rijoperaties zijn :
● ) het omwisselen van de i-de rij en de j-de rij, genoteerd R i
Rj
● ) het vermenigvuldigen van de i-de rij met een van 0 verschillend reëel getal k,
genoteerd k . R i
● ) het vermenigvuldigen van de i-de rij met een van 0 verschillend reëel getal k, nadien
wordt deze nieuwe rij opgeteld bij de j-de rij. Men noteert k . R i + R j
2) De methode van Cramer
Deze werkwijze kan men alleen toepassen als m = n en als A een reguliere matrix is.
Stel : m = n = 3, dan heeft men een ( 3 x 3 ) – stelsel met de gedaante :
a11 x + a12 y + a13 z = t1

a 21 x + a 22 y + a 23 z = t 2
a x + a y + a z = t
32
33
3
 31
Men berekent dan de volgende determinanten :
a11
a12
a13
D  a 21 a 22
t1
a12
a13
a 23 , D1  t 2
a 22
a 23
a 33
a 32
a 33
a 31
a 32
t3
a11
t1
a13
a12
t1
D 2 = a 21
t2
a 23 en D3  a 21 a 22
t2
a 31
t3
a 33
t3
a11
a 31
a 32
De oplossingen van het stelsel vindt men m.b.v. de formules van Cramer.

x =


Deze zijn :  y =


z =

D1
D
D2
D
D3
D
 t1   0 
   
 t2   0 
Als nu   =   , dan spreekt men van een homogeen stelsel.
   
   
 t  0
 n  
Een dergelijk stelsel heeft oneindig veel oplossingen  D = 0
Voorwaarden voor oplosbaarheid van stelsels :
1) ( m x n ) - stelsels
Een dergelijk stelsel is oplosbaar als en slechts als de rang van de coëfficiëntenmatrix gelijk
is aan de rang van de verhoogde matrix.
Dus : rang ( A ) = rang ( AT )  het stelsel heeft 1 of meerdere oplossingen.
2) ( n + 1 ) x n – stelsels
Voor een ( n + 1 ) x n – stelsel A . X = T beschouwen we de volgende determinant met
a11
a12
a1n
t1
a 21
a 22
a 2n
t2
a n+1,1
a n+1,2
a n+1,n
t n+1
orde n+1 : E =
Als de rang van A = n, dan geldt :
het stelsel heeft juist 1 oplossing  E = 0
Meetkundige toepassingen :
x1
1) de punten Pi ( x i , yi ) ( met i =1 , 2 , 3 ) zijn collineair  x 2
x3
y1 1
y2 1 = 0
y3 1
2) de rechten d i , met als vergelijking : u i x + vi y + w i = 0 ( met i = 1 , 2 , 3 ), zijn concurrent
u1
v1
w1
u2
v2
w2 = 0
u3
v3
w3
3) de oppervlakte van een driehoek
Stel : t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel heeft men de punten
Pi ( x i , yi ) met i = 1 , 2 , 3
De oppervlakte S van de driehoek gevormd door deze punten is :
x1
1
S = | x2
2
x3
y1 1
y2 1 |
y3 1
4) oppervlakte van een parallellogram
Stel : de punten Pi ( x i , yi ) , met i = 1 , 2 , 3 , 4 zijn de hoekpunten van een parallellogram
De coördinaat van deze 4 punten is gegeven t.o.v. een orthonormale basis.
De oppervlakte S van het parallellogram P1P2 P3P4 is dan :
x1
1
S = | x2
2
x3
y1 1
y 2 1 | Men mag om het even welk punt weglaten in deze determinant.
y3 1
10. Velden en reële vectorruimten
Definities :
1) Een veld
Stel : V   en we voeren 2 bewerkingen in : * en □. De structuur V,*,□ is een veld als de
volgende eigenschappen gelden :
)  v , w  V : v * w  V ( Inwendig en overal gedefinieerd )
)  u , v, w  V : u * ( v * w ) = u * v * w = ( u * v ) * w ( Associativiteit )
)  v  V :  ! n  V : v * n = v = n * v ( Neutraal element )
_
_
_
)  v  V :  ! v  V : v * v = n = v * v ( Symmetrisch element )
)  v ,w  V : v * w = w * v ( Commutativiteit )
)  v , w  V : v
w V
)  u , v , w  V : u
(v
)  v  V :  ! n  V : v
_
w)=u
v
n=v=n
_
)  v , w  V : v
v
* t.o.v.
w
v
v =n= v
)  u ,v , w  V : u * ( v
v)
_
)  v  V :  ! v  V : v
w=w
w=(u
w)=(u*v)
v
( u * w ) ( Distributiviteit van
)
2) Een reële vectorruimte
Stel : V is een niet-ledige verzameling waarvan we de elementen vectoren noemen. Bovendien kan men deze vectoren vermenigvuldigen met een reëel getal, de zogenaamde uitwendige
vermenigvuldiging. Daarnaast kunnen de vectoren worden opgeteld. Aldus bekomt met de
structuur
gelden :
, V , + Deze stelt een reële vectorruimte voor als de volgende eigenschappen
)  v , w  V : v + w  V
)  u , v , w  V : u + ( v + w ) = u + v + w = ( u + v ) + w
)  v  V :  ! 0  V : v + 0 = v = 0 + v
_
_
_
)  v  V :  ! v  V : v + v = 0 = v + v
)  v , w  V : v + w = w + v
)  r 
)  r , s 
)  r 
)  r , s 
:v  V:r.v  V
:v  V:r.(s.v)=(r.s).v
:v,w  V:r.(v+w)=r.v+r.w
:v  V:(r+s).v=r.v+s.v
)  v  V : 1 . v = v