middelpunt van de aarde.

Opdrachtenboekje
PLAATSBEPALING
Annemieke Pronk
Andrea de Bakker
Inleiding
Deze module is geschreven voor het vak wiskunde en kan worden gebruikt als
praktische opdracht, voor de bovenbouw van de HAVO en het VWO.
De lessen bestaan uit een (korte) klassikale inleiding gevolgd door opdrachten die vaak
op de computer moeten worden gemaakt.
Dit boekje is de handleiding voor de leerlingen.
Les 1
Korte uitleg over coördinaten op aarde en over het berekenen van de kortste afstand
tussen twee punten op aarde waarvan de coördinaten zijn gegeven. Het formuleblad van
de bijlage mag gebruikt worden bij de opgaven.
Opgave 1



Ga naar de site www.afstandmeten.nl en meet de afstand die je dagelijks af moet
leggen om naar school te komen. Doe dat op twee manieren: over de weg, dus de
echte afstand en als kortste verbinding. Hoe ver moetje dagelijks omrijden?
Ga naar Google Earth en zoek de coördinaten van de hoofdingang van de
Amsterdam Arena op.
Je krijgt deze coördinaten in graden, minuten en seconden. Je weet: er zitten 60
minuten in een graad en 60 seconden in een minuut. Reken deze coördinaten om in
alleen graden met minimaal drie decimalen. Controleer je antwoord met de site
www.afstandmeten.nl.
Opgave 2
Bekijk de punten A(53° NB ;5° OL) en B(53° NB ;6° OL).
 Stel je gaat met een kompas van A naar B door voortdurend precies naar het
oosten te lopen. Hoe ver is het van A naar B. Geef je antwoord in meters
nauwkeurig.
 Stel je gaat van A naar B langs de cirkel door A en B met als middelpunt het
middelpunt van de aarde. Hoe ver is het van A naar B, Geef je antwoord in meters
nauwkeurig. Is er veel verschil met het vorige antwoord?
 Bereken de afstand van A naar B met de site www.afstandmeten.nL
 Leg uit: een graad naar het noorden of zuiden is altijd even ver (hoe ver?), maar een
graad naar het oosten of westen niet.
Opgave 3




Zoek de coördinaten van het centrum van Groningen en van Maastricht. Doe dit
met Google Earth of met www.afstandmeten.nl (of met beide voor de controle).
Bereken de kortste afstand van Groningen naar Maastricht over de aardbol,
Je weet dat de kortste afstand tussen twee punten de rechte lijn is. Stel je graaft
een tunnel van Groningen naar Maastricht zo, datje precies de kortste verbinding
hebt. Bereken hoe diep deze tunnel in het midden (ergens bij Zutphen) onder de
grond zit.
Bereken de afstand van Groningen naar Maastricht met www.afstandmeten.nl Is
dit de afstand over de aardbol of van de tunnel?
Opgave 4
Een satelliet, die wordt gebruikt om televisiesignalen door te geven naar schotelantennes,
draait om de aarde in een geostationaire baan. Deze satellieten staan recht boven de
evenaar en draaien in 24 uur zo rond de aarde dat het vanaf de aarde lijkt alsof ze stilstaan.
Een schotelantenne die op zo'n satelliet is gericht hoeft dus niet steeds opnieuw te worden
afgesteld. Voor een cirkelvormige baan om de aarde moet gelden dat de kracht die nodig is
om de satelliet in zijn cirkelvormige baan te houden, de middelpuntvliedende kracht,
precies gelijk is aan de zwaartekracht, de kracht die de aarde op de satelliet uitoefent. De
middelpuntvliedende kracht kun je berekenen met de formule 𝐹 𝑚𝑣 =
3,988∙104 ∙𝑚
𝑚𝑣 2
𝑟
. Voor de
zwaartekracht geldt de formule 𝐹𝑧 =
. In deze formules is F de kracht in newton,
𝑟2
m de massa van de satelliet, v de snelheid in m/s en r de afstand in meters tot het
middelpunt van de aarde.



Toon aan dat 2𝜋𝑟 meter in 24 uur voor een satelliet in een geostationaire baan
leidt tot de snelheid v = 0,000073r m/s.
Toon aan dat een satelliet in een geostationaire baan bijna 36 000 km boven de
evenaar staat.
Een GPS satelliet vliegt in een cirkelvormige baan om de aarde. De omlooptijd van
deze satelliet is. precies 11 uur. Bereken de hoogte en de snelheid van deze satelliet
Opgave 5
Er is een oud raadsel: Een jager op beren loopt precies één km naar het zuiden, vervolgens
precies één km naar het oosten en tenslotte precies één km naar het noorden. Hij is terug
op de plaats waar hij begon te lopen, hij ziet een beer en schiet hem dood. Wat is de kleur
van de beer?
De oplossing is simpel: De beer is wit, want hij schoot de beer op de noordpool.
Maar er zijn meer plaatsen op aarde waarvoor geldt: ga precies één km naar het zuiden,
precies één km naar het oosten en precies één km naar het noorden en je bent terug op de
plek waar je begon.
 Welke plaatsen zijn dat?
Les 2
Korte uitleg over het werken met Google Earth en de declinatietabel.
Opgave 1

Op het eiland L bereikt de zon altijd 55 minuten later dan in Greenwich zijn
maximale hoogte. Op 21 maart staat de zon maximaal 61° boven de horizon. Welk
eiland is L?
Opgave 2

In G bereikt de zon 27 minuten later dan in Moskou zijn maximale hoogte. Op 21
juni staat de zon maximaal 82,5° boven de horizon. Welke plaats is G? Zijn er
meerdere mogelijkheden. Leg uit.
Opgave 3

Op het eiland R staat de zon op 31 oktober maximaal 83° boven de horizon. Op R
staat de zon 2 uur en 8 minuten eerder op zijn hoogste punt dan in Athene. Welk
eiland is R?
Opgave 4

Bereken het tijdsverschil voor Schagen tussen zonsopgang en zonsondergang voor
25 mei.
Opgave 5

In D staat de poolster 20° boven de horizon. Op een-zekere dag staat de zon in D
maximaal 60° boven de horizon. Welke dag was dat?
Afsluitende opdracht (toets)
Opgave 1 (35p)
Deze opgave gaat over Amsterdam(52° 20' NB; 4° 54' OL ), Kaapstad(33° 56' ZB; 18° 25' OL)
en Budapest. (47° 30' NB; 19° 03' OL) Maak bij sommige vragen gebruik van de
declinatietabel in de bijlage.
 Bereken in minuten nauwkeurig het tijdsverschil tussen Amsterdam en Kaapstad.
 Hoeveel graden staat in Kaapstad de zon maximaal boven de horizon op 21 mei?
 Hoeveel graden staat de poolster in Budapest boven de horizon?
 Op een mooie voorjaarsdag staat in Budapest de zon maximaal 55° boven de
horizon. Bereken de datum van deze dag.
 Een vliegtuig vliegt (volgeladen met voetbalsupporters) met 900 km/uur non stop
van Amsterdam naar Kaapstad. Hoe lang duurt deze vlucht minimaal?
Opgave 2 (25p)
Er zijn vele toepassingen van het GPS. Bespreek kort 5 toepassingen. Doe dat op de manier
zoals hieronder voor één van de toepassingen (die je dus niet meer mag gebruiken) is
gedaan. Je mag ook zelf een nuttige originele toepassing verzinnen!!
GPS kum je gebruiken om te navigeren. Het GPS apparaat (soms ook wel Tom Tom
genoemd) wordt voorzien van digitale wegenkaarten en rekensoftware die de kortste route
tussen twee punten uit kan rekenen. De gebruiker voert in waar hij naar toe wil en het
apparaat vertelt hoe de gebruiker moet rijden zodat hij via de snelste of kortste weg zijn
doel bereikt.
Opgave 4 (10p)
De afstand Amsterdam Arena tot kerk van Schagen 52 km.
De afstand kerk van Schagen - kerk van Hoorn 23 km.
De hoek tussen de kijklijn van Schagen naar de Arena en de kijklijn van Schagen naar de
kerk van Hoorn is 35,9°.
 Bereken de afstand tussen de kerk van Hoorn en de Amsterdam Arena.
Opgave 5 (20p)
Een satelliet, die wordt gebruikt om televisiesignalen door te geven naar schotelantennes,
draait om de aarde in een geostationaire baan. Deze satellieten staan recht boven de
evenaar en draaien in 24 uur zo rond de aarde dat het vanaf de aarde lijkt alsof ze stilstaan.
Een GPS satelliet vliegt niet in een geostationaire baan.
 Bereken de hoogte van een satelliet in een geostationaire baan.
 Een GPS satelliet vliegt in een cirkelvormige baan om de aarde. De omlooptijd van
deze satelliet is precies 10 uur. Bereken de hoogte en de snelheid van deze satelliet.
Bijlage met Formules/gegevens voor berekeningen plaatsbepaling.
Coördinaten op een bol: w (aantal graden NB) en v (aantal graden OL)
Hierin is -90° < u < 90° en -180° < v < 180°.
u = 0° op de evenaar en v = 0° geeft de nulmeridiaan, de meridiaan door Greenwich.
rechthoekige coördinaten:
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝑢) 𝑐𝑜𝑠(𝑣)
𝑦 = 𝑟 cos(𝑢) 𝑠𝑖𝑛(𝑣)
𝑧 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝑢)
Hierin is r de straal van de aarde.
Afstandsformule bij rechthoekige coördinaten: 𝐴𝐵 =
√(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐴 )2 + (𝑧𝐴 − 𝑧𝐴 )2
Formule voor berekenen middelpuntshoek bij twee plaatsen A en B op aarde:
2𝑟 2 − 𝐴𝐵 2
𝑐𝑜𝑠(𝛼) =
2𝑟 2
Gegevens aarde:
Wij gebruiken voor de gemiddelde straal: r = 6371,0 km = 6,3710 ∙ 106 meter
Zwaartekracht: 𝐹𝑧 =
3,988∙1014 ∙𝑚
𝑟2
Hierin is Fz de kracht in newton waarmee de aarde trekt aan een voorwerp met massa m.
Deze kracht hangt dus af van de afstand r van het voorwerp tot het middelpunt van de
aarde.
𝑚𝑣 2
Middelpuntvliedende kracht: 𝐹𝑚𝑣 = 𝑟 . Dit is de kracht die nodig is om een voorwerp
met massa m in een cirkelvormige baan te houden.