Definities, stellingen en methoden uit David Poole`s ”Linear Algebra

Definities, stellingen en methoden uit David
Poole’s ”Linear Algebra A Modern Introduction Second Edtion” benodigd voor het tentamen
Matrix Algebra 2
Bob Jansen
Inhoudsopgave
1 Vectoren
3
2 Stelsels Lineaire Vergelijkingen
3
3 Matrices
3
4 Eigenwaarden en Eigenvectoren
4.1 Inleiding in Eigenwaarden en Eigenvectoren . . . .
4.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Eigenwaarden en Eigenvectoren van n × n matrices
4.4 Gelijksoortigheid en Diagonalisatie . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
4
6
7
5 Orthogonaliteit
5.1 Orthogonaliteit in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Orthogonale complementen en orthogonale projecties .
5.3 Het Gram-Schmidt Proces en de QR factorisatie . . .
5.4 Orthogonale diagonalisatie van symmetrische matrices
5.5 Toepassingen: Kwadratische vormen . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
10
11
11
12
6 Vectorruimten
.
.
.
.
14
7 Afstand en benadering
15
7.1 In-product ruimtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.2 Norm en Afstands Functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
Vectoren
Nog niets . . .
2
Stelsels Lineaire Vergelijkingen
Nog niets . . .
3
Matrices
Nog niets . . .
3
4
4.1
Eigenwaarden en Eigenvectoren
Inleiding in Eigenwaarden en Eigenvectoren
Definitie: Laat A een n × n matrix zijn. Een scalair λ wordt een
eigenwaarde van A genoemd als er niet-nul vector x is zodat
Ax = λx. Zo’n vector x wordt een eigenvector van A behorend
bij λ genoemd.
Definitie: Laat A een n × n matrix zijn en λ een eigenwaarde van
A. De verzameling van alle eigenvectoren behorend bij λ, samen
met de nul vector wordt de eigenruimte van λ genoemd en wordt
geschreven als Ek .
4.2
Determinanten


a11 a12 a13
Definitie: Laat A =  a21 a22 a23  zijn. Dan is de determia31 a32 a33
nant van A de volgende scalair:
a
a11 22
a32
det A = |A| = a21 a23 a
a23 − a12 + a13 21
a33
a31 a33
a31
a22 a32 Definitie: Laat A = aij een n × n matrix zijn, met n ≥ 2. Dan is
de determinant van A de scalair
det A = |A| = a11 det A11 − a12 det A12 + . . . + (−1)1+n a1n det A1n
=
n
X
(−1)1+j a1j det A1j
j=1
Stelling 4.1 De Laplace Expansie Stelling
De determinant van een n×n matrix A = aij , met n ≥ 2, kan als volgt berekend
worden
n
X
det A = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . ain Cin =
aij Cij
j=1
de
(wat de cofactor expansie langs de i
rij is) en ook als
det A = a1j C1j + a2j C2j + . . . anj Cnj =
n
X
i=1
(de cofactor expansie langs de j de kolom)
4
aij Cij
Stelling 4.2 De determinant van een driehoeksmatrix is het product van de
elementen op zijn hoofddiagonaal. In het bijzonder, als A = aij een vierkante
n × n driehoeksmatrix is dan:
det A = a11 a22 . . . ann
Stelling 4.3 Laat A = aij een vierkante matrix zijn.
a. Als A een nulrij (kolom) heeft, dan det A = 0.
b. Als B verkregen is door het verwisselen van 2 rijen (kolommen) van A, dan
det B = det A.
c. Als A 2 identieke rijen (kolommen) heeft, dan det A = 0.
d. Als B verkregen is door het vermenigvuldigen van een rij (kolom) van A met
k, dan det B = k det A.
e. Als A, B en C gelijk zijn behalve dat de ide rij (kolom) van C de som is van
de ide rijen (kolommen) van A en B, dan det C = det A + det B.
f. Als B verkregen is door optellen van een veelvoud van 1 rij (kolom) van A
met een andere rij (kolom), dan det B = det A.
Stelling 4.4 Laat E een elementaire matrix zijn.
a. Als E resulteert uit het verwisselen van 2 rijen van In , dan det E = −1.
b. Als E resulteert uit het vermenigvuldigen van 1 rij van In met k, dan det E =
k.
c. Als E verkregen is door optellen van een veelvoud van 1 rij van In met een
andere rij, dan det E = 1.
Stelling 4.5 Laat B een n × n matrix zijn en laat E een elementaire matrix
zijn. Dan
det(EB) = (det E)(det B)
Stelling 4.6 Een vierkante matrix A is inverteerbaar als en alleen als
det A 6= 0
Stelling 4.7 Als A een n × n matrix is, dan
det(kA) = k n det A
Stelling 4.8 Als A en B n × n matrices zijn, dan
det(AB) = (det A)(det B)
Stelling 4.9 Als A inverteerbaar is, dan
det(A−1 ) =
1
det A
Stelling 4.10 Voor elke vierkante matrix A,
det A = det AT
5
Stelling 4.11 Cramers Regel Laat A een inverteerbare n × n matrix zijn en
laat b een vector in Rn . Dan is er een unieke oplossing x voor het stelsel Ax = b
gegeven door
xi =
det(Ai (b))
det A
voor alle i = 1, . . . , k
Stelling 4.12 Laat A een inverteerbare n × n matrix zijn. Dan
A−1 =
1
det A adj
A
Stelling 4.13 Laat A n × n matrix zijn. Dan
a11 C11 + . . . a12 C12 + . . . + a1n C1n = det A = a11 C11 + . . . a21 C21 + . . . + an1 Cn1
Stelling 4.14 Laat A n × n matrix zijn en B een matrix verkregen door het
verwisselen van 2 willekeurige rijen (kolommen) van A. Dan
det B = − det A
4.3
Eigenwaarden en Eigenvectoren van n × n matrices
De eigenwaarden van een vierkante matrix A zijn precies de oplossingen van de
vergelijking
det(A − λI) = 0
Laat A een n × n matrix zijn.
1. Bereken de karakteristieke polynoom det(A − λI) van A.
2. Vind de eigenwaarden van A door het oplossen van de karakteristieke vergelijking det(A − λI) = 0 voor λ.
3. Voor elke eigenwaarden λ, vind de nulruimte van de matrix A − λI. Dit is
de eigenspace E − λ, waarvan de niet-nul vectoren de eigenvectoren van A zijn
behorend bij λ.
4. Vind een basis voor elke eigenruimte.
Stelling 4.15 De eigenwaarden van een driehoeksmatrix zijn de elementen op
de hoofddiagonaal.
Stelling 4.16 Een vierkante matrix is inverteerbaar als en alleen als 0 geen
eigenwaarde van A is.
Stelling 4.17 De Fundamentele Stelling van de Inverteerbare Matrices: Deel 3
Laat A een n × n matrix zijn. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:
a. A is inverteerbaar.
b. Ax = b heeft een unieke oplossing voor elke b in Rn .
c. Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing.
d. De gereduceerde rij echelon vorm van A is In .
e. A is een product van elementaire matrices.
6
f. rank(A) = n
g. nulliteit(A) = 0
h. De kolomvectoren van A zijn lineair onafhankelijk.
i. De kolomvectoren van A spannen Rn .
j. De kolomvectoren van A vormen een basis voor Rn .
k. De rijvectoren van A zijn lineair onafhankelijk.
l. De rijvectoren van A spannen Rn .
m. De rijvectoren van A vormen een basis voor Rn .
n. det A 6= 0
o. 0 is geen eigenwaarde van A.
Stelling 4.18 Laat A een vierkante matrix met eigenwaarde λ en bijbehorende
eigenvector x zijn.
a. Voor elke positieve integer, n, is λn een eigenvector van An met bijbehorende
eigenvector x.
b. Als A inverteerbaar is, dan is 1/λ een eigenwaarde van A−1 met bijbehorende
eigenvector x.
c. Voor elke integer, n, is λn een eigenvector van An met bijbehorende eigenvector x.
Stelling 4.19 Stel dat een n×n A matrix de eigenvectoren v1 , v2 , . . . , vm heeft
met bijbehorende eigenwaarden λ1 , λ2 , . . . , λm . Als x een vector in Rn die uitgedrukt kan worden als een lineaire combinatie van deze eigenvectoren–zeg,
x = c1 v1 + c2 v2 + . . . + cm vm
dan voor elke integer k,
Ak x = c1 λk1 v1 + c2 λk2 v2 + . . . + cm λkm vm
Stelling 4.20 Laat A een n × n matrix zijn en laat λ1 , λ2 , . . . , λm verschillende
eigenwaarden van A met bijbehorende eigenvectoren v1 , v2 , . . . , vm zijn. Dan is
v1 , v2 , . . . , vm lineair onafhankelijk.
4.4
Gelijksoortigheid en Diagonalisatie
Definitie: Laat A en B n × n matrices zijn. We zeggen dat A is
gelijksoortig met B als er een inverteerbare n × n matrix P is
zodat P −1 AP = B. Als A gelijksoortig is met B schrijven we
A ∼ B.
Stelling 4.21 Laat A, B en C n × n matrices zijn dan:
a. A ∼ A.
b. Als A ∼ B, dan B ∼ A.
c. Als A ∼ B en B ∼ C, dan A ∼ C.
Stelling 4.22 Laat A en B n × n matrices zijn met A ∼ B. Dan:
a. det A = det B.
7
b.
c.
d.
e.
A
A
A
A
is inverteerbaar als en alleen als B inverteerbaar is.
en B hebben dezelfde rang.
en B hebben dezelfde karakteristieke polynoom.
en B hebben dezelfde eigenwaarden.
Definitie: Een n × n matrix A is diagonaliseerbaar als er een
diagonale matrix D is zodat A gelijksoortig is met D, oftewel, er
is een inverteerbare n × n matrix P zodat P −1 AP = D.
Stelling 4.23 Laat A n × n matrix. Dan is A diagonaliseerbaar als en alleen
als A uit n lineair onafhankelijke eigenvectoren bestaat.
Meer precies, er bestaat een inverteerbare matrix P en een diagonale matrix
D zodat P −1 AP = D als en alleen als de kolommen van P n lineaire eigenvectoren van A zijn en de diagonale elementen van D de eigenwaarden van A
behorend bij de eigenvectoren van P in dezelfde volgorde.
Stelling 4.24 Laat A n × n matrix zijn en laat λ1 , λ2 , . . . , λk verschillende
eigenwaarden
van ASzijn. Als Bi een basis is voor de eigenruimte van Eλ , dan
S
S
B = B1 B2 . . . Bk (oftewel, de gehele verzameling van basisvectoren van
alle eigenruimte) is lineair onafhankelijk.
Stelling 4.25 Als A een n × n matrix zijn met n verschillende eigenwaarden,
dan is A diagonaliseerbaar.
Stelling 4.26 Als A een n × n matrix is, dan is de geometrische multipliciteit
van elke eigenwaarden kleiner of gelijk aan zijn algebraı̈sche multipliciteit.
Stelling 4.27 De Diagonalisatie Stelling Laat A een n × n matrix zijn met
de verschillende eigenwaarden λ1 , λ2 , . . . , λk . Dan zijn de volgende uitspraken
equivalent:
a. A is diagonaliseerbaar
b. De vereniging B van de basissen van de eigenruimtes van A (zoals in Stelling
4.24) bevat n vectoren.
c. De algebraı̈sche multipliciteit van elke eigenwaarden is gelijk aan de geometrische multipliciteit.
8
5
5.1
Orthogonaliteit
Orthogonaliteit in Rn
Definitie: Een verzameling vectoren {v1 , v2 , . . . vk } in Rn wordt
een orthogonale verzameling genoemd als voor alle verschillende
paren vectoren in de verzameling geldt dat ze orthogonaal zijn.
Dit is zo, als vi • vj = 0 met i 6= j voor i, j = 1, 2, . . . , k
Stelling 5.1 Als {v1 , v2 , . . . , vk } een orthogonale verzameling vectoren is in
Rn , dan zijn deze vectoren lineair onafhankelijk.
Definitie: Een orthogonale basis voor een subspace W van Rn
is een basis voor W die een orthogonale verzameling is.
Stelling 5.2 Laat {v1 , v2 , . . . , vk } een orthogonale basis zijn voor de subspace
W van Rn , en laat w een vector in W zijn. Dan bestaan er unieke scalairen
zodat
w = c1 v1 + . . . ck vk
gegeven door
ci =
w•vi
vi •vi
voor i = 1, . . . , k
Definitie: Een verzameling vectoren in Rn is een orthonormale
verzameling als het een orthogonale verzameling van eenheidsvectoren is. Een orthonormale basis voor een subspace W van
Rn is een basis voor W die een orthonormale verzameling is.
Stelling 5.3 Laat {q1 , q2 , . . . , qk } een orthogonale basis zijn voor de subspace
W van Rn , en laat w een vector in W zijn. Dan
w = (w • q1 )q1 + (w • q2 )q2 + . . . + (w • qk )qk
en deze uitdrukking voor w uniek
Stelling 5.4 De kolommen van een m × n matrix Q vormen een orthonormale
verzameling als en alleen als QT Q = In
Definitie: Een n × n matrix Q waarvan de kolommen een orthogonale verzameling vormen wordt een orthogonale matrix genoemd.
Stelling 5.5 Een vierkante matrix Q is orthogonaal als en alleen als Q−1 =
QT .
9
Stelling 5.6 Stel Q is een orthogonale n × n matrix. Dan zijn de volgende
beweringen gelijk:
a. Q is orthogonaal.
b. ||Qx|| = ||x|| voor elke x in Rn .
c. Qx • Qy = x • y voor elke x en y in Rn .
Stelling 5.7 Als Q een orthogonale matrix is, dan zijn de rijen een orthonormale set.
Stelling 5.8 Stel Q is een orthogonale matrix.
a. Q−1 is orthogonaal.
b. det Q = ±1
c. Als λ een eigenwaarde van Q is, dan |λ| = 1
d. Als Q1 en Q2 orthogonale n × n matrices zijn dan is Q1 Q2 dat ook.
5.2
Orthogonale complementen en orthogonale projecties
Definitie: Laat W een subspace van Rn zijn. We zeggen dat een
vector v in Rn orthogonaal op W is als v orthogonaal is tot elke
vector in W . De verzameling van alle vectoren die orthogonaal zijn
op W wordt het orthogonale complement van W genoemd,
genoteerd met W ⊥ . Dat is:
W ⊥ = {v in Rn : v • w = 0 voor alle w in Rn }
Stelling 5.9 Laat W een subspace van Rn zijn.
a. W ⊥ is een subspace van Rn .
⊥ ⊥
b. (WT
) =W
c. W W ⊥ = {0}
d. Als W = span(w1 , . . . , wk ), dan zit v in W ⊥ als en alleen als v • wi = 0
voor alle i = 1, . . . , k
Stelling 5.10 Laat A een m × n matrix zijn. Dan is het orthogonale complement van de rijruimte van A gelijk aan de nulruimte van A, en het orthogonale
complement van de kolomruimte van A gelijk aan de nulruimte van AT :
(row(A))⊥ = null(A) en (col(A))⊥ = null(AT )
Definitie: Laat W een subspace van Rn zijn en laat {u1 , . . . , uk }
een orthogonale basis zijn voor W . Voor elke vector v in Rn , is
de orthogonale projectie van v op W gedefineerd als
•v
projW (v) = ( uu11•u
)u1 + . . . +
1
uk •v
uk •uk )u1
Het complement van v orthogonale op W is de vector
perpW (v) = v − projW (v)
10
Stelling 5.11 De Orthogonale Decompositie Stelling
Laat W een subspace van Rn zijn en laat v een vector zijn in Rn . Dan bestaan
er unieke vectoren w in W en w⊥ zodat
v = w + w⊥
Stelling 5.12 Als W een subspace van Rn is dan:
(W ⊥ )⊥ = W
Stelling 5.13 Als W een subspace van Rn is dan:
dim W + dim W ⊥ = n
Stelling 5.14 De Rang Stelling
Als A een m × n matrix is, dan:
rank(A)+ nulliteit(A) = n
5.3
Het Gram-Schmidt Proces en de QR factorisatie
Stelling 5.15 Het Gram-Schmidt Proces
Laat {x1 , . . . xk } een basis zijn voor de subspace W van Rn en defineer het
volgende:
v1 = x1
W1 = span(x1 )
•x2
)v
,
W2 = span(x1 , x2 )
v2 = x2 − ( vv11 •v
1
1
v2 •x3
v1 •x3
W3 = span(x1 , x2 , x3 )
v3 = x3 − ( v1 •v1 )v1 − ( v2 •v2 )v2 ,
..
.
v2 •xk
k
vk = xk − ( vv11•x
•v1 )v1 − ( v2 •v2 )v2 − . . .
k−1 •xk
−( vvk−1
•vk−1 )vk−1 ,
Wk = span(x1 , . . . , xk )
Dan voor elke i = 1, . . . , k, {v1 , . . . vi } is een orthogonale basis voor Wi . In het
bijzonder, {v1 , . . . vi } is een orthogonale basis voor W .
Stelling 5.16 De QR factorisatie
Laat A een m × n matrix zijn met lineair onafhankelijk vectoren. Dan kan A
gefactoriseerd worden als A = QR, met Q een m × n matrix met orthonormale
kolommen en R een inverteerbare bovendriehoeksmatrix.
5.4
Orthogonale diagonalisatie van symmetrische matrices
Definitie: Een vierkante matrix A is orthogonaal diagonaliseerbaar
als er een orthogonale matrix Q bestaat en een diagonale matrix
D zodat QT AQ = D
11
Stelling 5.17 Als A orthogonaal diagnonaliseerbaar is, dan geldt A is symmetrisch.
Stelling 5.18 Als A een reëele symmetrische matrix is, dan zijn de eigenwaarden van A reëel.
Stelling 5.19 Als A een symmetrische matrix is, dan zijn de elke twee eigenvectoren behorend bij verschillende eigenwaarden van A orthogonaal.
Stelling 5.20 De Spectrum Stelling
Laat A een reëele matrix zijn. Dan is A symmetrisch als en alleen als A orthogonaal diagonaliseerbaar is.
5.5
Toepassingen: Kwadratische vormen
Definitie: Een kwadratische vorm in n variablen is een functie
f : Rn → R van de vorm
f (x) = xT Ax
met A een symmetrische n × n matrix en x uit Rn . We noemen
A de matrix behorend bij f .
Stelling 5.21 De Principele Assen Stelling
Elke kwadratische vorm kan gediagonaliseerd worden. In het bijzonder, als A
een n × n symmetrische matrix is behorend bij de kwadratische vorm xT Ax en
als Q een orthogonale matrix is zodat QT AQ = D is een diagonale matrix, dan
transformeert de verandering van de variable x = Qy de kwadratische vorm van
xT Ax in de kwadratische vorm yT Dy, met geen enkele kruisproduct term. Als
de eigenwaarden van A λ1 , . . . λn zijn en y = [y1 , . . . yn ]T , dan
xT Ax = yT Dy = λ1 y12 + . . . λn yn2
Definitie: Een kwadratische vorm f (x) = xT Ax wordt op ëën van
de volgende wijze gekwalificeerd:
1. positief definiet als f (x) > 0 voor alle x 6= 0.
2. positief semidefiniet als f (x) ≥ 0 voor alle x.
3. negatief definiet als f (x) < 0 voor alle x 6= 0.
4. negatief semidefiniet als f (x) ≤ 0 voor alle x.
5. indefiniet als f (x) zowel positieve als negatieve waarden aanneemt.
Een symmetrische matrix A wordt positief definiet, positief
semidefiniet, negatief definiet, negatief semidefiniet of indefiniet
genoemd als de kwadratische vorm f (x) = xT Ax voldoet aan de
bijbehorende eigenschap.
12
Stelling 5.22 Laat A een symmetrische n × n matrix zijn. De kwadratische
vorm f (x) = xT Ax is
a. positief definiet als en alleen alle eigenwaarden van A positief zijn.
b. positief semidefiniet als en alleen als alle eigenwaarden van A niet-negatief
zijn.
c. negatief definiet als en alleen alle eigenwaarden van A negatief zijn.
d. negatief semidefiniet als en alleen als alle eigenwaarden van A niet-positief
zijn.
e. indefiniet als en alleen als A zowel positieve als negatieve eigenwaarden heeft.
Stelling 5.23 Laat f (x) = xT Ax de kwadratische vorm zijn behorend bij de
symmetrische n × n matrix A zijn. Laat de eigenwaarden van Aλ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥
λn zijn. Dan is het volgende waar, onder voorwaarde dat ||x|| = 1:
a. λ1 ≥ f (x) ≥ λn
b. De maximum waarde van f (x) is λ1 en is te vinden door voor x de eenheids
eigenvector behorend bij λ1 in te vullen.
b. De minimum waarde van f (x) is λn en is te vinden door voor x de eenheids
eigenvector behorend bij λn in te vullen.
13
6
Vectorruimten
Niet behandeld en geen onderdeel van het tentamen. d·` ·b
14
7
7.1
Afstand en benadering
In-product ruimtes
Definitie: Een in product op een vectorruimte V is een bewerking
die elk paar vectoren u en v in V een reëel nummer hu, vi toewijst
zodat de volgende eigenschappen gelden voor alle vectoren u, v
en w in V en alle scalairen c.
1. hu, vi = hv, ui
2. hu, v + wi = hu, vi + hu, wi
3. hcu, vi = chu, vi
4. hu, ui ≥ 0 en hu, ui = 0 als en alleen als u = 0
Stelling 7.1 Laat u, v en w vectoren zijn in een inproduct ruimte V en laat c
een scalair zijn.
a. hu, v + wi = hu, vi + hu, wi
b. hcu, vi = chu, vi
c. hu, 0i = h0, ui = 0
Definitie: Laat u en v vectoren zijn in een
p inproduct ruimte V .
1. De lengte (of norm van v is ||v|| = hv, vi.
2. De afstand tussen u en v is d(u, v) = ||u − v||.
3. u en v zijn orthogonaal als hu, v + wi = 0.
Stelling 7.2 De Stelling van Pythagoras
Laat u en v vectoren zijn in een inproduct ruimte V . Dan zijn u en v orthogonaal als en alleen als
||u + v||2 = ||u||2 + v||2
Stelling 7.3 De Cauchy-Scharz Ongelijkheid
Laat u en v vectoren zijn in een inproduct ruimte V . Dan
|hu, vi| ≤ ||u||v||
De vergelijking is alleen gelijk als en alleen als u en v scalaire veelvouden van
elkaar zijn.
Stelling 7.4 De Driehoeks Ongelijkheid
Laat u en v vectoren zijn in een inproduct ruimte V . Dan
||u + v|| ≤ ||u|| + v||
15
7.2
Norm en Afstands Functies
Definitie: De norm van een vector ruimte V is een transformatie
die uit iedere vector v een reëel nummer ||v|| maakt, dit wordt
de norm van v genoemd, zodat aan de volgende voorwaarden
voldaan wordt voor alle vectoren u, v en w in V en alle scalairen
c:
1. ||v|| ≥ 0, en ||v|| = 0 als en alleen als v = 0.
2. ||cv|| = |c| ||v||
3. ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
Een vector ruimte met een norm wordt een genormeerde lineaire ruimte genoemd.
Stelling 7.5 Laat d een afstandsfunctie zijn gefineerd op een genormeerde lineaire ruimte V . Dan gelden de volgende eigenschappen voor alle vectoren u, v
en v in V :
a. d(u, v) ≥ 0, en d(u, v) = 0 als en alleen als u = v.
b. d(u, v) = d(v, u)
c. d(u, w) ≤ d(u, v) + d(v, w)
Definitie: Een matrix norm op Mnn is een transformatie die uit
iedere n × n matrix A een reëel nummer ||A|| maakt, dit wordt
de norm van A genoemd, zodat aan de volgende voorwaarden
voldaan wordt voor alle matrices A en B en alle scalairen c:
1. ||A|| ≥ 0, en ||A|| = 0 als en alleen als A = O.
2. ||cA|| = |c| ||A||
3. ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||
4. ||AB|| ≤ ||A|| ||B||
Een matrix norm op Mnn wordt compatibel genoemd met een
vector norm ||x|| op Rn als, voor alle n × n matrices A en alle
vectoren ||x|| in Rn , geldt
||Ax|| ≤ ||A|| ||x||
Stelling 7.6 Als ||x|| een vector norm op Rn , dan ||A|| = max||x||=1 ||Ax|| een
matrix norm op Mnn definieert die compatibel is met de vector norm door wie
hij opgewekt is.
Definitie: De matrix norm ||A|| in Theorem 7.6 wordt de operator norm opgewekt door vector norm ||x|| genoemd.
Stelling 7.7 Laat A een n × n matrix zijn met kolomvectoren xi en rijvectoren
Ai , voor i = 1, . . . , n.
a.
||A||1 = max {||xj ||s } = max
j=1,...,n
j=1,...,n
16
( n
X
i=1
)
|aij |
b.
||A||∞ = max {||xi ||s } = max
i=1,...,n

n
X
i=1,...,n 
j=1


|aij |

Definitie: Een matrix A is gevoelig als kleine veranderingen in
zijn elementen grote veranderingen in de oplossingen Ax = b kan
veroorzaken. Als kleine veranderingen slechts kleine veranderingen in de oplossingen van Ax = b veroorzaken wordt A ongevoelig
genoemd.
17