Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 - 25 Januari 2007

Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 - 25 Januari 2007 - 14.00-17.00
uur
Vier algemene opmerkingen:
• Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina’s. Op pagina 3 staat voor
iedere opgave het maximale aantal punten dat voor de opgave behaald kan worden.
• Het gebruik van een notebook en/of rekenmachine is bij dit tentamen niet toegestaan.
• Bij dit tentamen mag u gebruik maken van het bijgevoegd formuleblad.
• Alle antwoorden dienen duidelijk geformuleerd en gemotiveerd te worden.
1. (a) Geef de definitie van een conservatieve kracht.
Gegeven is een kracht F in het tweedimensionale x-y vlak beschreven door
!
0
F(x, y) =
x
(b) Maak een schets waarin duidelijk te zien is hoe de kracht F zich gedraagt.
(c) Is de kracht F een conservatieve kracht? Beargumenteer uw antwoord.
2. In moleculaire simulaties worden vaak potentialen gebruikt om de interactie tussen twee
deeltjes te beschrijven. Een voorbeeld van zo’n potentiaal is
4
2
U (r) = − + 4 .
r r
(a) Bepaal de plaats van het minimum van U en van het punt σ met potentiaal U (σ) =
0.
(b) Teken het verloop van deze potentiaal als functie van r.
(c) Geef de expliciete uitdrukking voor de bij deze potentiaal behorende kracht als
functie van r.
(d) Stel een deeltje met massa m = 1 bevindt zich op tijdstip t = 0 in het punt r = 1,
met snelheid v = 0. Wat is het gedrag van dit deeltje als t → ∞, en wat is de
uiteindelijke snelheid?
1
3. Beschouw een deeltje met massa m dat kan bewegen langs de rand van een cirkel met
straal R. Op het deeltje werkt de zwaartekracht, met sterkte mg, in de richting van de
positieve y-as (de positieve y-as wijst dus naar beneden).
B
ϑ
a
R
x
C
m
y
(a) De zwaartekracht is een conservatieve kracht. Geef de bijbehorende potentiaal Uzw (x, y).
Bovendien zit het deeltje vast aan een veer, waarvan het andere uiteinde verbonden is
met het punt B dat even hoog ligt als het middelpunt van de cirkel. De veer ligt langs
de rand van de cirkel en heeft veerconstante C. Als de veer een lengte a heeft is de
potentiële energie van de veer gelijk aan Uveer = 12 Ca2 . Om de bewegingsvergelijkingen
van het deeltje te bepalen gebruiken we de hoek ϑ als gegeneraliseerde coördinaat.
(b) Geef Uzw en Uveer als functie van ϑ.
(c) Geef de kinetische energie van het deeltje als functie van de snelheden ẋ en ẏ.
(d) Schrijf de kinetische energie als functie van ϑ̇.
(e) Geef de Lagrangiaan L(ϑ, ϑ̇).
(f ) Geef de bijbehorende bewegingsvergelijking van Lagrange.
4. (a) Geef de totale differentiaal van de Gibbs vrije energie G.
(b) Bereken daaruit de afgeleiden van G naar druk, temperatuur en aantal deeltjes.
(c) Laat zien hoe uit deze afgeleiden van G de Maxwell-relatie
∂V
∂S
=−
∂T P,N
∂P T,N
is af te leiden.
(d) Voor een ideaal gas bestaande uit N deeltjes geldt de toestandsvergelijking
P V = N kB T .
Gebruik bovenstaande Maxwell-relatie om voor het ideaal gas met N deeltjes het
gedrag van de entropie S als functie van de druk P te bepalen.
2
5. Beschouw een systeem in het microkanoniek ensemble.
(a) Wat is de kans Pν om het systeem in een microtoestand ν aan te treffen?
(b) Volgens de Gibbs entropie formule is de entropie van een willekeurig ensemble
X
S = −kB
Pν ln Pν .
ν
Leid hieruit de formule voor de entropie van een microkanoniek systeem af.
6. In het kanoniek ensemble is de partitiefunctie van een één-atomig ideaal gas bestaande
uit N deeltjes gegeven door
s
VN
h2
Q=
waarbij
Λ
=
.
N !Λ3N
2πmkB T
Voor het ensemble gemiddelde < E > van de energie geldt
∂ ln Q
< E >= −
.
∂β
N,V
Bereken hieruit het ensemblegemiddelde < E > van de energie van een één-atomig
ideaal gas.
Honorering:
Opgave 1a : 3
Opgave 1b : 4
Opgave 1c : 4
(totaal 60 punten)
punten
Opgave
punten
Opgave
punten
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
punten
punten
punten
punten
4a :
4b :
4c :
4d :
3
3
3
3
2a
2b
2c
2d
:
:
:
:
3
2
2
3
punten
punten
punten
punten
Opgave 5a : 4 punten
Opgave 5b : 4 punten
3
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
3a
3b
3c
3d
3e
3f
Opgave 6
:
:
:
:
:
:
2
2
2
2
2
2
punten
punten
punten
punten
punten
punten
: 8 punten