Practicum Atoom- en Molecuulfysica : het Zeeman-effect

1
Practicum Atoom- en Molecuulfysica :
het Zeeman-effect
1. Theoretische berekening
In dit practicum zullen wij de opsplitsing van de 3 S1 
 3 P2 transitie ( = 546,07 nm) van
Hg0 (de groene Hg-lijn) in een magnetisch veld bestuderen. Ter herinnering resumeren wij
hier de belangrijkste formules voor het Zeeman-effect (cfr. Hoofdstuk I van de cursus).
Wanneer een atoom in een homogeen magnetisch veld wordt geplaatst, wordt de (2J+1)–
voudige ontaarding van elk energieniveau
2S1
L J opgeheven.
Elk subniveau krijgt een
energiecorrectie :
E ZEEMAN  SLJM   SLJM


eB ˆ
L z  2Sˆ z SLJM
2mc
e

g  SLJ  BM
2mc
(1)
Hierin is g(SLJ) de Landé-factor
g  SLJ   1 
J  J  1  L  L  1  S  S  1
2J  J  1
(2)
Als verder rekening wordt gehouden met de selectieregels voor elektrische dipooltransities :
S  0
L  0, 1
J  0, 1, tenzij  J  0  J  0 
(3)
M  0, 1, tenzij  M  0  M  0  als J  0
volgt uit die opsplitsing van de energieniveaus, dat ook de spectraallijnen zullen opsplitsen.
Stel het energieniveauschema op en bepaal de mogelijke elektrische dipoolovergangen voor
de groene Hg-lijn in een magneetveld. Bereken de theoretische verschillen in golflengte
tussen de deelcomponenten van de opgesplitste spectraallijn, als functie van het magneetveld.
2. Experimentele opstelling
In figuur 1 is een blokschema van de experimentele opstelling getekend. Het Fabry-Pérot
interferentiepatroon wordt met behulp van een kleinbeeldcamera (1) gefotografeerd. Op de
optische bank (2) bevindt zich het Fabry-Pérot étalon (3), dat in de volgende paragraaf
besproken wordt.
Het matglas (4) wordt gebruikt om de invallende lichtbundel uit te
2
spreiden, zodat de interferentieringen over hun gehele omtrek dezelfde intensiteit vertonen.
Het interferentiefilter (5) is een smalbandfilter, dat enkel het licht van de groene Hg-lijn ( =
546,07 nm) doorlaat, wat de analyse van het Zeeman-patroon sterk vereenvoudigt.
De
telescoop (6) maakt de bundel breder en stelt ons in staat de lichtintensiteit van het
interferentiepatroon te vergroten. Een kwiklampje1 (7) is geplaatst tussen de poolschoenen
van een elektromagneet (8); (9) en (10) zijn de respectievelijke voedingen van deze
componenten. Met behulp van een metalen ijk kan de poolafstand op een reproduceerbare
waarde (7 mm) ingesteld worden.
Voor deze afstand wordt het verband tussen
voedingsstroom en magneetveld gegeven in Tabel 1.
voedingsstroom I (A)
magneetveld B (T)
1.0
0.340
2.0
0.620
3.0
0.850
4.0
1.100
5.0
1.320
6.0
1.500
7.0
1.680
8.0
1.800
9.0
1.900
Tabel 1 : Verband tussen voedingsstroom en magneetveld voor de elektromagneet (8),
wanneer de poolafstand 7 mm bedraagt
(8)
(1)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(10)
(2)
Figuur 1 : Blokschema van de experimentele opstelling bij het practicum Zeeman-effect
1
Daar het omhulsel van dit lampje uit kwarts bestaat, laat het ultraviolet licht door dat schadelijk is voor de
ogen. Om die reden wordt bij de uitvoering van het practicum een veiligheidsbril gedragen. Deze bril
beschermt tegen de UV component van het licht, maar niet tegen verblinding door zichtbaar licht. Ook met
veiligheidsbril wordt het ten stelligste afgeraden rechtstreeks in de lamp te kijken.
(9)
3
3. Het Fabry-Pérot etalon
Het Fabry-Pérot étalon dat tijdens het practicum gebruikt wordt, bestaat uit twee vlakke
spiegelende glazen platen van hoge optische kwaliteit. Ze zijn heel kostbaar, zodat hun
manipulatie uiterst veel zorg vereist. Na het verplaatsen van het etalon op de optische bank
mag men dus nooit vergeten het ruitertje weer met het vijsje op de bank vast te schroeven.
Verder mag men de platen nooit aanraken.
Op één van de zijden van beide platen werd een dunne laag aluminium verstoven, zodat zij
het erop vallende licht grotendeels reflecteren (R = 95 %). De platen zijn in een stevig
metalen huis gemonteerd. Naast de platen bevat het huis drie metalen ringen, die met hoge
mechanische precisie werden vervaardigd. De middelste ring wordt étalon (ijk) genoemd en
doet dienst als spatiëringsring. De ander twee ringen dienen om de platen met behulp van drie
geveerde scrhoeven stevig tegen het étalon aan te drukken. Hiermee kan men de platen
evenwijdig aan elkaar instellen met een precisie van de orde 10-8 m. De vorming van de interferentiefranjes bij het Fabry-Pérot étalon kan men goed illustreren aan de hand van figuur 2.
F
D
C

E
B

G
A
f
L
d=1.990 mm
Figuur 2 : Vorming van het interferentiepatroon bij een Fabry-Pérot étalon
Het weglengteverschil w tussen twee opeenvolgende stralen, gereflecteerd aan de spiegelende
oppervlakken van het Fabry-Pérot étalon, is gelijk aan BC  CD  BE . Hieruit volgt :
w  2dcos 
(4)
met  de invalshoek van het licht. Het weglengteverschil is dus maximaal voor  = 0 en
neemt bij stijgende  af tot nul voor  

.
2
Uit (4) volgt onmiddellijk dat het
4
interferentiepatroon in het brandvlak van een lens L als een stel concentrische cirkels
afgebeeld wordt.
1

w      p   , p 
2

Als
w  F  p, p  , dan hebben we een maximum.
Voor
treedt er een minimum op.
Men kan aantonen2 dat, als T en R de respectievelijke fracties van de lichtenergie zijn die
doorgelaten en teruggekaatst worden aan één van de spiegelende lagen, de resulterende
intensiteit dan gegeven wordt door de betrekking
I
a 2T 2
1  R 
2

1
4R

1
sin
2
2
1  R 
(5)
2
waarin  het faseverschil in F is tussen twee opeenvolgende stralen

2
2
w
 2d cos  


(6)
en a de amplitude van de invallende straal. Enkele typische intensiteitsdistributies zijn in
figuur 3 aangegeven. Hieruit blijkt dat de resolutie van het étalon sterk afhangt van de
reflectiecoëfficiënt R. Hoe groter R is, hoe kleiner het verschil in golflengte is dat men met
behulp van het étalon kan meten, omdat voor grotere R de overlap tussen de
interferentiefranjes kleiner wordt.
Figuur 3 : Interferentiepatroon van een Fabry-Pérot étalon als functie van R (in %)
Zie bijvoorbeeld “Geometrical and Physical Optics”, R.S. Longhurst, Longman, blz. 159 e.v. of de cursus
“Optica en Kwantumelektronica”
2
5
De orde k van een gegeven richting  voor een golflengte  wordt gedefinieerd door de
betrekking
k  2dcos 
(7)
In het vervolg zullen we steeds schrijven :
k  p
(8)
waarbij p het integrale deel van k is, en  de zongenaamde breukdelige rest. voor twee
naburige componenten van de 546,07 nm Hg spectraallijn, opgesplitst door het Zeemaneffect, met respectievelijke golflengten  en + d geldt in het centrum van het
interferentiepatroon ( = 0)
2d   p       p    d    d 
(9)
Als enkel eerste orde termen in rekening gebracht worden, vindt men dan
d  
2
d
2d
(10)
Deze formule stelt ons in staat d voor het Zeeman-effect te meten en te vergelijken met de
theoretische waarde (zie deel 1), omdat we met de zogenaamde “methode van de breukdelige
resten” d kunnen bepalen. In het hierna volgende wordt de werkwijze kort geschetst.
Als j het ringnummer van de ringen in een Fabry-Pérot interferentiepatroon (geteld van
binnen naar buiten) voor een golflengte  is, en als p de orde van de eerste ring is, dan is de
orde van de j-de ring gelijk aan (p – j + 1). Men heeft
2d cos  j   p  j  1 
(11)
In het centrum van het patroon geldt
2d   p    
(12)
Door (11) en (12) lid aan lid te delen en steunend op de Taylorontwikkeling voor cos, vindt
men dan voor kleine hoeken j
p  
2j
2
   j 1
(13)
Plaatst men nu een fotografisch negatief in het brandvlak van de lens in figuur 2, dan volgt,
nog steeds voor kleine j :
p  
D 2j
8f 2
 j   1
(14)
6
waarin Dj de diameter van de j-de ring op het negatief is.
Deze grootheid kan men
gemakkelijk meten. Zet men nu D 2j als functie van j in grafiek uit, dan verkrijgt men volgens
(14) een rechte. Met behulp van de methode van de kleinste kwadraten is het mogelijk de
interceptwaarde j = 1 –  voor Dj = 0 vrij nauwkeurig te bepalen. Hieruit vindt men dus voor
elke
golflengte
van
de
door
het
Zeeman-effect
opgesplitste
spectraallijn
de
corresponderende  en dus ook d, waaruit dan steunend op (10) d kan berekend worden.
In Figuur 4 wordt de werkwijze om duit de breukdelige rest van Fabry-Pérot
interferentiepatronen geïllustreerd. Figuur 5, ten slotte, toont de energieniveaus en optische
overgangen voor het Hg0 atoom.
Figuur 4 : Bepalen van het verschil in golflengte voor twee spectrale componenten,
gescheiden met behulp van een Fabry-Pérot etalon, met de methode van de breukdelige rest
7
groene Hg-lijn
3
3
S1
P2
 = 546,07 nm
Figuur 5 : Energieniveauschema voor het Hg0 atoom