First Encounter

First Encounter
Hét Standaard Model...van de deeltjesfysica
Het Standaard Model van de deeltjesfysica omvat
een beschrijving van de fundamentele interacties in
de natuur, met uitzondering van de zwaartekracht.
Tevens brengt het structuur aan in de dierentuin
van deeltjes die werden ontdekt met de komst van
deeltjesversnellers. De naam ‘model’ is eigenlijk niet
erg op zijn plaats voor een verzameling theorieën
die meerdere decennia aan experimentele tests heeft
doorstaan. Het Standaard Model geeft een nieuwe kijk, en wellicht een fundamentelere beschrijving van
oude concepten als massa behoudswetten en krachten. Massa is een gevolg van de interactie van deeltjes
met het ‘Higgsveld’, behoudswetten zijn het gevolg van allerlei symmetrieën, en krachten worden in het
Standaard Model, zoals in dit artikel valt te lezen, beschreven als de uitwisseling van virtuele deeltjes. Ook
krachten bevatten bepaalde symmetrieën, zogenaamde ijksymmetrieën, die tevens uitgebreid aan bod zullen komen.
: Willem Haverkort
#Woorden:
Geschatte leestijd:
Moeilijkheidsgraad:
Voorkennis:
Bijpassend drankadvies:
4571
lang

vorige First Encounter
morfine
Krachten
W
at is een kracht? In de klassieke beschrijving van een conservatief krachtveld is dit een gradiënt
in de potentiaal. In combinatie met het streven naar de laagste energie zorgt dit ervoor dat het
deeltje met deze gradiënt gaat meebewegen. De tweede wet van Newton zou je kunnen opvatten als de definitie van kracht. Een fundamentele kracht, zoals de zwaartekracht of de elektromagnetische
kracht, is dan ‘iets’ dat een impulsverandering tot gevolg heeft. Maar wat het mechanisme achter dit ‘iets’
is, was lange tijd een raadsel.
Erg aantrekkelijk aan het Standaard Model is dat het inzicht verschaft in het mechanisme achter een
kracht. Een fundamentele kracht heeft niet alleen een impulsverandering tot gevolg, maar is zelf een impulsuitwisseling! Een centraal concept in het Standaard Model is dat er deeltjes zijn die krachten ‘voelen’, de
Fermionen, en deeltjes die krachten ‘overbrengen’, de Bosonen.
De vorige First Encounter hebben we gezien dat spinloze (spin nul) Bosonen, worden beschreven door
de Klein-Gordon vergelijking:
Laten we een kijken naar stationaire bolsymmetrische (ψ=ψ(r)) oplossingen. Dit betekent dat de tijdsafgeleide in □²=c-²∂²/∂²t-∇² verdwijnt en de Klein-Gordon vergelijking er als volgt uitziet:
De oplossing met positieve exponent blaast op voor grote afstanden en doen we dan ook af als nietfysisch:
Y
ukawa gebruikte deze uitdrukking in een poging de kracht tussen deeltjes in een atoomkern te
verklaren. Hij deed dit door aan te nemen dat een kerndeeltje continu deeltjes uitzendt. De energie
benodigd om deze deeltjes te maken is er niet en ze moeten dan ook weer snel verdwijnen binnen
een tijd opgelegd door het onzekerheidsprincipe. Ze worden dan ook ‘virtuele deeltjes’ genoemd. Deze
2 - Physicus Maart 2005, 16e jaargang, nummer 1
deeltjes kunnen dan indien er een ander kerndeeltje dicht genoeg in de buurt
is impuls uitwisselen, wat zich manifesteert als een kracht. Dit wordt dan ook
een ‘exchange force’ genoemd.
Bovenstaande oplossing* van de Klein-Gordon vergelijking representeert het
veld van een Boson die volgens het door Yukawa voorgestelde mechanisme een
kracht overbrengt. Het is dan ook natuurlijk deze oplossing op te vatten als de
potentiaal van deze kracht, de Yukawa potentiaal:
De Yukawa potentiaal (rood) met
een correctie voor kleine afstand
Toen Hideki Yukawa dit alles in 1934 voorstelde was er echter een probleem. Er waren geen deeltjes bekend
die deze kernkracht konden overbrengen. Wel kon Yukawa een voorspelling doen van de eigenschappen
van de deeltjes. Aannemende dat de kracht zich manifesteert op een schaal ter grootte van een kleine
atoomkern (~2⋅10-¹5m) volgt bij gelijkstellen aan r’ in bovenstaande potentiaal m~ℏ/r’c een massa van
ongeveer tweehonderd maal dat van het elektron. In 1947 werd dit deeltje, dat we nu het pi-meson of pion
noemen inderdaad gevonden, met precies de voorspelde eigenschappen. Twee jaar later ontving Yukawa
de Nobelprijs voor zijn werk.
H
et mooie aan dit model van uitwisseling van deeltjes is dat het een intuïtieve verklaring geeft van
het concept fundamentele kracht, en dat het zeer algemeen toepasbaar is†. Voor alle ons bekende
krachten zijn de ‘krachtvoerende Bosonen’ geïdentificeerd. Alleen de vondst van het graviton,
het vermeende krachtvoerende deeltje van de zwaartekracht is nog niet gevonden. Het krachtvoerende
Boson van de elektromagnetische wisselwerking is uiteraard het foton. Een leuke bijkomstigheid is dat
dit model verklaart waarom de elektrische potentiaal een 1/r afhankelijkheid heeft! Het foton is namelijk
massaloos‡ waardoor de Yukawa potentiaal een exp(0)/r=1/r
afhankelijkheid krijgt! Krachten die worden overgebracht
door krachtdeeltjes met massa zijn van korte dracht (‘short
range’) vanwege de exponentiële afname in potentiaal. Er is
altijd een minimale hoeveelheid mc² aan rustmassa energie
nodig om zo’n deeltje te produceren wat betekent dat volgens het onzekerheidsprincipe deze deeltjes maar een eindige
tijd kunnen bestaan. Een foton daarentegen kan echter een
De in de figuur weergegeven analogie met een ‘exchange
force’ geldt alleen voor een afstotende kracht. Wederom willekeurige energie E=hν hebben en kan dan ook oneindig
komt het onzekerheidsprincipe ons te hulp: er is namelijk ver komen. Dit zullen vooral laagenergetische fotonen zijn,
een onzekerheid in de impuls van de uitgewisselde deeltjes en dus met lage impuls. Al met al levert dit een 1/r² afhandie ook een aantrekkende kracht mogelijk maakt.
kelijke kracht op.
Deeltjes
I
n het voorgaande is al een belangrijk onderscheid gemaakt in soorten deeltjes. Enerzijds zijn er de
krachtvoerende deeltjes, en anderzijds de krachtvoelende deeltjes. De eerste groep bestaat uit Bosonen,
allen met spin 1, en de tweede groep zijn Fermionen met spin 1/2. De deeltjes in onderstaande tabellen
worden in het Standaard Model beschouwd als ‘fundamenteel’, oftewel niet opgebouwd uit andere deeltjes.
Met de fundamentele deeltjes, die quarks worden genoemd, kun je weer andere deeltjes opbouwen genaamd
hadronen. Wanneer je een quark en een antiquark samenvoegt heet dit een meson.
*Je zou deze uitdrukking ook kunnen zien als een uitgaande bolgolffunctie exp(ikr)/r=exp(ipr/ħ)/r met een imaginaire impuls. Uitgaande
van de relativistische energie impuls vergelijking: E²=p²c²+m²c4. Er is geen energie beschikbaar voor de krachtvoerende deeltjes wat betekent dat p²c²+m²c4= 0 → p=imc. Hiermee wordt de uitgaande bolgolf exp(ipr/ħ)/r=exp(-mcr/ħ)/r. Dezelfde uitdrukking als verkregen met
behulp van de Klein-Gordon vergelijking!
† De Klein-Gordon vergelijking neemt niet de spin van deeltjes in rekening. De meeste krachtvoerende bosonen bezitten wel degelijk
spin, en het blijkt dat dit een belangrijke rol speelt in het teken van de kracht. Je kunt bewijzen dat voor gelijke deeltjes een krachtvoerend
Boson met even of oneven spin respectievelijk een aantrekkende of afstotende kracht betekent
‡ De relativistische energie impulsvergelijking E²=m²c4+p²c² voor het foton met E=hν en p=h/λ=hc/ν levert bij invullen op m=0.
First Encounter
3
Een voorbeeld hiervan zijn de eerder genoemde pionen, die afhankelijk van of je te maken hebt met u of
u /d , of d een lading van +1,0 of -1 hebben. Wanneer je drie quarks samenvoegt heet dit een baryon.
Voorbeelden hiervan zijn het proton uud en het neutron ddu wat precies de juiste lading oplevert!
Er is nog een belangrijke toevoeging aan het Standaard Model, namelijk het Higgs Boson. Dit spinloze
deeltje is nog niet experimenteel waargenomen maar speelt in het Standaard Model, zoals we verderop
zullen zien, een erg belangrijke rol. Een belangrijk gemis in het Standaard Model is een beschrijving van de
gravitatiekracht. Indien ook deze kracht door een deeltje wordt overgebracht weten we dat dit een spin 2
deeltje moet zijn. Dit deeltje, dat het graviton wordt genoemd, maakt dus geen deel uit van het Standaard
Model.
3 ‘families’ van Fermionen, elk bestaande uit twee leptonen waaronder een neutrino, en
twee quarks. Allen spin 1/2. Bij elk deeltje in deze tabel hoort tevens een antideeltje.
Krachtvoerende bosonen, ook wel ijkbosonen genoemd, met hun
bijbehorende ijksymmetrie en geassocieerde kracht. Allen spin 1 deeltjes
IJktheorieën
A
lle fundamentele theorieën die we hebben van de natuur zijn zogenaamde ijktheorieën (gauge theories). De quantumelectrodynamica, de quantumchromodynamica en zelfs de algemene relativiteitstheorie! Het moge dus duidelijk zijn dat het principe van een ijktheorie een belangrijke rol speelt in
het Standaard Model. De principes die hieraan ten grondslag liggen kunnen prima uitgelegd worden aan
de hand van misschien wel de meest bekende ijktheorie: elektromagnetisme.
Klassieke elektromagnetisme
Vóór Maxwell zagen de vergelijkingen van elektromagnetisme er (in eenheden waarin ħ=c=1) als volgt
uit:
Maxwell merkte op dat wanneer je van deze laatste vergelijking (de wet van Ampère) de divergentie neemt
dit nul oplevert aangezien de divergentie van een rotatie altijd nul is. Dit is echter in strijd met de continuïteitsvergelijking:
. De continuïteitsvergelijking zegt in weze dat de hoeveelheid lading in een
klein volume alleen kan veranderen wanneer er meer of minder lading in dan uitstroomt. Dit wordt lokaal
ladingsbehoud genoemd en het is strikter dan globaal ladingsbehoud. Volgens dit laatste is het best mogelijk op de ene plek een hoeveelheid lading te creëren als je er op een andere maar een gelijke hoeveelheid
laat verdwijnen. Dit mag echter niet van lokaal ladingsbehoud. Om toch aan deze vergelijking te voldoen
veranderde Maxwell de wet van Ampère:
Laten we eens kijken naar de potentialen waarin het elektrisch en magnetisch veld kunnnen worden uitgedrukt volgens:
4 - Physicus Maart 2005, 16e jaargang, nummer 1
Het blijkt dat de potentialen en V niet uniek zijn voor een gegeven veld. Er zijn meerdere mogelijkheden
die dezelfde velden opleveren. Dit wordt ijkinvariantie genoemd. Welbekend is natuurlijk dat je in de elektrostatica aan de elektrische potentiaal een constante kunt toevoegen zonder dat het elektrisch veld hierdoor
verandert, aangezien de gradiënt van een scalar nul oplevert. Wanneer je eenmaal een referentiepotentiaal
gekozen hebt mag je deze echter niet halverwege je berekening veranderen. Aangezien deze constante dus
niet van positie en tijd mag afhangen wordt dit een ‘globale ijksymmetrie’ genoemd. Al zie je dit waarschijnlijk niet meteen, dit verzekert globaal ladingsbehoud. Anders zou je met een zekere hoeveelheid energie een
lading kunnen creëren om vervolgens op een plek met een lagere potentiaal dezelfde energie, die immers
volgens globale ijkinvariantie niet van de lokale potentiaal kan afhangen, weer terugwinnen door de lading
weer te vernietigen. Dit zou een oneindige bron van energie opleveren!
Het aardige is nu dat globale ijksymmetrie in de elektrostatica bij invoering van het magnetisch veld
overgaat in een lokale ijksymmetrie. Het is mogelijk om aan V iets toe te voegen dat wel van de positie
en tijd afhangt als je dan aan
maar iets anders toevoegt dat hiervoor compenseert! De velden blijven
onveranderd* onder de transformaties:
die ijktransformaties worden genoemd. De invoering van het magnetisch veld zorgt er dus voor dat een globale ijksymmetrie en globaal ladingsbehoud overgaat in een lokale ijksymmetrie en lokaal ladingsbehoud!
Het interessante van dit alles is dat het argument ook omgedraaid kan worden: om de globale ijksymmetrie van het elektrische veld om te zetten in een lokale symmetrie moet je een nieuwe potentiaal
invoeren. De eis van lokale ijkinvariantie zorgt tevens voor bepaalde relaties tussen V en
en dus tussen
de bijbehorende velden en . Met deze eis en met behulp van Lorentzinvariantie kunnen zo de Maxwell
vergelijkingen worden afgeleid! Dit is dan ook de tactiek die meerdere malen met succes tot nieuwe
theorieën heeft geleid. Vind een globale symmetrie, maak hiervan een lokale symmetrie door toevoeging van
een of meerdere velden en leid uit de relaties tussen deze velden de bijbehorende veldvergelijkingen af.
Quantummechanica en Elektromagnetisme
L
aten we dit concept eens toepassen op de quantummechanische fase. Hiervan weten we dat deze
de globale symmetrie bevat dat toevoegen van een constante in weze niets verandert. Dus onder de
transformatie Ψ→Ψ’=ΨeiQχ(x,t) moeten de uitkomsten van een willekeurige quantummechanische
berekening gelijk blijven. En uiteraard is dit ook zo, zoals bijvoorbeeld te zien is aan de definitie van de
verwachtingswaarde van een operator Ô : <Ô> = ∫Ψ*ÔΨ d³r en ook aan de Schrödingervergelijking:
Wanneer we echter lokale fase invariantie eisen ontstaan er in de Schrödinger vergelijking afgeleiden van de
fase naar de plaats en tijd. We zijn dan genoodzaakt extra velden in te voeren die hiervoor compenseren.
Dit blijken het elektrische en magnetische veld te zijn! De Schrödinger vergelijking voor een deeltje met
lading Q in een elektromagnetisch veld wordt verkregen door de impuls te schrijven als -Q met de
canonieke impuls die in de quantummechanica wordt vervangen door de operator -iℏ∇. Deze uitdrukking
voor de impuls is een bekend resultaat uit de klassieke mechanica (zie bijvoorbeeld vgl. 2.21 van het dictaat
K&QMa of Griffiths QM p174). Hiermee wordt de Schrödinger vergelijking:
De eis van lokale fase invariantie komt dan neer op invariantie onder de transformatie: Ψ→Ψ’=ΨeiQχ(x,t)
* Dit omdat ∇× ’= aangezien de rotatie van een gradiënt nul oplevert en -∇V’ -∂ ’/∂t = aangezien de gradiënt van de tijdsafgeleide
in de eerste term precies wordt gecompenseerd door de tijdsafgeleide van een gradiënt in de tweede term!
First Encounter
5
waarbij Q wederom de lading van het deeltje is. Met de eerder genoemde ijktransformaties van V en
worden alle afgeleides netjes weggewerkt door de extra ingevoerde velden en wordt lokale faseinvariantie
dus verzekerd. Merk trouwens op dat dezelfde substituties → -Q en iℏ∂/∂t → iℏ∂/∂t-QV ook werken
voor de Klein-Gordon vergelijking en de Dirac vergelijking. Dus het gebruikte concept om een globale symmetrie om te zetten in een lokale werkt ook relativistisch. De Dirac vergelijking zoals vorige First Encounter
afgeleid wordt dan:
Voor Q=-e is dit dan de grote vergelijking die de interactie van een elektron met een elektromagnetisch veld
relativistisch beschrijft. En welke in iets andere vorm in de quantumelektrodynamica in de jaren ‘40 voor
gigantische successen, zoals beschreven in de vorige First Encounter, heeft geleid.
We hebben dus nu een recept gevonden om meer ijktheorieën te vinden:
1) Vind een globale ijksymmetrie die gerepresenteerd kan worden door een transformatie (vb. Ψ→Ψ’=Ψeiφ)
2) Maak hiervan een lokale symmetrie door de transformatie van de plaats en de tijd te laten afhangen en
iets equivalent aan lading bevat (vb. Ψ→Ψ’=ΨeiQχ(x,t))
3) Voeg nieuwe velden toe om voor deze lokale transformatie te compenseren, en leid uit de relaties tussen
deze velden veldvergelijkingen af.
Nu is de hierboven gebruikte transformatie Ψ→Ψ’=Ψeiφ in de wiskunde lid van een hele familie van groepen, genaamd unitaire groepen. Aangezien natuurkundigen niet erg in staat bleken iets volkomen nieuws te
bedenken, gingen ze voor stap 1 gewoon de rest van deze familie af. En met succes! Zo kan de theorie van
de zwakke kernkracht zoals ontdekt door Weinberg en Salam verkregen worden uit een zogenaamde SU(2)
symmetrie en de Quantumchromodynamica uit een SU(3) symmetrie*. Vandaar dat het Standaard Model
wel symbolisch word aangeduid als: U(1)⊗SU(2)⊗SU(3).
Symmetriebreking en het Higgsdeeltje
E
r is een reden waarom alle quantummechanisch verantwoorde fundamentele theorieën ijktheorieën
zijn. Het is namelijk zo dat ijksymmetrieën vereist zijn om een eindige of ‘renormaliseerbare’ theorie
te verkrijgen! Om het concept renormalisatie uit te leggen is het nuttig eens te kijken naar onderstaand ‘Feynman diagram’.
Zoals uitgelegd in de vorige First Encounter representeren deze
diagrammen delen van een berekening. In dit diagram is de emissie van een virtueel foton te zien. Hoe korter het foton bestaat,
hoe groter de energie van het foton kan zijn volgens Heisenbergs
onzekerheidsprincipe. Echter in de limiet waarin de tijd dat het
virtuele foton bestaat naar nul gaat, gaat de energie naar oneindig. Deze energie levert een bijdrage aan de effectieve massa van
het elektron dat zo oneindig wordt. Deze problemen in de theorie van de quantumelektrodynamica werden
uiteindelijk in 1948 door onder andere Feynman opgelost door een procedure van renormalisatie. Dit komt
erop neer dat er voor elke oneindigheid een andere oneindigheid wordt gevonden dusdanig dat deze elkaar
teniet doen en de utkomsten van de berekeningen eindig worden. Hier is echter wel een erg symmetrische
theorie voor nodig, en dat is dan ook de rol van ijksymmetrieën.
Om ook een ijktheorie van de zwakke wisselwerking op te zetten moesten er nog wel een aantal problemen worden overkomen. Het is namelijk zo dat de krachtvoerende Bosonen in een ijktheorie, zogenaamde
ijkbosonen (gauge Bosons), massaloos moeten zijn†. Voor elektromagnetisme is deze eis natuurlijk geen
probleem, dit was dan ook één van de eerste ijktheorieën. Er waren echter destijds verder helemaal geen
massaloze Bosonen bekend die als dragers van de zwakke kernkracht in aanmerking konden komen.
* In groepentheorie kan je bewijzen dat elk lid van een N-dimensionale unitaire groep U(N) vastgelegd kan worden met behulp van N²
reeele getallen. De groepen SU(N) zijn ‘speciale unitaire groepen’ in dat ze een getal minder nodig hebben: N²-1. Dit geeft fysisch het
aantal ijkvelden (en dus krachtvoerende deeltjes!) dat ingevoerd moet worden om voor de symmetrie lokaal te maken. Vandaar dat de
elektrozwakke kernkracht 2²-1=3 ijkdeeltjes (W-,Z0,W+) en de quantumchromodynamica 3²-1=8 ijkdeeltjes (gluonen) bevat.
6 - Physicus Maart 2005, 16e jaargang, nummer 1
De toenmalige stand van zaken was:
1) IJkinvariantie was nodig om een renormaliseerbare theorie te verkrijgen
2) De bijbehorende ijkBosonen moesten een dermate grote massa hebben dat ze daarom nog niet ontdekt waren
3) IJkBosonen met massa ‘breken’ de ijkinvariantie
Er was een wonder nodig om een werkende theorie op te zetten voor de sterke kernkracht, en dat wonder
kwam er!
H
et idee bestaat eruit dat in een theorie met de vereiste ijksymmetrie er een fenomeen kan optreden
dat ‘spontane symmetriebreking’ wordt genoemd. Hierdoor kunnen massaloze ijkdeeltjes met
behulp van een ‘Higgsveld’ toch massa verkrijgen. Dit mechanisme maakt een ijkinvariante theorie
mogelijk met ijkBosonen met massa zonder dat ijkinvariantie gebroken wordt! Om dit te begrijpen kijken
we eerst eens naar een voorbeeld van ‘spontane symmetriebreking’ in een heel andere vorm. Stel je een
metalen staaf voor die je aan beide kanten met grote kracht samendrukt. Hoewel de vergelijkingen die deze
situatie beschrijven symmetrisch zijn onder rotatie langs de as van de staaf zal op een gegeven moment deze
symmetrie breken. De staaf zal bezwijken en in een bepaalde richting doorbuigen: spontane symmetriebreking!
Het idee is nu de Klein-Gordon vergelijking, die immers
Bosonen met massa beschrijft, te veranderen. De massaterm, die immers de grote boosdoener is, wordt eruit
gegooid en wordt vervangen door een potentiaal van de
vorm
met
een zekere reële
parameter ‡. Deze potentiaal ziet er uit als in de figuur
hiernaast.
Deze potentiaal is, zoals gemakkelijk te zien is, invariant
onder een globale U(1) transformatie (ψ →
ψeiχ).
Om de potentiaal ook invariant te maken onder een lokale
U(1) transformatie (ψ →
moeten we wederom extra (massaloze) ijkvelden invoeren. Maar nu
komt het cruciale punt. De potentiaal heeft een minimum voor |ψ|= , de cirkel aangegeven in de figuur,
we hebben dus een oneindig aantal grondtoestanden! Gegeven ψ kunnen we χ(x,t) zo kiezen dat ψeiQ’χ(x,t)
een van deze grondtoestanden aanneemt. Elk van de grondtoestanden is in principe mogelijk en levert een
gelijke energie op, maar er treedt uiteindelijk maar 1 van deze mogelijkheden op. Net als in het voorbeeld
van de metalen staaf wordt de symmetrie spontaan gebroken. Wanneer we nu voor de grondtoestand χ(x,t)
zo kiezen dat de grondtoestand ψeiQ’χ(x,t) reëel is, kunnen we een expansie om deze grondtoestand maken:
ψ= +h(x), met
en h(x) reëel. Wanneer je hier nu verder mee gaat rekenen blijkt dat het veld h(x)
een spinloos Boson is met massa μ en dat de ijkvelden waarmee we begonnen opeens een massa hebben
gekregen! In plaats van de massaterm die in de Klein-Gordon vergelijking voorkomt kunnen we dus een
potentiaal invoeren die zich effectief als een massa gedraagt zonder dat de ijksymmetrie wordt gebroken.
Dit mechanisme waardoor ijkvelden massa krijgen is in 1964 bedacht door Higgs en anderen. Het deeltje
wat met het veld h(x) wordt geassocieerd wordt dan ook het Higgsdeeltje genoemd. Door middel van een
interactie met dit overal aanwezige (de verwachtingswaarde van dit veld in vacuüm is niet nul!) Higgs-veld
krijgen ook alle andere deeltjes in het Standaard Model hun massa. Een heikel punt in het Standaard Model
is dat 40 jaar nadat dit deeltje gepostuleerd werd het nog steeds niet gevonden is. Het Standaard Model in
de huidige vorm staat of valt met het bestaan van dit deeltje, dus laten we maar hopen dat de massa μ van
het Higgs deeltje zo groot is dat we het deeltje daarom nog niet hebben gevonden.
ψeiQ’χ(x,t))
† De Maxwell vergelijkingen in de vrije ruimte zien er in gemakkelijke eenheden in termen van de potentialen V en A als volgt uit: □²V-
∂/∂t(∂V/∂t+∇⋅A)=0 en □²A+∇(∂V/∂t+∇⋅A)=0 (zie Griffiths p417). Wanneer het foton een massa m zou hebben zouden de vergelijkingen
respectievelijk een extra term m²V en m²A krijgen, waarna ze de ‘Proca vergelijkingen’ heten. Dit valt te rechtvaardigen doordat in de
‘Lorentz ijking’, ∂V/∂t+∇⋅A=0 (Wanneer je de tijdsafgeleide van de eerste Proca vergelijking bij de divergentie van de tweede optelt
blijkt dit de enige mogelijke ijking voor een deeltje met massa), beide vergelijkingen tot de Klein-Gordon vergelijking reduceren, oftewel
de correcte beschrijving van een boson met massa. Nu komt het belangrijke: waar de eerste vergelijkingen nog invariant waren onder
de globale U(1) ijktransformatie zijn de Proca vergelijkingen dit niet door het optreden van de massatermen. De conclusie is dus dat
ijkinvariantie een massaloos foton vereist. Een dergelijke conclusie kan ook algemener worden bereikt: ijkbosonen moeten massaloos zijn
om ijkinvariantie te behouden.
‡ Dit lijkt misschien een erg arbitraire keuze, maar je kunt bewijzen dat dit de meest algemene potentiaal is die een renormaliseerbare
theorie oplevert
First Encounter
7
Sterke kernkracht
I
n het begin van dit artikel hebben we al kennis gemaakt met de kracht tussen kerndeeltjes door de virtuele uitwisseling van pionen. Hoewel dit ook vaak wordt aangeduid als de sterke kernkracht is dit slechts
een restproduct van de sterke kracht tussen de quarks waaruit de kerndeeltjes zijn opgebouwd. Dit is
een beetje zoals de Van der Waals kracht een restproduct is van de elektromagnetische kracht. De theorie
die deze interactie beschrijft is de quantumchromodynamica (QCD) en zij beschrijft de sterke kernkracht
als de uitwisseling van massaloze gluonen (‘lijmdeeltjes’) tussen quarks.
Het quarkmodel van hadronen werd niet voorgesteld omdat experimenteel ontdekt werd dat kerndeeltjes
uit kleinere eenheden bestaan, maar omdat in termen van deze kleinere eenheden veel van de waargenomen
structuren verklaard kunnen worden. Zo kunnen bijvoorbeeld zogenaamde ‘gewichtdiagrammen’ van de
lichtste baryonen zoals hiernaast weergegeven worden verklaard met een quarkmodel*. We moeten dan wel
aannemen dat de golffunctie symmetrisch is onder uitwisseling van gelijke quarks!?!
In deze ‘gewichtdiagrammen’ zijn alle baryonen ondergebracht die bestaan uit een combinatie van de 3 lichtste quarks. Langs de horizontale as staat het quantumgetal I3, wat
voor ‘isospin’ is wat Sz voor spin is. Langs de verticale as het quantumgetal ‘hyperlading’
wat in dit geval het ‘baryongetal’ (1 voor al deze deeltjes) + spin is.
Kleuren
H
oewel het quarkmodel zeer succesvol was in het verklaren van de experimentele gegevens is ze ogenschijnlijk in strijd met het Pauli principe. Dit
werd in 1964 opgelost door aan te nemen dat de golffunctie niet alleen een
product is van een ruimtelijk deel ψ(r) en een spin deel χ, maar ook nog een ‘kleur’deel: χk, dus: Ψ(r)=ψ(r)χχk. Deze kleur golffunctie neemt dan volledig de door het
Pauli principe vereiste antisymmetrie op zich, zodat de rest van de golffunctie zoals
eerder aangenomen volledig symmetrisch moet zijn.
Hoe dit in zijn werk gaat valt het gemakkelijkst in te zien aan de hand van een analogie met spin, waar je hoogstwaarschijnlijk beter bekend mee bent. Een spin-1/2
deeltje bijvoorbeeld kan in twee verschillende spin toestanden zitten: Sz= ±1/2, spin
up of down. De spin golffunctie van een deeltje samengesteld uit twee van deze spin-1/2 deeltjes is slechts
volledig antisymmetrisch voor Sz=0, de ‘singlet state’ oftewel spins antiparallel. Analoog hieraan komen
quarks in de ‘kleurentheorie’ voor in drie verschillende kleurtoestanden χk=r,g,b rood, groen of blauw. Net
zoals de spin golffunctie volledig antisymmetrisch is voor Sz=0 volgt uit de quantumchromodynamica dat
de kleur golffunctie antisymmetrisch is wanneer de bijbehorende ‘kleurladingen’ nul zijn. Voor een baryon
is deze ‘kleur singlet’:
* Met de drie lichtste quarks u,d en s zijn de volgende combinaties mogelijk: uud,uus,ddu,dds,ssu,ssd en uuu,ddd,sss en als laatste uds.
De eis van een symmetrische golffunctie betekent voor het eerste rijtje, aangenomen dat het ruimtelijk deel van de golffunctie tevens symmetrisch is, dat de twee dezelfde quarks in het baryon hun spins parallel moeten hebben, een spin 1 deeltje dus. Na toevoeging van het
derde spin-1/2 quark kan de spin 1/2 of 3/2 zijn. Voor het tweede rijtje levert alleen alle spins parallel een antisymmetrische golffunctie op,
dit is een spin-3/2-deeltje. En voor het laatste baryon (uds) zijn twee spin-1/2 en een spin-3/2 combinaties mogelijk. Dit levert in totaal 8
spin-1/2 deeltjes en 10 spin-3/2 deeltjes op waarmee precies de experimenteel waargenomen structuren kunnen worden verklaard.
8 - Physicus Maart 2005, 16e jaargang, nummer 1
Dit principe dat de totale kleurlading van hadronen altijd nul is wordt kleuropsluiting (‘color confinement’) genoemd. Dit dan ook de reden voor de naam kleur en quantumchromodynamica. De kleurlading
van een baryon kan namelijk alleen nul zijn wanneer één quark rood, één groen
en één blauw is. Bij licht levert deze combinatie wit op. Kleuropsluiting is in deze
analogie de eis dat een samengesteld deeltje kleurloos moet zijn. In een meson
wordt hier automatisch aan voldaan aangezien de kleur en antikleur, van de quark
en antiquark waar een meson uit is opgebouwd, elkaar precies opheffen!
Kleurlading is voor de sterke kernkracht wat elektrische lading voor elektromagnetisme is. Met een groot verschil dat de overbrengers van de sterke kernkracht, de
zogenaamde gluonen zelf ook kleurlading hebben en dus ook met elkaar
interageren. Hierdoor worden de veldlijnen van de sterke interactie samengedrukt
zoals te zien is in het figuur hiernaast.
Kleuropsluiting voorkomt dat je kleurlading ooit kunt waarnemen. Je kunt dan
ook niet zomaar een quark, die immers een kleurlading heeft, uit een hadron trekken. Wanneer je dit probeert wordt de kracht die het hadron bij elkaar houdt steeds
groter naarmate de quarks verder uit elkaar bewegen. Dit principe dat ‘asymptotische vrijheid’ heet, klopt goed met fits voor de potentiaal tussen een quark en een
antiquark in een meson verkregen uit experimentele data:
De eerste, Coulomb-achtige, term is precies wat je zou verwachten op basis van het feit dat gluonen
massaloos zijn, en de tweede verzekert kleuropsluiting. Wanneer de afstand r tussen de quarks groot genoeg
wordt kan, uit de energie vertegenwoordigd door de potentiaal, een quark en een antiquark ontstaan zodat
je eindigt met twee mesonen!
Zoals eerder gezegd is ook de quantumchromodynamica een ijktheorie, en daar hoort een zekere
ijksymmetrie bij. Deze globale ijksymmetrie bestaat eruit dat wanneer je alle rode quarks door groene
zou vervangen, alle groene door blauwe en alle blauwe door rode; hadronen nog steeds kleurloos zouden
zijn. Wiskundig valt deze symmetrie, SU(3), uit te drukken door een matrixvermenigvuldiging van een
3x3 matrix. Wanneer je hiervan nu een lokale symmetrie wilt maken volgens het standaard recept van een
ijktheorie ben je genoodzaakt acht nieuwe velden in te voeren, de gluonen! De lokale symmetrie bestaat
eruit dat je nu ook de kleur van een enkele quark kunt veranderen. De gluonvelden die immers kleurlading
bevatten kunnen hiervoor compenseren zodat de ijksymmetrie behouden blijft...
Tot slot
V
eel van de aspecten van het Standaard Model zijn in dit artikel in vogelvlucht voorbij gekomen, nog
veel meer echter niet. Bijvoorbeeld hoe de in de inleiding genoemde symmetrieën aanleiding geven
tot behouden grootheden, de beschrijving van de zwakke kernkracht en de ‘unificatie’ hiervan met
de elektromagnetische kracht tot de elektrozwakke kracht, het CPT theorema. Belangrijke concepten als
pariteit en isospin. De weelde aan samengestelde deeltjes, nieuwe quantumgetallen en experimentele test
van het Standaard Model. Al met al is me duidelijk geworden dat het bouwwerk dat het Standaard Model
heet in de afgelopen eeuw zo groot is geworden en zo goed getest dat het nog lange tijd meekan.
Referenties:
1) Quantum Physics-of atoms molecules, solids, nuclei and particles. Eisberg & Resnick
2) Particle Physics. Martin & Shaw
3) An introduction to the Standard Model of particle physics. Cottingham & Greenwood
4) The Feynman lectures on Physics, Vol. III. Feynman, Leighton & Sands (paragraaf 10.2)
5) De Physicus januari 2005 - First Encounter. Willem Haverkort
First Encounter
9