Afstanden meten met de Parallax methode

AFSTANDEN METEN MET DE PARALLAX METHODE
Rupert Genseberger
Centrum voor Didactiek van Wiskunde en Natuurwetenschap
Universiteit Utrecht (Nederland)
Samenvatting
Hoe is het mogelijk dat sterrenkundigen afstanden in het heelal weten tot plaatsen waar
zij helemaal niet kunnen komen? Deze workshop zal de deelnemers inzicht geven in de
parallaxmethode, waarmee de basis is gelegd voor het meten van afstanden in het
heelal. Deze methode is gebaseerd op de triangulatie methode die op aarde wordt
gebruikt.
We beginnen buiten: de deelnemers zullen met behulp van triangulatie de afstand tot
een voorwerp meten waar ze zelf niet kunnen komen. Ze zullen daarbij eenvoudige
instrumenten gebruiken die ze zelf maken. Berekeningen zijn niet nodig, de afstanden
kunnen gevonden worden op meetkundige wijze.
Verder bouwend op deze methode en meting, ontwikkelen we inzicht in de parallax
methode. We zullen zien hoe ze toegepast wordt om basis afstanden in het heelal te
vinden, van de maan tot de dichtstbijzijnde sterren.
Inleiding
Deze serie activiteiten helpen om te begrijpen hoe afstanden in het heelal gemeten
kunnen worden met de parallaxmethode. Deze methode is, net als verscheidene andere
methodes voor het meten van afstanden, gebaseerd op het principe dat een driehoek
volledig bekend is met slechts drie van zijn elementen. Daarom worden dit triangulatie
methodes genoemd. Ze worden gebruikt door landmeters om een kaart van een gebied
te maken. Om deze methodes te begrijpen is het niet nodig om berekeningen te maken
of iets van goniometrie af te weten. We hoeven alleen hoeken te meten en de lengte op
te meten van een basislijn die wél binnen ons directe bereik ligt. Daarna maken we een
tekening op schaal. Om te meten hebben we twee instrumenten nodig (een hoekmeter en
een meetlint) en een liniaal, een gradenboog en een potlood om te tekenen. Dat is alles!
We beginnen met een buitenactiviteit, het meten van de afstand tot een voorwerp (een
boom, een huis) zonder daar werkelijk naar toe te gaan, net zoals landmeters dat doen.
1
Het zal duidelijk worden dat er praktisch enkele problemen zijn om dezelfde methode
toe te passen aan de hemel. Er zal een andere methode worden voorgesteld om een
driehoek te bepalen, met gebruikmaking van het fenomeen van parallax. Ook deze
methode zal eerst in de eigen omgeving gebruikt worden. Daarna wordt getoond hoe
men met deze methode de afstand heeft bepaald tot de maan, enkele planeten en de
dichtstbijzijnde sterren.
Bepaling van de afstand door middel van triangulatie
Je hebt een hoekmeet instrument nodig (het professionele instrument heet een theodoliet
en wordt gebruikt door landmeters), één of twee stokken, ongeveer even lang als jezelf
en een meetlint.
A

C’
C
B

Nu gaan we uitleggen hoe we de afstand meten in een situatie zoals hierboven geschetst.
Stel je voor dat je van A naar B kunt lopen, maar dat je de boom niet kunt bereiken,
bijvoorbeeld omdat er een rivier is tussen jou en de boom. De truc is dat je de vorm en
de afmetingen van de driehoek ABC bepaalt. Als je AB (de basislijn) meet en de twee
hoeken  (BAC) en  (ABC), is de hele driehoek bekend. Je kunt zien dat wanneer
de boom verder weg is (C’) de hoek bij C kleiner wordt en de vorm van de driehoek
verandert.
Activiteit 1: Bepaling van een echte afstand door triangulatie
Markeer twee plekken A en B, bijvoorbeeld door twee stokken loodrecht in de
grond te zetten. De punten A en B vormen samen met de boom in punt C een
driehoek. Meet de afstand AB met het meetlint.
Ga nu bij A staan en meet BAC met je hoekmeetinstrument door naar de boom
te kijken en naar de stok bij B. Ga dan naar punt B en meet ABC. Je weet nu
de lengte van één zijde van de driehoek – onze basislijn – plus de hoeken bij de
basislijn.
Construeer nu op papier de driehoek ABC op schaal. Door gebruik van een
liniaal en de schaal kun je eenvoudig de afstand van ieder punt van de basislijn
tot de boom berekenen.
Vragen.
a. Als de afstand tot het voorwerp groter wordt en de basislijn blijft hetzelfde, laat dan
zien dat de twee hoeken  en  steeds meer aan elkaar gelijk worden. Wat is het
gevolg voor de metingen en de berekeningen van de afstand?
b. Laat zien dat je dit probleem kunt oplossen op twee manieren: door de basislijn
langer te maken of door een nauwkeuriger hoekmeter te gebruiken.
c. Stel je voor dat je op deze manier de afstand tot de maan zou willen meten. In dat
geval heb je een hele lange basislijn nodig. Hoe lang zou die ongeveer moeten zijn?
Wat zal nu een praktisch bezwaar zijn tegen de triangulatie methode?
2
Een aftstand bepalen door parallax
Hoewel de triangulatie methode een slimme methode is en veel wordt gebruikt op aarde
door landmeters, is ze niet bruikbaar wanneer het voorwerp erg ver weg staat zoals
objecten aan de hemel. In dat geval kunnen we de parallax methode gebruiken, een
speciale triangulatie methode. Eerst introduceren we de methode in onze omgeving.
Het parallax principe
Activiteit 2: het Parallax verschijnsel
Als je een vinger voor je houdt en afwisselend met je linker en rechter oog
bekijkt, lijkt hij ten opzichte van de achtergrond te verschuiven. Dit is het
Parallax verschijnsel
Activiteit 3: grotere en kleiner parallax
Hou je vinger voor je neus en kijk naar een voorwerp dichtbij. Kijk afwisselend
met één van beide ogen en merk hoever je vinger schijnbaar tussen links en
rechts verschuift. Hou nu je vinger een beetje verder weg en kijk weer
afwisselend met één van beide ogen. De parallax verschuiving is nu minder dan
het eerst was. Breng je vinger nog verder weg van je ogen en de parallax
verschuiving wordt nu zelfs nog kleiner.
We kunnen de volgende regel afleiden: hoe verder weg het voorwerp staat, des te
kleiner is de parallax, en het omgekeerde, hoe kleiner de parallax, hoe verder weg het
voorwerp staat.
Dit is de sleutel tot het meten van afstanden van voorwerpen om ons heen, van
voorwerpen die slechts enkele decimeters van ons afstaan tot sterren ver weg in de
ruimte. In feite moeten we weer een driehoek construeren, maar op een manier die
enigszins verschilt van de vorige, door gebruik te maken van het verschijnsel parallax.
We gebruiken daarbij een markering die in dezelfde richting staat als het voorwerp
waarvan we de afstand willen bepalen.
Hoe we parallax kunnen gebruiken om een afstand te meten.
Eerst passen we de parallax methode toe om de afstand van je ogen te bepalen tot een
vinger die je met gestrekte arm voor je houdt. Kijk met één oog naar de vinger en zoek
een markering op de muur of buiten die zich precies achter je vinger bevindt. Onthoudt
die markering, kijk nu met je andere oog naar je vinger. Achter je vinger zal nu een
ander markeringspunt zijn. De situatie is zoals in de tekening hieronder. Als je nu naar
de markeringstekens kijkt zonder naar je vinger te kijken, kun je de hoek  meten met
je hoekmeter.
Markeringen
Ogen
Vinger
▪
(o

(o
0
β

▪
▪
▪
▪
▪
3
In deze tekening is   iets groter dan  β, maar hoe verder de markeringen weg zijn,
des te meer worden  en β gelijk aan elkaar (Laat dit zelf zien).
Als je nu aanneemt dat   = β, weet je ook de tophoek van de driehoek die gevormd
wordt door je twee ogen en je vinger. Als je deze driehoek als een gelijkbenige driehoek
beschouwt, met de afstand tussen je ogen als basislijn, kun je de hele driehoek op schaal
tekenen en met hulp van een liniaal, de afstand meten tussen je ogen en je vinger.
Activiteit 4: bepaling van de afstand tot je vinger met gebruikmaking van parallax
We gaan nu het zojuist beschreven experiment uitvoeren.
- Hou je arm gestrekt met je vinger omhoog. Je kunt markeringen op de muur
van het lokaal gebruiken, of markeringen die je door het raam buiten kunt
zien.
- Meet de afstand tussen je ogen met een liniaal.
- Meet β met je hoekmeetinstrument.
- Maak een tekening op schaal en bepaal daaruit de afstand tussen je ogen en
je vinger.
- Controleer het antwoord door de afstand direct met een liniaal of meetlint te
meten.
Activiteit 5: bepaling van een echte afstand buiten door parallax te gebruiken.
Nu doen we een soortgelijke activiteit buiten met de boom die je in activiteit 1
gebruikte om de afstand te bepalen. Deze keer gebruik je niet de afstand tussen
je ogen als basislijn, maar een grotere afstand, zoals de afstand tussen A en B.
Zowel in A als in B moet een waarnemer zoeken naar een ver verwijderd
voorwerp (aan de horizon) dat schijnbaar direct achter de boom zit. Ze vertellen
elkaar welk object ze op één lijn met de boom hebben gezien, dan kunnen ze
allebei direct de hoek meten tussen deze twee markeringspunten. Het meten van
de basislijn met het meetlint geeft de driehoek, die weer op schaal getekend kan
worden en van waaruit de afstand tot de boom kan worden afgeleid.
Merk op dat deze methode ook werkt als de twee waarnemers in A en B elkaar niet
kunnen zien! Ze hoeven alleen allebei in staat te zijn om de boom te zien en dezelfde
markeringen aan de horizon. Dus is deze methode ook nuttig in de sterrenkunde voor
het meten van grote afstanden, maar de basislijn moet wel heel groot zijn, bijvoorbeeld
de diameter van de aarde.
Parallax in de sterrenkunde
1. Afstand tot de Maan
De parallax methode is in de sterrenkunde het eerst gebruikt om de afstand tot de maan
te bepalen. Een succesvolle meting is al in de tweede eeuw v.Chr. gedaan door
Hipparchus. Hij gebruikte waarnemingen van de zonsverduistering van 14 maart 189 v.
Chr. Getuigen ervan die vlak bij de Hellespont woonden, de smalle zeestraat in het
noordwesten van Turkije, vertelden dat de verduistering totaal was. Getuigen in
Alexandria daarentegen zagen slechts viervijfde deel van de zonneschijf bedekt door de
schijf van de maan. Hipparchus nam aan dat de zon ver genoeg weg stond om
gedurende de enkele minuten van de verduistering te dienen als vaststaande achtergrond
om de parallax van de maan te meten. Dus was de parallaxverschuiving van de maan
vanwege het afstandsverschil van de waarnemingspunten op aarde ongeveer 1/5 van de
diameter van de zon. We zien de zon onder een hoek van ongeveer 0,5, dus de
parallaxverschuiving van de maan bij een basislijn van Hellespont tot Alexandria is
4
ongeveer 0,1. Al combinerend vond Hipparchus hieruit de afstand van de aarde tot de
maan: tussen de vijfendertig en eenenveertig aardediameters. De werkelijke waarde is
ongeveer dertig aardediameters. Heel dicht in de buurt dus, zeker wanneer we bedenken
dat dit meer dan 2000 jaar geleden was uitgevoerd.
2. Afstand tot Mars
Tussen 1671-1673, hebben Cassini en Richer de parallax methode gebruikt om de
afstand tot Mars te bepalen. Zij gebruikten het moment dat Mars zo dicht mogelijk bij
de aarde was. Cassini bleef in Parijs, Richer ging naar het Cayenne moeras in Frans
Guyana (Zuid Amerika) om metingen te doen.
Vragen over de benodigde condities om de afstand tot Mars te bepalen.
Maak met tekeningen duidelijk dat de twee waarnemers Richer and Cassini
- Zo ver mogelijk bij elkaar vandaan moesten zijn
- De sterren als merktekens moesten gebruiken
- Hun waarnemingen op precies hetzelfde moment moesten doen.
- Hun waarnemingen moesten doen toen Mars zo dicht mogelijk bij de aarde was.
Welke problemen zie je bij het bepalen van de afstand tot de maan of Mars op deze
manier?
Cassini combineerde de metingen van Richer met zijn eigen metingen in Parijs en kon
de parallax berekenen wat betreft de afstand Parijs - Cayenne, de basislijn. Dit leverde
direct op de afstand tot Mars, die het mogelijk maakte om de afstand tot de zon te
berekenen met de wetten van Kepler.
Flamsteed, een Engelse astronoom, gebruikte in dezelfde periode ook de parallax
methode om de afstand tot Mars te bepalen, maar hij deed het wat anders. Hij gebruikte
een oude methode die was uitgevonden door Tycho Brahe en die het hem mogelijk
maakte in Engeland te blijven. De truc was om de positie van de planeet te bepalen ten
opzichte van sterren die in de buurt staan, vier uur vóór en na de meridiaandoorgang,
zoals in onderstaande figuur geïllustreerd is. De waarnemer in D meet de positie van
Mars in A en A’, zonder parallax zou die van B naar B’ zijn verplaatst. (Uiteraard moet
Mars in een positie zijn dat deze meting werkelijk mogelijk is.)
Dagelijkse parallax van Mars (van Helden, 1985)
5
De afstand Aarde – Zon was al eerder berekend; Copernicus vond 3 miljoen km, Tycho
Brahe 8 miljoen km, Kepler meer dan 20 miljoen km. Cassini vond 140 miljoen km.
Flamsteed vond een vergelijkbare afstand tot de zon als Cassini. Deze enorme afstand
was een bron van verbazing, maar hoewel de getallen van Cassini niet zo heel
nauwkeurig waren en niet iedereen het ermee eens was, bleek het de beste methode tot
dan toe te zijn.
De dagelijkse parallax van planeten
Op twee plaatsen op Aarde, A en B, bepalen twee astronomen gelijktijdig de positie van
een planeet P tegen de achtergrond van ver verwijderde voorwerpen. Wanneer ze de
positie van A en B weten, is het mogelijk om de hoek  te bepalen (de dagelijkse
parallax) waaronder iemand vanaf planeet P de straal R van de Aarde bij de equator
ziet. Deze moeilijke berekening vereist een nauwkeurige kennis van de vorm van de
Aarde.
3. Afstand tot de sterren.
De dagelijkse parallax zoals gemeten door Cassini e.a. bedroeg ongeveer 9  0.0025.
Om de parallax van de sterren te bepalen, die verder weg staan dan de zon, was het
duidelijk dat het nodig was een basis te gebruiken die zelfs groter was dan de diameter
van de aarde. Men kan de jaarlijkse parallax daarvoor gebruiken. Zie de volgende
figuur.
6
Jaarlijkse parallax van de sterren.
De beweging van een dichtbij staande
ster S, ten opzichte van ver verwijderde
sterren, zoals gezien vanaf de aarde E
die om de Zon draait (resp. posities E1
en E2, op tijdstippen waar hier ongeveer
6 maanden 6 maanden tussenligt).
De baan van de Aarde, die bijna
cirkelvormig is, is hier in perspectief
getekend.
De jaarlijkse parallax is de hoek ,
waaronder men, vanaf de ster, de straal
van de baan van de Aarde ziet (meer
precies, de halve as van zijn baan,
oftewel de Astronomische Eenheid van
afstand, de AE).
Maar Cassini en zijn collega astronomen slaagden er niet in een parallax te vinden voor
zelfs maar één ster! Dit werd gedurende lange tijd gezien als een argument tegen een
zon – gecentreerd wereldbeeld, omdat men het als onmogelijk beschouwde dat de
sterren zo ver weg stonden dat men de jaarlijkse parallax niet zou kunnen meten. De
volgende activiteit maakt duidelijk waarom dat een redelijke gedachte was.
Activiteit 6: Waarom het zo lang duurde voor een sterparallax werd gevonden.
Beschouw in de volgende berekeningen de ster S loodrecht boven het vlak van zon en
de baan van de aarde om de zon: SCE = 90
a. Laat zien dat als de jaarlijkse parallax  = 45, de afstand van de zon tot de ster S
gelijk is aan 1 AE.
b. Laat zien dat als van een ster S  = 1, de afstand tot de zon ongeveer 57 AE is.
c. Tycho Brahe was in staat, zelfs zonder telescoop, hoeken te meten van 0,005, maar
er werden zelfs geen sterren met deze kleine jaarlijkse parallax gevonden. Bereken
hoe ver de sterren dan tenminste van de zon af moesten staan (in AE, gebruik bij de
berekening het antwoord van B).
d. Cassini kon hoeken van ongeveer 0,001 meten, maar ook hij vond geen parallax.
Als de sterren inderdaad zo ver weg waren betekende dit dat de ruimte
onvoorstelbaar leeg zou zijn! Het bleef een sterk argument tegen een zon –
gecentreerd wereldbeeld.
7
e. Tussen 1830 en 1840 slaagden drie sterrenkundigen, Bessel, Struve en Henderson,
erin voor het eerst de jaarlijkse parallax van een ster te meten. Een ster in
sterrenbeeld de Zwaan bleek een parallax te hebben van 0.0001 (ongeveer 0.35).
Dit maakte het mogelijk voor het eerst de afstand tot een ster te bepalen!
Bereken deze afstand in AE, gebruik daarvoor het antwoord van c.
f. Zij maten ook de afstand tot  Centauri, die we nu kennen als de ster die het dichtst
bij de zon staat. De jaarlijkse parallax bleek 0.76 te zijn. Wat is de afstand van deze
ster tot de zon in AE?
Activiteit 7: Meten van de parallax van een ster met behulp van fotografie
Om de parallax te meten, worden foto’s van een klein deel van de sterrenhemel gemaakt
met behulp van een telescoop. Hieronder staan tekeningen volgens twee foto’s van
hetzelfde deel van de sterrenhemel met een periode van 6 maanden ertussen.
De hele fotografische plaat heeft een afmeting van 1/3 boogseconde (1/3 ), dus
ongeveer 0.0001. Zoals je kunt zien, staan sommige sterren op dezelfde plaats, terwijl
andere zich verplaatst hebben in de loop van een half jaar.
a. Wat moet de sterrenkundige doen om er zeker van te zijn dat de sterren zich niet in
werkelijkheid verplaatst hebben, maar dat het verschil veroorzaakt is door parallax?
b. Welke ster op de foto staat het dichtste bij de aarde? Wat is zijn jaarlijkse parallax?
c. Welke van deze sterren staan het verste weg? Wat is hun jaarlijkse parallax?
d. Als ster D op een afstand staat van 18 licht jaren van de aarde, wat zijn dan de
afstanden van de sterren A, B en E in lichtjaren?
Literatuur
Ferguson, K. (1999). Measuring the Universe
Fucili, L, Genseberger,R. and Ros,R.http://www.vt-2004.org/Education/EduSheet2.html
“How the transit of Venus can be used to determine the Earth-Sun distance”
Genseberger, R. and Wielinga, R (1996) Ontwikkeling van ideeën over het heelal.
Enschede/Utrecht: SLO-CD
Helden, A.van (1985). Measuring the Universe. Chicago. The Univ. of Chicago Press.
Hirshfeld, A.W. (2001). Parallax, the Race to Measure the Cosmos. New York: W.H
Freeman and company
Pecker, J.C. (2001). Understanding the Heavens. Berlin, New York: Springer.
8
Een eenvoudig hoekmeet instrument
Er zijn vele mogelijkheden om een hoekmeet instrument te bouwen. Een heel
eenvoudige kan gemaakt worden met behulp van de volgende instructies:
Bevestig een papieren gradenboog van 180 (zie hieronder) op een stuk tempex van A4
formaat.
Drie stokjes (bijvoorbeeld kleine houten cocktailprikkers) volstaan dan om de
hoekafstand te meten tussen voorwerpen die je kunt zien. Het materiaal maakt het
mogelijk om de stokjes loodrecht in de plaat te prikken, je duwt ze gewoon door het
papier heen het tempex in.
Nu plaats je het instrument horizontaal, op een stevige ondergrond (bijvoorbeeld een
tafel). Eén van de stokjes moet zich in het midden van de kleine cirkel bevinden, vanaf
daar kijk je naar het eerste voorwerp en prik je een tweede stokje in de plaat, zo dat je
de twee stokjes en het voorwerp achter elkaar op één lijn ziet staan.
Dan kijk je, weer vanaf het eerste stokje, naar het tweede voorwerp, terwijl je het plaatje
in dezelfde positie laat staan. Nu prik je het derde stokje in de plaat, in de richting
waarin je het tweede voorwerp ziet.
Je kunt nu de hoekafstand tussen de twee voorwerpen uitrekenen door de
corresponderende getallen bij de twee stokjes af te lezen en van elkaar af te trekken.
9