De stelling van Gödel

Gödel bepaalt het formele systeem
PM zijn de Principia Mathematica.
Deze vormen een formeel systeem voor de wiskunde.
Ze zijn beschreven door A.N. Whitehead and B. Russell.
Gödel benoemt R
R is een formule in PM.
Gödel benoemt R
Rn is de n-de formule R in PM.
( n behoort tot de natuurlijke getallen: n   )
Gödel benoemt R
Rn(n) is de n-de formule R met variabele n in PM.
( n behoort tot de natuurlijke getallen: n   )
Gödel benoemt R
Gödel noemt Rn(n) een klasseteken.
Gödel definieert K
K is de verzameling van natuurlijke getallen n ...
K={n}
Gödel definieert K
K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar ...
K={n|}
Gödel definieert K
K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de
formule Rn(n) ...
K = { n   | Rn(n)}
Gödel definieert K
K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de
formule Rn(n) niet ...
K={n|
(Rn(n))}
Gödel definieert K
K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de
formule Rn(n) niet bewijsbaar is ...
K = { n   | Bewijsbaar(Rn(n))}
Gödel definieert K
Volledig:
K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de
formule Rn(n) niet bewijsbaar is in het systeem PM.
K = { n   | Bewijsbaar(Rn(n))}
(1)
Gödel benoemt S
Er is een klasseteken S.
Gödel benoemt S
De formule S(n) stelt dat een natuurlijk getal n behoort tot K.
S(n)  n  K
En meer specifiek voor een natuurlijk getal q:
S(q)  q  K
Gödel benoemt S en Rq
Als klasseteken is S identiek met een specifieke Rq
voor een bepaald natuurlijk getal q, in formule:
S  Rq
Gödel benoemt S en Rq
En S(q) is identiek met Rq (q), in formule:
S(q)  Rq (q)
Gödels stelling
De propositie Rq(q) is onbeslisbaar in PM.
(Een propositie is een bewering)
Uitwerking van Gödels stelling
Stel dat de propositie Rq(q) bewijsbaar is, dan zou hij
ook waar zijn; maar dat betekent dat q tot K behoort,
en dus Bewijsbaar(Rq(q)) waar zou zijn, in
tegenstelling tot onze beginaanname.
In formule:
Bewijsbaar(Rq(q))  Rq(q)  S(q)  q  K  Bewijsbaar(Rq(q))
Uitwerking van Gödels stelling
Als echter de ontkenning van Rq(q) bewijsbaar zou
zijn, dan zou q niet behoren tot K, dat wil zeggen
Bewijsbaar(Rq(q)) waar zijn.
In formule:
Bewijsbaar(Rq(q))  (Rq(q))   (S(q))  q  K  Bewijsbaar(Rq(q))
Uitwerking van Gödels stelling
Rq(q) zou dan dus bewijsbaar zijn tegelijkertijd met
zijn ontkenning, wat onmogelijk is.
Reflexie over Gödels stelling
De analogie van dit resultaat en Richard's paradox is
opvallend; er is ook een nauwe verwantschap met de
paradox van de leugenaar, aangezien de onbeslisbare
propositie Rq(q) precies stelt dat q tot K behoort,
ofwel overeenkomstig (1), dat Rq(q) niet bewijsbaar
is.
Reflexie over Gödels stelling
We hebben dus een theorie, die zijn eigen
onbewijsbaarheid stelt.
De bewijsmethode, die we zojuist toepasten is
klaarblijkelijk toepasbaar voor elk formeel systeem
dat enerzijds voldoende expressief is om de
definiëring van de bovengenoemde concepten toe te
staan (in het bijzonder het concept "bewijsbare
formule") en waarin aan de andere kant alle
bewijsbare formules ook waar zijn.
Reflexie over Gödels stelling
Vanuit de opmerking dat Rq(q) zijn eigen
onbewijsbaarheid stelt volgt onmiddellijk dat Rq(q)
correct is, aangezien Rq(q) in feite onbewijsbaar is
(omdat hij onbeslisbaar is).
De stelling die onbeslisbaar is in het systeem PM
wordt dus beslist door metawiskundige
overwegingen. De exacte analyse van dit vreemde
feit leidt tot het verrassende resultaat over
consistentiebewijzen voor formele systemen.