Bewerkingen met getallen

Week 1: Intro
Vakken vullen
Thomas heeft een bijbaantje in de supermarkt. Woensdagavond moet
hij vakken vullen. Hij is bezig met blikken kattenvoer. Op het schap dat
hij moet vullen, passen 5 blikjes naast elkaar, 2 blikjes op elkaar en 4
blikjes achter elkaar.
 Hoeveel blikjes passen er in totaal in dit schap?
Toen Thomas begon met vullen was de achterste rij helemaal gevuld.
Daarnaast lagen er nog 3 losse blikjes.
 Hoeveel blikjes moet Thomas erbij zetten?
De blikjes zijn verpakt in plastic. Zo’n verpakking is 3 blikjes breed en
4 blikjes lang.
 Hoeveel verpakkingen heeft Thomas nodig om de schap vol te
maken?
Naast kattenvoer moet Thomas die avond ook soepblikken aanvullen.
Bij de champignonsoep passen nog 13 blikken, bij de tomatensoep 24,
bij de groentensoep 17 en bij de kippensoep nog 8.
 Hoeveel soepblikken moet Thomas in totaal aanvullen?
Aan het voorbeeld van Thomas is te zien dat berekeningen op veel plaatsen
voorkomen. Iedereen komt ermee in aanraking en het is erg handig als je zelf vaardig
bent in rekenen. De situatie van Thomas laat ook zien dat je niet altijd een
rekenmachine tot je beschikking hebt. Toch is het erg handig als je niet met onnodig
veel verpakkingen hoeft te zeulen, maar je van tevoren een inschatting kunt maken
hoeveel je nodig hebt.
We beginnen deze module met de meest basale onderdelen van het rekenen. De
bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen worden besproken en
grondig geoefend. Ook het tafeldictee krijgt deze week een plaats. Hoe beter je de
tafels kent, hoe gemakkelijker het rekenwerk in de komende weken is.
Basisvaardigheden
Onder basisvaardigheden verstaan we het rekenen tot 10, tot 20, tot 100 en de tafels
tot 10 (beter nog tot 12). Ook de kwadraten tot 20 behoren tot de standaarduitrusting.
Het rekenen tot 20 en de tafels moeten zodanig geautomatiseerd zijn, dat men
meteen de antwoorden weet op sommen uit die categorieën. Het rekenen tot 100
moet snel en uit het hoofd gedaan worden met een strategie.
Bij berekeningen is het handig om de getallen voor je te zien, bijvoorbeeld op een
getallen lijn. Hieronder zie je op 2 manieren hoe je dan de opgave 65 – 38 kunt ‘zien’.
(uit Wikirekenwiskundeonderwijs)
Bewerkingen met getallen
De meest bekende bewerkingen zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Daarnaast kun je ook denken aan machten en wortels.
Optellen en aftrekken.
Optellen: 5 + 3 =……;
37 + 22 = ……; 163 + 0 = ……:
Aftrekken is aanvullend optellen: 5 + …. = 8. Aftrekken noteer je zo: 8 – 5 = …
Elke aftrekking is te controleren met een optelling: 16 – 9 = 7, want 7 + 9 = 16
Optellen en aftrekken zijn omgekeerde bewerkingen, dat wil zeggen de ene is te
controleren met de andere bewerking.
Vermenigvuldigen en delen.
Vermenigvuldigen is een verkorte schrijfwijze van een herhaalde optelling:
7 + 7 + 7 = 3 x 7 en 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 6 x 15
Vermenigvuldigen: 3 x 7 = ….
Delen begint met invullen van het juiste getal: 3 x ….. = 24.
Delen noteer je zo: 24 : 3 = …
Elke deling is te controleren met een vermenigvuldiging: 36 : 4 = 9 want 9 x 4 = 36
Vermenigvuldigen en delen zijn omgekeerde bewerkingen.
Machtsverheffen:
Machtsverheffen is een verkorte schrijfwijze van een herhaalde vermenigvuldiging:
3 x 3 x 3 x 3 = 34 = 81; 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 106 is 1 miljoen
Machtsverheffen: 34 = 81; 7³ = 343 . Je rekent dit uit via de bijbehorende
vermenigvuldiging, dus 7³ = 7 x 7 x 7 = 49 x 7 = 343 (via 50 x 7 – 7; zie strategieën).
Apart noemen we een getal maal zichzelf, bijvoorbeeld 13 x 13 = 13² = 169. Dit is het
kwadraat van 13. Dus de tweede macht van een getal wordt meestal kwadraat
genoemd.
Opgave 1.1. Bereken.
a. 12 + 4
b. 8 + 9
c. 17 + 23
d. 34 + 18
e.
f.
g.
h.
17 – 5
23 – 8
47 – 17
145+167
Opgave 1.2
a. 5 x 6
b. 7 x 12
c. 24 : 6
d. 12 : 4
e.
f.
g.
h.
9x7
24 : 3
56 : 8
13 x 29
Opgave 1.3
a. 3 2
b. 6 2
c. 9 2
d. 12
e.
f.
g.
h.
33
24
44
17
Rekenstrategieën bij de verschillende bewerkingen
Optelstrategieën:
68 + 16 =
68 + 10+ 6 =
78 + 6 = 84
(door eerst een
gemakkelijk getal erbij
op te tellen, dus een
splitsing van 16 in 10
en 6)
68 + 16 =
68 + 2 + 14 =
70 + 14 = 84 (door
splitsing van 16 in 2 en
14 om zo een mooi
rond getal te krijgen en
daarbij 14 op te tellen)
12 + 39 =
39 + 12 =
39 + 10 + 2 =
49 + 2 = 51
(wisselen, zodat het grootste getal
vooraan staat dan 12 splitsen in een
rond getal plus de rest) Of na
wisseling een van de andere
strategieën gebruiken
68 + 16 =
68 + 12 + 4 =
80 + 4 = 84 (door
splitsing van 16 in 12
en 4 het tiental
volmaken tot 80 plus de
rest)
72 + 19 =
72 + 20 – 1 =
92 – 1 = 91
(het dichtstbijzijnde mooie getal nemen
en kijken hoe je een teveel of tekort
moet herstellen; hier één teveel erbij
opgeteld, dus min één)
Aftrekstrategieën:
78 – 19 =
78 – 10 –9 =
68 –9 =
68 – 8 – 1 =
60 – 1 = 59
(eerst 10 aftrekken, dan
9 splitsen in een handig
getal en de rest.)
78 – 19 =
78 – 18 –1 =
60 – 1 = 59
(een handig getal
nemen om af te trekken
en aanvullen wat er nog
gedaan moet worden;
hier nog één aftrekken)
78 – 19 =
78 – 20 + 1 =
58 + 1 = 59
(een mooi rond getal
nemen en kijken hoe je
een teveel of tekort
moet herstellen; hier
één teveel afgetrokken,
dus weer één erbij
opgeteld)
47 – 28 =
47 – 27 – 1 =
20 – 1 = 19
(handig om hier 27 af te
trekken, dan nog: –1 )
52 – 15 =
52 – 12 – 3 =
40 – 3 = 37
(net zo als de vorige);
52 – 15 =
52 – 10 – 5 =
42 – 5 = 37
Let op: ga niet teveel veranderen aan de som, dat vraagt teveel van je
werkgeheugen!
Opgave 1.4. Bereken. Laat steeds duidelijk zien welke strategie je hebt gebruikt.
a. 68 + 24
e. 44 + 29
b. 82 – 9
f. 18 + 83
c. 17 + 58
g. 141 – 77
d. 53 – 17
h. 234 – 167
Vermenigvuldigstrategieën:
12 x 6 =
6 x 12 =
5 x 12 + 1 x 12 =
60 + 12 = 72
(splitsen van 6 en beide
vermenigvuldigen met 12).
12 x 6 =
10 x 6 + 2 x 6
(splitsen van 12 in 10 en 2 en beide
vermenigvuldigen met 6)
Bij 11 x 18 is het handig om te rekenen via 10 x 18 plus 1 x 18. Dus hier 180 + 18 =
198
Net zoiets bij 9 x 23. Die reken je via 10 x 23 – 1 x 23 = 230 –23 = 217. (Dit is de
éénmaal meer / minder strategie)
Hier kan dat ook: 39 x 7 = 40 x 7 – 1 x 7 = 280 – 7 = 273
27 x 11 = 11 x 27 = net als boven: 10 x 27 + 1 x 27 = 297 (omkeerstrategie; bedenk
dat 27 groepjes van 11 hetzelfde totaal geeft als 11 groepjes van 27. Denk maar aan
een badkamermuur met 11 rijtjes van elk 27 tegels )
De volgende: 5 x 27 kan je eenvoudig uitrekenen via 10 x 27 en dan het antwoord
delen door 2 . Iets dergelijks kan ook met het uitrekenen van 4 x 36; dat kan via 2 x
36 en dan verdubbelen. ( Verdubbelings- / halveringsstrategie)
Handig rekenen: Kijk goed: 16 x 8 = 32 x 4 = 64 x 2 = 128 (een verdubbelen; ander
halveren) 16 groepjes van 8 komt overeen met 32 groepjes van 4 enz. Vandaar dat
dit kan bij vermenigvuldigen.
Opgave 1.5. Bereken. Laat steeds duidelijk zien welke strategie je hebt gebruikt.
a. 12 x 9
e. 53 x 19
b. 32 x 4
f. 39 x 21
c. 5 x 83
g. 32 x 14
d. 72 x 11
h. 95 x 48
Deelstrategieën:
En onthoud: een deling is altijd te controleren met een vermenigvuldiging.
98 : 2 = bijna 100 : 2 dus 98 : 2 = 50 – 1 = 49. Anders: 98 : 2 = (100 – 2) : 2 = de
helft van (100 – 2) = 50 – 1 = 49 En de controle: 49 x 2 = 98. Dus ’t klopt.
56 : 14 = 28 : 7 = 4 . Allebei de getallen delen door 2 geeft hetzelfde antwoord. Dat
geldt altijd bij delingen, als je telkens maar hetzelfde getal neemt om te delen of te
vermenigvuldigen. Stel dat je 18 appels verdeelt over 6 kinderen ( 18 : 6 ), dan kan je
ook twee groepjes van 9 appels verdelen over twee groepjes van 3 kinderen; 9 : 3.
Conclusie: 18 : 6 = 9 : 3 Beide getallen delen door 2.
65 : 13 = ?? “Speel eens wat met 65: verdubbeling geeft 130 en dat is 10 keer 13;
dus 65 : 13 = 5. Misschien zie je wel dat 13 het dubbele is van 6,5, dan zie je het ook
snel. 65 : 6,5 = 10, maar je deelt door een getal dat tweemaal zo groot is, dus het
antwoord is tweemaal zo klein.
Controleren via de vermenigvuldiging: 5 x 13 = 65 want dat is de helft van 10 x 13
Ook bij kommagetallen en breuken is het handig om eerst te kijken:
24 : 0,8 = 240 : 8 = 30 (beide getallen x 10); 42 : 3 12  84 : 7 = 12 (beide getallen x 2)
Soms is het splitsen van de deler een handige strategie.
440:20 = (440 : 10) : 2= 44 : 2 = 22.
Opgave 1.6. Bereken. Laat steeds duidelijk zien welke strategie je hebt gebruikt.
a. 38 : 0,5
d. 168 : 24
b. 70 : 14
e. 135 : 45
c. 12 : 23 
f. 36 : 4 12 
De volgorde van bewerkingen
Als er in een opgave meerdere bewerkingen voorkomen is de volgorde van
berekenen als volgt: eerst machtsverheffen, dan vermenigvuldigen en delen, dan
optellen en aftrekken in de volgorde zoals het staat.
Deze volgorde kan gewijzigd worden door het gebruik van haakjes. Tussen haakjes
eerst uitrekenen volgens de eerder genoemde volgorde.
Dus: 23 + 7 x 8 = 23 + 56 = 79
en niet: 30 x 8 = 240
15 – 7 + 21 = 8 + 21 = 29
en niet: 15 – 28 = -13
Voorbeelden:
1.
2.
3.
36 + 4 x 12 = 36 + 48 = 84
6 x ( 3 + 5² ) =
6 x ( 3 + 25) =
6 x 28 = 168
5 + 3( 2 x 5³ - 36) =
5 + 3( 2 x 125 – 36) =
5 + 3( 250 – 36) =
5 + 3 x 214 =
5 + 642 = 647
Opgave 1.7. Bereken.
a. 12  4  5
b. 8  3  3
c. 72 : (13  2  2)  2
e. 36 : 3  3
f. 23  2  4  8
g. 23  2  (4  8)
d. (2  4 2 )  3  3
h. (2  4) 2  3  3
Eigenschappen
Commutatieve eigenschap ( wisseleigenschap):
Bij optellen:12 + 15 + 28 = 12+ 28 + 15 ; de volgorde mag verwisseld worden.
Algemeen in letters: a + b = b + a (eerste getal plus tweede getal = tweede getal plus
eerste getal)
Bij vermenigvuldigen: 12 x 7 = 7 x 12 ; hier ook verwisseling van de volgorde.
Algemeen in letters a x b = b x a
De wisseleigenschap geldt voor optellen en vermenigvuldigen. Let op: niet voor
aftrekken en delen. Kijk maar:
Bij aftrekken 16 – 9 = 7 en 9 – 16 = -7 antwoorden zijn elkaars tegengestelde
Bij delen 24 : 6 = 4 en 6 : 24 = ¼ antwoorden zijn elkaars omgekeerde
Associatieve eigenschap (schakeleigenschap) :
Bij optellen: 37 + 75 + 25 = 37 + 100 = 137; je “parkeert” even 37 en telt de volgende
twee eerst op; dan tel je dat bij 37 op.
Algemeen in letters:( a + b ) + c = a + ( b + c) = ( a + c ) + b
Voorbeeld:
( 73 + 98) + 2 = 73 + (98 + 2) = 73 + 100 = 173
Bij vermenigvuldigen iets soortgelijks 8 x 4 x 25 = 18 x 100 = 1800.
Algemeen in letters: ( a x b) x c = a x (b x c )
Voorbeeld:
(17 x 8) x 12,5 = 17 x (8 x 12,5 ) = 17 x 100 = 1700
Let op bij aftrekken: (2  3)  5  2  (3  5)
(2  3)  5  2  (3  5)
Gebruik de opgedane kennis bij de volgende vraagstukken. Kijk eerst welke aanpak
handig is.
Automatiseren: Bereken. Doe dat slim!
1. 6798 + 1002 =
2. 3425 – 998 =
3. 88 x 36 + 36 x 12 =
1
4. 3 x 29 x 33 =
3
5.
6.
7.
8.
9.
6837 + 585 + 2163 =
(10 + 15 x 6 ) : 4 =
7 x 3² + 1284 + 37 =
27 : 0,09 =
11 3 =
2
1
10. 2  5 
5
2
Contextsommen
1. De buurtsuper krijgt een aantal pallets met wasmiddel om de voorraad
aan te vullen. Men had nog 67 pakken en er worden 24 pallets afgeleverd
met elk 36 pakken. Hoe groot is de voorraad van de buurtsuper na
aflevering van de pallets?
2. Bij darten start je met 501 punten. Elke keer als je gooit wordt je score
afgetrokken tot je precies op 0 uitkomt. Bram staat op 378 en gooit met zijn
drie pijltjes 17, 20 en 15. Wat is zijn stand aan het begin van de volgende
beurt?
3. Aan het eind van de maand krijg ik mijn loon als vakkenvuller bij de
buurtsuper. Ik heb deze maand 28 uur en een kwartier gewerkt.
Mijn uurloon is € 4,30. verder krijg ik als bonus een eenmalige uitkering
van € 17,50. Wat krijg ik aan het eind van die maand?
4. Mijn scooter rijdt 1 op 28. Ik heb in een week 425 km gereden. De
benzineprijs was toen € 1, 79 per liter. Wat was ik die week kwijt aan de
brandstof?
5. Telefoonaanbieder Adios heeft een starttarief van € 0, 36 en rekent per
minuut (of gedeelte ervan) € 0,16 ; voor telefoonaanbieder Bellenmaar
gelden de volgende bedragen: starttarief € 0,24 en per minuut of gedeelte
ervan € 0,18. Ik bel gemiddeld 840 minuten over 124 gesprekken. Bij welke
aanbieder ben ik het goedkoopste uit?
6. In een rol pepermunt zitten 15 pepermuntjes. Er gaan 320 rollen in een
doos en er staan 60 dozen op een pallet. In een vrachtwagen staan 48
pallets. Hoeveel pepermuntjes zitten er eigenlijk in zo’n vrachtwagen?
7. Tijdens het tennistoernooi op Wimbledon doen 256 deelnemers mee. Er
spelen telkens 2 spelers tegen elkaar; de verliezer valt af en de winnaar
gaat naar de volgende ronde. Het laatste tweetal speelt de finale, waaruit
de winnaar tevoorschijn komt. Hoeveel wedstrijden zijn er in de eerste
ronde van dat toernooi? En in de tweede ronde? En in totaal?