Hoofdstuk 4 Toepassingen

Hoofdstuk 4 Toepassingen
1. Krommen beschrijven en tekenen.
Je hebt al gezien dat elk complex getal te schrijven is als z  re i .
Als we nu r en/of  laten variëren ontstaan er vlakke krommen.
Bijvoorbeeld de kromme z  3e it met variabele t geeft in het complexe vlak een cirkel weer met
straal 3 en middelpunt O(0,0).
Opgaven: 1. Teken de kromme z  te it met variabele t .
2. Teken de kromme z waarvoor geldt dat Re z  cos t en Im z  2 sin t met variabele t.
.
3t
 e it met variabele t  0.
t 1
3t
 e it met variabele t  0.
4. Teken de kromme z  2
t 1
3. Teken de kromme z 
2. Een meetkundig bewijs.
Op de zijden van een willekeurige vierhoek worden vierkanten geplaatst.
Bewijs dat de twee lijnen door de middelpunten van twee overstaande vierkanten loodrecht op
elkaar staan en even lang zijn.
We stellen ons de figuur voor in het complexe vlak.
De oorsprong van dat complexe vlak leggen we in een van de hoekpunten van de vierhoek en één
van de zijden laten we samenvallen met de reële as en geven we lengte 1.
De twee overige hoekpunten corresponderen met de complexe getallen v en w.
De middens van de vierkanten noemen we A, B, C en D.
Deze middens gaan we uitdrukken in v en w mbv onze kennis over complexe getallen..
Zie tekening hieronder.
C
w
v
B
D
0
1
A
19
Het complexe getal behorend bij punt A is: z A  12  12 i (waarom?).
Zo is het complexe getal behorend bij punt D: z D  12 v  12 iv (waarom?).
Punt C is niet zo eenvoudig uit te drukken in v en w.
We maken hiervoor gebruik van de regels voor optellen en aftrekken van vectoren (parallellogramwet).
A
B
O
Voor het midden M van het lijnstuk AB geldt: OM  12 (OB  OA) en voor de lengte van AM of BM
geldt dat deze gelijk is aan de lengte van de vector
1
2
(OB  OA) .
Passen we dit nu toe op punt C dan krijgen we voor het midden van v en w de uitdrukking 12 ( w  v) .
Zo is de lengte van 12 ( w  v) gelijk aan de halve lengte van de zijden van het vierkant om punt C en
is het complexe getal behorend bij punt C te schrijven als: z C  12 ( w  v)  12 i( w  v) (waarom?).
Tenslotte kunnen we voor punt B dezelfde redenering volgen als voor punt C.
We krijgen dan z D  12 ( w  1)  12 i( w  1) .
Kijken we nu naar de vectoren AC en BD dan kunnen we deze uitdrukken in v en w:
AC  OC  OA  12 (w  v)  12 i(w  v)  12  12 i  12 ( w  v  1)  12 i( w  v  1) en
BD  OD  OB  12 v  12 iv  12 (w  1)  12 i(w  1)  12 (w  v  1)  12 i(w  v  1)
Vermenigvuldigen we nu AC met i dan krijgen we BD (ga zelf na!).
Dat betekent dus dat AC loodrecht staat op BD en dat AC = BD (waarom?).
3. De harmonische trilling
20
In het onderwerp cirkelbewegingen (klas 5) kijken we naar een kogeltje Pt dat zich beweegt over de
eenheidscirkel met een zekere hoeksnelheid.
Op tijdstip t = 0 bevindt het kogeltje zich in punt Q.
Pt
Qt=0
t

Deze cirkelbeweging wordt gegeven door de volgende parametervoorstelling:
 x(t )  cos(t   )
waarbij  de hoeksnelheid in rad/sec is en  de fasehoek.

 y (t )  sin( t   )
De x-coördinaat van Pt beschrijft een zogenaamde harmonische trilling. Datzelfde geldt natuurlijk
ook voor de y-coördinaat van Pt.
Keren we nu terug naar onze complexe getallen dan kunnen we de cirkelbeweging van kogeltje Pt
eenvoudig beschrijven met behulp van een complexe functie.
Gaan we er van uit dat ons kogeltje zich op tijdstip t = 0 in punt Q bevindt en zich beweegt met een
hoeksnelheid van  rad/sec in positieve richting dus in t seconden een hoek aflegt van t radialen,
dan correspondeert deze draaiing met een vermenigvuldiging met e it .
Namelijk bij punt Q hoort het complexe getal z Q met z Q =1 en arg z Q   met andere woorden
we kunnen z Q schrijven als e i en vermenigvuldigen we z Q nu met e it dan krijgen we
zQ  e it  e i (tt  ) .
De cirkelbeweging wordt dus weergegeven door de functie f (t )  e i (t  ) .
Het reële deel van de functie is cos(t   ) en stelt de beweging van de x-coördinaat van het
kogeltje voor!
Opgaven: 1. Teken een deel van de cirkelbeweging gegeven door de functie
f (t )  e it met 0  t  1 .
2. Dezelfde vraag voor de functie f (t )  e
i (t  13 )
3. Dezelfde vraag voor de functie f (t )  e
i ( 12 t  13 )
met 0  t  1 .
met 0  t  1 .
4. Teken de grafiek van het reële deel van de functie
f (t )  e
1
1
2
3
i ( t 
)
met
0  t  4.
21