Schriftelijk rekenen (kolomsgewijs en cijferend)

Kennisbasis rekenen middenbouw
Hoofdrekenen
Wat is hoofdrekenen:
- Handig en flexibel rekenen op basis van bekende getal relaties en rekeneigenschappen.
- Uit het hoofde met het hoofd!
- Tijden het hoofdrekenen mogen kinderen gebruikmaken van pen en papier om korte
uitwerkingen te noteren.
- Hoofdrekenen is geen individuele activiteit; het met elkaar bespreken van manieren van
oplossen draagt ertoe bij dat kinderen steeds vaardiger worden in het gebruik van diverse
manieren van oplossen.
Kenmerken goede hoofdrekenaar zijn:
- Werkt met getalwaarden en niet met cijfers; de getallen worden bij het hoofdrekenen ‘in hun
waarde gelaten’.
- Maakt gebruik van rekeneigenschappen en getal relatie bijv.: verwisseleigenschap.
- Weet dat er verschillende manieren zijn om tot een oplossing te komen.
- Inzicht in positie op de getallenlijn
- Inzicht in de verschillende structureringsmogelijkheden van een getal als hoeveelheid.
- Je kunt schakelen van eenheid.
Drie vormen van hoofdrekenen
Rijgen:
- Begingetal blijft intact
- Sluit aan op (verkorte) tellen
- Laat verschillende oplossingsmethode toe
- De getallen blijven in hun eigen waarde
- Goed toepasbaar bij allerlei toepassingsopgaven, waarbij kinderen vaak situatiegebonden
werkwijzen gebruiken.
- Het werkgeheugen wordt minde belast (er kunnen tussen antwoorden genoteerd worden).
Voorbeeld:
Voorbeeld:
25 + 19 =
83 – 47 =
Voorbeeld:
24 x 8 =
24 + 24 = 48
48 + 48 = 96
96 + 96 = 192
Voorbeeld:
174 : 6 =
10 x 6 = 60
10 x 6 = 60 = 120
9 x 6 = 54
Antwoord: 29
Splitsen:
- Beide getallen splitsen in H, T, E
- Grote getallen
- Kolomsgewijs rekenen
- Cijferen
- Kans op fouten bij aftrekken over het tiental groot.
Voorbeeld:
Voorbeeld:
25 + 19 =
83 – 47 =
20 + 10 = 30
5 + 9 = 14
30 + 10 + 4 = 44
Voorbeeld:
24 x 8 =
20 x 8 = 160
4 x 8 = 32
160 + 32 = 192
80 – 40 = 40
3 – 7 = -4
40 – 4 = 36
Voorbeeld:
174 : 6 =
120 : 6 = 20
54 : 6 = 9
20 + 9 = 29
Varia:
- Getalinzicht
- Hoofdrekenen
- Schattend rekenen
Voorbeeld:
25 + 19 =
24 + 20 = 44
Voorbeeld:
24 x 8 =
48 x 4 =
96 x 2 = 192
Voorbeeld:
83 – 47 =
80 – 44 = 36
Voorbeeld:
174 : 6 =
180 : 6 = 30 - 1 x 6 = 29
Studiestof 11 t/m 65
Rekenen tot 20
Tellend rekenen:
Structurerend rekenen:
Formeel rekenen:
doortellen
Passend model bijv. eierdoos of rekenrek
Getallen als mentale objecten
Van tellend naar structurerend rekenen:
- Bedekken
- Flitskaarten/flitsbeelden
- Materiaal
Van structurerend naar formeel rekenen:
- Alleen eerste getal opzetten
- Geen getallen opzetten (alleen kijken)
- Geen rekenrek meer gebruiken
- Verwoorden van de rekenhandelingen.
Lijnmodel:
Groepjesmethode:
Combinatiemethode:
Kralenketting, getallenlijn
Turven, geld
eierdoos, rekenrek
Memoriseren = rekenfeiten uit het hoofd leren (rekenfeiten)
Automatiseren = routine matig uitvoeren (rekenhandelingen)
Rekenrek: (let op tekenmanier)
Voorbeeld: 8 + 5 (8 opzetten)
Voorbeed 8 + 5 (8 opzetten)
Voorbeeld 8 + 5 =
Voorbeeld 8 + 5 =
Het rekenrek geeft kinderen de mogelijkheid om aantallen te herkennen door gebruik te maken van
structuur. Het leren kennen en gebruiken van de getal beelden en bijbehorende structuren van het
rekenrek loopt in drie fasen:
Fase 1: Getallen opzetten op een rek
Fase 2: Kijken naar het rek
Fase 3: Denken aan het rek
Studiestof 111 t/m 141
Rekenen tot 100
M.A.B. = math artihmetic blocks -> blokjes en staafjes, goed bij splitsen voor zwakke rekenaars.
Reken tot 100 vormt de voedingsbodem van:
- Het verder rekenen met hele getallen
- Kommagetallen
- Verhoudingen
- Procenten
- Structuur van getallen
- Basale vaardigheden van het rekenen
- Inzicht in fundamentele rekenstrategieën
- Wiskundige houding
- Plezier in rekenen
Kerndoelen:
 De kinderen kunnen de telrij tot 100 opzeggen en vanaf ieder getal in dit domein door en
terug tellen. Dit geldt zowel voor de kleine telrij met enen (1,2,3…) als de grote telrij met
tienen (10,20,30…). Ook zijn de kinderen in staat om getallen tot 100 te positioneren op de
(bijn-) lege getallenlijn, te structureren in tientallen en eenheden, en te contextualiseren in
zinvolle situaties.
 Eind groep 4 hebben de kinderen ede optellingen en aftrekkingen tot 10 gememoriseerd en
tot 20 geautomatiseerd. Ze zijn dan in staat optel en aftreksommen tot 100, zowel kaal als in
toepassingen, op te lossen. Ze maken daarbij of gebruik van de lege getallenlijn, of noteren
tussenstappen in sommentaal, of rekenen helemaal uit het hoofd.
Tafels vermenigvuldigen
De realistische leergang voor het leren vermenigvuldigen:
- Eerste begripsvorming, introductie van vermenigvuldigen
Verkort tellen (2,4,6,8), structureren, groeperen, introductie en betekenis van keer,
introductie van tafels.
Verwisseleigenschap en verdeeleigenschap.
Modellen: rooster/rechthoek, ketting, getallenlijn, groepjes.
- Reconstructie en strategieën
Steunpunten ontwikkelen voor memoriseren
Strategieën: verwisselen/omkeren, verdubbelen en halveren, één keer meer en één keer
minderen.
- Vastleggen en reproduceren



Memoriseren/automatiseren door oefenen
Consolideren en beschikbaar houden
Blijven oefenen, ook via hoofdrekenen, schatten en cijferen. Inslijpen.
Tellend vermenigvuldigen op het eerste niveau is in feit geen vermenigvuldigen maar herhaal
optellen, de bewerking heeft nog geen eigen status.
Structurerend vermenigvuldigen: Het aanleren van verschillende contextsituaties bijv. lijn,
groepjes, rechthoek. Structuur brengen doormiddel van verschillende oplos manieren.
Bij formeel vermenigvuldigen wordt op getal niveau geredeneerd en gerekend, de modellen
worden niet meer gebruikt.
Fase
Begripsvorming
Reconstructie
Reproductie
Consolidatie en uitbreiding
Niveau
Tellend rekenen
Structurerend rekenen
Flexibel, formeel rekenen
Flexibel, formeel rekenen
Context = verhaal
Model = de manier waarop (groepjesmodel, sprongen op de getallenlijn, etc.)
Som = som (3 x 4)
Studiestof: 164 t/m 197
Schriftelijk rekenen (kolomsgewijs en cijferend)
Kolomsgewijs optellen (begin met 100-tallen)
463
382
700
140
5
845
Kolomsgewijs aftrekken (begin met 100-tallen)
845
382
500
-40
3
463
Te kort
Kolomsgewijs vermenigvuldigen
163
7
700
420
21
1141
Cijferend optellen (begin met eenheden)
1
463
382
845
Cijferen aftrekken (begin met eenheden)
71
845
382
463
Lenen
Cijferend vermenigvuldigen
4 2
163
7
1141
Kolomsgewijs delen
Waarom kolomsgewijs rekenen?
- Je rekent met getallen niet met cijfers
- Sluit aan bij de natuurlijke aanpak van kinderen bij vermenigvuldigen en delen
- Snel een goede schatting van het antwoord (voorwaarde voor gebruik van ZRM)
Zakrekenmachine
Voorwaarden kolomsgewijs rekenen?
- Decimaal opsplitsen van getallen
- Vlot uit het hoofd kunnen optellen
- Vlot samenvoegend kunnen rekenen (optellen van honderdtallen, tientallen en eenheden)
Studiestof: 199 t/m 230
Schattend rekenen
Wat is schattend rekenen?
Schattend rekenen is het rekenen met afgerond getallen of geschatte waarden met als resultaat een
globale uitkomst. In het dagelijkse leven speelt schatten een belangrijke rol.
- Het vergroot de maatschappelijke redzaamheid.
- Belangrijke grondslag voor gecijferdheid.
Twee belangrijke vormen van schattend rekenen
1. Schattend rekenen met af te ronden maar wel precies gegeven getallen (broden).
2. Schattend rekenen zonder volledige gegevens.
Wanneer ga je schattend rekenen?
- Als je iets niet precies hoeft te weten
- Als je het niet precies kunt uitrekenen
- Om een berekening te ondersteunen
Hoe leren kinderen schattend rekenen?
- Psychologische veiligheid (ordelijke sfeer, duidelijke sociale regels).
- Cognitieve veiligheid (duidelijk uitleg die leerlingen houvast geeft).
Leerlijn schattend rekenen:
- Afronden van getallen
- Schattend + / - Schattend x / :
- Schattend rekenen met onvolledige gegevens
De leerlijn schattend rekenen
1. Afronden van getallen
2. Schattend optellen en aftrekken
3. Schattend vermenigvuldigen en delen
4. Schattend rekenen met onvolledige gegevens
Informeel schatten rekenen = In deze fase kunnen de leerlingen uitkomsten globaal bepalen zonder
dat ze daarbij de afrondingsregel hanteren.
Bijv. Zoeken van de best passende ronde getallen voor een schatting.
Regel geleid schattend rekenen = In deze fase komen de leerlingen tot de standaard afrondingsregel
voor het opereren van getallen en leren ze deze toepassen.
Bijv. Schatten met een afgerond getal en bepalen of het antwoord hoger of lager is dan de schatting.
Flexibel schattend rekenen = In deze fase zijn de leerlingen in staat meer genuanceerde
schataanpakken toe te passen bij het opereren met getallen.
Bijv. Schat het antwoord ongeveer. 7312 : 23 =
Studiestof 233 t/m 255
Rekenmachine
In de einddoelstelling ligt de nadruk op het praktische gebruik, namelijk de rekenmachine als
rekenhulpmiddel om lastige en tijdrovende bewerkingen uit te voeren.
Om de rekenmachine goed te kunnen gebruiken moeten een aantal stappen uitgevoerd worden:
1. Organisatie van de berekening. De leerlingen denken na over de berekening die gemaakt
moet worden.
2. Notatie in een rekenschema. Het opschrijven van de rekenhandelingen.
3. Weten hoe de rekenmachine rekent. Niet alle rekenmachines rekenen op dezelfde wijze
omdat de ene machine de getallen in volgorde verwerkt waarin ze zijn gegeven en de andere
machine geeft bijvoorbeeld voorrang aan het vermenigvuldigen boven optellen.
4. Gebruik van de cijferknoppen. Het getal moet op de juist manier worden ingevoerd niet zoals
je het zegt maar zoals je het schrijft.
5. Schattend meerekenen. De berekening wordt uitgevoerd door de rekenmachine terwijl de
leerling schattend meerekent end e uitkomst controleert.
6. Interpretatie van het antwoord. De leerling moet zelf betekenis geven aan het getal in het
venster in relatie tot de vraag. Bijvoorbeeld bij een deling met rest.
Getallen en getal relaties
Reeks van fibonatie
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
het oude + het nieuwe getal = het volgende getal in de reeks van fibonatie.
Driehoeksgetallen
Hoe groot is het 12e driehoeksgetal?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 =
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78
En het 100e driehoeksgetal?
Driehoek van Pascal
Eigenschappen van bewerkingen
 De commutatieve of verwisseleigenschap: je mag de volgorde van de factoren verwisselen
(bijv. 5+7 -> 7+5)
 De associatieve eigenschap: bij optellen en vermenigvuldigen van 3 of meer getallen kun je
de volgorde bepalen (bijv. 5x63x2 -> 5x2x63, bijv. 17+35+23 -> 17+23+35).
 Distributieve eigenschap: verdeel eigenschap, splitsen. (bijv. 12x5 -> 10x5 2x5 bijv. 64:4 ->
40:4 24:4)
 Inverse relatie: Tegenovergestelde (bijv. 713x85:85 = 713, bijv. 1375+1927-1927= 1375).
+
=
X
=
:
2
=
wortel
Wiskundige modellen
Een wiskundig model is een wiskundige beschrijving of een schematische weergave van een systeem,
vaak met doel om systematische analyse mogelijk te maken. De beschrijving concentreert zich
daarbij op een bepaald aspect, bijvoorbeeld de structuur, het gedrag, of bepaalde soorten
eigenschappen; niet relevante details worden weggelaten. De aard van een wiskundig model hangt
helemaal af van het soort systeem en de te beschrijven aspecten.
Functies van modellen:
- Visualiseren van wiskundige relaties
- Hulp bij het uitrekenen
- Grip krijgen op structuren
- Inzicht krijgen in bewerkingen
Voorbeelden zijn:
- De getallenlijn
- Tegeltjesplein (rechthoek model)
- Kansboom
- Verhoudingstabel
Perfect of volmaakt getal
Een perfect of een volmaakt getal is een (positief natuurlijk) getal dat gelijk is aan de som van zijn
echte delers (het getal zelf doet niet mee, 1 wel).
Bijv. 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 62 + 124 + 248