Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650
Docent:
L. Habets
HG 8.09,
Tel: 040-2474230,
Email: [email protected]
http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2Y650
1
Eenheidsmatrix

1
0


0 1
In = 
. .
..
 ..

0 ···
···
..
.
..
.
0

0
.. 

.


0

1
• Neutraal element ten aanzien van matrixvermenigvuldiging
2
Reguliere matrix:
Een vierkante matrix A heet niet-singulier (ofwel regulier, ofwel
inverteerbaar) als er een matrix B bestaat zó dat
AB = BA = I.
Een matrix A heet singulier indien A niet inverteerbaar is.
3
Eigenschappen:
• Als een matrix A inverteerbaar is, dan is de inverse van A
uniek; notatie A−1 .
• Als A, B niet-singuliere n × n matrices zijn, dan
(AB)−1 = B −1 A−1 .
• Als A niet-singulier is, dan is ook A−1 niet-singulier, en
(A−1 )−1 = A.
• Als A niet-singulier is, dan is ook AT niet-singulier, en
(AT )−1 = (A−1 )T .
4
Beschouw een stelsel
Ax = b
van n lineaire vergelijkingen in n onbekenden.
Veronderstel dat A inverteerbaar is. Dan is
x = A−1 Ax = A−1 b
de unieke oplossing van dit stelsel.
5
Herhaling
• Een stelsel Ax = b heet niet-singulier (ofwel regulier) als het
stelsel precies één oplossing heeft.
• Een stelsel Ax = b heet singulier indien het stelsel geen enkele
oplossing heeft of meerdere oplossingen heeft.
Stelling: Voor een vierkante matrix A geldt dat Ax = b regulier is
voor iedere keuze van b, dan en slechts dan als de matrix A
regulier is.
6
Elementaire matrices

0 1 0




• Type I: permutatiematrices. Voorbeeld: E1 = 1 0 0

0 0 1
• Type II: Rijen vermenigvuldigen met een constante ongelijk


1 0 0



aan 0. Voorbeeld: E2 = 0 −2 0

0 0 3
• Type III: Een aantal maal de ene rij optellen bij een andere rij.


1 0 3



Voorbeeld: E3 = 0 1 0

0 0 1
7
Gevolg:
Een matrix B is rij-equivalent met A (d.w.z. B ontstaat uit A door
het uitvoeren van een eindig aantal elementaire rij-operaties), dan
en slechts dan als er elementaire matrices E1 , . . . , Ek zijn zó dat
B = Ek Ek−1 · · · E2 E1 A.
8
Stelling: Een elementaire matrix is inverteerbaar, en zijn inverse is
weer een elementaire matrix.
Gevolg: Voor iedere elementaire matrix E geldt dat het stelsel
Ax = b dezelfde oplossingen heeft als het stelsel EAx = Eb.
Gevolg: Als een matrix B rij-equivalent is met A, dan is A ook
rij-equivalent met B.
9
Lemma: Laat A een n × n matrix zijn, en veronderstel dat het
homogene stelsel Ax = 0 alleen de triviale oplossing x = 0 heeft.
Dan is A rij-equivalent met In .
Stelling: De matrix A is niet-singulier dan en slechts dan als A
een product is van elementaire matrices.
10
Samenvatting: Voor een n × n matrix A zijn de volgende
uitspraken equivalent:
1. A is niet-singulier
2. Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing
3. A is rij-equivalent met In
4. het stelsel Ax = b heeft een unieke oplossing voor elke keuze
van n × 1 matrix b
5. A is een product van elementaire matrices
11
Stelling: Een n × n matrix A is singulier dan en slechts dan als A
rij-equivalent is met een matrix B, die een rij met alleen nullen
bevat.
Gevolg: Als A en B n × n matrices zijn, en AB = In , dan geldt
ook BA = In , en dus B = A−1 .
12
Determinant:
Gegeven een n × n matrix A = (aij ). Dan is de determinant van A
het getal gedefinieerd door
X
det(A) =
(±)a1j1 a2j2 · · · anjn ,
waarbij j1, j2, · · · , jn een permutatie is van 1, 2, · · · , n.

det 
a11
a12
a21
a22

 = a11 a22 − a12 a21 .
13
Definiërende eigenschappen determinant:
1. De determinant hangt lineair af van de eerste rij van de matrix.
2. De determinant verandert van teken als twee rijen van de
matrix verwisseld worden.
3. De determinant van de eenheidsmatrix is 1.
14
Afgeleide eigenschappen determinant:
4. Als twee rijen van een matrix gelijk zijn, dan is de determinant
gelijk aan 0. (volgt uit 2.)
5. De determinant verandert niet als een veelvoud van een rij bij
een andere rij wordt opgeteld. (volgt uit 1. en 4.)
6. Als de matrix A een nulrij bevat, dan det(A) = 0. (volgt uit 1.)
15
7. Als A een onder- of bovendriehoeksmatrix is, dan is de
determinant van A het product van de diagonaalelementen van
A. (volgt uit 1., 5. en 3.)
8. det(A) = 0 dan en slechts dan als A singulier is. (volgt uit 5. en
2.)
9. det(AB) = det(A) det(B) (volgt uit 8., 7. en 5.)
10. det(AT ) = det(A) (volgt uit 9., 7., 2. en 3.)
16