Hoofdstuk 6 6.1 Voegwoorden en hun betekenis “Jan is boos en hij

Hoofdstuk 6
6.1 Voegwoorden en hun betekenis
“Jan is boos en hij is verdrietig” bestaat uit twee zinnen “Jan is boos” en de zin “hij is verdrietig”.
Deze twee zinnen zijn door het voegwoord “en” samengebracht. Je kan hier “Jan is boos” en “Jan is
verdrietig” van maken. De waarheidswaarde van de gecombineerde zin hangt van beide zinnen af.
Propositielogica kent de volgende voegwoorden:
- En
- Of
- Als dan
- Desda
Niet
6.2 Waarheidstafels
Alles wat je voor de propositielogica nodig hebt zijn propositie letters en symbolen voor de
voegwoorden. De symbolen voor de voegwoorden noem je ook wel logische connectieven.
¬ betekent niet, en is eenplaatsig, als je p hebt en daar ¬p van maakt zeg je “het is niet zo dat p”.
^ is het teken voor “en”, soms gebruik je ook wel &. Je noemt dit het conjunctieteken.
V is het teken voor “of” en dit noem je het disjunctieteken.
→ is het teken voor “als dan”, ook wel het implicatieteken.
↔ is het teken voor “als en slechts als” of “desda” en noem je het equivalentie teken.
^, V, →, ↔ zijn tweeplaatsige connectieven.
Je noteert waar als “1” en onwaar als “0”. Je noemt (a ^ b) een conjunctie, en “a” en “b” noem je
conjuncten. Hieronder zie je alle waarheidstafels:
(a V b) noem je een disjunctie en “a” en “b” zijn de disjuncten. Een formule als (a → b) noem je
een materiële implicatie of kortweg een implicatie. Wat voor de pijl staat noem je de
“antecedent” wat erachter staat de “consequent”.
Hier zie je een waarheidstafel voor een complexe formule:
6.3 BNF Regels
Je kan de formele talen beschrijven met contextvrije herschrijfregels of
contextvrije productieregels. Dit is de Backus-Naur Form. Hiernaast
staat een voorbeeld.
Een herschrijfregel heeft een linker en een rechter kant die door het ::= symbool worden
gescheiden. De linkerkant is een enkel symbool en de rechterkant een rijtje van symbolen. Als aan
de rechterkant het | symbool staat dan geeft deze aan dat er een keuze uit één van de
mogelijkeheden gemaakt moet worden.
Hier een voorbeeld van hoe je de
voorbeeld grammatica uit zou kunnen
werken. Je noemt zo’n herschrijving een
afleiding. BNF heeft meerdere soorten
symbolen. Metasymbolen zijn de symbolen
die je gebruikt om aan te geven hoe de BNF
regel moet wroden gelezen. Dit zijn dus ::=
of |. De Hulpsymbolen zijn de symbolen die door de BNF herschreven worden zoals de A,B,C,D,Z,
enz. (de symbolen die dus “vervangen” worden door een betekenis). Als laatste zijn er de
eindsymbolen dit zijn de symbolen zoals, “man”, “vrouw”, “bemint”, enz. dus de symbolen die een
hulpsymbool vervangen. Hulp en eindsymbolen kunnen uit meerder tekens bestaan.
6.4 De syntaxis van de propositielogica
Je kan soms iets inductief of recursief noemen. Dit houdt het volgende in. Je noemt eerst een eindig
aantal elementen van een verzameling A, dit noem je de basisclausule van de definitie. Vervolgens
zeg je dat als je een element van A hebt en daar een bepaalde bewerking op uit voert dan is het
resultaat weer een element van A, dit noem je de recursie-clausule. Tenslotte zeg je dat behalve de
elementen die je op de vorige manier in een eindig aantal stappen kan vormen, A geen elementen
heeft, dit noem je de afslutingsclausule.
Een voorbeeld: 1 is een natuurlijk getal. Ten tweede: als iets een natuurlijk getal is, dan is het getal
dat je krijgt door 1 bij dat getal op te tellen ook een natuurlijk getal. Tenslotte: niets anders is een
natuurlijk getal.
Je kan hier ook een expliciete definitie voor geven. Dat wordt:
1. 1 is een natuurlijk getal.
2. Een natuurlijk getal +1 is een natuurlijk getal.
3. Niet anders is een natuurlijk getal.
Je kan op deze manier ook een formele taal T definieren. Dit
doe je door bijvoorbeeld een schema als dit te maken:
Je kan een formule dan invullen door het symbool φ of Ψ. Je
noemt deze symbolen dan de atomaire formules van T, of de
atomen van T noemen. Ψ of φ staan voor willekeurige
welgevormde formules (wffs) uit de taal T.
Je kan met dit systeem ook recusieve bewijzen uitvoeren, dit
doe je door een eigenschap E te maken die je wil bewijzen en te controleren of deze in het
basisgeval aanwezig is. Daarnaast kijkt je of door het toepassen van de recusieve clausule
eigenschap E bewaard blijft. Als dit zo is dan is bewezen dat eigenshap E voor alle elementen
geldt die je met de recursieve clausule kan maken. Je noemt de eerste controlestap de basisstap
en de tweede controlestap de inductiestap.
Je kan elke welgevormde formule ook ontleden, dit doe je niets anders dan nagaan op welke
manier die formule volgens de constructieregels in elkaar zit. Dit kan je doen door middel van
een constructie boom. Hier is een voorbeeld:
De knopen van een construcie boom zijn welgevormde
formules. Je kan uit de constructieboom de scope (ookwel
bereik) van de verschillende connectieven aflezen. Als
voorbeeld, de scope van het eerste negatie teken is (p^(q v ¬r))
en van het tweede negatie teken is de scope alleen r. Je kan dit
dus aflezen door te kijken naar de desbetreffende tak onder dat
connectief.
Naast deze constructiebomen zijn er ook structuurbomen. De
structuurboom van ((p v q) ^ r) is:
Voor ¬(p ∨ ¬q) is de boom: