Examen Hogere Wiskunde I Januari 2013

Examen Hogere Wiskunde I
Januari 2013
open vragen vraag 1:
Toon aan dat voor een willekeurige x,y ϵ Rn geldt:
!
!!!
!
! !
!+1 ! !
!
!
≤ Hint: merk op voor alle λ ϵ R geldt:
!
vraag 2:
!!!
!!!
!
! !
!+1 !
!
!!!
!
! ! !+1 !
!
(! !! )! ≥ 0
! + 1 !! !
Stel xn een rij is in R en lim!→! !! = −∞ . Er is een rij !! in R zodat voor alle n ≥
!
2013 geldt: !! + 7 ≤ !! .
Wat kan je concluderen ivm de limiet van !! ? Bewijs adhv de definitie van limiet.
vraag 3:
Letterlijk oefening 19 p345.
vraag 4:
De Cobb-Douglas productiefunctie wordt gedefinieerd als
!: !! × !! → !! : !, ! → !(!, !)
Stel dat Q homogeen is van graad 1 en continue partiele afgeleiden heeft tot minstens
de 2de orde. Stel dat
!"
!!!
!, ! ≥ 0 !" ! !, ! ≤ 0
!"
!!
voor alle elementen van !!! ×!!!
A) Wat betekenen deze ongelijkheden vanuit economisch standpunt?
B) Definieer de functies f en q:
!: ! → !: ! → ! ! = ! !, 1 !" !: ! → !: ! → ! ! = ! ! − !"′(!)
Bewijs dat !! ! ≥ 0 !" !!! ! ≤ 0 voor alle k ϵ !!!
C) Toon aan dat f een stijgende functie is en gebruik dit resultaat om aan te tonen dat
f(k) ≥ 0 voor alle k ϵ !! .
D) Schrijf een formule uit om Q(K,L) uit te drukken voor een willekeurige (K,L)
ϵ !! × !! in termen van q(k) door gebruik te maken van de homogeniteit van Q.
!
Hint: !, ! = !( ! , 1) voor alle elementen van !! × !!
E) Gebruik bovenstaande resultaten om aan te tonen dat:
!"
!!!
!!!
!, ! ≥ 0, ! !, ! ≤ 0 !" !, ! ≥ 0
!"
!!
!"!#
voor alle elementen van !!! ×!!!
vraag 5
Bestaan er een a,b ϵ R zodat volgend stelsel oneindig veel oplossingen heeft? Indien
ja: geef alle mogelijkheden voor a en b, indien nee, toon aan.
!" − ! + !" = 4
−! + 3! + ! = !
3! + ! + 5! = 1
vraag 6
A) toon aan met een voorbeeld dat er vierkante matrices bestaan verschillende van de
eenheidsmatrix en de nulmatrix waarvoor A=A2.
B) Wat kan je in het algemeen besluiten over de waarde van de discriminant van A?
multiple choice vraag 1
Stel A een 2013×2013 matrix, B de 2012×2012 matrix die men bekomt door de
1ste kolom en de 1ste rij van A te schrappen, C de 2013×2013 matrix die men bekomt
door bij het element van de eerste rij en eerste kolom 1 bij op te tellen. Welk
antwoord is fout?
a) Als B niet inverteerbaar is, is det(A)=det(C)
b) Als det(A) = det (C), is B niet inverteerbaar.
c) Als A en C niet inverteerbaar zijn, is B niet inverteerbaar.
d) Als B niet inverteerbaar is, zijn A en C niet inverteerbaar. (?)
vraag 2
stel !: !! → !. Welke uitspraak is fout?
a) Als n=1 en f is een lineaire functie, is f homogeen.
b) Als n=2 en f is een lineaire functie, is f homogeen.
c) Als n=1 en f is homogeen, is f een lineaire functie.
d) Als n=2 en f is homogeen, is f een lineaire functie.
vraag 3
! + 2! = ! !, !
, f is een continue functie.
!! + !! = 5
Dit stelsel heeft minstens 1 oplossing als
a) de rang van de coëfficientenmatrix gelijk is aan de rang van de gerande matrix
b) f continue partiële afgeleiden heeft
c) ! 1,2 = −1 !" ! 2,1 = 1
d) ! 1,2 = 4 !" ! 2,1 = 6
vraag 4
! !" !!
Wat kan je besluiten over de a en b in ! !" !! als de grafiek van deze functie er als volgt
uitziet:
a) ! < ! < 0
b) ! < ! over het teken van a en b kan niets gezegd worden
c) ! > ! > 0
d) ! > ! over het teken van a en b kan niets gezegd worden
vraag 5
Johan tekent de niveaulijnen van !: !! → !. Hij merkt dat het allemaal cirkels zijn
met als middelpunt (1,2). Welke bewering is juist?
a) ! !, ! = (! − 1)! + (! − 2)!
b) ! !, ! = ! (! − 1)! + (! − 2)! met van !: ! → !
c) deze vorm van niveaulijnen is onmogelijk
d) geen van bovenstaande beweringen is juist.
vraag 6
Voor z ϵ C geldt ! + !! = ! + !! , gegeven !! , !! ! !
a) geen
b) een eindig aantal
c) een oneindig aantal
d) hangt af van de waarden van !! , !!
mogelijke antwoorden MC
1D
2D
3B
4A
5B
6C