Meetkunde en Algebra

Meetkunde en Algebra
Liliane Van Maldeghem
Hendrik Van Maldeghem
Cursus voor Latijn-Wiskunde 8 en Wetenschappen-Wiskunde 8
2
Hoofdstuk 1
Meetkundige plaatsen
1.1
1.1.1
Herhaling: analytische meetkunde
Affiene meetkunde
In het affien vlak Π zijn de begrippen van punt en rechte vastgelegd door vier axioma’s.
We herhalen:
Π1 Het affien vlak is een oneindige verzameling van punten.
Π2 Een rechte is een oneindige echte deelverzameling van het affien vlak.
Π3 Door twee verschillende punten gaat juist één rechte.
Π4 Door elk punt gaat juist één rechte evenwijdig met een gegeven rechte.
In een affien vlak zijn de volgende begrippen gedefinieerd:
• lijnstukken, vectoren en midden van een lijnstuk M is midden van [AB] als M~A +
M~B = ~o;
• evenwijdige rechten;
• collineaire punten en concurrente rechten;
• veelhoeken waaronder driehoeken, parallellogrammmen, trapezia;
• speciale lijnen in een driehoek: zwaartelijnen;
3
4
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
• speciale punten in een driehoek: zwaartepunt;
• transformaties: verschuivingen, evenwijdige projecties, homothetiën en evenwijdige
spiegelingen.
Analytische uitdrukkingen in het affien vlak
Richting van een rechte
(l, m) is een stel richtingsgetallen van een rechte a 6k y (l 6= 0)
m
is de richtingscoëfficiënt van a
⇐⇒
l
ω is de richtingscoëfficiënt van a ⇐⇒ (1, ω) is een stel richtingsgetallen van a
Zijn A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ) punten van een rechte a dan geldt
~ is een richtingsvector van a.
a) AB
~ = OB
~ − OA
~ = (x2 , y2 ) − (x1 , y1 ) = (x2 − x1 , y2 − y1 ) is een stel richtingsgetallen
b) AB
van a.
c)
y2 −y1
x2 −x1
is de richtingscoëfficiënt van de rechte a op voorwaarde dat x1 6= x2 .
Vergelijking van een rechte
De rechte a is bepaald door een stel richtingsgetallen (l, m) en een punt P (x1 , y1 ):
• aO : mx − ly = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a;
• De rechte a is het beeld van aO onder een verschuiving met vector (x1 , y1 ).
De vergelijking van a is
m(x − x1 ) − l(y − y1 ) = 0
De rechte a is bepaald door de richtingscoëfficiënt ω en een punt P (x1 , y1 ).
• aO : y = ωx is de vergelijking van de richtingsruimte van a;
• De rechte a is het beeld van aO onder een verschuiving met vector (x1 , y1 ).
De vergelijking van a is
(y − y1 ) = ω(x − x1 )
1.1. HERHALING: ANALYTISCHE MEETKUNDE
5
De rechte a gaat door (x1 , y1 ) en is evenwijdig met b : ux + vy + w = 0.
• aO : ux + vy = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a;
• De rechte a is het beeld van aO onder een verschuiving met vector (x1 , y1 ).
De vergelijking van a is
u(x − x1 ) + v(y − y1 ) = 0
a = AB met A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ):
• (x2 − x1 , y2 − y1 ). is een stel richtingsgetallen van a;
• aO : (y2 − y1 )x − (x2 − x1 )y = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a;
• De vergelijking van a is:
x1 6=x2
(y2 − y1 )(x − x1 ) − (x2 − x1 )(y − y1 ) = 0 ⇐⇒ y − y1 =
y2 − y1
(x − x1 )
x 2 − x1
De rechte a is bepaald door zijn doorgangen p en q met resp. de x-as en de y-as.
De vergelijking van a is
x y
+ = 1.
p q
Bijzondere gevallen:
1. a k y en A(x1 , y1 ) ∈ a dan is de vergelijking van a: x = x1 (y ontbreekt)
2. a k x en A(x1 , y1 ) ∈ a dan is de vergelijking van a: y = y1 (x ontbreekt)
De algemene vergelijking van een rechte a is van de gedaante
ux + vy + w = 0 met (u, v) 6= (0, 0).
Daarin is de eenvoudige oplossing (v, −u) van a0 : ux + vy = 0
een stel richtingsgetallen van de rechte.
6
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
1.1.2
Euclidische meetkunde
In een euclidisch vlak bestaat het scalair product en de daaruit volgende begrippen:
• hoek tussen twee rechten en loodrechte stand van twee rechten;
• afstand tussen twee punten en afstand van een punt tot een rechte;
• middelloodlijn van een lijnstuk, bissectrices van twee rechten en middenparallel van
twee evenwijdige rechten;
• driehoeken: rechthoekige driehoeken, gelijkbenige driehoeken en gelijkzijdige driehoeken;
• speciale lijnen in een driehoek: middelloodlijnen, hoogtelijnen, bissectrices;
• speciale punten in een driehoek: hoogtepunt en middelpunt van om- en ingeschreven
cirkel;
• ruiten, rechthoeken, vierkanten en cirkels;
• transformaties: loodrechte projecties, loodrechte spiegelingen, rotaties.
Analytische uitdrukkingen in het euclidisch vlak
De volgende analytische uitdrukkingen zijn enkel geldig t.o.v. een orthonormale basis.
Scalair product van twee vectoren
v~1 · v~2 = (l1 , m1 ) · (l2 , m2 ) ⇐⇒ l1 l2 + m1 m2
Is v~1 = v~2 = ~v (l, m) dan is
~v 2 = k~v k2 = l2 + m2 ⇐⇒ k~v k =
√
l2 + m2 .
Afstanden
De afstand tussen de punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ):
p
~ = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
d(A, B) = kABk
De afstand van een punt P (x1 , y1 ) tot een rechte a : ux + vy = w = 0:
d(P, a) =
|ux1 + vy1 + w|
√
.
u2 + v 2
1.1. HERHALING: ANALYTISCHE MEETKUNDE
7
Loodrechte stand van twee vectoren
(l1 , m1 ) en l2 , m2 ) zijn de coördinaten van resp. v~1 en v~2 :
v~1 ⊥ v~2 ⇐⇒ (l1 , m1 ) · (l2 , m2 ) = 0 ⇐⇒ l1 l2 + m1 m2 = 0
Vergelijking van een rechte
De rechte is bepaald door een punt (x1 , y1 ) en een normaalvector (u, v).
• aO : ux + vy = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a;
• De rechte a is het beeld van aO onder een verschuiving met vector (x1 , y1 ).
De vergelijking van a is
u(x − x1 ) + v(y − y1 ) = 0
De rechte is bepaald door een punt (x1 , y1 ) en staat loodrecht op rechte b : ux+vy+w = 0.
• aO : vx − uy = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a;
• De rechte a is het beeld van aO onder een verschuiving met vector (x1 , y1 ).
De vergelijking van a is
v(x − x1 ) − u(y − y1 ) = 0
Loodrechte stand van twee rechten
Gegeven zijn a : u1 x + v1 y + w1 = 0 en b : u2 x + v2 y + w2 = 0:
a ⊥ b ⇐⇒ u1 u2 + v1 v2 = 0
(l1 , m1 ) en l2 , m2 ) zijn de stellen richtingsgetallen van resp. de rechten a en b:
a ⊥ b ⇐⇒ l1 l2 + m1 m2 = 0
ω1 en ω2 zijn de richtingscoëfficiënten van resp. de rechten a en b
• (1, ω1 ) en (1, ω2 ) stellen richtingsgetallen.
• a ⊥ b ⇐⇒ 1 + ω1 ω2 = 0 ⇐⇒ ω1 ω2 = −1
8
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
De formule van Chasles-Möbius en twee interessante eigenschappen
Uit de formule van Chasles Möbius kunnen we twee eigenschappen afleiden die geldig zijn
in een driehoek en waarin gebruik gemaakt wordt van een zwaartelijn.
In driehoek ABC beschouwen we het midden M van de zijde [AB].
De formule van Chasles-Möbius in de driehoek ACM geeft:
~ = CM
~ + M~A
CA
We kwadrateren beide leden:
~ 2 = (CM
~ )2 + (M~A)2 + 2CM
~ · M~A
(CA)
m
~ · M~A
|CA|2 = |CM |2 + |M A|2 + 2CM
(1.1)
In driehoek BCM geldt de analoge betrekking. We moeten enkel A vervangen door B.
~ · M~B
|CB|2 = |CM |2 + |M B|2 + 2CM
(1.2)
• Tellen we de betrekkingen 1.1 en 1.2 lid aan lid op en houden we rekening met het
feit dat |M A| = |M B| = 21 |AB| dan verkrijgen we:
1
1
~ · (M~A + M~B)
|CA|2 + |CB|2 = 2|CM |2 + |AB|2 + |AB|2 + 2CM
4
4
m
1
~ · ~o
|CA|2 + |CB|2 = 2|CM |2 + |AB|2 + 2CM
2
m
1
|CA|2 + |CB|2 = 2|CM |2 + |AB|2
2
Hieruit volgt een eigenschap van de lengte van een zwaartelijn van een driehoek:
1
1
|CM |2 = (|CA|2 + |CB|2 ) − |AB|2
2
4
(1.3)
• Trekken we de betrekkingen 1.1 en 1.2 lid aan lid af en houden we rekening met het
feit dat |M A| = |M B| dan verkrijgen we:
~ · (M~A − M~B)
|CA|2 − |CB|2 = 2CM
m
1.1. HERHALING: ANALYTISCHE MEETKUNDE
9
~ · (M~A + BM
~ )
|CA|2 − |CB|2 = 2CM
m
~ · BA
~
|CA|2 − |CB|2 = 2CM
Hieruit volgt een eigenschap van het verschil van de kwadraten van twee zijden van
een driehoek:
~
|CA|2 − |CB|2 = 2M~C · AB
(1.4)
Figuur 1.1: eigenschappen in een driehoek
10
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
1.2
Meetkundige plaatsen
Een meetkundige plaats van punten is de verzameling van punten die voldoen aan
een gegeven meetkundige voorwaarde.
We vermelden hier een aantal gekende meetkundige plaatsen:
1. de middelloodlijn van een lijnstuk is de meetkundige plaats van de punten
die op gelijke afstand liggen van de eindpunten van het lijnstuk.
2. de bissectrices van twee snijdende rechten is de de meetkundige plaats
van de punten die op gelijk afstand liggen van de twee rechten.
3. de middenparallel van evenwijdige rechten is de de meetkundige plaats
van de punten die op gelijk afstand liggen van de twee rechten.
4. de cirkel is de meetkundige plaats van de punten die op gelijke afstand liggen van
een punt.
5. de cirkel is de meetkundige plaats van de punten die een lijnstuk zien onder een
rechte hoek.
Uit deze voorbeelden leiden we af dat een bepaalde verzameling van punten op verschillende manieren een meetkundige plaats kan zijn. Een rechte kan bijvoorbeeld een middeloodlijn, een bissectrice of een middenparallel zijn maar kan nog op zeer veel andere manieren
bekomen worden als meetkundige plaats. Een cirkel zal ook dikwijls het resultaat zijn
van een meetkundige plaats.
1. Soms kan een meetkundige plaats op meetkundige wijze bekomen worden door ze
te herleiden tot een gekende meetkundige plaats. Dit laatste vergt een behoorlijk
meetkundig inzicht in figuren. Dat is de mooiste manier om een meetkundige plaats
te bepalen.
2. Veelal reikt ons meetkundig inzicht niet ver genoeg en zijn we genoodzaakt de
meetkundige plaats door berekening te verkrijgen.
We voeren een assenstelsel in.
We berekenen de vergelijking van de meetkundige plaats t.o.v. dat assenstelsel.
We geven de meetkundig interpretatie van het resultaat.
In dit hoofdstuk worden twee methodes aangereikt om de vergelijking van een meetkundige plaats te vinden.
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
11
(a) De eerste methode is gewoon
het analytisch uitdrukken van de meetkundige voorwaarde. Dit is voor jullie
niet nieuw en werd reeds meerdere malen gebruikt, bijvoorbeeld bij het opstellen van de algemene vergelijking van een cirkel, de vergelijking van de middelloodlijn van een gegeven lijnstuk, de vergelijkingen van de bissectrices van twee
snijdende rechten, de vergelijking van de middenparallel van twee evenwijdige
rechten.
(b) De tweede methode om langs analytische weg een meetkundige plaats te vinden
is de methode van de geassocieerde krommen.
12
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
1.2.1
Methode I: analytisch uitdrukken van de meetkundige voorwaarde
Bij deze methode geven we aan het punt dat de meetkundige plaats m beschrijft een
coördinaat (x, y) t.o.v. een affien (willekeurige basis) of euclidisch (orthonormale basis)
coördinatenstelsel. We zoeken dan het verband tussen x en y zó dat aan de meetkundige
voorwaarde voldaan is.
Om er weer in te komen:
• Bepaal de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(−1, 2) en B(2, 4).
Oplossing:
P ∈ m ⇐⇒ |P A| = |P B| ⇐⇒ |P A|2 = |P B|2
m
(x + 1)2 + (y − 2)2 = (x − 2)2 + (y − 4)2 ⇐⇒ 6x + 4y − 15 = 0
• Bepaal de bissectrices van de rechten
a : 3x + 4y = 0 en b : x − y = 2.
Oplossing: (De gegeven rechten zijn snijdend omdat de normaalvectoren (3, 4) en
(1, −1) niet evenwijdig zijn.)
P ∈ m ⇐⇒ d(P, a) = d(P, b)
m
|x − y − 2|
|3x + 4y|
= √
P (x, y) ∈ m ⇐⇒ √
9 + 16
1+1
m
x − y − 2 3x + 4y
x−y−2
3x + 4y
√
= √
∨√
=− √
9 + 16
1+1
9 + 16
1+1
m
√
√
2(3x + 4y) = 5(x − y − 2) ∨ 2(3x + 4y) = −5(x − y − 2)
m
√
√
√
√
(3 2 − 5)x + (4 2 + 5)y + 10 = 0 ∨ (3 2 + 5)x + (4 2 − 5)y − 10 = 0
Deze vergelijkingen zijn de vergelijkingen van de bissectrices van a en b.
We kunnen hier gemakkelijk aantonen dat de bissectrices loodrecht op elkaar staan.
Inderdaad het scalair product van de normaalvectoren is gelijk aan nul.
√
√
√
√
(3 2 − 5)(3 2 + 5) + (4 2 − 5)(4 2 + 5) = 0
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
13
• Bepaal de middenparallel van de rechten
a : 2x + 3y − 1 = 0 en b : 4x + 6y + 5 = 0.
Oplossing: (De gegeven rechten zijn evenwijdig omdat de normaalvectoren (2, 3)
en (4, 6) evenwijdig zijn.)
P ∈ m ⇐⇒ d(P, a) = d(P, b)
m
P (x, y) ∈ m ⇐⇒
|4x + 6y + 5|
|2x + 3y − 1|
√
= √
4+9
16 + 36
m
2x + 3y − 1
4x + 6y + 5 2x + 3y − 1
4x + 6y + 5
√
= √
∨ √
=− √
4+9
16 + 36
4+9
16 + 36
√
52(2x + 3y − 1) =
√
m
√
√
13(4x + 6y + 5) ∨ 52(2x + 3y − 1) = − 13(4x + 6y + 5)
m
√
√
√
√
√
√
(2 52 − 4 13)x + (3 52 − 6 13)y − 52 − 5 13 = 0
√
√
√
√
√
√
∨ (2 52 + 4 13)x + (3 52 + 6 13)y − 52 + 5 13 = 0
√
√
Omdat 52 = 2 13 verkrijgen we
√
√
√
√
0x + 0y − 7 13 = 0 ∨ 8 13x + 12 13y + 3 13 = 0
m
3
=0
4
Deze vergelijking is de vergelijking van de middenparallel van a en b
2x + 3y +
• Stel de vergelijking op van de cirkel c met middelpunt M (xo , yo ) en straal r.
P ∈ c ⇐⇒ |P M | = r ⇐⇒ |P M |2 = r2 (r > 0)
m
P (x, y) ∈ c ⇐⇒ (x − xo )2 + (y − yo )2 = r2 .
De vergelijking van de cirkel c(M (xo , yo ); r) is:.
x2 + y 2 − 2xo x − 2yo y + x2o + yo2 − r2 = 0
(1.5)
14
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
De vergelijking is van de gedaante
x2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 met (a, b, c) ∈ R
Wordt de vergelijking van een cirkel gegeven in deze gedaante dan kunnen we de
coördinaat van het middelpunt en de straal berekenen door het eerste lid te splitsen
in onafhankelijke kwadraten om zodoende de gedaante 1.5 te bekomen.
(x2 + 2ax + a2 ) + (y 2 + 2by + b2 ) = a2 + b2 − c
m
(x + a)2 + (y + b)2 = a2 + b2 − c
Deze vergelijking stelt een cirkel voor op voorwaarde dat het tweede lid groter is
dan 0. Dit is als de parameters a, b en c voldoen aan de volgende ongelijkheid:
a2 + b 2 − c > 0
TAAK ♣ 1 Zoek de vergelijkingen van de bissectrices van het rechtenpaar {a, b} met a : x + 2y − 6 = 0
en b : √
5x − 4y √
+ 20 = 0. √
Construeer
√ de bissectrices
√
√en controleer met de berekeningen.
opl: ( 41 ∓ 5 5)x + (2 41 ± 4 5)y − 6 41 ∓ 20 5 = 0
♣ 2 Zoek de vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(1, 3) en B(−5, −2). Construeer de middelloodlijn en controleer met de berekeningen. Opl.: 12x + 10y + 19
♣ 3 Zoek de vergelijking van de middenparallel van de rechten a : −6x+7y−21 = 0 en b : 6x−7y−28 = 0.
Construeer de middenparallel en controleer met de berekeningen. opl.: 6x − 7y − 27 = 0
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
15
Nog heel veel nieuwe meetkundige plaatsen:
MEETKUNDIGE PLAATS 1 De meetkundige plaats van de punten die een gegeven
lijnstuk zien onder een rechte hoek is een cirkel waarvan het lijnstuk een middellijn is.
Vorig jaar hebben jullie gezien dat elk punt van de cirkel een middellijn ziet onder een
rechte hoek.
1. Tekening van de gegevens
We tekenen het gegeven lijnstuk [AB] met een bepaalde lengte die we voorstellen
door 2r.
2. Speciale punten van de meetkundige plaats
We bekomen een punt van de meetkundige plaats door een willekeurige rechte a te
trekken door het punt A en dan een loodlijn b te trekken door B loodrecht op a.
Het snijpunt van a en b is een punt van de meetkundige plaats.
3. Het coördinatenstelsel
In de opgave is er sprake van loodrechte stand dus moeten we een orthonormaal
coördinatenstelsel kiezen. We kiezen de oorsprong O in het midden van lijnstuk
[AB] (de punten A en B spelen een evenwaardige rol). We leggen de x-as langs het
lijnstuk [AB] en ijken de x-as zo dat A en B resp. de coördinaten (−r, 0) en (r, 0)
krijgen. De y-as gaat door O loodrecht op de x-as.
4. De methode Methode I.
Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x1 , y1 )
en we drukken de meetkundige voorwaarde uit. We moeten uitdrukken dat de rechte
P A orthogonaal is met rechte P B. Het is voldoende de richtingsvectoren van deze
rechten te bepalen en uit te drukken dat hun scalair product gelijk is aan nul.
Richtingsvectoren van P~A en P~B zijn resp. (x1 − r, y1 ) en (x1 + r, y1 ). De vectoren
staan loodrecht op elkaar als hun scalair product gelijk is aan nul.
P (x1 , y1 ) ∈ m ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
P~A ⊥ P~B
(x1 − r)(x1 + r) + y12 = 0
x21 − r2 + y12 = 0
x21 + y12 = r2
5. Interpretatie en tekening van de meetkundige plaats
De meetkundige plaats is een cirkel x2 + y 2 = r2 met middelpunt in O en straal r.
De meetkundige plaats is dus een cirkel waarvan het lijnstuk [AB] een middellijn is.
16
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
Figuur 1.2: meetkundige plaats 2
MEETKUNDIGE PLAATS 2 T.o.v. een orthonormale basis beschouwt men de punten A(0, 0), B(0, 2), C(6, 1) en D(3, 5). Bepaal de meetkundige plaats van de punten P
zodanig dat de oppervlakten van de driehoeken P AB en P CD zich verhouden als |AB| en
|CD|.
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens
We stellen de gegevens voor t.o.v. de gegeven orthonormale basis.
2. Speciale punten
Voor deze meetkundige plaats is het moeilijk vooraf punten te bepalen.
3. Coördinatenstelsel Het coördinatenstelsel is reeds gegeven.
4. Methode Methode I.
Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x1 , y1 )
en we drukken de meetkundige voorwaarde uit.
De verhouding van de oppervlakten van driehoeken P AB en P CD is gelijk aan de
verhouding van hun basissen |AB| en |CD| op voorwaarde dat ze gelijke hoogten
hebben. Het punt P is dus een punt van de meetkundige plaats op voorwaarde
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
17
dat P op gelijke afstand ligt van de rechten AB en CD. De meetkundige plaats is
dus de unie van de bissectrices van het rechtenpaar {AB, CD}. Een richtingsvector
van de rechte CD is (3 − 6, 5 − 1) = (−3, 4). De vergelijking van de rechte CD is
4(x − 6) + 3(y − 1) = 0 of 4x + 3y − 27 = 0.
P (x1 , y1 ) ∈ m ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
d(P, AB) = d(P, CD)
1 −27|
|x1 | = |4x1√+3y
16+9
5x1 = 4x1 + 3y1 − 27 ∨ 5x1 = −4x1 − 3y1 + 27
x1 − 3y1 + 27 = 0 ∨ 9x1 + 3y1 − 27 = 0
De bissectices zijn de rechten met vergelijkingen: x−3y +27 = 0 en 9x+3y −27 = 0.
5. Interpretatie en tekening van de meetkundige plaats De meetkundige plaats is de
unie van twee rechten die we gemakkelijk kunnen construeren. Dit laat ons toe de
resultaten van de berekeningen te controleren.
18
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 3 Bepaal de meetkundige plaats van de punten P waarvoor de som van de kwadraten van de afstanden tot twee vaste punten A en B de constante
waarde k 2 heeft.
Figuur 1.3: meetkundige plaats 3
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens
We tekenen een lijnstuk met een bepaalde lengte k, alsook een lijnstuk [AB] waarvan
we de lengte gelijkstellen aan 2a.
2. Speciale punten Voor deze meetkundige plaats is het moeilijk reeds een paar punten
te bepalen.
3. Coördinatenstelsel Omdat er sprake is van afstanden, moeten we een orthonormale
basis kiezen. We kiezen de x-as langs de rechte AB, de oorsprong O in het midden
van [AB] en de y-as door O loodrecht op de x-as. We nemen de ijk op de x-as zo
dat de coördinaten van A en B resp. (−a, 0) en (a, 0).
4. Methode Methode I.
Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x1 , y1 )
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
19
en we drukken de meetkundige voorwaarde uit.
P (x1 , y1 ) ∈ m ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
|P A|2 + |P B|2 = k 2
(x1 − a)2 + y12 + (x1 + a)2 + y12 = k 2
2x21 + 2y12 + 2a2 = k 2
2
x21 + y12 = k2 − a2
5. Interpretatie De meetkundige plaats is een kromme met vergelijking
x2 + y 2 =
k2
− a2
2
q
2
Deze vergelijking stelt een cirkel voor met middelpunt in O en straal k2 − a2 =
√
1
(
2k 2 − 4a2 ). De gegevens moeten dus van die aard zijn dat de 4a2 < 2k 2 ⇐⇒
2
√
√
(2a)2 < ( 2k)2 =⇒ 2a < 2k.
6. Tekening van de meetkundige plaats
Om de straal van√de cirkel te construeren, tekenen we een rechthoekige driehoek
met schuine zijde 2k en rechthoekszijde 2a, die de lengte is van het lijnstuk [AB].
De andere rechthoekszijde is de straal van de cirkel. Met CABRI kunnen goed
zien vanaf wanneer we geen cirkel meer krijgen als we de lengte van de lijnstukken
veranderen.
Dankzij de eigenschap 1.1 van een zwaartelijn van een driehoek kunnen we de meetkundige
plaats herleiden tot de cirkel als meetkundige plaats van de punten die op gelijke afstand
liggen van een vast punt.
In driehoek P AB is M het midden van [AB] en er geldt:
1
|P A|2 + |P B|2 = 2|P M |2 + |AB|2
2
m
k2 1
− |AB|2
2
4
m
1p 2
|P M | =
2k − |AB|2 .
2
|P M |2 =
De afstand
dus beschrijft P een cirkel met middelpunt M en
√
p van M tot P is constant,
2
1
2
2
straal 2 2k − |AB| met k > 2 |AB|.
20
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 4 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoor
het verschil van de kwadraten van de afstanden tot twee gegeven punten A en B de constante waarde k 2 is.
Figuur 1.4: meetkundige plaats 4
TAAK ♣ 4 Zoek deze meetkundige plaats met methode I.
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens
2. Speciale punten
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
21
3. Coördinatenstelsel
4. Methode
5. Interpretatie
6. Tekening van de meetkundige plaats
Omwille van een eigenschap 1.2 kunnen we de meetkundige plaats op een eenvoudige wijze
herleiden tot en gekende meetkundige plaats.
In driehoek P AB is M het midden van [AB], P 0 de projectie van P op de zijlijn AB. De
P 0|
waarbij α de hoek is
cosinusregel in de rechthoekige driehoek M P P 0 geeft cos α = |M
|M P |
in M .
In driehoek P AB geldt:
~ M~P = 2|AB| · |M P | cos α = 2|AB| · |M P 0 | = 2AB.
~ M~P 0
|P A|2 − |P B|2 = 2AB.
Hieruit volgt
2
2
2
~
~ =k
~ M~P 0 = k ⇐⇒ M~P 0 . AB = k ⇐⇒ M~P 0 .AM
AB.
2
2
4
4
Uit dit laatste volgt dat k2 middelevenredig is tussen |M P 0 | en |AM |. Hieruit volgt dat
P 0 een vast punt is op de zijlijn AB. Het punt P ligt dus op de loodlijn door P 0 op AB.
Om P 0 te construeren, trekken we door M de loodlijn op AB en passen hierop |M C| = k2
af. De loodlijn in C op AC snijdt AB in P 0 . (De lengte van de hoogtelijn op de schuine
zijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussen de lengten van de stukken
waarin ze de schuine zijde verdeelt of het kwadraat van de lengte van de hoogte op de
schuine zijde is gelijk aan het product van de lengten van de stukken waarin ze de schuine
zijde verdeelt).
Deze beschouwing geldt voor een strikt positief constant verschil k 2 . Het punt P 0 ligt op
de halfrechte ]M B tussen A en M .
22
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 5 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoor
de afstand tot een vast punt A gelijk is aan tweemaal de afstand tot een vast punt B.
Figuur 1.5: meetkundige plaats 5
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens We tekenen een lijnstuk [AB] met een bepaalde lengte
2a
2. Speciale punten Er zijn twee punten C en D op de rechte AB waarvoor de verhouding van |P A| en |P B| gelijk is aan 2. Het ene punt C ligt binnen het lijnstuk [AB]
het ander punt D ligt erbuiten. Om deze punten te tekenen, delen we het lijnstuk
in drie gelijke delen. Het punt C ligt dan op 2 derden van A en 1 derde van B. Het
punt D ligt aan de kant van B op een afstand van B gelijk aan de lengte |AB|.
3. Coördinatenstelsel We moeten een orthonormale basis kiezen omdat er in de opgave
sprake is van afstanden. Omdat C en D dezelfde rol spelen, kiezen we de oorsprong
in het midden van het lijnstuk [CD]. De x-as leggen we langs de rechte AB en
de y-as door O loodrecht op AB. We kiezen de ijk op x-as zo dat de absis van D
negatief is. We noemen a , b, c en d de absissen van resp. A, B, C en D.
Er geldt:
~ = −2CB
~ en DA
~ = 2DB
~
CA
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
23
De volgende betrekkingen gelden tussen a, b, c en d:

 a − c = −2(b − c)
a − d = 2(b − d)

c+d = 0
Het stelsel gaat over in een gelijkwaardig stelsel als we de eerste twee vergelijkingen
eens lid aan lid van elkaar aftrekken en eens lid aan lid bij elkaar optellen.

= 2(c − d)
 2a
c − d = 4b

c+d = 0
m

= 4b
 a
c − d = 4b

c+d = 0
m

= 4b
 a
c
= 2b

c+d = 0
4. Methode Methode I.
Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x1 , y1 )
en we drukken de meetkundige voorwaarde uit.
P (x1 , y1 ) ∈ m ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
|P A|
|P B|
=2
|P A|2 = 4|P B|2
(x1 − a)2 + y12 = 4((x1 − b)2 + y12 )
3x21 + 3y12 + 2(a − 4b)x1 + 4b2 − a2 = 0
3x21 + 3y12 − 12b2 = 0
x21 + y12 = 4b2
5. Interpretatie en tekening van de meetkundige plaats
De meetkundige plaats is en cirkel x2 + y 2 = (2b)2 met middelpunt in O en straal
2b. We kunnen gemakkelijk controleren of de cirkel gaat door de punten C en D.
24
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 6 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoor
de verhouding van de afstanden tot twee gegeven punten A en B de constante waarde k
heeft.
Figuur 1.6: meetkundige plaats 6
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens
We tekenen eerst een willekeurige driehoek P AB. De verhouding van de zijden |P A|
en |P B| is dan gelijk is aan een bepaalde waarde k.
2. Speciale punten
We weten dat in een driehoek P AB de binnenbissectrice resp. de buitenbissectrice
van de hoek in P de overstaande zijde [AB] inwendig resp. uitwendig verdeelt in
stukken die zich verhouden als de aanliggende zijden |P A| en |P B|. We construeren
de bissectrices van de rechten P A en P B. De snijpunten van deze bissectrices met
de zijde AB levert de punten C en D op (zie tekening 1.6). Er geldt:
|CA|
|DA|
|P A|
=
=
= k.
|CB|
|DB|
|P B|
C en D zijn twee speciale punten van de meetkundige plaats.
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
25
3. Coördinatenstelsel
We kiezen het coördinatenstelsel zoals bij de meetkundige plaats 5.
4. Methode
TAAK ♣ 5 Deze meetkundige plaats is een veralgemening van de meetkundige
plaats 5. Bepaal de vergelijking van deze meetkundige plaats.
Maak hier de berekeningen op analoge wijze als voor de meetkundige plaats 5:
5. Interpretatie
6. Tekening van de meetkundige plaats
We kunnen meetkundig bewijzen dat de meetkundige plaats de cirkel is waarvan [CD]
een middellijn is.
Aangezien P het snijpunt is van de bissectrices en de bissectrices loodrecht op elkaar staan
is het punt P gelegen op de cirkel met [CD] als middellijn. We moeten nu aantonen dat
elk punt Q van de cirkel met [CD] als middellijn een punt is van de meetkundige plaats,
m.a.w. dat de rechte QC en QD de bissectrices zijn van het rechtenpaar {AQ, BQ}.
Daartoe construeren we de loodlijn in C op QC, die QA en QB snijden resp. in K en
L. In de gelijkvormige driehoeken ADQ en ACK enerzijds, en driehoeken BCL en BDQ
anderzijds, gelden de evenredigheden:
|CA|
|CL|
|CB|
|CK|
=
en
=
|DQ|
|DA|
|DQ|
|DB|
|CA|
|DA|
Rekening houdend met |CB|
= |DB|
volgt hieruit dat |KC| = |CL|.
De rechte QC is middelloodlijn van [KL] en dus ook bissectrice van het rechtenpaar
{QK, QL}. De meetkundige plaats is dus de cirkel met [CD] als middellijn. We noemen
de meetkundige plaats de cirkel van Apollonius bij het lijnstuk [AB] en de verhouding
k.
26
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 7 Gegeven is een vast parallellogram ABCD en een veranderlijk punt P . De evenwijdige met BC door P snijdt AB in Q en de evenwijdige met
AB door P snijdt BC in R. Bepaal de meetkundige plaats van P als QR parallel is met
de diagonaal AC.
Figuur 1.7: meetkundige plaats 7
Oplossing:
1. Speciale punten
Als de rechte QR samenvalt met AC dan valt het punt P in D. Q en R kunnnen
ook samenvallen in B. Het punt P valt dan in B. De punten D en B zijn speciale
punten van de meetkundige plaats.
2. Coördinatenstelsel
In de opgave is geen sprake van loodrechte stand of afstand. We zijn dus niet verplicht een orthonormale basis te kiezen. We kiezen een affien coördinatenstelsel
waarbij we de oorsprong kiezen in B, de x-as en de y-as leggen langs resp. de speciale zijden BA en BC van het parallellogram ABCD. De punten A, C en D krijgen
resp. de coördinaten (1, 0), (0, 1), (1, 1).
3. Methode Methode I.
Het punt P dat de meetkundige plaats beschrijft, geven we de coördinaat (x1 , y1 ).
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
27
De richtingscoëfficiënt van AC is gelijk aan −1. De coördinaten van Q en R zijn
resp. (x1 , 0) en (0, y1 ).
We drukken de meetkundige voorwaarde uit.
RQ k AC ⇐⇒
−y1
= −1.
x1
4. Interpretatie
De meetkundige plaats is de rechte met vergelijking y = x di. de andere diagonaal
BD van het parallellogram.
5. Tekening
MEETKUNDIGE PLAATS 8 Van een driehoek ABC met zwaartelijn AM zijn de
hoekpunten A en B vast en is |AM | = r constant. Bepaal de meetkundige plaats van het
hoekpunt C.
Oplossing:
1. Speciale punten
~ = M~B.
Als M ∈ AB dan C ∈ AB zodat CM
2. Coördinatenstelsel
In de opgave is sprake van afstand. We zijn dus verplicht een orthonormale basis te
kiezen. We kiezen de oorsprong in A, de x-as langs AB en de y-as door A loodrecht
op AB. De punten A en B krijgen resp. de coördinaten (0, 0) en (b, 0). Omdat M
het midden is van [CB] is de coördinaat van M ( x+b
, y2 ).
2
28
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
3. Methode Methode I.
Het punt C dat de meetkundige plaats beschrijft, geven we de coördinaat (x, y). We
drukken de meetkundige voorwaarde uit.
C ∈ m ⇐⇒ |AM | = r ⇐⇒ |AM |2 = r2 .
m
C(x, y) ∈ m ⇐⇒ (
y
x+b 2
) + ( )2 = r2 .
2
2
m
(x + b)2 + y 2 = (2r)2 .
4. Interpretatie
De meetkundige plaats is de cirkel met middelpunt (−b, 0) en straal 2r.
5. Tekening
TAAK ♣ 6
T.o.v. een orthonormale basis is een vast punt A gegeven op de x-as. Een veranderlijk
punt P doorloopt de y-as. De loodlijn in P op AP snijdt de x-as in een punt B. Bepaal
de meetkundige plaats van het punt M , zó dat P steeds het midden is van het lijnstuk
[BM ]. Teken de meetkundige plaats t.o.v. de gegeven orthonormale basis.
MEETKUNDIGE PLAATS 9 De (niet-ontaarde) ellips is de meetkundige plaats van
de punten waarvoor de som van de afstanden tot twee gegeven punten F1 en F2 constant
is.
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens
We tekenen de rechte F1 F2 en een lijnstuk [AB] met lengte 2a, die de constante som
van de afstanden is. De afstand tussen de punten F1 en F2 noemen we 2c.
2. Speciale punten
Om punten van de meetkundige plaats te construeren, moeten we twee cirkels trekken, een cirkel met middelpunt in F1 en een cirkel met middelpunt F2 en waarvan
de som van de respectieve stralen r1 en r2 gelijk is aan 2a. De cirkels snijden elkaar
op voorwaarde dat 2a ≥ 2c. Elk snijpunt van deze twee cirkels levert een punt op
van de meetkundige plaats.
Speciale punten van de meetkundige plaats zijn de punten waarvoor
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
29
Figuur 1.8: meetkundige plaats 9
(a) r1 = r2 = a
Deze twee punten liggen op de middelloodlijn van [F1 F2 ] en op een afstand a
van F1 en F2 .
(b) de cirkels raken aan elkaar.
Voor de stralen van inwendig rakende cirkels geldt dat de absolute waarde van
het verschil van de stralen gelijk is aan de afstand tussen de middelpunten.
Als de cirkels elkaar uitwendig raken voldoen de stralen r1 en r2 aan de volgende
betrekkingen:
r1 + r2 = 2a
|r1 − r2 | = 2c
Hieruit volgt dat
r1 = a + c
∨
r2 = a − c
r1 = a − c
r2 = a + c
Hieruit volgt dat de grootste straal gelijk is aan a+c en de kleinste straal gelijk
aan a − c. Beschouwen we het midden O van het lijnstuk [F1 F2 ] dan liggen
deze speciale punten op de rechte F1 F2 op een afstand a van O. De afstand
tussen deze twee punten is gelijk aan 2a.
3. Coördinatenstelsel
In de opgave is sprake van afstand. We zijn dus verplicht een orthonormale basis te
30
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
kiezen. De punten F1 en F2 spelen dezelfde rol. We kiezen de oorsprong O in het
midden van [F1 F2 ], de x-as leggen we langs F1 F2 en de y-as langs de middellodlijn
van [F1 F2 ]. De punten F1 en F2 hebben resp. de coördinaten (c, 0) en (−c, 0).
4. Methode Methode I.
Het punt P dat de meetkundige plaats beschrijft, geven we de coördinaat (x1 , y1 ).
P (x1 , y1 ) ∈ m ⇐⇒ |P F1 | + |P F2 | = 2a ⇐⇒ r1 + r2 = 2a
We kwadrateren beide leden en we krijgen
(r1 + r2 )2 = 4a2 ⇐⇒ r12 + r22 + 2r1 r2 = 4a2
⇐⇒ 2r1 r2 = 4a2 − r12 − r22
We gaan nog eens beide leden kwadrateren en we krijgen
4r12 r22 = (4a2 − (r12 + r22 ))2
m
16a4 − 8a2 (r12 + r22 ) + (r12 + r22 )2 − 4r12 r22 = 0
m
16a4 − 8a2 (r12 + r22 ) + (r14 + r24 + 2r12 r22 − 4r12 r22 ) = 0
m
16a4 − 8a2 (r12 + r22 ) + (r14 + r24 − 2r12 r22 ) = 0
m
16a4 − 8a2 (r12 + r22 ) + (r12 − r22 )2 = 0
m
16a4 − 8a2 ((x1 + c)2 + y12 + (x1 − c)2 + y12 ) + ((x1 + c)2 + y12 − (x1 − c)2 − y12 )2 = 0
m
16a4 − 8a2 (2x21 + 2y12 + 2c2 ) + (4x1 c)2 = 0 ⇐⇒ 4a4 − 2a2 (2x21 + 2y12 + 2c2 ) + 4x21 c2 = 0
We rangschikken de termen naar x21 en y12 :
(a2 − c2 )x21 + a2 y12 = a2 (a2 − c2 )
Daar a ≥ c kunnen we stellen a2 − c2 = b2 en de voorwaarde wordt:
b2 x21 + a2 y12 = a2 b2
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
31
Bij deze berekeningen moeten we bij de tweede maal dat we kwadrateren, rekening
houden met de voorwaarde
2a2 − (x21 + y12 + c2 ) ≥ 0
m
x21 + y12 ≤ 2a2 − c2
m
x21 + y12 ≤ a2 + b2
5. Interpretatie
De meetkundige plaats is de kromme met vergelijking
b 2 x 2 + a2 y 2 = a2 b 2
m
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
die we de (niet-ontaarde) ellips noemen. De punten F1 en F2 worden de brandpunten van de ellips genoemd.
6. Tekening Op de tekening kunnen we de betekenis zien van a, b en c. 2a en 2b
noemen we resp. de grote as van de ellips en de kleine as van de ellips. Er
geldt steeds dat a > b. In de limiet als a = b is dan is de ellips een cirkel waarvan
het middelpunt samenvalt met de samenvallende brandpunten (c = 0).
MEETKUNDIGE PLAATS 10 De (niet-ontaarde) hyperbool is de meetkundige plaats
van de punten waarvoor de absolute waarde van het verschil van de afstanden tot twee
gegeven punten F1 en F2 constant is.
TAAK ♣ 7 Bepaal deze meetkundige plaats naar analogie met de meetkundige plaats
9
32
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 11 De (niet-ontaarde) parabool is de meetkundige plaats
van de punten waarvoor de afstand tot een punt gelijk is aan de afstand tot een rechte.
Figuur 1.9: meetkundige plaats 11
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens : We tekenen de rechte d en het punt F , de afstand van
het punt tot de rechte d noemen we p.
2. Speciale punten
Om punten van de meetkundige plaats te construeren, moeten een cirkel tekenen
met middelpunt F en straal r en een rechte die evenijdig is met d op een afstand
r van d. De cirkel snijdt de rechte op voorwaarde dat de straal r groter is dan de
helft van de afstand p. Elk snijpunt van de cirkel en de rechte levert een punt op
van de meetkundige plaats.
Een speciaal punt van de meetkundige plaats is het punt waarvoor de rechte raakt
aan de cirkel. Dit is het punt dat gelegen is op de loodlijn uit F op d en op een
afstand p/2 van F en van d.
3. Coördinatenstelsel : In de opgave is sprake van afstand. We zijn dus verplicht een
orthonormale basis te kiezen. We kiezen de oorsprong O in het speciaal punt, de
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
33
x-as brengen we aan door F loodrecht op d, de y-as langs de loodlijn door O op de
x-as. Het punt F heeft de coördinaat ( p2 , 0) en de rechte d heeft vergelijking x = − p2 .
4. Methode Methode I.
Het punt P dat de meetkundige plaats beschrijft, geven we de coördinaat (x1 , y1 ).
r
p
p
P (x1 , y1 ) ∈ m ⇐⇒ |P F | = d(P, d) ⇐⇒ (x1 − )2 + y12 = x1 +
2
2
p
p
p
p
(x1 − )2 + y12 = (x1 + )2 ⇐⇒ (x1 − )2 − (x1 + )2 + y12 = 0 ⇐⇒
2
2
2
2
p
p
p
p
(x1 − − x1 − )(x1 − + x1 + ) + y12 = 0 ⇐⇒
2
2
2
2
p
(−2 )(2x1 ) + y12 = 0 ⇐⇒ −2px1 + y12 = 0
2
5. Interpretatie : De meetkundige plaats is de kromme met vergelijking
y 2 = 2px
die we de (niet-ontaarde) parabool noemen. Het punt F wordt het brandpunt
van de parabool genoemd en d de richtlijn van de parabool.
6. Tekening : Op de tekening kunnen we de betekenis zien van p. Als we door F een
loodlijn trekken op de x-as dan is 2p de koorde van de parabool afgesneden door die
loodlijn. 2p geeft aan hoe breed de parabool is. We noemen 2p de hoofdparameter
van de parabool.
OPGAVEN — 8 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(−4, 0) en B(0, 3) gegeven. Bepaal de
meetkundige plaats van het hoekpunt C van driehoek ABC als de oppervlakte van de driehoek constant
is en gelijk aan k 2 . Kies voor k een waarde en teken de meetkundige plaats.
9 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(2, 0) en B(2, 6) gegeven. Bepaal de meetkundige
plaats van het punt P waarvoor |P A|2 − |P B|2 = 50.
10 T.o.v. een orthonormale basis zijn het punt A(4, −2) gegeven alsook de rechte a : 4x − 3y + 5 = 0.
Bepaal de meetkundige plaats van het punt P zo dat |P A| = d(P, a).
11 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvan de som van de kwadraten van de afstanden tot
twee gegeven punten A en B gelijk is aan de van de kwadraten van de afstanden tot twee andere gegeven
punten C en D. Tip: kies de x-as door de middens M en N van resp. [AB] en [CD] en de oorsprong in
het midden van [M N ].
34
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
12 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvan de absolute waarde van het verschil van de
afstanden tot twee orthogonale rechten gelijk is aan 5.
13 De bovenste twee punten C en D van een rechthoekige kantelpoort ABCD rollen over twee rails
CC 0 en DD0 . die evenwijdig zijn met het horizontaal vlak van de vloer. De onderste twee punten A en B
van die poort rollen in twee verticale geleiders AD en BC. Het handvat bevindt zich in het midden van
de poort; Welke baan beschrijft het handvat indien de poort kantelt van haar verticale stand tot haar
horizontale stand.
14 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(−a, 0) en B(a, 0) gegeven. Bepaal de meetkundige
plaats van het punt P waarvoor |P A| · |P B| = a2 . Teken deze meetkundige plaats met de computer. De
kromme die je bekomt, noemt het lemniscaat van Bernoulli.
15 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvan het verschil van de afstanden tot twee vaste
snijdende rechten constant is. (Tip: Kies de bissectrices van de geg. rechten tot x-as en y-as en noem het
verschil van de afstanden k. De rechten hebben dan vergelijking van de gedaante y = ωx en y = −ωx.
Ga dan tewerk zoals in oef 12.)
16 Vier punten A, B, C en D zijn gegeven. Bepaal de meetkundige plaats van de punten P waarvoor
de oppervlakten van de driehoeken P AB en P CD gelijk zijn. (Kies een willekeurige orthonormale basis,
de rechten hebben een vgl ux+vy+w=0.)
17 T.o.v. een affien assenstelsel (x-as niet noodzakelijk loodrecht op y-as) is P (p, 0) een veranderlijk
punt op de x-as en Q(0, q) een veranderlijk punt op de y-as.
Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt van driehoek OP Q als
1. p + q = k met k ∈ R;
2.
p
q
= k met k ∈ R;
3. het midden van [P Q] op de vaste rechte ux + vy = w = 0 ligt.
Voor deze oefening maak je gebruik van het feit dat het zwaartepunt op 1/3 ligt van O op de zwaartelijnen
[0P ] en [OQ].
18 Gegeven is een vaste driehoek ABC en een veranderlijk punt P . Men trekt de loodlijn in A op P A,
in B op P B en in C op P C. Bepaal de meetkundige plaats van P als de drie loodlijnen concurrent zijn.
(veel rekenwerk)
19 Uit een veranderlijk punt P trekt men aan elk van de vaste cirkels c en c0 een raaklijn. De raakpunten
zijn A en A0 . Bepaal meetkundige plaats van P als |P A| = |P A0 |. Om de berekeningen eenvoudiger te
maken, moet eerst meetkundig geredeneerd worden vooraleer aan het rekenen te gaan.
20 Op een vaste rechte a ligt een vast punt A en op de vaste rechte b loodrecht op a ligt een veranderlijk
punt B. Op de evenwijdige met a door B neemt men het punt P zó dat |P B| = |AB|. Bepaal de
meetkundige plaats van het punt P .
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
35
Oplossingen:
2
2
8. 3x − 4y + 12 ± 2k 2 ; 9. y = 43
6 ; 10. par.met as ⊥ a : 9x + 24xy + 16y − 240x + 130y + 475;
11. rechte ⊥ M N ; 12. 4 halve rechten k met bissectrices dr de punten van de rechten die op een afstand 5 van de andere rechte liggen.; 13. kwart cirkel: M =midden v [DC], R =halve hoogte poort;
14. (x2 + y 2 )2 + 2a2 (y 2 − x2 ) = 0; 15. 4 halve rechten k met x en y door de 2 punten van de ene
gegeven rechte die op een afstand k liggen van de andere rechte (dus op elke rechte 2 punten);.16. 2
rechten dr het snijpunt vd AB en CD (⊥ op elkaar als |AB| = |CD|; .17. 1.x + y = k/2, 2. x = ky, 3.
3ux + 3vy + 2w = 0, di een rechte parallel met ux + vy + w = 0; 18. We kiezen de x-as langs AB en de
y-as door C loodrecht op AB. We ijken zodanig dat C de coördinaat (0, 1) heeft. De coördinaten van
1+ab
A en B noemen we resp. (a, 0) en (b, 0). De meetkundige plaats is de cirkel met middelpunt ( a+b
2 , 2 )
√
1
en straal 2 a2 + b2 + a2 b2 + 1, di. de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. Dit kan ook meetkundig
beredeneerd worden. Om te tekenen stel a = −1 en b = 2.
19. We kiezen de x-as langs de centraal van de twee cirkels, de y-as door het middelpunt van de cirkel
c loodrecht op de centraal en het middelpunt van c0 geven we de coördinaat (1, 0). De stralen van de
2
02
cirkels c en c0 zijn resp. R en R0 . De meetkundige plaats is de rechte x = R −R2 +1 . Deze rechte wordt
de machtlijn van de cirkels genoemd.
20. We kiezen De x-as langs a en de y-as langs b. We kiezen de ijk zodanig dat het punt A de coördinaat
(1, 0) heeft. De meetkundige plaats is een hyperbool x2 − y 2 = 1.
LIN.AL. HUISTAAK 1
1. T.o.v. een affien assenstelsel (x-as niet noodzakelijk loodrecht op y-as) zijn de punten A(2, −3) en B(−4, 1) gegeven. Bepaal de meetkundige
plaats van het punt P zodat de richtingscoëfficiënt van de rechte AP het dubbele is
van de richtingscoëfficiënt van de rechte BP .
2. Een punt A ligt op een afstand a van een rechte r. Een lijnstuk BC met vaste
lengte 2a, glijdt over r. Wat is de meetkundige plaats van het middelpunt van de
omgeschreven cirkel van driehoek ABC?
3. Een lijnstuk, met constante lengte, schuift met zijn eindpunten over de coördinaatassen
van een rechthoekig assenkruis. Bepaal de meetkundige plaats van een bepaald punt
van het lijnstuk.
2
2
4. T.o.v. een orthonormale basis doorloopt een punt P de ellips xa2 + yb2 = 1.
P 0 en P 00 zijn de loodrechte projecties van P op resp. de x-as en de y-as.
Bepaal de meetkundige plaats van
(a) het midden van [OP ];
(b) het midden van [P 0 P ];
(c) het zwaartepunt van driehoek P P 0 P 00 .
5. Bepaal de meetkundige plaats van de zwaartepunten van de driehoeken met dezelfde
basis [BC] en gelijke oppervlakte.
36
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
1.2.2
Methode II: methode van de geassocieerde krommen
Deze methode steunt op het principe van de eliminatie van één of meerdere parameters.
We illustreren dat met enkele voorbeelden.
• We hernemen de parabool van bladzijde 32
We werken t.o.v. het coördinatenstelsel dat we op bladzijde 32 gekozen hebben. Bij
deze methode kiezen we een parameter, dit is een veranderlijk reëel getal die we
hechten aan een veranderlijk element uit de opgave. Hier kiezen we afstand van het
punt P van de meetkundige plaats tot het punt F of tot de rechte d als parameter en
noemen hem r. Een punt P van de meetkundige plaats ligt enerzijds op de cirkel met
middelpunt F en straal r en anderzijds op de rechte d0 parallel met d en op de afstand
r van d (d0 ligt samen met F aan dezelfde kant van d). Geven we aan de parameter
r een andere waarde dan verkrijgen we een andere cirkel en een andere rechte en
bijgevolg twee andere punten van de meetkundige plaats. De cirkel en de rechte die
behoren bij eenzelfde parameterwaarde noemen we geassocieerde krommen van
de meetkundige plaats. Hier zal voor geen enkele waarde van de parameter de
geassocieerde krommen oneindig veel gemeenschappelijke punten hebben. Hier zijn
er hoogstens twee gemeenschappelijke punten per stel geassocieerde krommen.
De gemeenschappelijke punten van geassocieerde krommen leveren punten op van de
meetkundige plaats
Het stelsel
(x − p2 )2 + y 2 = r2
x = r−
p
2
is het stelsel geassocieerde krommen.
We zoeken nu de nodige en voldoende voorwaarde waaraan de coördinaat (xo , yo )
van een punt moet voldoen opdat het de coördinaat zou zijn van een punt van de
meetkundige plaats.
Opdat het punt met coördinaat (xo , yo ) een punt zou zijn van de meetkundige plaats
m moet er een parameterwaarde ro bestaan zodat er geldt
(xo − p2 )2 + yo2 = ro2
xo = ro − p2
Dit betekent dat het volgend stelsel oplosbaar is met r als onbekende:
2
(xo − p2 )2 + y 2 = r2
r = (xo − p2 )2 + y 2
⇐⇒
xo = r − p2
r = p2 − xo
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
37
De oplossing voor r uit de tweede vergelijking moet voldoen aan de eerste vergelijking. Er moet dus gelden:
p
p
( − xo )2 = (xo − )2 + y 2
2
2
m
yo2 = 2pxo .
Deze laatste betrekking drukt de nodige en voldoende voorwaarde uit waaraan
(xo , yo ) moet voldoen opdat er in het stelsel een gemeenschappelijke r-waarde zou
bestaan. Dit is dus de nodige en voldoende voorwaarde opdat (xo , yo ) de coördinaat
zou zijn van een punt van de meetkundige plaats. Bijgevolg is y 2 = 2px de vergelijking van de meetkundige plaats.
De vergelijking van de meetkundige plaats werd bekomen door de parameter r te
elimineren uit het stelsel geassocieerde krommen.
De vergelijking y 2 = 2px noemen we de eliminant van het stelsel geassocieerde
krommen.
Figuur 1.10: meetkundige plaats 11 met de methode van de geassocieerde krommen
38
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
• We hernemen de meetkundige plaats 1.
Een punt van de meetkundige plaats wordt bekomen door een rechte m door A te
snijden met een rechte door B loodrecht op m. De geassocieerde krommen zijn dus
twee rechten resp. door A en door B loodrecht op elkaar. We kiezen als parameter
de richtingscoëfficiënt ω van de veranderlijke rechte m door A. m heeft een vergelijking van de gedaante y = ω(x − 1). De vergelijking van de rechte m⊥ door B
loodrecht op m is y = − ω1 (x + 1). Elke waarde van ω levert juist één snijpunt op
van de geassocieerde krommen m en m⊥ dat een punt is van de meetkundige plaats.
Het stelsel
y = ω(x − 1)
(x − 1)ω = y
⇐⇒
y = − ω1 (x + 1)
−yω = x + 1
is dus een stelsel geassocieerde krommen met parameter ω. Elimineren we ω uit het
stelsel dan verkrijgen we de vergelijking van de gevraagde meetkundige plaats. De
eliminant is
(x − 1)
y
= 0 ⇐⇒ x2 + y 2 = 1
−y
x+1 De eliminant is de vergelijking van een cirkel met middelpunt in de oorsprong en
straal 1.
Figuur 1.11: meetkundige plaats 1
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
39
Eliminatie van twee parameters
Het kan voor de eliminatie soms handiger zijn te werken met twee parameters. Tussen die
twee parameters bestaat dan wel en verband. We moeten dan twee parameters elimineren
uit drie vergelijkingen. Daartoe lossen we de twee parameters op uit het stelsel geassocieerde krommen en substitueren deze waarden dan in de betrekking die het verband
uitdrukt tussen de twee parameters. We illustreren met voorbeelden:
40
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 12 T.o.v. een affien coördinatenstelsel zijn gegeven de
punten A(0, a) en B(0, b). Op de x-as bewegen de punten Q(q, 0) en R(r, 0) zodanig dat
1
+ 1r = k, waarbij k een gegeven constante is. Bepaal de meetkundige plaats van het
q
snijpunt P van AQ en BR.
Figuur 1.12: meetkundige plaats 12
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens
2. Speciale punten
We onderzoeken of de punten Q en R kunnen samenvallen. Als Q = R dan geldt
1 1
1
2
+ = ⇐⇒ q =
q q
k
k
Het is dus mogelijk dat Q en R samenvallen. Aangezien de gegeven punten A en B
verschillend verondersteld worden, snijden ze elkaar op de x-as in het punt ( k2 , 0),
dat een speciaal punt is van de meetkundige plaats. De geassocieerde krommen
vallen samen indien Q en R samen vallen in de oorsprong wat onmogelijk is (q 6= 0
en r 6= 0).
3. Coördinatenstelsel Dit is gegeven.
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
41
4. Methode We kiezen de methode II omdat een punt van de meetkundige plaats
bekomen wordt als snijpunt van twee rechten.
De absissen q en r van de veranderlijke punten van de x-as zijn twee parameters.
Deze parameters zijn afhankelijk van elkaar, ze zijn verbonden door de betrekking
1
+ 1r = k.
q
De geassocieerde krommen zijn de rechten AQ en BR met respectieve vergelijkingen:
x y
x y
+ = 1 en + = 1.
q a
r
b
Om de meetkundige plaats te vinden moeten we de parameters q en r elimineren
uit het stelsel:
 x y
 q +a =1
x
+y =1
 1r 1b
+r =k
q
Hier is het aangewezen 1q en 1r uit de eerste twee vergelijkingen op te lossen en te
substitueren in de derde vergelijking. Zo verkrijgen we:
a−y b−y
+
=k
ax
xb
m
x = 0 ∨ kabx + (a + b)y = 2ab.
De mogelijkheid x = 0 bekomen we voor de parameterwaarden q = 0 en r = 0.
Deze mogelijkheid moet dus uitgesloten worden.
5. Interpretatie
De meetkundige plaats is een rechte, nl. de rechte met vergelijking
kabx + (a + b)y = 2ab.
6. Tekening van de meetkundige plaats
We kunnen de meetkundige plaats tekenen op voorwaarde dat we twee punten kennen van de meetkundige plaats. We kennen alvast voor een bepaalde stand van Q
en R een punt. We zien aan de vergelijking van de rechte dat het snijpunt met de
2ab
y-as het punt (0, a+b
) is, dat onafhankelijk is van de waarde van k. We tekenen de
meetkundige plaats in DERIVE. We kiezen A, B, R en Q zoals op de figuur 1.12
2ab
op bladzijde 40. We laten DERIVE het punt (0, a+b
) = (0, 24
) plotten. Dit punt
11
verbinden we met het snijpunt van de twee rechten.
De parameter treedt op met goniometrische getallen
In dat geval beschouwen we de twee goniometrische getallen van de parameter als twee
verschillende parameters waartussen een verband bestaat aangegeven door een formule
van de goniometrie. Hiervan volgt een voorbeeld.
42
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 13 In een trapezium ABCD zijn de hoekpunten A en B
vast en zijn de evenwijdige zijden AD en BC veranderlijk met |BC| = p en |AD| = q
constant.
Bepaal de meetkundige plaats van
a. het snijpunt van de diagonalen van het trapezium ABCD.
b. het midden van de zijde [CD].
Figuur 1.13: meetkundige plaats 13
Oplossing:
a.
1. Tekening van de gegevens We tekenen het lijnstuk [AB] en om de berekeningen een weinig te vereenvoudigen nemen we de lengte van [AB] gelijk aan
2.
2. Speciale punten
Als punten D en C op de rechte AB vallen dan hebben we geen trapezium
meer. Bovendien vallen de diagonalen samen. De gemeenschapelijke punten
van deze geassocieerde krommen zijn geen punten van de meetkundige plaats
maar vormen het singulier parasitisch deel van de meetkundige plaats.
3. Coördinatenstelsel
We kiezen de x-as langs AB en de y-as door het midden van [AB] en loodrecht
op de x-as. Omdat we de afstand tussen de punten A en B gelijk aan 2 gekozen
hebben, hebben de punten A en B resp. de coördinaten (−1, 0) en (1, 0).
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
43
4. Methode Methode II: een punt van de meetkundige plaats is het snijpunt van
twee rechten.
(a) Keuze van de parameter
Omdat de richting van de evenwijdige rechten AD en BC veranderlijk is,
kiezen we als parameter de hoek α die deze rechten insluiten met de positieve x-as.
Het stelsel coördinaatgetallen van de punten C(xc , yc ) en D(xd , yd ), uitgedrukt met de hoek α, is
xc = p cos α + 1
xd = q cos α − 1
en
yc = p sin α
yd = q sin α
(b) Stelsel geassocieerde krommen Het stelsel geassocieerde krommen DB en
AC is
x−1
y
= q sin
q cos α−2
α
y
x+1
=
p cos α+2
p sin α
Dit stelsel is lineair stelsel in twee onbekenden sin α en cos α, die beschouwd
worden als twee verschillende parameters en die verbonden zijn door de
grondformule
sin2 α + cos2 α = 1.
(c) Singulier deel
De x-as (y = 0) ingeval sin α = 0 en dit is voor de waarden van de
parameter α = 0o of α = 180o .
(d) Eliminatie van de parameters
We lossen het stelsel op naar cos α door beide vergelijkingen lid aan lid
door elkaar te delen. Uit één van de vergelijkingen berekenen we dan sin α.
We verkrijgen:
(
cos α = (q+p)x+p−q
pq
sin α = (q+p)y
pq
De parameter α is geëlimineerd als we de waarden van sin α en cos α invullen in de grondformule.
2
(q + p)x + p − q
(q + p)2 y 2
+
=1
p2 q 2
p2 q 2
We delen in beide termen van het eerste lid teller en noemer door (p + q)2
We verkrijgen de vergelijking:
p−q 2
x + p+q
y2
+
=1
p2 q 2
p2 q 2
(p+q)2
(p+q)2
44
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
m
x−
q−p 2
p+q
pq 2
p+q
+
y2
pq 2
p+q
= 1.
5. Interpretatie
De eliminant stelt een cirkel voor met middelpunt ( q−p
, 0) en straal
q+p
pq
.
p+q
6. Tekening van de meetkundige plaats
b. Voor de meetkundige plaats van het midden gaan we op analoge wijze tewerk. We
kiezen hetzelfde coördinatenstelsel, methode II en dezelfde parameter α.
1. Speciale punten Als punten D en C op de rechte AB vallen dan hebben ze
als absis resp. −1 + q en 1 + p in geval α = 0o en −1 − q en 1 − p in geval
en − p+q
. Deze
α = 180o . Het midden van [CD] heeft dan resp. de absis p+q
2
2
twee punten zijn geen punten van de meetkundige plaats.
Als AD en BC loodrecht staan op AB dan ligt het midden van [DC] op de
of − p+q
.
y-as en heeft als ordinaat p+q
2
2
2. Stelsel geassocieerde krommen

(p+q) cos α
 x=
2
y = (p+q)2 sin α

sin2 α + cos2 α = 1
3. Eliminaie van de parameters
We elimineren cos α en sin α uit het stelsel: De eliminant is
4x2
4y 2
p + q 2
+
= 1 ⇐⇒ x2 + y 2 =
.
2
2
(p + q)
(p + q)
2
4. Interpretatie De meetkundige plaats is een cirkel met de oorsprong als middelpunt en straal p+q
. We merken op dat de vier speciale punten, punten zijn
2
van deze cirkel. De punten op de x-as moeten we echter uitsluiten. Zij vormen
een parasitisch deel van de meetkundige plaats. Een parasitisch deel van de
meetkundige plaats is een deel van de meetkundige plaats die niet voldoet
aan alle meetkundige voorwaarden maar die deel uitmaakt van het resultaat
dat we bekomen na algebraı̈sch bepalen van de meetkundige plaats.
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
45
MEETKUNDIGE PLAATS 14 T.o.v. een orthonormale basis is het punt A(1, 0) ge~ OC
~ = 2. In B trekt men
geven en bewegen de punten B en C op de y-as zodanig dat OB.
de loodlijn op AB, in C de loodlijn op AC. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt
van deze loodlijnen.
Figuur 1.14: meetkundige plaats 14
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens
2. Speciale punten
Naarmate C (B) nadert naar de oorsprong, zal B (C) naderen naar +∞ op de y-as.
De loodlijnen op AB en AC naderen tot rechten die parallel zijn met resp. x-as (yas) en y-as (x-as). De punten B en C kunnen niet samenvallen
√ met de oorsprong.
De punten B en C vallen samen als de ordinaat gelijk is aan√± 2. De rechten AB en
AC vallen samen met de rechte met richtingsvector
√
√ (1, ∓ 2). De√loodlijnen vallen
bijgevolg ook samen met de rechte x ∓ 2(y ∓ 2) = 0 ⇐⇒ x ∓ 2y + 2 = 0. We
krijgen voor deze twee standen van de punten B en C ineens oneindig veel punten
van de meetkundige plaats. Deze delen van de meetkundige plaats zijn singuliere
delen van de meetkundige plaats. Een singulier deel van een meetkundige
plaats is een deel van de meetkundige plaats waarvoor geassocieerde krommen
samenvallen of gedeeltelijk samenvallen. Voor één parameterwaarden verkrijgen we
ineens oneindig veel punten van de meetkundige plaats.
46
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
3. Coördinatenstelsel Is reeds gegeven.
4. Methode Methode II: een punt van de meetkundige plaats is het snijpunt van twee
rechten.
(a) Keuze van de parameter
We kiezen de ordinaat van B als parameter r. De ordinaat van C is dan 2r .
(b) Stelsel geassocieerde krommen
~
~
De vectoren BA(1,
−r) en CA(1,
− 2r ) zijn normaalvectoren van de respectieve
loodlijnen. Het stelsel geassocieerde krommen is
x − r(y − r)
= 0
2
2
x − r (y − r ) = 0
m
2
x − ry + r
= 0
2
4
x − r y + r2 = 0
We rangschikken de vergelijkingen naar r.
r2 − yr + x
= 0
2
xr − 2yr + 4 = 0
(c) Eliminatie van de parameters
Om r te elimineren vatten we r2 en r op als twee parameters X en Y waartussen
een verband bestaat nl. Y 2 = X.
We verkrijgen het stelsel
X − yY + x
= 0
xX − 2yY + 4 = 0
1 −y 6= 0 ⇐⇒ y(2 − x) 6= 0 is het stelsel een stelsel van Cramer
i. Als x −2y met één oplossing voor X en Y . De oplossing is
X = 2
Y = x+2
y
2
√
Deze oplossingen voldoen aan Y 2 = X ⇐⇒ x+2
= 2 =⇒ 2+x = ± 2y
y
Deze vergelijkingen bekomen
we voor
√
√ slechts 2 waarden van de parameter
2
r nl. r = 2 ⇐⇒ r = 2 ∨ r = − 2. Deze vergelijkingen stellen dus het
singulier deel voor van de meetkundige plaats.
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
47
1 −y = 0 ⇐⇒ y(2 − x) = 0 dan heeft het stelsel oneindig
ii. Als x −2y veel oplossingen. Dit betekent dat elke oplossing voor r van de eerste
vergelijking ook oplossing is van de tweede vergelijking en dit voor oneindig
veel waarden van r. De voorwaarde daartoe is dat x = 2 (y 6= 0).
√
5. Interpretatie De vergelijkingen 2 + x = ± 2y zijn de vergelijkingen van het singulier deel van de meetkundige plaats. De eigenlijke meetkundige plaats is de rechte
evenwijdig met de y-as x = 2.
6. Tekening van de meetkundige plaats
~ 0=
We kunnen de meetkundige plaats ook vinden op meetkundige wijze. We tekenen AB
~ en AC
~ 0 = 2AC.
~
~ 0 = 2AO.
~
2AB
Het snijpunt van B 0 C 0 met de X-as is A0 en AA
Uit
00
~ OC
~ = 2 volgt A~0 B 0 .A~0 C 0 = 8. Noemen we a het punt met absis 3 dan geldt:
OB.
A~0 A.A0~A00 = 8.
Het punt A0 heeft de macht 8 t.o.v. de cirkel door de punten C 0 , B 0 , A en A00 . Het middelpunt van deze cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de koorden [AB], [AC 0 ] en
[AA00 ]. Dit snijpunt is tevens een punt van de meetkundige plaats. De middelpunten van
alle cirkels voor veranderlijke B en C liggen op de middelloodlijn van het vaste lijnstuk
[AA00 ]. Dit is de rechte door het punt met absis 2 van de x-as en parallel met de y-as. De
meetkundige plaats is de rechte x = 2.
48
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 15 Van een cirkel c beschouwt men twee loodrechte middellijnen x en y. Een veranderlijk punt P van de cirkel wordt loodrecht op x en y geprojecteerd. De projecties worden resp. P 0 en P 00 genoemd. Zoek de meetkundige plaats van
het midden van [P 0 P 00 ].
Figuur 1.15: meetkundige plaats 15
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens
2. Speciale punten
3. Coördinatenstelsel
4. Methode
(a) Keuze van de parameter
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
49
(b) Stelsel geassocieerde krommen
(c) Eliminatie van de parameters
5. Interpretatie
De meetkundige plaats is een cirkel met middelpunt O en straal gelijk aan de helft
van de straal van de gegeven cirkel.
6. Tekening van de meetkundige plaats
50
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 16 Gegeven een cirkel c met straal r en een veranderlijke rechte m door een vast punt A. Bepaal de meetkundige plaats van het midden van
het snijpuntenpaar van m en de cirkel c
a. als het punt A buiten de cirkel ligt;
b. als het punt A op de cirkel ligt.
Figuur 1.16: meetkundige plaats 16
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens
2. Speciale punten
3. Coördinatenstelsel
4. Methode
(a) Keuze van de parameter
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
51
(b) Stelsel geassocieerde krommen
(c) Singulier deel
(d) Eliminatie van de parameters
5. Interpretatie
6. Tekening van de meetkundige plaats
Meetkundige oplossing
We verbinden het middelpunt M van de cirkel met het punt M 0 van de meetkundige
plaats, dit is het midden van de koorde afgesneden door de rechte m. De straal naar
het midden van een koorde staat loodrecht op die koorde. Het punt van de meetkundige
plaats ziet het vaste lijnstuk [M A] onder een rechte hoek. De punten van de meetkundige
plaats liggen dus op een cirkel met middellijn [AM ].
52
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 17 Door het hoekpunt O van een gegeven rechthoek OABC
gaan twee veranderlijke rechten OD en OE, die orthogonaal zijn. De rechte OD snijdt de
zijlijn AB in D; de rechte OE snijdt de zijlijn BC in E. Bepaal de meetkundige plaats
van:
a. het midden M van het lijnstuk [DE];
b. de projectie van O op DE.
Figuur 1.17: meetkundige plaats 17
Oplossing:
a.
1. Tekening van de gegevens
2. Speciale punten
3. Coördinatenstelsel
4. Methode
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
53
(a) Keuze van de parameter
(b) Stelsel geassocieerde krommen
(c) Eliminatie van de parameters
5. Interpretatie
6. Tekening van de meetkundige plaats
Meetkundige oplossing: Het midden M van het lijnstuk [DE] is het middelpunt van
de cirkel door de punten O, B, E en D. De koorde [OB] is vast en gemeenschappelijk
voor alle cirkels bij veranderlijke E en D. De middelpunten van al de cirkels liggen
dus op de middelloodlijn van het lijnstuk [OB]. De meetkundige plaats van het
midden M van [ED] is dus de middelloodlijn van [OB].
b. De meetkundige plaats is de rechte AC (diagonaal van de rechthoek OABC). Dit
is niet zo eenvoudig meetkundig in te zien. Je kan dit tweede deel met één van de
analytische methodes verifiëren.
1. Tekening van de gegevens
2. Speciale punten
3. Coördinatenstelsel
54
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
4. Methode
(a) Keuze van de parameter
(b) Stelsel geassocieerde krommen
(c) Eliminatie van de parameters
5. Interpretatie
6. Tekening van de meetkundige plaats
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
55
MEETKUNDIGE PLAATS 18 Door een punt A van een gegeven cirkel (M ; r) trekt
men twee veranderlijke rechten p en q die een constante hoek van 45o insluiten. Die
rechten snijden de cirkel nog in twee punten P en Q. Bepaal de meetkundige plaats van
het midden C van het lijnstuk [P Q].
Figuur 1.18: meetkundige plaats 18
Oplossing: De meetkundige oplossing ligt zo voor de hand dat het tijdverspilling is om
de meetkundige plaats nog eens op analytische wijze te zoeken.
∧
Meetkundige oplossing: De omtrekshoek P A Q = 45o en de corresponderende middel√
∧
Hieruit volgt dat |P Q| een vaste waarde heeft, nl. |P Q| = 2r.
puntshoek P M Q = 90o . √
Hieruit volgt √dat |M C| = 22 r. De meetkundige plaats van C is een cirkel met middelpunt
M en straal 22 r.
56
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 19 Gegeven twee vaste punten A(a, 0) en B(b, 0) en een
veranderlijk punt C(0, t) in een orthonormale basis. In A trekt men de loodlijn op AC
en in B de loodlijn op BC. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van deze
loodlijnen.
Figuur 1.19: meetkundige plaats 19
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens
2. Speciale punten
3. Coördinatenstelsel
4. Methode
(a) Keuze van de parameter
(b) Stelsel geassocieerde krommen
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
57
(c) Eliminatie van de parameters
(d) Singulier deel
5. Interpretatie
6. Tekening van de meetkundige plaats
Meetkundige oplossing: De punten A, B, C en P liggen op eenzelfde cirkel met middellijn
[CP ]. Het lijnstuk [AB] is een vaste koorde voor alle cirkels bij veranderlijke C. De
middelpunten van alle cirkels liggen op de middelloodlijn van [AB]. De projectie P 0 van
P op AB is vast voor veranderlijke C. Noemen we M 0 het midden van [AB], dan geldt:
2|CM | = |CP | ⇐⇒ 2|OM 0 | = |OP 0 |
|OA| + |OB|
= |OP 0 | ⇐⇒ |OP 0 | = |OA| + |OB|.
2
De punten P liggen dus op de loodlijn op AB door het punt (a + b, 0). Deze redenering is
geldig als de twee loodlijnen verschillend zijn. De loodlijnen vallen samen met de X-as als
het punt C het oneigenlijk punt is van de y-as. Voor deze stand van C vinden we ineens
oneindig veel punten van de meetkundige plaats. Dit deel van de meetkundige plaats is
het singulier deel van de meetkundige plaats.
⇐⇒ 2
58
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
MEETKUNDIGE PLAATS 20 Een veranderlijke rechte, loodrecht op de schuine zijde BC van een rechthoekige driehoek ABC, snijdt de zijlijn AB in een punt D en de
zijlijn AC in een punt E. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van de rechten
BE en CD.
Figuur 1.20: meetkundige plaats 20
Oplossing:
1. Tekening van de gegevens
2. Speciale punten
3. Coördinatenstelsel
4. Methode
(a) Keuze van de parameter
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
59
(b) Stelsel geassocieerde krommen
(c) Eliminatie van de parameters
5. Interpretatie
6. Tekening van de meetkundige plaats
Meetkundige oplossing: In driehoek ECB zijn ED en AB hoogtelijnen. De rechte door C
en het snijpunt van de hoogtelijnen ED en AB is tevens een hoogtelijn (de hoogtelijnen
in een driehoek zijn concurrent). Hieruit volgt dat de rechte CD loodrecht staat op BE.
Het snijpunt van CD en BE ziet [BC] onder een rechte hoek. Het snijpunt ligt dus op
de cirkel met middellijn [BC] en dit voor een veranderlijke loodlijn op de schuine zijde.
Deze cirkel gaat ook door A, want de driehoek ABC is rechthoekig in A. De meetkundige
plaats is de omgeschreven cirkel van de driehoek ABC.
OPGAVEN — 21 Elimineer de parameter t of a uit de volgende stelsels en geef de meetkundige
interpretatie.
y − tx = 0
tx + 2ty − 3 = 0
y = x+a
a.
b.
c.
x −
t = 0
(t + 1)x − y + t = 0
y = (x + a)2 − 1
22 We beschouwen een vaste cirkel c(M, r) met middellijn [A, B]. Een rechte m verplaatst zich evenwijdig met AB en snijdt de cirkel in de punten D en C zodat ABCD een trapezium vormt. Bepaal de
meetkundige plaats van het snijpunt van AD en M C.
23 
Elimineer de parameters a en 
b uit de volgende stelsels en
 geef een meetkundige interpretatie.
a
ax = 1 − b
 bx + y =

 x − a = kx
ax − z = −b
x = a−b
y = −k(y − b)
a.
b.
c.


 2
ay + bz =
1
a+b = 2
m = a 2 + b2
60
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
24 Gegeven twee verschillende punten A en B van de x-as. Op de y-as variëren twee punten D en C zo,
dat de oorsprong het midden blijft van het lijnstuk [DC]. Zoek de meetkundige plaats van het snijpunt
van BD en AC.
25 Op de x-as beschouwt men de vaste punten A(1, 0) en A0 (−1, 0). Op de y-as veranderen de punten
B en C zo, dat de ordinaat van C steeds het dubbele is van die van B. Zoek de meetkundige plaats van
het snijpunt van AB en A0 C.
26 Een veranderlijke evenwijdige met de zijlijn BC van een driehoek ABC snijdt de zijlijnen AB en
AC resp. in de punten D en E. De rechte m1 gaat door D en is loodrecht op AB; de rechte m2 gaat
door E en is loodrecht op AC. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van m1 en m2 .
27 T.o.v. een orthonormale basis beschouwt men de vaste punten A(a, b), B(c, d) en het veranderlijk
punt C(λ, 0). Door het snijpunt D van de rechte AC met de y-as trekt men de rechte r evenwijdig met
AB. De rechte AB is niet evenwijdig met één der coördinaatassen. Bepaal de meetkundige plaats van
het snijpunt P van de rechte r met de rechte BC.
28 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(3, 0) en B(−3, 0) gegeven. Een punt P doorloopt de
rechte 3x + 2y − 12 = 0. In de driehoek P AB wordt een vierkant ingeschreven, waarvan één zijde op de
drager van AB ligt. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van het vierkant.
29 Op de zijde BC van een vaste driehoek ABC neemt men de punten Q en R zó dat C het midden is
van [QR]. Men verbindt Q met A en R met het midden S van [AC]. Bepaal de meetkundige plaats van
het snijpunt P van QA en RS.
30 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(2, 2) en B(−2, 2) gegeven. Op de y-as neemt men
een veranderlijk punt C. Bepaal de meetkundige plaats van het hoogtepunt van de driehoek ABC.
31 De driehoek ABC is rechthoekig in C. De zijde AB is veranderlijk maar heeft een vaste richting.
Buiten de driehoek construeert men de vierkanten CADE en CBF G. Bepaal de meetkundige plaats van
het snijpunt van AF en BD.
32 T.o.v. een orthonormale basis beschouwt men de kubische parabool y = x3 . Om het punt A(1, 1)
van deze kromme wentelt een veranderlijke rechte d die de kromme nog snijdt in B en C. Bepaal de
meetkundige plaats van het midden van BC.
33 Elimineer θ uit de volgende stelsels
sinθ + cosθ = p
a.
cosecθ − secθ = q
c.
e.
bcos2θ
acos2θ
x
y
+ asin2θ
− bsin2θ
= r − rsinθ
= r − rcosθ
= csinθ
= ccosθ
xcosθ
−xsinθ
x
y
xcosθ
y
b.
d.
f.
+
+
ysinθ
ycosθ
= acosθ
= bsinθ
= a
= btgθ
=
=
a
b
1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN
61
Oplossingen:
2ab
; 25. x = − 13 , x-as als singulier, niet-parasitisch deel voor B = C;
24. x = a+b
26. (b + c)y + (bc + a2 )x − a2 (b + c) = 0 (x-as langs BC, y-as dr. A ⊥ op BC;
dx
27. y = c−a
, sing.:y = (b−c)x+ad−bc
; 29.
a−c
2
30. De parabool y = 2x, gaat door A en B; 31. De rechte door O loodrecht op AB; 32. x = −1/2.
33. a. 4(2 − p2 ) = q 2 (p2 − 1)2 ;
SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 34 Elimineer de parameter p uit de volgende stelsels en geef
de meetkundige
interpretatie.
(
1−p2
x = 1+p2
2(y − 2) + px = 0
b.
a.
p
2(y 2 − x2 ) + pxy = 0
y = 1+p
2
35 
Elimineer de parametersp
1
1

 p+q =x
b.
a.
p2 + q 2 = y


p + q = y − pq
en q uit de volgende stelsels en geef een meetkundige interpretatie.
p2 − 5p + x = 0
p+q =2
q 2 + 3q + x − 6 = 0
36 Gegeven is het vaste punt A(2, 2) en een veranderlijk punt B van de y-as. De rechte die B met
het midden van [OA] verbindt, snijdt x in C. Door C trekt men de rechte d parallel met OA. Zoek de
meetkundige plaats van het snijpunt van AB en d.
37 Een punt P doorloopt de drager van de zijde AB van een driehoek ABC. De punten Q en R zijn
de orthogonale projecties van P op de zijden AC en BC. Bepaal de meetkundige plaats van het midden
van QR.
38 Op de x-as van een orthonormale basis liggen de vaste punten (a, 0) en (b, 0) en op de y-as ligt
het veranderlijk punt C(0, k). Men bepaalt de beelden A0 van A en B 0 van B door de homothetie met
centrum O en verhouding r. Door A0 trekt men de loodlijn a op CA en door B 0 de loodlijn op CB.
Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van a en b.
39 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(a, 0) en B(0, b) gegeven. Op de x-as beweegt een
punt C en op de y-as beweegt een punt D zó dat de lijnstukken [AC] en [BD] dezelfde lengte hebben.
Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van de rechten AD en BC.
40 T.o.v. een orthonormale basis beschouwen we de parabool met vergelijking y = ax2 . Een veranderlijke rechte m parallel met de y-as snijdt de parabool in een punt P . Bepaal de meetkundige plaats van
het snijpunt van m en de loodlijn in de oorsprong op op.
41 T.o.v. een affien coördinatenstelsel gaat een veranderlijke rechte r door een vast punt A(x1 , y1 ). De
rechte r snijdt de x-as in B en de y-as in C. De rechte die B verbindt met het midden van het lijnstuk
[OA], snijdt de y-as in D. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt P van de rechte r en de
evenwijdige door D aan OA.
62
HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN
42 De basis AB van een trapezium is vast. De opstaande zijden AC en BD zijn veranderlijk zó dat
|AC| = 2|BD|. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van de opstaande zijden.
43 T.o.v. een orthonormale basis is gegeven de ellips:
x2
y2
+
=1
a2
b2
De raaklijn t in een punt P aan de ellips snijdt de x-as en de y-as resp. in de punten Q en R. Door Q
trekt men de rechte q parallel met de y-as en door R de rechte r parallel met de x-as. De kruiskromme
is de meetkundige plaats van het snijpunt S van q en r als P de ellips doorloopt.
Oplossingen:
36. x = 2y met x = y als singulier deel; 37. 2(a + b)(ab + 1)x + 2(a2 + b2 + 2a2 b2 )y = 4a2 b2 + (a + b)2 ;
38. x = r(a + b); 39. x − y = a − b en x + y = a + b met bx + ay − ab = 0 als singulier deel.
y1
1
40. y = −1/a met x = 0 als singulier deel; 41. y = 2y
x1 x met y = x1 x als singulier deel (voor O ∈ r );
42 cirkel van Apollonius met straal 2/3, het middelpunt ligt aan de kant van B op een afstand van A
gelijk aan 4|AB|/3.
43 De cartesische vergelijking van de kruiskromme is: a2 y 2 + b2 x2 = x2 y 2 .. De x-as en de y-as zijn
symmetrieassen, de oorsprong is een punt van symmetrie.
De kruiskromme gaat door de oorsprong. We snijden de kromme met de rechte y = ωx.
De vergelijking in x is: (a2 ω 2 + b2 )x2 − ω 2 x4 = 0.. De oorsprong is een geı̈soleerd dubbelpunt (acnode)
1.3
Wiskunde-Cultuur
Apollonius van Perga (Zuidwest-Turkije) is een Grieks wiskundige van ca 260 v. C tot
ca 190 v. C, een jongere tijdgenoot van Eratosthenes en Archimedes. In zijn hoofdwerk de
’Conica‘, in acht boeken, vatte hij de resultaten samen van zijn voorgangers Menaechmus,
Euclides en Archimedes en gaf een volledigere en algemenere theorie, uitgaande van de
definitie van kegelsneden als de krommen waarin een vlak een scheve cirkelkegel snijdt.
Aan deze krommen gaf Apollonius de naam ellips, parabool en hyperbool, dwz. de defecte, aangepaste en overschietende krommen, naar eigenschappen die gelden voor deze
krommen in het euclidisch vlak. Drie van zijn boeken werden in de achste, negende eeuw
vertaald in het Arabisch. Dit afschrijven en vertalen heeft menig Grieks werk, dat in
het oorspronkelijk verloren is geraakt, voor ons behouden. Van de Arabische wiskundige
Mohammed (9de eeuw) is het woord algebra (Al jabr) afgeleid. Apollonius beoefende ook
de astronomie en ontwikkelde de leer der epicykels.
Hoofdstuk 2
Lineaire transformaties
2.1
Reële vectorruimte en deelruimten
We herhalen even het begrip van reële vectorruimte en deelruimte.
De structuur R, V, + is een reële vectorruimte als en slechts als V, + een commutatieve
groep vormt en de vijf eigenschappen van de scalaire vermenigvuldiging (de vermenigvuldging van een element van V met een reëel getal) geldig zijn.
OPGAVEN — 44 Som zelf de 10 eigenschappen van een reële vectorruimte op.
De structuur R, W, + is een deelvectorruimte van R, V, + als en slechts als W ⊂ V en
R, W, + op zichzelf een reële vectorruimte is.
De volgende stellingen zijn handig voor de toepassingen:
STELLING 2.1 R, W, + is een deelruimte van R, V, + als en slechts als W een nietledige deelverzameling is van V en elk lineaire combinatie van twee vectoren van W weer
een vector is van W .
Met symbolen:
R, W, + ≺ R, V, + ⇐⇒
1. W ⊂ V ∧ W 6= ∅
2. ∀r, s ∈ R ∧ ∀w~1 , w~2 ∈ W : rw~1 + sw~2 ∈ W
63
64
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
STELLING 2.2 Zijn v~1 , v~2 , · · · v~m m vectoren van R, V, + dan vormt de verzameling van
alle mogelijke lineaire combinaties van deze vectoren een deelruimte van R, V, +.
Met symbolen:
R, span{v~1 , v~2 , · · · v~m }, + ≺ R, V, +
De dimensie van die deelruimte is gelijk aan het maximum aantal lineair onafhankelijke
vectoren die de voortbrengende verzameling {v~1 , v~2 , · · · v~m } bevat.
OPGAVEN — 45 Bewijs de vorige stelling.
De volgende nieuwe begrippen worden toegepast op de talloze voorbeelden van lineaire
transformaties van het vlak (vanaf pagina 68) en van de ruimte (vanaf pagina 90). Bestudeer de voorbeelden en grijp telkens terug naar de definities en stellingen die hier nu
volgen.
2.2
Definities
Een lineaire transformatie van een reële vectorruimte R, V, + is een transformatie
van die vectorruimte waarbij het beeld van een lineaire combinatie van vectoren van V
gelijk is aan de lineaire combinatie van de beelden van die vectoren.
Met symbolen:
f : R, V, + −→ R, V, + is een lineaire transformatie
⇐⇒ ∀~v , w
~ ∈ V, ∀r, s ∈ R : f (r.~v + s.w)
~ = r.f (~v ) + s.f (w)
~
Opmerkingen:
• Neem r = 0 en s = 0 dan is f (~o) = ~o.
Bij een lineaire transformatie is het beeld van de nulvector steeds
de nulvector.
Dit betekent dat een transformatie niet lineair is als het beeld van de nulvector niet
de nulvector is.
• Bij een lineaire transformatie van V heeft elke vector van V een beeld.
domf = V
2.2. DEFINITIES
65
De kern van een lineaire transformatie van V is de verzameling van vectoren van V
die op de nulvector van V worden afgebeeld.
Met symbolen:
Kerf = {~v ∈ V : f (~v ) = ~o}.
Het beeld van een lineaire transformatie van V is de verzameling van de beelden
van alle vectoren van V .
Met symbolen:
f (V ) = Imf = {f (~v ) : ~v ∈ V }.
Een lineaire permutatie van een vectorruimte is een lineaire transformatie van die
vectorruimte die bijectief is. Dit betekent dat elke vector van de vectorruimte het beeld
is van juist één vector van de vectorruimte.
Imf = V en Kerf = {~o}
Een eigenvector van een lineaire transformatie f is een vector verschillend van de
nulvector die door f afgebeeld wordt op een reëel veelvoud van zichzelf. Dit reëel veelvoud
wordt de eigenwaarde behorende bij die eigenvector genoemd.
Met symbolen:
~v is een eigenvector vanf ⇐⇒ ~v 6= ~o ∧ f (~v ) = λ.~v
met λ de eigenwaarde behorende bij ~v
STELLING 2.3 De verzameling W van alle eigenvectoren behorende bij eenzelfde eigenwaarde λ en de nulvector vormt een deelruimte van R, V, +.
Gegeven: We beschouwen twee vectoren ~v en w
~ van W (~v of w
~ kan eventueel de nulvector
zijn).
Daarvoor geldt:
f (~v ) = λ.~v en f (w)
~ = λ.w
~
.
Te bewijzen:
1. W ⊂ V ∧ W 6= ∅
2. Elke lineaire combinatie van ~v en w
~ is weer een vector van W .
∀(r, s) ∈ R2 : f (r · ~v + s · w)
~ = λ · (r · ~v + s · w)
~
66
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
Bewijs:
1. De eigenvectoren van f en de nulvector zijn vectoren van V dus is W ⊂ V
Volgens het gegeven bestaat er een eigenvector van f met eigenwaarde λ, ook de
nulvector zit in W . Dus W 6= φ.
2.
(1)
(2)
∀r, s ∈ R : f (r · ~v + s · w)
~ = r · f (~v ) + s · f (w)
~ = r · (λ.~v ) + s · (λ.w)
~
(3)
(4)
(5)
= (rλ) · ~v + (sλ) · w
~ = (λr).~v + (λs) · w
~ = λ · (r · ~v ) + λ · (s · w)
~
Hieruit volgt dat voor elk koppel reële getallen (r, s)), geldt dat r · ~v + s · w
~ een
eigenvector is met eigenwaarde λ of de nulvector is en dus behoort tot W .
We noemen R, W, + de eigenruimte behorende bij de eigenwaarde λ.
OPGAVEN — 46 Verklaar zelf in het bewijs de overgangen (1), (2), ...met definities en eigenschappen.
GEVOLG 2.1 Is ~v een eigenvector met eigenwaarde λ dan is elk reëel veelvoud, verschillend van nul, van ~v ook een eigenvector met dezelfde eigenwaarde λ.
Opmerking: Bevat de kern van een lineaire transformatie f niet enkel de nulvector dan
bevat de kern van f alle eigenvectoren met eigenwaarde nul.
De kern is dan de eigenruimte behorende bij de eigenwaarde nul.
R, Kerf, + ≺ R, V, +
Hieruit volgt dat een lineaire permutaties nooit de eigenwaarde nul heeft of m.a.w. heeft
een lineaire transformatie de eigenwaarde nul dan is lineaire transformatie geen lineaire
permutatie.
2.2. DEFINITIES
67
OPGAVEN — 47 We hebben gezien dat als een lineaire transformatie een permutatie is kerf = {~o}.
Toon nu zelf het omgekeerde aan dat als kerf = {~o} de lineaire transformatie f een lineaire permutatie
is.
STELLING 2.4 Twee eigenvectoren v~1 en v~2 behorende bij twee verschillende eigenwaarden resp. λ1 en λ2 zijn lineair onafhankelijk.
Bewijs: Onderstel dat de vectoren lineair afhankelijk zijn dan is de ene een veelvoud
van de andere (vermits ze allebei verschillend zijn van de nulvector). Uit het gevolg van
voorgaande stelling volgt dan dat ze beide dezelfde eigenwaarde hebben.
Let op: Het omgekeerde van deze stelling is niet geldig. Twee lineair onafhankelijke eigenvectoren behoren niet noodzakelijk bij twee verschillende eigenwaarden. Bijvoorbeeld,
bij een homothetie van de ruimte (of het vlak) behoren alle vectoren van de ruimte (of
het vlak) bij eenzelfde eigenwaarde.
STELLING 2.5 Een lineaire transformatie van een n-dimensionale vectorruimte R, V, +
is volledig bepaald door de beelden van n lineair onafhankelijke vectoren v~i van R, V, +
(i ∈ {1, · · · n}).
Bewijs: We beschouwen een willekeurige vector ~v van R, V, + en tonen aan dat zijn beeld
bepaald is door de beelden van v~i .
Omdat n lineaire onafhanklijke vectoren van een n-dimensionale vectorruimte R, V, + een
basis vormen voor R, V, + en dus ook voortbrengend zijn, geldt:
n
∀~v ∈ V, ∃!(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ R : ~v =
n
X
xi · v~i
i=1
Omdat f lineair is, is het beeld van ~v te schrijven als lineaire combinatie van de beelden
van v~i :
n
n
X
X
f (~v ) = f (
xi · v~i ) =
xi · f (~
vi )
i=1
i=1
Gevolgen: De beeldverzameling is de ruimte voortgebracht door de beelden van n onafhankelijke vectoren van V .
Imf = span{f (v~1 ), f (v~2 ), · · · , f (v~n )}
R, Imf, + ≺ V, +
De dimensie van Imf is gelijk aan het maximum aantal lineair onafhankelijke vectoren in
de verzameling {f (v~1 ), f (v~2 ), · · · , f (v~n )}.
68
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
2.3
Lineaire transformaties van het vlak ΠO
2.3.1
Transformatieformules en geassocieerde matrix
We kiezen een basis (e~1 , e~2 ) in het vectorvlak ΠO .
Volgens stelling 2.5 is de lineaire transformatie volledig bepaald door de beelden van de
lineair onafhankelijke vectoren e~1 en e~2 .
f (e~1 ) =
a11
a12
a21
a22
x0
y0
en f (e~2 ) =
We beschouwen een vector ~v en zijn beeld f (~v ):
~v =
x
y
en f (~v ) =
∀~v ∈ ΠO : ~v = xe~1 + y e~2
Omdat f lineair is, geldt
∀~v ∈ ΠO : f (~v ) =
f (xe~1 + y e~2 )
= xf (e~1 ) + yf (e~2 )
We vervangen de vectoren door hun coördinaten:
0 0 a11 a21
x
a11
a21
x
x
=
.
=x
+y
⇐⇒
y0
a12 a22
y
y0
a12
a22
In verkorte matrixgedaante:
X 0 = F · X of Y = F · X
De laatste formule doet ons denken aan de lineaire reële functie y = ax.
Dit zijn de de zogenaamde transformatieformules die het verband uitdrukken tussen
de coördinaat (x, y) van een punt P en de coördinaat (x0 , y 0 ) van zijn beeld P 0 .
In de matrix
F =
a11 a21
a12 a22
is de eerste kolomvector het beeld van de eerste basisvector en de tweede kolomvector het
beeld van de tweede basisvector.
1
a11
0
a21
F·
=
en F ·
=
0
1
a12
a22
2.3. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN HET VLAK ΠO
69
De matrix F wordt de geassocieerde matrix van de lineaire transformatie genoemd.
De geassocieerde matrix van een lineaire transformatie van het vlak is een vierkante matrix van de orde 2.
1. Zijn de beelden van de basisvectoren twee lineair onafhankelijke vectoren dan is
F niet-singulier en dan is detF 6= 0. In dit geval is de transformatie een lineaire
permutatie. Hieruit volgt:
de inverse matrix F −1 van de geassocieerde matrix F van f bestaat en
is de geassocieerde matrix van de inverse lineaire transformatie f −1 (zie
later van pagina 103 tot pagina 105).
de transformatieformules voor f zijn Y = F · X ⇐⇒ X = F −1 · Y
de transformatieformules voor f −1 zijn Y = F −1 · X
Kerf = {~o} en Imf = ΠO
2. Zijn de beelden van de basisvectoren lineair afhankelijk dan is F een singuliere
matrix en is detF = 0.
(a) Als rangF = 1 dan is
Kerf = aO en Imf = bO
(b) Als rangF = 0 dan is
Kerf = ΠO en Imf = {~o}
In dit geval is de matrix F de nulmatrix en wordt f de nultransformatie
genoemd.
OPGAVEN — 48 Gegeven: een lineaire transformatie f van het vlak ΠO met matrix F .
(i) Bereken het beeld van het punt P (2, 12 ) en controleer dat door het beeld te construeren steunend
op het feit dat de transformatie lineair is;
√
(ii) Bepaal de plaatsvectoren van het (de) punt(en) waarvoor Q(−2, − 2) het beeld is.
(ii) Bepaal Kerf en Imf , alsook hun dimensies.
(iii) Bepaal het beeld van de rechte 2x − y + 5 = 0
" √
√ #
2 √3
1 3
a. F =
b. F =
−1 2
1 26
49 Bepaal de matrix van de lineaire transformatie die de punten P (2, 1) en Q(1, 3) afbeelden op resp.
P 0 (3, −1) en Q0 (−1, 2).
70
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
50 Voor welke waarde van a ∈ R is de lineaire afbeelding met matrix
a−1
a
a2 − 1 a2 − a
een bijectie?
51 Gegeven zijn twee lineair onafhankelijke vectoren ~a en ~b in het vlak ΠO . Zij p~ een onbekende vector,
waarvoor we weten dat de lineaire transformatie die ~a op ~b en p~ op p~ +~a afbeeldt niet bijectief is. Bepaal
alle mogelijke vectoren van het vlak ΠO die hetzelfde beeld hebben als die vector p~. Bewijs tevens dat deze
vectoren plaatsvectoren zijn van de punten van een rechte waarvan de kern van de lineaire transforrmatie
de richtingsruimte is.
52 Van een lineaire transformatie in ΠO is gegeven dat haar beeldruimte een deelruimte is van haar
kern. Bewijs dat de som van de diagonaalelementen van de geassocieerde matrix ten opzichte van een
willekeurige basis 0 is.
Oplossingen:
√
√
2
, − 2+5 2 ); Kerf = ~o, Imf = ΠO ; 3x − 7y + 25 = 0
48 a. f (P ) = ( 27 , −1); f −1 (P ) = ( −4+3
5
√
√
√
√
b. f (P ) = (3,√7; 2, 6); de plaatsvectoren
van de punten van de rechte 2x+ 3y = −2; Kerf : 2x+ 3y =
√
0, Imf :x − 2y = 0; x − 2y = 0.
2 −1
49 F =
.
50 a 6= 1 ∧ a 6= 0.
−1
1
LIN.AL. HUISTAAK 2
f (~v ) met
1. Gegeven de lineaire transformatie f : ΠO ←→ ΠO : ~v 7→
f (e~1 ) = 2e~1 + 13 e~2
f (e~2 ) = 3e~1 + 2e~2
(a) Geef de geassocieerde matrix F van f en de overgangsformules;
(b) Is f injectief, surjectief, bijectief?
(c) Bereken de coördinaat van het beeld van (−1, 1/2) en constructeer het beeld
door te steunen op het feit dat f lineair is;
(d) Bereken de coördinaat van het beeld van (3, 1). Wat merk je op? Welk soort
vector is (3, 1) voor f ?
(e) Bepaal de vectoren die op zichzelf worden afgebeeld;
(f) Bepaal een vergelijking van het beeld van de rechte x − 2y + 2 = 0;
(g) de vergelijkingen van Ker(f ) en Im(f ) in ΠO ;
(h) Welke punt wordt afgebeeld op (3, 9)?
2. Bepaal de matrix van de lineaire transformatie die de punten P (2, 3) en Q(−2, 1)
afbeelden op resp. P 0 (2, 0) en Q0 (−3, 0).
2.3. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN HET VLAK ΠO
2.3.2
71
Affiene lineaire transformaties
Bij de studie van de reële functies hebben we gezien hoe we de grafieken kunnen transformeren door verschuivingen, spiegelingen om rechten, puntspiegelingen, homothetiën en
uitrekkingen (inkrimpingen) uit te voeren. We onderzochten tevens de invloed daarvan
op het voorschrift van een functie. Voor lineaire transformaties geldt de eigenschap dat
het beeld van de nulvector steeds de nulvector is. Zo zal een verschuiving over een vector
die niet de nulvector is geen lineaire transformatie zijn. Spiegelingen om vectorrechten,
de puntspiegeling om O, de homothetiën met centrum O, de uitrekkingen (inkrimpingen)
met centrum O en de parallelprojecties op een vectorrechte zijn voorbeelden van lineaire
transformaties van het vlak.
2.3.2.1
Lineaire spiegelingen
Bij een spiegeling om een vectorrechte of een lineaire spiegeling is het beeld van een basis
een stel lineair onafhankelijke vectoren. De geassocieerde matrix is bij een spiegeling steeds
niet singulier. Daaruit volgt dat voor elke spiegeling geldt:
de spiegeling om een vectorrechte is een lineaire permutatie.
Kerf = {~o} en Imf = ΠO
de inverse transformatie van de spiegeling is de spiegeling zelf. De matrix van
een spiegeling is gelijk aan zijn inverse matrix.
De spiegelas is de eigenruimte met eigenwaarde 1
De vectorrechte van de spiegelrichting is de eigenruimte met eigenwaarde −1.
Voorbeelden:
• Spiegeling om de y-as volgens de richting van de x-as.
– Eigenwaarden en eigenvectoren
∗ De vectoren van de x-as worden afgebeeld op hun tegengestelde vector.
Bijgevolg zijn de vectoren van de x-as eigenvectoren met eigenwaarde −1.
∗ De vectoren van de y-as worden afgebeeld op zichzelf. Bijgevolg zijn de
vectoren van de y-as eigenvectoren met eigenwaarde 1.
– Transformatieformules
Van de analyse kennen we de spiegeling om de y-as volgens de richting van de
x-as.
De transformatieformules zijn
72
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
x0 = −x
⇐⇒
y0 = y
x0 = −x + 0y
y 0 = 0x + y
De transformatieformules in matrixgedaante:
0 −1 0
x
x
=
.
.
0
y
0 1
y
De geassocieerde matrix van deze spiegeling is F =
(2.1)
−1 0
0 1
.
De beelden van de basisvectoren:
1
−1
0
0
F·
=
en F ·
=
0
0
1
1
– De inverse transformatie wordt bepaald door inverse matrix:
1
1 0
−1 0
−1
F =
=
=F
0 1
−1 0 −1
De matrix van de spiegeling is dus gelijk aan zijn inverse.
– Beeld van een figuur
Bepaal het beeld van de rechte 2x − 3y = 6 onder een spiegeling om de y-as
volgens de richting van de x-as.
We passen de transformatieformules toe op de vergelijking:
2(−x0 ) − 3y 0 = 6
Het beeld is de rechte met vergelijking
−2x − 3y = 6
OPGAVEN — 53 Bestudeer op analoge wijze de spiegeling om de x-as volgens de richting van
de y-as. Bepaal de vergelijking van het beeld van de parabool y = 0, 5(3x − 2)(4x + 9) onder deze
spiegeling Maak een tekening.
• Spiegeling om de rechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x.
– Eigenwaarden en eigenvectoren
2.3. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN HET VLAK ΠO
73
Figuur 2.1: beeld van de rechte 2x − 3y = 6 voor spiegeling om de y-as
∗ De vectoren van de rechte y = −x worden afgebeeld op hun tegengestelde vector. Bijgevolg zijn de vectoren van deze rechte eigenvectoren met
eigenwaarde −1.
∗ De vectoren van de y = x worden afgebeeld op zichzelf. Bijgevolg zijn de
vectoren van deze rechte eigenvectoren met eigenwaarde 1.
– Transformatieformules
Van de analyse kennen we deze spiegeling.
De transformatieformules zijn
0
0
x =y
x = 0x + y
⇐⇒
0
y =x
y 0 = x + 0y
De transformatieformules in matrixgedaante:
0 0 1
x
x
=
.
.
0
y
1 0
y
0 1
De geassocieerde matrix van deze spiegeling is F =
.
1 0
De beelden van de basisvectoren:
1
0
0
1
F·
=
en F ·
=
0
1
1
0
(2.2)
– Beeld van een figuur
Bepaal de vergelijking van het beeld van de parabool y = (2x − 1)(x + 5) onder
de spiegeling om de rechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x.
We passen de transformatieformules toe op de vergelijking:
x0 = (2y 0 − 1)(y 0 + 5)
Het beeld is de parabool met vergelijking
2y 2 + 9y − x − 5 = 0
74
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
Figuur 2.2: beeld van y = (2x − 1)(x + 5) voor spiegeling om de rechte x = y
OPGAVEN — 54 Bepaal de vergelijking van het beeld van de hyperbool y = x1 onder de
spiegeling om de rechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x. Wat merk je op?
55 Bepaal de vergelijking van het beeld van de parabool y = 0, 5x2 − x + 1, 5 onder een spiegeling
om de y = x volgens de richting van de y = −x. Maak een tekening.
• Spiegeling om de rechte y = 2x volgens de richting van de rechte y = −3x
– Transformatieformules
Hier kennen we de transformatieformules niet. We kennen echter wel de beelden
van twee lineair onafhankelijke vectoren, nl. van de eigenvectoren van deze
spiegeling. Bij deze spiegeling is de rechte y = 2x de eigenruimte behorende
bij de eigenwaarde 1 en y = −3x de eigenruimte behorende bij de eigenwaarde
−1.
Noemen we F de geassocieerde matrix van deze spiegeling dan geldt voor de
beelden van de twee lineair onafhankelijke eigenvectoren (1, 2) en (1, −3) (want
ze behoren bij 2 verschillende eigenwaarden):
1
1
1
1
F
=
en F
=−
2
2
−3
−3
De twee voorgaande matriciële betrekkingen kunnen samengevat worden in één
matriciële betrekking waaruit we F kunnen berekenen.
1
2
1
−3 −1
1 1
1 −1
1 −1
5
5
= 12
F
=
⇐⇒ F =
·
− 15
2 −3
2 3
2 3
−5 −2 1
5
De matrix van deze spiegeling is een niet-singuliere matrix met determinant −1
en is de inverse van zichzelf. Ter controle maak je zelf nog even de berekening.
– Beeld van een figuur
Stel dat we werken t.o.v. een orthonormale basis dan kunnen we een cirkel
2.3. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN HET VLAK ΠO
75
beschouwen en daarvan het beeld bepalen onder deze affiene spiegeling. We
nemen de cirkel x2 + y 2 = 1.
De transformatieformules zijn:
0 1
1
0 2
2
x
x
x
x
5
5
5
5
= 12
·
⇐⇒
= 12
·
1
1
−
−
y0
y
y
y0
5
5
5
5
In de vergelijking van de cirkel vervangen we x door 15 x0 + 25 y 0 en y door
We krijgen
12 0 1 0
x −5y .
5
1 0
1
(x + 2y 0 )2 + (12x0 − y 0 )2 = 1 ⇐⇒ 145(x0 )2 − 20x0 y 0 + 5(y 0 )2 − 25 = 0.
25
25
De vergelijking van het beeld van de cirkel is 145x2 − 20xy + 5y 2 − 25 = 0.
Deze vergelijking stelt een ellips voor.
2.3.2.2
Lineaire uitrekkingen-inkrimpingen
Uitrekking (inkrimping) langs de x-as met factor r is een lineaire permutatie als r 6= 0.
De inverse transformatie is de inkrimping (uitrekking) met factor 1r langs de x-as.
Figuur 2.3: uitrekking met factor 2,5 — inkrimping met factor 2,5
• Transformatieformules
x-as is eigenruimte met eigenwaarde r en y-as is eigenruimte met eigenwaarde 1.
De transformatieformules zijn:
0 x
r 0
x
=
·
0
y
0 1
y
76
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
• Inverse transformatie
r 0
0 1
= r 6= 0
De inverse matrix is
F
−1
1
=
r
1 0
0 r
=
1
r
0
0 1
=F
Dit is de geassocieerde matrix van een inkrimping (uitrekking) langs de x-as met
factor 1r .
OPGAVEN — 56 Bepaal de inverse transformatie van de uitrekking met factor 5 in de richting van
de x-as.
57 Bepaal het beeld van de hyperbool y =
x-as;
1
x
onder een inkrimping met factor 4 in de richting van de
58 Stel de transformules op voor een uitrekking met factor r in de richting van de y-as.
2.3.2.3
Lineaire homothetie met factor r
Een homothetie met centrum O en factor r is een lineaire permutatie als r 6= 0.
Alle vectoren van het vlak zijn eigenvectoren met eigenwaarde r.
De inverse transformatie van een lineaire homothetie met factor r is een lineaire
homothetie met factor 1r .
Figuur 2.4: lineaire homothetie met factor − 34
2.3. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN HET VLAK ΠO
77
• Transformatieformules
De basisvectoren zijn tevens eigenvectoren met eigenwaarde r. De transformatieformules zijn:
0 r 0
x
x
=
.
.
y
0 r
y0
• De inverse transformatie
r 0
0 r
= r2 6= 0
De inverse matrix is
F
−1
1
= 2
r
r 0
0 r
=
1
r
0
0
1
r
=F
Dit is de geassocieerde matrix van een lineaire homothetie met factor 1r .
• Bijzondere homothetiën
– Is r = 1 dan is de lineaire homothetie de identieke transformatie. Elke
vector wordt op zichzelf afgebeeld. Alle vectoren van het vlak zijn eigenvectoren
met eigenwaarde gelijk aan 1.
0 1 0
x
x
=
.
.
y0
0 1
y
– Is r = −1 dan is de homothetie een spiegeling om de oorsprong O
Figuur 2.5: spiegeling om O
Elke vector wordt op zijn tegengestelde afgebeeld. Alle vectoren van het vlak
zijn eigenvectoren met eigenwaarde gelijk aan −1.
0 x
−1 0
x
=
.
.
0
0 −1
y
y
78
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
– Is r = 0 dan is de lineaire homothetie de nultransformatie. Elke vector wordt
op de nulvector afgebeeld. Alle vectoren van het vlak zijn eigenvectoren met
eigenwaarde gelijk aan 0.
0 x
0 0
x
=
.
.
y0
0 0
y
2.3.2.4
Lineaire parallelprojecties
Een parallelprojectie op een vectorrechte beeldt een basis af op een stel afhankelijke vectoren. De parallelprojectie is geen lineaire permutatie. De rang van de geassocieerde matrix
is 1. Hieruit volgt:
Kerf = aO en Imf = bO
De projectieas is bO en is de eigenruimte met eigenwaarde 1.
De vectorrechte van de projectierichting is aO en is de eigenruimte met eigenwaarde 0.
Voorbeelden:
• De parallelprojectie op de x-as volgens de richting van de y-as.
Figuur 2.6: parallelprojectie op de x-as volgens de y-as
– Transformatieformules Het beeld van (1, 0) is (1, 0) en het beeld van (0, 1) is
(0, 0).
De transformatieformules zijn:
0 x
1 0
x
=
.
.
y0
0 0
y
Controleer dat de determinant van F gelijk is aan nul.
2.3. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN HET VLAK ΠO
79
– Vectoren die afgebeeld worden op dezelfde vector
Oneindig veel vectoren worden afgebeeld op (x1 , 0) ∈ Imf :
1 0
x
x1
.
=
.
0 0
y
0
Dit stelsel kan niet opgelost worden met de inverse matrix want het is geen
stelsel van Cramer. Het stelsel is oplosbaar met rang gelijk aan 1 en herleidt
zich dus tot één vergelijking, nl. x = x1 . Alle de plaatsvectoren van de punten
van de rechte x = x1 worden op (x1 , 0) afgebeeld. Dit is een rechte evenwijdig
met de y-as (de kern van f ).
• Parallelprojectie op y = −4x volgens de richting van y = 12 x
Figuur 2.7: parallelprojectie op de y = −4x-as volgens de y = 21 x
– Transformatieformules De vectorrechte y = −4x is eigenruimte met eigenwaarde 1 (Imf ) en de vectorrechte y = 12 x ⇔ x − 2y = 0 is eigenruimte
met eigenwaarde 0 (Kerf ). Het beeld van twee lineair onafhankelijke vectoren
eigenvectoren (1, −4) en (2, 1):
1 2
1 0
F
=
−4 1
−4 0
Reken zelf na dat de geassocieerde matrix gelijk is aan
1
1 −2
F =
9 −4 8
80
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
– De vectoren die afgebeeld worden op dezelfde vector
De vectoren die afgebeeld worden op (1, −4) ∈ Imf
1
1 −2
x
1
·
=
.
y
−4
9 −4 8
Het stelsel is oplosbaar omdat de twee vergelijkingen evenredig zijn. Het herleidt zich tot een stelsel met één vergelijking nl. x9 − 2x
y = 1 ⇔ x − 2y = 9.
9
De vectoren die op (1, −4) worden afgebeeld, liggen op de rechte x − 2y = 9.
Dit is de rechte door (1, −4) evenwijdig met de kern van f , nl. x − 2y = 0.
• Bepalen van projectieas en projectierichting
Toon aan dat de matrix F de geassocieerde matrix is van een parallelprojectie en
bepaal de projectieas en de projectierichting.
1 3 2
F =
7 6 4
Elk beeld is een lineaire combinatie van de beelden van de basisvectoren.
3/7
2/7
1
f (~v ) = r
+s
=k
6/7
4/7
2
De beeldverzameling is de vectorrechte
y
x
= ⇐⇒ y = 2x
1
2
We moeten nu nog nagaan of elke vector van deze rechte afgebeeld wordt op zichzelf.
1 3 2
1 7k
k
k
·
=
=
2k
2k
7 6 4
7 14k
De rechte y = 2x is dus de projectierechte.
De kerf is de oplossingenverzameling van het stelsel
1 3 2
x
0
F =
·
=
.
6
4
y
0
7
Het stelsel herleidt zich tot één vergelijking. De oplossingen zijn de vectoren van de
rechte
3
2
x + y = 0 ⇐⇒ 3x + 2y = 0
7
7
De rechte 3x + 2y = 0 bepaalt de projectierichting.
2.3. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN HET VLAK ΠO
81
LIN.AL. HUISTAAK 3
1. Bepaal de geassocieerde matrix van een spiegeling om
de rechte 4x + 3y = 0 volgens de richting van de rechte 5x − 4y = 0.
2
2
Bepaal het beeld van de hyperbool x4 − y9 = 1 onder deze spiegeling. Maak een
tekening met de computer. Is het beeld een hyperbool?
2. Stel de transformatieformules op voor een uitrekking met factor − 73 in de richting
van de y-as. Bepaal vervolgens het beeld van de parabool y = 4 − x2 .
3. Bepaal de homothetie die de parabool met vergelijking y = ax2 afbeeldt op de
parabool met vergelijking y = bx2 (Parabolen zijn gelijkvormige krommen).
4. Bepaal de matrix van de lineaire projectie van ΠO op de rechte a : x+2y = 0 volgens
de richting van de rechte b : x − y = 0.
Welke vectoren worden afgebeeld op het punt (2, −1)? Maak een tekening.
5. Bepaal projectieas
en projectierichting van de lineaire projectie met matrix F =
− 81 38
.
− 83 98
Maak een tekening.
82
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
2.3.3
Orthogonale lineaire transformaties
Een orthogonale lineaire transformatie van het euclidisch vlak is een lineaire
transformatie van de euclidische vlak die het scalair product van twee vectoren onveranderd laat. Een orthogonale lineaire transformatie behoudt dus de loodrechte stand en de
afstand.
Figuur 2.8: orthogonale lineaire transformaties
In het euclidisch vectorvlak ΠO beschouwen we een orthonormale basis (e~1 , e~2 ).
De basisvectoren en hun beelden voor een orthogonale lineaire transformatie zijn de plaatsvectoren van punten op de goniometrische cirkel. Hun coördinaten kunnen dus uitgedrukt
worden in termen van goniometrische getallen.
Stel (a11 , a12 ) = (cos θ, sin θ) dan hebben we twee mogelijkheden voor (a21 , a22 ) nl. (− sin θ, cos θ)
en (sin θ, − cos θ) (zie fig.2.8)
cos θ − sin θ
1. De orthogonale lineaire transformatie met matrix
noemen we de
sin θ
cos θ
rotatie om O over de hoek θ. De determinant van de geassocieerde matrix van een
rotatie om O is gelijk aan 1.
Een rotatie die niet de identieke transformatie is heeft geen eigenwaarden en geen
eigenvectoren.
Voorbeeld: Rotatie om de oorsprong over een hoek θ = 45o .
De transformatieformules:
0 " √ 2 √2 # x
x
2√
√2
.
=
0
2
2
y
y
−2
2
2.3. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN HET VLAK ΠO
83
cos θ
sin θ
2. De orthogonale lineaire transformatie met matrix
noemen we de
sin θ − cos θ
loodrechte spiegeling om de vectorrechte die een hoek 2θ insluit met de positieve x-as. De determinant van de geassocieerde matrix van een spiegeling om een
vectorrechte is gelijk aan −1.
Voorbeeld: Loodrechte spiegeling om de vectorrechte y = 2x.
De spiegelas y = 2x is eigenruimte met eigenwaarde 1.
De loodlijn 2y = −x op de spiegelas is eigenruimte met eigenwaarde −1.
1 −2
1 2
F
=
2 1
2 −1
We lossen deze vergelijking op naar F :
1 −3 4
1
1 2
1 2
=
F =
·
4 3
2 −1
5 −2 1
5
De transformatieformules zijn
2.3.4
x0
y0
=
− 35
4
5
4
5
3
5
x
.
y
Lineaire loodrechte projecties
We stellen de transformatieformules op voor de loodrechte projectie op een vectorrechte
waarvan de hoek θ die ze insluit met de positieve x-as gegeven is.
Bewijs dat de volgende formules de transformatieformules zijn.
0 x
cos2 θ
cos θ sin θ
x
=
·
y0
cos θ sin θ
sin2 θ
y
Bewijs:
• Kerf =
• f (ΠO ) =
84
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
• eigenwaarden en bijbehorende eigenruimte:
–
–
• Het beeld van twee lineair onafhankelijke vectoren:
·
·
·
·
F
=
·
·
·
·
• F =
• detF =
en F is
en f is
Voorbeeld: We beschouwen de loodrechte projectie op de rechte y +
Figuur 2.9: loodrechte projectie op y +
√
√
Er geldt: tan θ = − 3 =⇒ θ = arctan(− 3) = − π3
Hieruit volgt dat
√
π
3
sin(θ) = sin(− ) = −
3
2
en
π
1
cos(θ) = cos(− ) =
3
2
√
√
3x = 0
3x = 0.
2.3. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN HET VLAK ΠO
85
De transformatieformules zijn
0
x
y0

=
1
4
√
−
3
4
√
3
4
−
3
4

.
x
y
√
We bepalen de verzameling van de vectoren die op de vector ( 3, −3) worden afgebeeld.

√ 
√ 3
1
−
4
4
x
3


.
=
√
y
−3
3
− 3
4
4
Deze matriciële vergelijking stelt een lineair stelsel (2, 2) voor met rang 1.
(
√
√
√
3
1
3
3
x
−
y
=
3
4
4
√
x + y = −3
⇐⇒ −
3
3
4
4
− 4 x + 4 y = −3
√
De vectoren
die
afgebeeld
worden
op
(
3, −3) zijn de plaatsvectoren
√
√ van de punten van
de rechte 3x − 3y = 12. Dit is een rechte loodrecht op de rechte 3x + y = 0 waarop
geprojecteerd wordt en is dus evenwijdig met de kern van f .
OPGAVEN — 59 Bepaal naar keuze een lineaire loodrechte projectie. Beschouw een vector van Imf
en zoek de verzameling van alle vectoren die op deze vector worden afgebeeld.
LIN.AL. HUISTAAK 4
1. Bepaal voor een lineaire rotatie over 120o de vergelijking
van het beeld f (a) van de rechte a : x + y = 3. Teken a, construeer f (a) en verifieer
met de berekening. Bepaal de vergelijking van de rechte die afgebeeld wordt op de
rechte met vergelijking y = −2. Controleer op de tekening.
2. Bepaal de loodrechte spiegeling om de rechte 2x + 3y = 0. Bepaal vervolgens het
2
2
beeld van de ellips x4 + y9 = 1 en maak een tekening.
3. Zoek de geassocieerde matrix van de loodrechte projectie op de rechte 5x + 7y = 0.
Welke vectoren worden afgebeeld op de vector ((−7, 5)? Maak een tekening.
86
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
2.3.5
Opsporen van eigenvectoren van een (2 × 2)-matrix
Een vector ~v (X) is eigenvector als en slechts als hij verschillend is van de nulvector en als
er een reële waarde λ bestaat waarvoor geldt:
F · X = λ.X
Om X 6= O te bepalen lossen we deze matriciële vergelijking op naar X.
F.X − λ.X = O ⇐⇒ F.X − (λ.In ).X = 0 ⇐⇒ (F − λ.In ).X = O
Deze laatste vergelijking is de matrixgedaante van het stelsel:
(a11 − λ)x + a21 y = 0
a12 x + (a22 − λ)y = 0
(2.3)
De coëfficiëntenmatrix van het stelsel is
a11 − λ
a21
Fλ =
a12
a22 − λ
en
a −λ
a21
detFλ = 11
a12
a22 − λ
= λ2 − (a11 + a22 )λ + (a11 a22 − a12 a21 )
= λ2 − (a11 + a22 )λ + detF
Het stelsel 2.3 heeft steeds de nuloplossing.
Elke oplossing verschillend van de nuloplossing is de coördinaat van een eigenvector.
We gaan op zoek naar de waarden van λ waarvoor het stelsel 2.3 oplossingen heeft verschillend an de nuloplossing. Deze waarden van λ zijn dan de eigenwaarden van f .
1. Het homogeen stelsel 2.3 heeft enkel de nuloplossing voor die waarden van λ waarvoor rangFλ = 2. Het stelsel levert voor deze waarden van λ geen eigenvectoren op.
Voorbeeld: Een lineaire rotatie heeft geen eigenwaarden en dus ook geen eigenvectoren.
2. Het homogeen stelsel 2.3 heeft oplossingen verschillend van de nuloplossing voor
die waarden van λ waarvoor rangFλ < 2. Dit is vervuld voor die waarden van λ
waarvoor
detFλ = 0 ⇐⇒ λ2 − (a11 + a22 )λ + detF = 0
Deze kwadratische vergelijking in λ wordt de karakteristieke vergelijking van f
genoemd. We noemen D de discriminant van de karakteristieke vergelijking.
Is D ≥ 0 dan heeft de karakteristieke vergelijking twee verschillende of twee samenvallende oplossingen die de eigenwaarden zijn van f . We noemen de eigenwaarden
λ1 en λ2 en er geldt
λ1 + λ2 = a11 + a22 en λ1 λ2 = detF
2.3. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN HET VLAK ΠO
87
Bespreking:
1. Is voor een eigenwaarde rangFλ = 0 dan is
Fλ = F − λ.In = O ⇐⇒ F = λ.In
Hieruit volgt dat F een scalaire matrix is
λ 0
0 λ
die de geassocieerde matrix is van een lineaire homothetie met factor r = λ.
In dit geval is de karakteristieke vergelijking
λ2 − 2rλ + r2 = 0 ⇐⇒ (λ − r)2 = 0
Een homothetie heeft twee samenvallende eigenwaarden. Het vectorvlak ΠO is de
bijbehorende eigenruimte want het stelsel 2.3 heeft in dit geval ∞2 oplossingen.
Opmerking: In het geval van een lineaire homothetie is D = 0.
Het omgekeerde is niet geldig. Als D = 0 dan is de transformatie niet noodzakelijk
een lineaire homothetie.
2. Is voor een eigenwaarde rangFλ = 1 dan heeft het stelsel 2.3 ∞1 oplossingen. In dit
geval heeft de lineaire transformatie een vectorrechte van eigenvectoren behorende
bij die eigenwaarde.
Enkele bijzondere gevallen
• Is één van de eigenwaarden gelijk aan een diagonaalelement van F dan is de
andere eigenwaarde gelijk aan het ander diagonaalelement.
Inderdaad, stel λ1 = a11 . We beschouwen de som van de eigenwaarden:
λ1 + λ2 = a11 + a22
=⇒ a11 + λ2 = a11 + a22 ⇐⇒ λ2 = a22
λ1 = a11
We beschouwen het product van de eigenwaarden:
λ1 λ2 = a11 a22 − a12 a21
=⇒ a11 a22 = a11 a22 − a12 a21
λ1 = a11 = en λ2 = a22
⇐⇒ a12 a21 = 0 ⇐⇒ a12 = 0 ∨ a21 = 0
Hieruit besluiten we dat in dit geval de matrix een driehoeksmatrix is.
88
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
a. Is a12 = 0 en a21 6= 0 dan is
F =
λ1 a21
0 λ2
De eigenruimte behorende bij λ1 is de x-as.
De eigenruimte behorende bij λ2 is de vectorrechte (λ1 − λ2 )x + a21 y = 0.
Is in dit geval λ1 = λ2 dan is enkel de x-as eigenruimte behorende bij de
samenvallende eigenwaarden.
b. Analoog voor a21 = 0 en a12 6= 0.
c. Is a21 = a12 = 0 dan is
λ1 0
F =
0 λ2
De eigenruimte behorende bij λ1 is de x-as.
De eigenruimte behorende bij λ2 is dey-as.
Zijn de x-as en de y-as eigenruimten behorende bij resp. twee verschillende eigenwaarden dan is de matrix een diagonaalmatrix, die geen scalaire
matrix is. De diagonaalelementen zijn dan de eigenwaarden.
• Geen enkel diagonaalelement is een eigenwaarde. De matrix is dan zeker geen
driehoeksmatrix.
5 1
Voorbeeld: De matrix
heeft twee samenvallende eigenwaarden λ1 =
−1 3
λ2 = 4. De eigenruimte is de vectorrechte
(5 − 4)x + y = 0 ⇐⇒ x + y = 0
Voorbeelden:
• Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van de matrix
2 1
3 4
De karacteristieke vergelijking is
λ2 − 6λ + 5 = 0 ⇐⇒ λ = 1 ∨ λ = 5
Voor λ = 1 zijn de eigenvectoren oplossing van het stelsel
(2 − 1)x + y = 0
x+y =0
⇐⇒
⇐⇒ x + y = 0
3x + (4 − 1)y = 0
3x + 3y = 0
2.3. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN HET VLAK ΠO
89
x + y = 0 is de eigenruimte behorende bij de eigenwaarde 1.
Voor λ = 5 zijn de eigenvectoren oplossing van het stelsel
(2 − 5)x + y = 0
−3x + y = 0
⇐⇒
⇐⇒ 3x − y = 0
3x + (4 − 5)y = 0
3x − y = 0
3x − y = 0 is de eigenruimte behorende bij de eigenwaarde 5.
• In een bepaald land zijn twee regio’s: het noorden en het zuiden. Omwille van de
mooie natuur in het zuiden, verhuist jaarlijks 5 % van de noordelijke bevolking naar
het zuiden. Omwille van het betere economische klimaat in het noorden, verhuist
jaarlijks 2 % van de zuidelijke bevolking naar het noorden. Aanvankelijk wonen er
3 miljoen in het noorden en 0,5 miljoen in het zuiden. Hoeveel mensen wonen er in
het noorden en zuiden na één jaar.
Op een bepaald moment zullen de bevolkingsaantallen in het noorden en het zuiden
niet meer veranderen. Hoeveel is dan de verhouding tussen de twee bevolkingsaantallen?
Oplossing: Noem x het aantal inwoners van het noorden.
Noem y het aantal inwoners van het zuiden.
De geassocieerde matrix van de transformatie is
0, 95 0, 02
0, 05 0, 98
De situatie na één jaar:
0, 95 0, 02
0, 05 0, 98
3
2, 87
·
=
0, 5
0, 64
Na één jaar wonen er 2,87 miljoen mensen in het noorden en 0,64 miljoen in het
zuiden.
Als de bevolking stabiel moet blijven, dan betekent dat dat de matrix eigenvectoren
met eigenwaarde 1 moet bezitten. De determinant van de matrix is
0, 95 0, 02 0, 05 0, 98 = 0, 95 · 0, 98 − 0, 05 · 0, 02 = 0, 93
De karakteristiek vergelijking:
λ2 − (0, 95 + 0, 98)λ + 0, 93 = 0 ⇐⇒ λ = 1 ∨ λ = 0, 93
Voor λ = 1 zijn de eigenvectoren oplossing van het stelsel
(0, 95 − 1)x + 0, 02y = 0
−0, 05x + 0, 02y = 0
⇐⇒
⇐⇒ 0, 05x−0, 02y = 0 ⇐⇒ 5x−2y = 0
0, 05x + (0, 98 − 1)y = 0
0, 05x − 0, 02y = 0
90
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
De eigenvectoren met eigenwaarde 1 zijn veelvouden van (2, 5).
De populatie zal dus stabiel blijven als het aantal inwoners in het noorden juist 40
% bedraagt van het aantal inwoners van het zuiden.
OPGAVEN — 60 Als f een lineaire permutatie is van ΠO met eigenwaarde λ 6= 0, dan heeft f −1 een
eigenwaarde 1/λ. Bewijs dat.
61 Bereken de eigenwaarden en
2
a.
3
2
d.
4
eigenvectoren van de volgende matrices:
2
1 2
1 0
b.
c.
1 3 2√
1 1
2 3/2
4
1
√2
f.
e.
3/2 −2
8
1/2 1/ 2
62 Bewijs dat een symmetrische (2 × 2)-matrix steeds twee reële eigenwaarden heeft.
63 Bewijs dat een 2 × 2-matrix voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking.
oplossingen:
61 a. λ = 4: y = x, λ = −1: 3x + 2y = 0; b. λ =√4: 3x − 2y = 0, λ = −1:
x + y = 0; c. λ = 1: x = 0;
√
d. λ = 10: y = 2x, λ = 0: y = − 21 x; e. λ = 1 + 22 : y = x2 , λ = 0: y = 22 x;
f. λ = 25 : x − 3y = 0, λ = − 52 : 3x + y = 0.
2.4
2.4.1
Lineaire transformaties van de driedimensionale
vectorruimte EO
Transformatieformules en geassocieerde matrix
We kiezen een basis in de vectorruimte en we geven de beelden van deze basisvectoren als
lineaire combinatie van die basisvectoren.

 f (e~1 )
f (e~2 )

f (e~3 )
De geassocieerde matrices zijn van
=
=
=
de
a11 .e~1 + a12 .e~2 + a13 .e~3
a21 .e~1 + a22 .e~2 + a23 .e~3
a31 .e~1 + a32 .e~2 + a33 .e~3
orde 3.
De transformatieformules zijn:
 0  
  
x
a11 a21 a31
x
 y 0  =  a12 a22 a32  .  y 
z0
a13 a23 a33
z
(2.4)
2.4. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN DE DRIEDIMENSIONALE VECTORRUIMTE EO 91
2.4.2
Enkele voorbeelden
* Parallelprojectie op een vectorvlak volgens de richting van een rechte
We projecteren op αO : x + y + z = 0 volgens de richting van dO : x = y =
z. We maken gebruik van het feit dat de vectoren van dO eigenvectoren zijn met
eigenwaarde 0 en de vectoren van αO eigenvectoren zijn met eigenwaarde 1.
Er geldt:
   
1
0
F · 1 = 0 
1
0
We nemen twee eenvoudige lineair onafhankelijk vectoren van αO , bvb. (1, −1, 0) en
(0, 1, −1). Deze vectoren worden op zichzelf afgebeeld.
Er geldt

 


 

1
1
0
0
F ·  −1  =  −1  en F ·  1  =  1 
0
0
−1
−1
Deze drie matriciële betrekkingen kunnen we samenvatten in één matriciële betrekking.

 

1
1
0
0
1
0
1  =  0 −1
1 
F ·  1 −1
1
0 −1
0
0 −1
m
 
−1
0
1
0
1
1
0
1  ·  1 −1
1 
F =  0 −1
0
0 −1
1
0 −1

m

F =
2
3
− 31
− 31

− 13 − 31
2
− 31 
3
2
− 13
3
De transformatieformules:
  
 0   2
1
1
x
x
−
−
3
3
3
2
1  
 y0  =  − 1
−
y 
.
3
3
3
1
1
2
0
z
−3 −3
z
3
De geassocieerde matrix is een singuliere matrix. Een lineaire parallelprojectie op
een vectorvlak is geen lineaire permutatie.
92
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
OPGAVEN — 64 Bepaal onder de voorgaande projectie
x=2
1. het beeld van de rechte
. Toon aan dat het beeld van deze rechte gelegen is in het
y=3
projectievlak x + y + z = 0.
Tip: bepaal de beelden van 2 punten van de rechte.
2. Bepaal de verzameling van alle vectoren die afgebeeld worden op de vector (2, −1, −1).
Oplossingen: 64. x = y − 3 =
z+3
−2
⇐⇒
x+y+z =0
x − y = −3
* Spiegeling om een vectorvlak volgens de richting van een rechte
We spiegelen om αO : x − 2y + z = 0 volgens de richting van dO : x = −y = z.
We maken gebruik van het feit dat de vectoren van dO eigenvectoren zijn met eigenwaarde −1 en de vectoren van αO eigenvectoren zijn met eigenwaarde 1.
Er geldt:

 

−1
1
F ·  1  =  −1 
−1
1
We nemen twee eenvoudige lineair onafhankelijk vectoren van αO , bvb. (1, 0, −1) en
(0, 1, 2). Deze vectoren worden op zichzelf afgebeeld. Er geldt

 

   
1
1
0
0







0 =
0
F·
en F · 1 = 1 
−1
−1
2
2
Deze drie matriciële betrekkingen kunnen we samenvatten in één matriciële betrekking.

 

−1
1 0
1
1 0
0 1  =  −1
0 1 
F · 1
−1 −1 2
1 −1 2
m
 
−1
1
1 0
−1
1 0
0 1 · 1
0 1 
F =  −1
1 −1 2
−1 −1 2

m

F =
1
2
1
2
− 12

1 − 12
1 
0
2
1
1
2
2.4. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN DE DRIEDIMENSIONALE VECTORRUIMTE EO 93
De transformatieformules:

  1
  
x0
1 − 12
x
2
1  
 y0  =  1 0
. y 
2
2
1
1
0
z
−2 1
z
2
De geassocieerde matrix is een niet-singuliere matrix. Een lineaire spiegeling om
een vectorvlak is een lineaire permutatie.
OPGAVEN — 65 Bepaal de transformatieformules voor de spiegeling om de vectorrechte d : x = 2y =
−2z volgens de richting van het vlak α : 2x + 3y − z = 0.
66 Gegeven: het beeld van de basis (e~1 , e~2 , e~3 ) voor een lineaire transformatie van R, EO .
a. f (e~1 )(1, 0, 0), f (e~2 )(2, 1, 0) en f (e~3 )(−3, 2, −2);
b. f (e~1 )(1, 2, −1), f (e~2 )(3, 6, −3) en f (e~3 )(−4, 8, 4).
Gevraagd:
1. dim(Imf ) en Kerf ;
2. het beeld van het punt P (−5, 3, −2).
3. het punt P waarvoor f (P ) = (2, −7, 7)
67 Stel de transformatieformules op voor de loodrechte projectie van R, EO , + op het vectorvlak αO :
3x + 6y + 2z = 0.
68 Stel de formules op voor de loodrechte projectie van R, EO , + op de vectorrechte aO : 3x = 6y = 2z.
69 Gegeven is een lineaire transformatie van R, R3 , + met matrix


1 −2 −1
F =  1 −1 2  .
2 −3 1
Welk(e) vector(en) hebben de vector (6, −3, 3) als beeld?
70 Gegeven zijn de vlakken α : 2x − 5y − 6z + 3 = 0
lineaire transformatie met matrix

a b
F = c a
b c
die het vlak α afbeeldt op α0 .
en α0 : x − 2y + 3z − 6 = 0 in EO . Bepaal de

c
b 
a
94
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
71 Men noemt A0 , B 0 , C 0 en D0 de respectieve zwaartepunten van de zijvlakken [BCD], [ACD], [ABD]
en [ABC] van een viervlak (ABCD). Bepaal het centrum en de verhouding van de homothetie die het
viervlak (ABCD) afbeeldt op het viervlak (A0 B 0 C 0 D0 ).
72 Bespreek de dimensie van Imf en van Kerf .De



a 1 3
a−1
2
a+2
(a) F =  −a 1 4  (b) F =  a
1
2
 0 a 7
a 0 b
1
a
(c) F =  b a 0 
(d) F =  1 −2
0 b a
a
4
geassocieerde matrix van f is F :

1
a 
a− 1
1
b 
a
oplossingen:
65 
0
− 41  −2
2
66
a.
−6
1
3

2
1 ;
3
1. 3, (0, 0, 0)
2.(7, −1, 4)
3.(−17/2, 0, −7/2)
b. 1. 2, r(−3, 1, 0)
2.(12, −8, −12)
3./
67 

40 −18 −6
1 
−18 13 −12 ;
49
−6 −12 45


4 2 6
1 
2 1 3 ;
68 14
6 3 9
69
de rechte
x + 5y = −12
;
y + 3z = −9
70 a = 3, b = 1, c = 5;
71 centrum Z en verhouding −1/3;
72
a. dim= 3 ⇐⇒ a 6= 0 ∧ a 6= 2
dim= 2 ⇐⇒ a = 0 ∨ a = 2
b. dim= 3 ⇐⇒ a 6= 0 ∧ a 6= 2
dim= 2 ⇐⇒ a = 0 dim= 1 ⇐⇒ a = 2
c. dim= 3 ⇐⇒ a + b 6= 0
dim= 2 ⇐⇒ a + b = 0 ∧ a 6= 0 dim= 0 ⇐⇒ a = b = 0
d. dim= 3 ⇐⇒ a 6= 2 ∧ a 6= −2 ∧ b 6= 1
dim= 2 ⇐⇒ a = 2 ∨ (a = −2 ∧ b 6= 1) ∨ (b = 1 ∧ a 6= −2) dim= 1 ⇐⇒ a = −2 ∧ b = 1
2.4. LINEAIRE TRANSFORMATIES VAN DE DRIEDIMENSIONALE VECTORRUIMTE EO 95
LIN.AL. HUISTAAK 5
1. Gegeven is het beeld van een basis voor een lineaire
transformatie van R, E0 , +: f (e~1 )(5, 3, 2), f (e~2 )(−3, −1, −2) en f (e~3 )(1, 4, −3).
Gevraagd:
(a) de vergelijkingen van Imf en kerf , alsook dim(Imf ) en dim(Kerf );
(b) het beeld van het punt P (−5, 3, −2).
(c) het punt p waarvoor f (P ) = (2, −7, 7)
2. Gegeven is een lineaire transformatie van R, R3 , + die de vector (1, 2, 4) op (5, 10, −4)
afbeeldt, (3, −1, 0) op (1, 1, 5) afbeeldt en (2, 1, −1) op (4, −4, 7) afbeeldt. Bepaal
de matrix van deze transformatie.
3. Gegeven is een lineaire transformatie van R, R3 , + met matrix


1
m − 1 2m − 3
.
2(m − 1)
2
F = m
2
m + 1 3(m − 1) m − 1
Gevraagd:
(a) aan welke voorwaarde moet m voldoen opdat f een lineaire permutatie zou
zijn?
(b) bepaal m zodat f het vlak x + 2y − z = 0 afbeeldt op het vlak 7x + 4y − 4z = 0;
(c) bepaal voor m = 3 de inverse matrix van F ;


a
b 3
4. Gegeven: de lineaire transformatie f van EO met matrix F =  1 −2 0 
b
3 1
(i) Bespreek de rang van F .
(ii) Bepaal a en b zodat Kerf de vectorrechte is door het punt (2, 1, −1).
(iii) Bepaal in EO de vergelijkingen Imf en Kerf voor die waarden van a en b,
alsook dim(Im(f )) en dim(Ker(f )).
5. Gegeven is een lineaire transformatie van R, R3 , + met matrix


1
2 −1
F =  −3 −5 1  .
1
3 −2
Bepaal het beeld van de rechte a : (x, y, z) = (2, −1, 3) + r(1, 0, 2),
= y−1
= z+1
, en het vlak α : x + 2y − 2z + 3 = 0.
de rechte b : x+2
3
−2
2
96
2.4.3
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
Opsporen van eigenwaarden en eigenvectoren van een
(3 × 3)-matrix
Het stelsel voor het bepalen van de eigenvectoren is

 (a11 − λ)x + a21 y + a31 z = 0
a12 x + (a22 − λ)y + a32 z = 0

a13 x + a23 y + (a3 3 − λ)z = 0
De karakteristieke vergelijking voor het bepalen van de eigenwaarden van een lineaire
transformatie van R, EO , + is van de gedaante
a11 − λ
a21
a31 a12
a22 − λ
a32 = 0.
a13
a23
a33 − λ De karakteristieke vergelijking is van de gedaante:
−λ3 + (a11 + a22 + a33 )λ2 − (A11 + A22 + A33 )λ + detF = 0.
waarbij A11 , A11 en A11 de zogenaamde cofactoren zijn van resp. de elementen a11 , a11 en
a11 in de matrix F (cofactor van een element in een matrix F is de determinant van de
matrix die overblijft als men in de matrix F de rij en de kolom van het element schrapt).
λ1 + λ2 + λ3 = spF en λ1 λ2 λ3 = detF.
Is een matrix F singulier dan is detF = 0. In de karakteristieke vergelijking is de constante
term gelijk aan nul. Een singuliere matrix heeft dus steeds de eigenwaarde λ = 0.
Opmerking: Is de matrix van een loodrechte spiegeling of van een loodrechte projectie gegeven dan kan men gemakkelijk de spiegelas of de projectieas bepalen d.m.v. het
opsporen van eigenwaarden en eigenvectoren.
OPGAVEN — 73 Bepaal eigenwaarden en eigenvectoren van de volgende (3 × 3) matrices:






2 0
0
5 −2
2
4
1
1
2
1
2  c.  2
1
2 
a.  −1 0 −1  b. 
6 −3
 3 1 −2 
 −10
 −7 −2 −2
2 −2 −2
0
1
1
4 1
1
1
2 
d.  1 −1 −2  e.  2
f.  −4 0 −2 
1 −2 −1
−3 −3 −4
0 2
0
74 Bepaal de projectieruimte en de projectierichting van de lineaire parallelprojectie met matrix:
2.5. EIGENVECTOREN VAN EEN SYMMETRISCHE MATRIX

2
a.  1
 3
c. 
0
1
−1
4
2
6

−2
−1 
−3

−1 −1
2
1 
−1
0

3
b.  −6
 0
2
d.  1
−1

1
2
−2 −4 
0
0
0
2
1
2 
0 −1
Oplossingen:
74
x + 4y − 2z = 0
a. Imf :
, kerf : x + 2y − z = 0
x+y−z =0
x+y =0
c. Imf : x + y + z = 0 , kerf :
x + 2y + z = 0
2.5
97
2x + y = 0
, kerf : 3x + y + 2z = 0
z=0
x+z =0
d. Imf : x + 2z = 0, kerf :
x + y + 2z = 0
b. Imf :
Eigenvectoren van een symmetrische matrix
We weten reeds dat twee eigenvectoren behorende bij twee verschillende eigenwaarden
lineair onafhankelijk zijn.
Werken we in een euclidisch vectorruimte dan kan het gebeuren dat de twee eigenvectoren,
behorende bij twee verschillende eigenwaarden, bovendien orthogonaal zijn.
We formuleren de volgende stelling:
STELLING 2.6 Als een matrix symmetrisch is dan zijn de eigenvectoren behorende bij
twee verschillende eigenwaarden orthogonaal.
Bewijs: Stel dat X1 en X2 eigenvectoren zijn behorende bij resp. de eigenwaarden λ1 en
λ2 van de matrix F en λ1 6= λ2 . We moeten aantonen dat het scalair product X1t · X2 = O.
Omdat X1 en X2 eigenvectoren van F zijn met resp. eigenwaarden λ1 en λ2 geldt:
F · X1 = λ1 X1
F · X2 = λ2 X2
Van de eerste betrekking nemen we van beide leden de getransponeerde en houden rekening met F t = F :
X1t · F = λ1 X1t
We vermeningvuldigen leden rechts met X2 .
(X1t · F ) · X2 = (λ1 X1t ) · X2
m ass. eig.
X1t · (F · X2 ) = λ1 (X1t · X2 )
98
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
m def. eigenv.
X1t · (λ2 X2 ) = λ1 (X1t · X2 )
m scal. verm.
λ2 (X1t · X2 ) = λ1 (X1t · X2 )
m λ1 6= λ2
X1t · X2 = O
2.6. DIAGONALISATIE
2.6
99
Diagonalisatie
Om de macht An van een matrix A te berekenen, moet heel wat gerekend worden. Zelfs
een computer heeft het hier lastig mee als de dimensie van A groot is en n groot is. Door
gebruik te maken van volgende eigenschap kan het rekenwerk drastisch worden beperkt.
STELLING 2.7 (Diagonalisatie-eigenschap) Stel A is een n×n-matrix met n lineair
onafhankelijke eigenvectoren X1 , . . . , Xn . Als S = [X1 X2 · · · Xn ], dan is
S −1 AS
een diagonaalmatrix. De elementen op de diagonaal zijn de eigenwaarden van A die horen
bij de eigenvectoren X1 , . . . , Xn
bewijs: Merk vooraf op dat S −1 bestaat, omdat de kolommen van S lineair onafhankelijk
zijn.
Noem λi de eigenwaarde die hoort bij de eigenvector Xi . We vinden dan dat
A · S = A · [X1 X2 · · · Xn ]
= [A · X1 A · X2 · · · A · Xn ]
= [λ1 X1 λ2 X2 · · · λn Xn ]

λ1 0
 0 λ2

= [X1 X2 · · · Xn ]  ..
 .
0 0


λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0 


= S  ..
..  .
.
.
 .
. . 
0 0 · · · λn
···
···
..
.
0
0
..
.
···
λn





Bijgevolg is



S −1 AS = 

λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
..
.
..
. ..
.
0 0 · · · λn



.

Voorbeelden:
100
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
• Macht van een matrix
Bereken A5 als
A=
2 1
3 4
Oplossing:
De matrix met de eigenvectoren als kolomvectoren:
3 1 −1 1
−4 4
−1
S=
S =
1
1
1 3
4
4
D=
1 0
0 5
geldt dat S −1 AS = D. Bijgevolg is A = SDS −1 en dus
(SDS −1 )5
(SDS −1 )(SDS −1 )(SDS −1 )(SDS −1 )(SDS −1 )
SD(S −1 S)D(S −1 S)D(S −1 S)D(S −1 S)DS −1
SDI2 DI2 DI2 DI2 DS −1
SD5 S −1
5 3 1 −1 1
1 0
−4 4
=
1
1
1 3
0 5
4 3 41 −1 1
1 0
−4 4
=
1
1
5
1 3
0 5
4
4
782 781
=
2343 2344
An =
=
=
=
=
• Brand switching
In een supermarkt zijn drie merken choco te krijgen: C1, C2 en C3. Sommige
mensen kopen altijd hetzelfde merk. Uit een marktonderzoek blijkt dat 70 % van
de kopers van C1 ook de volgende keer C1 zullen kopen. De kopers van C2 zijn iets
minder merktrouw: slechts 40 % van hen koopt de volgende keer ook C2. En ook 40
% van de kopers van C3, blijft bij C3. Anderen zijn minder tevreden en proberen
eens een ander merk (in het Engels: brand switching). Zo stapt 10 % over van C1
naar C2 en 20 % van C1 naar C3. En 50 % ruilt C2 voor C1 en 10 % ruilt C2 voor
C3. Van de gebruikers van C3 koopt 50 % de volgende keer C1 en 10 % C2.
Van tweehonderd klanten, die elke week een pot choco kopen, is geweten dat 40 het
merk C1 kochten, 80 het merk C2 en 80 het merk C3. Hoe evolueren deze aantallen
op lange termijn?
Oplossing:
Het aantal klanten dat elk merk koopt

0, 70
Am · X0 =  0, 10
0, 20
na m weken gelijk is aan
m 

0, 50 0, 50
40
0, 40 0, 10   80 
0, 10 0, 40
80
2.6. DIAGONALISATIE
101
Om deze macht uit te rekenen, diagonaliseren we de matrix A. De eigenwaarden
zijn
0, 70 − λ
0, 50
0, 50
0, 10
0, 40 − λ
0, 10
0, 20
0, 10
0, 40 − λ
= 0 ⇐⇒ λ = 0, 2 ∨ λ = 0, 3 ∨ λ = 1
Ga dat na! Voor λ = 0, 2 zijn de bijbehorende eigenvectoren oplossingen van


 (0, 70 − 0, 2)x + 0, 50y + 0, 50z = 0
 0, 50x + 0, 50y + 0, 50z = 0
0, 10x + (0, 40 − 0, 2)y + 0, 10z = 0 ⇐⇒
0, 10x + 0, 20y + 0, 10z = 0


0, 20x + 0, 10y + (0, 40 − 0, 02)z = 0
0, 20x + 0, 10y + 0, 20z = 0

 x+y+z =0
x+y+z =0
x + 2y + z = 0 ⇐⇒
⇐⇒
x + 2y + z = 0

2x + y + 2z = 0
De oplossingenruimte van dat homogeen stelsel stelt in de ruimte een vectorrechte
voor (als doorsnede van twee vectorvlakken). De parametervoorstelling van deze
eigenruimte is:
1 1 1 1 1 1 ) = r(−1, 0, 1)
(x, y, z) = r(
,
,
2 1 1 1 1 2 Toon aan dat de eigenruimten behorende bij de andere eigenwaarden r(0, −1, 1) en
r(35, 8, 13) zijn.
We beschouwen de matrix S waarvan de
stel.2.7 op p.99).

−1

0
S=
1
kolomvectoren de eigenvectoren zijn (zie

0 35
−1 8 
1 13

S −1

−21 35 35
1 
8 −48 8 
=
56
1
1
1


0, 2 0 0
D = S −1 AS =  0 0, 3 0 
0
0 1
102
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
Omdat A = SDS −1 , is
Am = SDm S −1



−1 0 35
(0, 2)m
0
0
−21 35
1 
m




0 −1 8
0
(0, 3)
0
8 −48
=
56
1
1 13
0
0
1
1
1

35 + 21(0, 2)m
35 − 35(0, 2)m
1 
m
8 − 8(0, 3)
8 + 48(0, 3)m
=
56
13 + 8(0, 3)m − 21(0, 2)m 13 − 48(0, 3)m + 35(0, 2)m

35
8 
1

35 − 35(0, 2)m

8 − 8(0, 3)m
m
m
13 + 8(0, 3) + 35(0, 2)
en het aantal kopers van elke merk na m weken wordt dan


7000 − 4760(0, 2)m
1 

1600 + 2880(0, 3)m
Am X0 =
56
m
m
2600 − 2880(0, 3) + 4760(0, 2)
Op lange termijn, als m zeer groot wordt, worden (0, 2)m en (0, 3)m verwaarloosbaar
klein. Het aantal kopers streeft dan naar

 

7000
125
1 
1600  =  29 
56
2600
46
OPGAVEN — 75 In een gemeente wordt een gecontroleerd overstromingsgebied aangelegd. Delen van
de polder komen daardoor bijna permanent onder water te staan. Ecologen voorspellen dat het aantal
insecten daardoor zal wijzigen. Op dit ogenblik worden volgende aantallen vastgesteld:
• 56 insecten per vierkante meter in de polder;
• 13 insecten per vierkante meter in de woonzone.
Dezelfde ecologen voorspellen dat die aantallen maandelijks zullen veranderen volgens de migratiematrix


0, 70 0, 04 0, 02
 0, 10 0, 85 0, 03 
0, 20 0, 11 0, 95
waarbij de eerste rij en kolom staan voor het poldergebied dat overstromingsgebied wordt, de tweede
rij en kolom voor het poldergebied dat onaangeroerd blijft en de derde rij en kolom voor de woonzone.
Voorspel het aantal insecten per vierkante meter op lange termijn.
76 Diagonaliseer
−2 2
a.
2 1 3
0
d.
5
−2


2 2 2
g.  2 2 2 
2 2 2
de volgende
mogelijk:
matrices indien
1 3
3 −1
b.
c.
7
3 6
4
−2
1
3 −1
e.
f.
2
 −1 10 
4

1 2 3
0 −1
0
0 
h.  1 2 3  i.  −1 −1
1 1 8
1
0 −1
2.7. BEWERKINGEN MET LINEAIRE TRANSFORMATIES
2.7
2.7.1
103
Bewerkingen met lineaire transformaties
De som van twee lineaire transformaties
Zijn f en g twee lineaire transformaties van een vectorruimte R, V, + met resp. geassocieerde matrices F en G dan geldt:
∀~v ∈ V : (f + g)(~v ) = f (~v ) + g(~v )
Merk op dat de geassocieerde matrices van dezelfde orde zijn.
F, G ∈ Rn×n
De transformatieformules voor de transformaties f en g zijn in verkorte matrixgedaante
resp.
Y =F ·X
en
Y = G · X.
De transformatieformules voor de som f + g zijn in verkorte matrixgedaante:
Y =F ·X +G·X
m distr. v. som t.o.v. prod. v. matrices
Y = (F + G) · X
Uit deze transformatieformules kunnen we het volgende besluiten.
De geassocieerde matrix van de som van twee lineaire transformaties van R, V, + is gelijk
aan de som van de geassocieerde matrices van de twee lineaire transformaties.
2.7.2
De scalaire vermenigvuldiging van lineaire transformaties
Is f een lineaire transformaties van R, V, + met geassocieerde matrices F dan is
∀~v ∈ V : (r.f )(~v ) = r.f (~v )
De transformatieformules voor de transformatie f is in verkorte matrixgedaante:
Y = F · X.
De transformatieformules voor de scalaire vermenigvuldiging rf zijn in verkorte matrixgedaante:
Y = r(F · X)
104
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
m gem. ass. v. matrices
Y = (rF ) · X
Uit deze transformatieformules kunnen we het volgende besluiten.
De geassocieerde matrix van het product van een lineaire transformatie van R, V, + met een
reëel getal is gelijk aan het product van de geassocieerde matrix van de lineaire afbeelding
met dat reëel getal.
2.7.3
Samenstelling van lineaire transformaties
Zijn f en g twee lineaire transformaties van een vectorruimte R, V, + met resp. geassocieerde matrices F en G dan geldt:
∀~v ∈ V : (g ◦ f )(~v ) = g(f (~v ))
De transformatieformules voor f en g zijn in verkorte matrixgedaante resp.:
Y =F ·X
Z =G·Y
De overgangsformules voor de samenstelling g ◦ f zijn in verkorte matrixgedaante:
Z = G · (F · X)
m ass. v. prod. v. matrices
Y = (G · F ) · X
Uit deze overgangsformules kunnen we het volgende besluiten.
De geassocieerde matrix van de samenstelling g ◦ f van twee lineaire transformaties f
en g is gelijk aan het product G.F van de geassocieerde matrices van de twee lineaire
transformaties in deze volgorde.
STELLING 2.8 De samenstelling van twee orthogonale transformaties is opnieuw een
orthogonale lineaire transformatie.
Bijzondere samenstellingen:
• De samenstelling van twee rotaties met resp. hoeken θ1 en θ2 is de rotatie met hoek
θ1 + θ2 .
• De samenstelling van twee loodrechte spiegelingen is een rotatie. Ga zelf na welke
de hoek is van de rotatie (analytisch en meetkundig).
• Ga ook na wat de samenstelling is van een rotatie en een loodrechte spiegeling.
De samenstelling van een homothetie en een orthogonale lineaire transformatie is een
gelijkvormigheid.
2.7. BEWERKINGEN MET LINEAIRE TRANSFORMATIES
2.7.4
105
Inverse lineaire transformatie
Enkel de lineaire permutaties hebben een inverse lineaire transformatie. De inverse lineaire transformatie f −1 van f met geassocieerde matrix F is weer een lineaire permutatie
waarvan de geassocieerde matrix de inverse matrix F −1 is.
Met symbolen:
f ◦ f −1 = in = f −1 ◦ f ⇐⇒ F.F −1 = In = F −1 .F
STELLING 2.9 De inverse transformatie van een orthogonale lineaire transformatie
bestaat en is een orthogonale transformatie. De inverse matrix A−1 van een orthogonale
matrix A is een orthogonale matrix die gelijk is aan de getransponeerde van A.
At .A = I2
Aangezien het product van At en A de eenheidsmatrix is, is At de inverse matrix van A.
Voor een orthogonale matrix geldt:
A−1 = At .
De inverse transformatie van een rotatie met hoek θ is de rotatie met hoek −θ. De inverse
transformatie van een spiegeling is de spiegeling zelf (A−1 = A).
Verder geldt er:
STELLING 2.10 De determinant van een orthogonale matrix is gelijk aan 1 of −1.
Bewijs: Voor orthogonale matrices geldt:
At = A−1
m
t
A .A = In
Nemen we van beide leden de determinant dan krijgen we
detAt detA = 1
Hieruit volgt rekening houdend met detAt = detA dat
det2 A = 1 ⇐⇒ detA = ±1
106
HOOFDSTUK 2. LINEAIRE TRANSFORMATIES
OPGAVEN — 77 Bewijs dat een orthogonale 2 × 2 matrix de determinant heeft gelijk aan 1 als en
slechts als de overeenkomstige orthogonale transformatie een rotatie is, en gelijk aan −1 als en slechts als
de overeenkomstige orthogonale lineaire transformatie een spiegeling is. Leidt hieruit af dat de samenstelling van een oneven aantal lineaire spiegelingen, opnieuw een lineaire spiegeling is, en dat de samenstelling
van zo een even aantal spiegelingen een rotatie is.
78 Is een vector ~v een eigenvector van de lineaire transformaties f en g met respectieve eigenwaarden
λ en λ0 dan is ~v ook een eigenvector van f ◦ g en g ◦ f met eigenwaarde λ · λ0 . Bewijs dat.
79 Voor welke orthogonale matrices A geldt dat A + I2 opnieuw een orthogonale matrix is?
80∗ Zoek een nodige en voldoende voorwaarde (een uitdrukking in A en B die gelijk moet zijn aan een
constante matrix) opdat de som van twee orthogonale matrices A en B opnieuw een orthogonale matrix
is.
81 Onderzoek de structuur
voor de optelling en de vermeningvuldiging van de verzameling van de
a −b
matrices van de gedaante
. Toon ook aan dat zo een matrix de geassocieerde matrix is van de
b a
samenstelling van een homothetie en een rotatie.
Oplossing::
79 ab = − 12
Hoofdstuk 3
Determinanten
3.1
Determinant van de orde twee
We gaan na wat de voorwaarde is waaraan de elementen van een vierkante matrix moeten
voldoen opdat de rijvectoren lineair afhankelijk zouden zijn. Daartoe bespreken we de
rang van de matrix.
a b
a b
a6=0
∼
A=
0 ad − bc
c d
1. In geval a 6= 0
(a) RangA=2 als ad − bc 6= 0
(b) RangA=1 als ad − bc = 0
2. In geval a = 0
(a) c 6= 0 (c is Jordan-element)
0 b
c d
c6=0
∼
c d
0 b
i. RangA=2 als b 6= 0
In dit geval is ab − bc = 0 − bc 6= 0
ii. RangA=1 als b = 0
In dit geval is ab − bc = 0 − 0 = 0
(b) c = 0. In dit geval is steeds ab − bc = 0 − 0 = 0
107
108
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
i. b 6= 0
0 b
0 d
b6=0
∼
0 1
0 0
RangA=1.
ii. b = 0 en d 6= 0
RangA=1.
iii. b = d = 0
0 0
0 d
∼
0 d
0 0
0 0
0 0
d6=0
∼
0 1
0 0
RangA=0.
Besluit
1. De rijvectoren van een matrix zijn lineair onafhankelijk (rangA=2) als en slechts als
ab − bc 6= 0 en zijn lineair afhankelijk (rangA ≤ 1) als en slechts ad − bc = 0.
Het is handig om uitdrukking ad − bc schematisch te kunnen voorstellen. Daarom definiëren we het begrip van determinant van de orde twee.
Is de matrix A een vierkante matrix van de orde 2 × 2 dan is de determinant van een
matrix A het reëel getal
a b = ad − bc ∈ R.
detA = c d STELLING 3.1 Als we in een (2 × 2)-matrix de rijen en de kolommen met elkaar verwisselen dan blijft haar determinant onveranderd.
detAt = detA
Inderdaad,
a b = ad − bc
c d a c = ad − bc
b d Opdat het al dan niet nul zijn van een determinant niet verandert als we de rijen met de
kolommen verwisselen, kunnen we de volgende stelling definiëren.
3.1. DETERMINANT VAN DE ORDE TWEE
109
STELLING 3.2 De rijvectoren (kolomvectoren) van een matrix zijn lineair onafhankelijk als en slechts als zijn determinant verschillend is van nul en zijn lineair afhankelijk
als en slechts als zijn determinant gelijk is aan nul.
Opmerking:
1. In geval c 6= 0 en d 6= 0 betekent
a b b
a
c d = 0 ⇐⇒ c = d met (c 6= 0, d 6= 0)
Dit betekent inderdaad dat de rijvectoren (a, b) en (c, d) lineair afhankelijk zijn.
2. In geval c = 0 is ab − bc = 0 als a = 0 ∨ d = 0
a
b
=
0
d
(a) c = a = 0 dan verkrijgen
0
b
=
0
d
De vectoren (0, b) en (0, d) zijn inderdaad lineair afhankelijk.
(b) c = d = 0 dan verkrijgen we
b
a
=
0
0
De vectoren (a, b) en (0, 0) zijn inderdaad lineair afhankelijk.
De nulvector is afhankelijk van elke vector.
Als in een evenredigheid de noemer nul is dan kan de evenredigheid maar voldaan
zijn als ook de corresponderende teller gelijk is aan nul of als alle noemers gelijk zijn
aan nul.
STELLING 3.3 Als we in een (2 × 2)-matrix de 2 rijen (kolommen) met elkaar verwisselen dan gaat de determinant over in zijn tegengestelde.
Inderdaad,
a b = ad − bc
c d c d = bc − ad
a b Hieruit volgt
a b
c d
= − c d
a b
110
3.2
3.2.1
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
Determinant van de orde drie
Cofactor van een element van een (3 × 3)-matrix
In een (3 × 3)-matrix zitten 9 determinanten van de orde 2 vermits er 9 deelmatrices
zijn van de orde (2 × 2). Zo een deelmatrix bekomen we door een rij en een kolom te
schrappen. Vandaar de volgende definitie. De cofactor van een element aij van een
matrix van de orde (3 × 3) is de determinant van de matrix van de orde (2 × 2) die we
bekomen door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen. Vóór deze determinant plaatsen
we een + of een − teken al naar gelang i + j even of oneven is. Is i + j even (oneven)
dan zeggen we dat het element op een even (oneven) plaats staat. De cofactor van het
element aij in de vierkante matrix (aij ) noteren we Aij .
Hieronder geven we een schematische voorselling van alle cofactoren, di. de matrix waarin
elk element van A vervangen werd door zijn cofactor.


A11 A12 A13
 A21 A22 A23 
A31 A32 A33
(3.1)
Opmerking: De minor van een element aij van de vierkante matrix (aij ) is de determinant
die we bekomen door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen zonder rekening te houden
met het teken van de plaats waar het element zich bevindt.
3.2.2
Definitie van determinant van de orde 3
De korte notatie Aij voor cofactor van een element van een matrix kunnen we goed
gebruiken om de canonieke matrix te bepalen van een algemene (3 × 3)-matrix. De
canonieke matrix van de (3 × 3)-matrix


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
in geval a11 6= 0 en A33 6= 0, is gelijk aan


a11 A33 0
a13 A33 + a12 A32


0
A33
−A32
0
0 A22 A33 − A32 A23
De rang van de matrix hangt af van het al of niet nul zijn van de cofactor A22 A33 − A32 A23
van het element A11 in de matrix 3.1. We berekenen A22 A33 − A32 A23 in functie van de
3.2. DETERMINANT VAN DE ORDE DRIE
111
elementen aij .
A22 A33 − A32 A23 =
a11 (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 )
Vermits in de rijherleiding a11 6= 0, hangt het al dan niet nul zijn van A22 A33 − A32 A23
enkel af van de factor
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .
(3.2)
Ga zelf na dat voor gelijk welke keuze van de Jordan elementen in de rijherleiding van
de matrix A, de canonieke gedaante steeds de factor 3.2 bezit. Dit betekent dat bij
verwisseling van rijen deze factor steeds bekomen wordt.
We definiëren 3.2 als de determinant van de (3 × 3)-matrix A en we noteren detA of
| A |.
De algemene term van deze som in 3.2 is van de gedaante: a1k a2l a3m . Om alle termen van
de ontwikkeling te bekomen, nemen we voor (k, l, m) de zes permutaties pi van (1, 2, 3)
(met i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
Staat in een permutatie pi van de elementen van een verzameling {1, 2, 3 · · · n} een groter
element links van een kleiner element, dan spreken we van een inversie.
Een even permutatie is een permutatie met een even aantal inversies. Een oneven
permutatie is een permutatie met een oneven aantal inversies.
We zeggen dat een even permutatie een signatuur gelijk aan +1 heeft en een oneven
permutatie een signatuur gelijk aan −1 heeft.
We noteren sign(pi )
= 1
⇐⇒ pi is even
sign(pi )
= −1 ⇐⇒ pi is oneven
Je kan nu gemakkelijk nagaan dat in 3.2 een (+)teken voorkomt als (k, l, m) een even
permutatie is van (1, 2, 3) en een (-)teken als (k, l, m) een oneven permutatie is.
Met het sommatieteken kunnen we de uitdrukking voor de determinant als volgt noteren:
| A |= detA =
6
X
sign(pi )a1,pi (1) a2,pi (2) a3,pi (3) .
i=1
We kunnen de determinant van een matrix van de orde 3 × 3 ook bekomen door de
zogenaamde regel van de driehoeken. De driehoeken worden bekomen door in de
matrix de elementen die in de uitdrukking 3.2 samen horen in eenzelfde term met elkaar
te verbinden. Zo ontstaan zes driehoeken.
112
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
DERIVE berekent determinanten met het commando det(A) te schrijven. EXCEL berekent eveneens determinanten met in een cel het commando DETERMINANTMAT(A) te
schrijven.
3.3
Uitbreiding van het begrip determinant
We kunnen gemakkelijk het begrip van determinant uitbreiden naar een hogere orde dan
de derde orde. Is een matrix van de orde (n × n) dan heeft de determinant n! termen
omdat een verzameling mat n elementen n! permutaties bezit.
detA =
n!
X
sign(pi )a1,pi (1) a2,pi (2) . . . an,pi (n) .
i=1
OPGAVEN — 82 Bepaal de determinant van een symmetrische matrix van de orde 3 × 3.
83 Bereken de volgende determinanten met de regel
4
0 1 3 −2 5 ,
−3
2 5 OPLOSSINGEN — 83. (i). -80;
(ii) 6.
van de driehoeken:
3 −2 3 1
0 1 2
4 5 3.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN
3.4
113
Eigenschappen van determinanten
STELLING 3.4 Vermenigvuldigen we de elementen van een willekeurige rij met resp.
hun eigen cofactor en tellen we de bekomen producten op dan verkrijgen we steeds hetzelfde
reëel getal, dat de determinant van de matrix is.
We tonen dit aan voor een determinant van de orde 3. We kunnen in de uitdrukking 3.2
de termen rangschikken naar de elementen van eenzelfde rij.
Als we bvb. rangschikken naar de elementen van de eerste rij dan krijgen we
a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 )
a
a
= a11 22 23
a32 a33
− a12 a21 a23
a31 a33
+ a13 a21 a22
a31 a32
of korter:
a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
(3.3)
De uitdrukking 3.3 is de ontwikkeling naar de eerste rij van de determinant.
Opmerking: Bij de ontwikkeling van een determinant van de orde n naar een bepaalde
rij wordt de berekening herleid tot het uitrekenen van determinanten van één orde lager,
nl. van de orde n − 1.
STELLING 3.5 De determinant van een driehoeksmatrix is gelijk aan het product van
de diagonaalelementen.
Bewijs zelf voor een determinant van de orde 3 en van de orde 4:
114
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
OPGAVEN — 84 Bereken de volgende determinanten door ze te ontwikkelen naar een rij of een kolom:
1
6
−1
0
2
−1
5
0 −2
,
2
−2
1
4
2
3
−2
−3
4 3 −4 ,
0
5 −3
2 3 3 −2 4 −2 −3 1 3 −4 1 85 Bewijs dat de determinant van elke scheefsymmetrische matrix van de orde 3 gelijk is aan nul (dit
is trouwens waar voor elke oneven orde).
86 Bewijs dat de determinant van elke scheefsymmetrische matrix van de orde 4 met elementen in Z
een volkomen kwadraat is (dit is trouwens waar voor elke even orde).
OPLOSSINGEN — 84. (i). 0;
3.4.1
(ii). 0;
(iii). -180.
Reciproke determinant van de determinant van een symmetrische matrix ∗
Gegeven een symmetrische matrix
a11
a12
a13
a12
a22
a23
a13
a23
a33
met determinant ∆.
We noemen de reciproke determinant van ∆ de determinant die we bekomen door elk element van ∆ te
vervangen door zijn cofactor.
De reciproke determinant van ∆ is
A11
A12
A13
A12
A22
A23
A13
A23
A33
STELLING 3.6 De cofactor van een element van de reciproke determinant van ∆ is gelijk aan het
product van het overeenstemmend element uit ∆ met ∆.
A22 A33 − A223 = a11 ∆, A33 A11 − A213 = a22 ∆, A11 A22 − A212 = a33 ∆
A13 A12 − A11 A23 = a23 ∆, A12 A23 − A22 A13 = a13 ∆, A23 A13 − A33 A12 = a12 ∆
3.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN
115
STELLING 3.7 Als we in een vierkante matrix de rijen met de kolommen verwisselen dan blijft de determinant behouden. Anders geformuleerd: De determinant van een
vierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde.
We kunnen ook zeggen: Als we in een determinant de elementen spiegelen t.o.v. de hoofddiagonaal dan blijft de determinant behouden.
Met symbolen:
detA = detAt
Bewijs voor determinanten van de orde 3: Voor het bewijs ontwikkelen we detA naar bvb.
de eerste rij en detAt naar de eerste kolom. In deze twee ontwikkelingen zijn overeenkomstige elementen gelijk, alsook overeenkomstige cofactoren wegens stelling 3.1.
Voorbeeld:
0 0 1
1 2 4
1 3 9
0 1 1
= 0 2 3
1 4 9
Deze eigenschap heeft tot gevolg dat alle volgende eigenschappen voor rijen ook geldig
zijn voor kolommen.
STELLING 3.8 Als we in een vierkante matrix twee rijen (of twee kolommen) met
elkaar verwisselen dan gaat de determinant over in zijn tegengestelde.
Bewijs voor determinanten van de orde 3: Verwisselen we bvb. de eerste twee rijen van A
met elkaar dan bekomen we de matrix B. Voor het bewijs ontwikkelen detA en detB naar
de derde rij. In beide ontwikkelingen zijn overeenkomstige elementen gelijk aan elkaar en
overeenkomstige cofactoren tegengesteld.
Voorbeeld:
0 4 −1 4 0 −1 1 2
3 = − 2 1
3 9 8
8 9
7 7 We hebben kolom 1 met kolom 2 verwisseld, we noteren dit als K12 = K21 .
We aanvaarden de volgende stelling:
STELLING 3.9 De rijvectoren (kolomvectoren) van een vierkante matrix zijn lineair
afhankelijk of maw. de rang van de matrix is kleiner dan de orde van de matrix als en
slechts als de determinant van de matrix gelijk is aan nul.
116
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
De stelling is gelijkwaardig met de volgende stelling
STELLING 3.10 De rijvectoren (kolomvectoren) van een vierkante matrix zijn lineair
onafhankelijk of maw. de rang van de matrix is gelijk aan de orde van de matrix als en
slechts als de determinant van de matrix verschillend is van nul.
Voorbeelden:
√
√
2− 3
−1
3
0 3 3 3 8 8 =0
(K2 = K3 )
−4 1 1 2
2
1
c b2 c2 1 b c =0
(R2 = R3 )
1 b2 c 2 0 1 9 1 2 3 =0
(R3 = 2R2 );
2 4 6 √
√
3
2
√
√
√
√
(R2 = ( 2 + 3)R1 ).
6+3
6√+ 2 = 0
2
2 0 −1
5 0
3
4 = 0
(K1 = 0-kolom)
0
4 −6
1 2 3 7
7
4 5 6 R3 = 3 R=2 − 3 R1 0.
7 7 7 Als theoretische toepassing kunnen we de volgende eigenschap gemakkelijk bewijzen.
3.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN
117
STELLING 3.11 Vermenigvuldigen we de elementen van een willekeurige rij (of kolom)
van een vierkante matrix met resp. de cofactoren van de overeenkomstige elementen van
een andere rij (of kolom) en tellen we de bekomen producten op dan is deze som gelijk
aan nul.
We vermenigvuldigen bijvoorbeeld de elementen van de eerste rij met de cofactoren van
de overeenkomstige elementen van de tweede rij
a12 a13 a11 a13 a11 a12 a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = −a11 . + a12 . − a13 . a32 a33 a31 a33 a31 a32 We zien dat het tweede lid de ontwikkeling is
minant:
a11 a12
a11 a12
a31 a32
naar de tweede rij van de volgende deter
a13 a13 a33 Deze determinant heeft twee gelijke rijen en is dus gelijk aan nul.
STELLING 3.12 Als we in een vierkante matrix een rij (of kolom) met eenzelfde reëel
getal vermenigvuldigen dan wordt haar determinant met dat reëel getal vermenigvuldigd.
Bewijs: Het bewijs wordt gegeven door de determinant te ontwikkelen naar de rij of kolom
die met het reëel getal wordt vermenigvuldigd.
Voorbeeld:
5
21 20 8 1 5 20 4 1 5 20 4 −
23 4 6 = 2 .2 −13 4 3 = 2 −1 4 3 3 10 2 5 2 5 1 4
2
GEVOLG 3.1
a11 a12 a13
∀r ∈ R : a21 a22 a23
ra31 ra32 a33
Pas dit gevolg toe om te bewijzen dat
a b2 c
1 b 1
c ac a
en
a11 a12 ra13
= a21 a22 ra23
a31 a32 a33
1 1 1
= − a b c
bc ac ab
b b c 1 b c c
bc b2 c2 = 1 b2 c2 1 b c 1 b2 c 2 c
b
118
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
STELLING 3.13 Als we in een vierkante matrix een rij (of kolom) opvatten als de
som van twee rijen (twee kolommen) dan is haar determinant gelijk aan de som van
de determinanten van de matrices bekomen door de somrij (somkolom) beurtelings te
vervangen door de termrijen (termkolommen).
Het bewijs wordt gegeven door de determinant te ontwikkelen naar de rij (of kolom) die
opgevat werd als de som van twee rijen (of twee kolommen).
Voorbeeld:
1 0 3 1 0 1+2
2 2 4 = 2 2 2+2
3 5 5 3 5 3+2
1 0 1
= 2 2 2
3 5 3
1 0 2
+ 2 2 2
3 5 2
1 0 1
= 0 + 2 2 2 1
3 5 1
STELLING 3.14 Als we in een vierkante matrix bij een rij (of kolom) een lineaire combinatie van de andere rijen (kolommen) optellen, dan blijft haar determinant behouden.
Voor het bewijs steunen we op stelling 3.12 en 3.13.
Voorbeelden:
1 0 1
2 2 1
3 5 1
1
0
2
6 −1
5
−1
0 −2
R2 −R1 ,R3 −R1
=
K3 −2K1
=
1 0 1
1 2 0
2 5 0
;
1
0
0
3
6 −1 −6 R1 =−R
= 0
−1
0
0 STELLING 3.15 De determinant van het product van twee vierkante matrices is gelijk
aan het product van de determinanten van die matrices.
Met symbolen:
det(A.B) = detAdetB
(3.4)
We kunnen het bewijs geven voor algemene matrices van de orde 2 × 2 en 3 × 3. Daartoe rekenen we beide leden uit en vergelijken de resultaten met elkaar. Algemeen echter
kunnen we het product A.B opvatten als een matrix die onstaat uit A door elke kolom
te vervangen door een lineaire combinatie van kolommen uit A. Door de rekenregels van
determinanten toe te passen bekomen we de stelling. Dit is opnieuw niet zo moeilijk,
maar wel langdrading en dus . . . (vul zelf in).
3.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN
119
Opmerkingen:
• In het algemeen geldt
A · B 6= B · A
maar er geldt steeds
det(A · B) = det(B · A).
• Door de eigenschap 3.15 kunnen we het product van twee determinanten uitvoeren
zoals we het product van twee matrices maken.
• Omdat de determinant van een matrix gelijk is aan de determinant van zijn getransponeerde kunnen we voor het product van twee determinanten, i.p.v. de rijen
van de eerste determinant te vermenigvuldigen met de overeenkomstige elementen
van de kolommen van de tweede determinant, de rijen van de eerste determinant
vermenigvuldigen met de rijen van de tweede determinant of de kolommen van de
eerste met de kolommen van de tweede.
OPGAVEN — 87 Bewijs:
x1 y1 1 x − x1
a. x2 y2 1 = 2
x3 − x1
x3 y3 1 b b −b 1 = 0
b. −1 0
a a −a y2 − y1 y3 − y1 88 Bereken de volgende determinanten door
nanten.
4
0 1 a. 3 −2 5 b. −3
2 5 1
2 1 5
1
d. 1 − 15 2 e. 1
4 1 30
89 Werk
7
a. 3
1
3
b. 2
6
gebruik te maken van de
1
3 −2 3 1
0 1 c. b
3
2
4 5 1
1
0 0 2 5
4 −1 3 1 f. 3
2 7 1 4
0
2
5 0 4 eigenschappen van de determi
a 1 c b d 3 3 4 1 1 0 3 −2 2 0 2 2 6 uit door gebruik te maken van de eigenschappen van determinanten:
a b −7 a b c d + −3 c d x y 0 x y 2 3 1 1 1 1 + 3 5 3 5 120
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
2
c. 1
1
1
2
1
−1
1
2
5
+
4
1 −1 90 De volgende determinanten
rijen?
1
a. 4
7
zijn gelijk aan nul. Welke rij is lineaire combinatie van de twee andere
2
5
8
3
6
9
1
b. 2
0
91 Geef een ontbinding in factoren voor de
a 1 1 b.
a. 1 a 1 1 1 a a−b−c
2a
2a
e.
2b
b−c−a
2b
d. 2c
2c
c−a−b 3
6
0
−1
−2
1
−4
c. 0
1
1
0
6
7
0
3
uitwerking van de volgende determinanten:
1
1
1
1 a b 1
b
c c d c. a
b+c c+a a+b 1 −a b 2
1
a (a + 1)2 (a − 1)2 n
n2 + n
2
2
2
2
b
2 (b + 1)2 (b − 1)2 f. 1 n + 1 n2 + 3n + 2
1 n + 2 n + 5n + 6
c
(c + 1)
(c − 1) 92 * Geef een ontbinding in factoren voor de uitwerking van de volgende determinanten:
a b c d 2
2 a2
b2
(a + b)2
bc
a +b 2 ac 2
b c d a 2
2
a
(c + a)
c2
ab
ac
a. b + c
b. c d a b c. 2
2
2
2
(b + c)
b
c2
ab
a +c
bc
d a b c 1 a a2 a3 1+a
1
1
1
1 b b 2 b3 1
1
+
b
1
1
d.
e. 1 c c2 c3 1
1
1
+
c
1
1 d d 2 d3 1
1
1
1+d
Oplossingen:
88. a. -80
b. 6
89.
a. ad − bc
90.
a. R1 = 2R2 − R3
91.
c. 0
b. 0
b. R2 = 2R1
d.
47
90
e. 170
c. − 3
c. R2 = 0R1 + 0R3
a. (1 − a)2 (2 + a);
b. 2a(d − b);
c. 0;
d. (a + b + c)3 ;
e. −4(a − b)(b − c)(c − a);
f. 2;
92.
a. 4(abc)2
b. −(a + b + c + d)(a − b + c − d) (b − d)2 + (a − c)
f. -456
3.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN
121
c. (a − b)(b − c)(c − d)(a − d)(a − c)(b − d)
d. abcd(1 +
1
a
+
1
b
+
1
c
+ d1 )
LIN.AL. HUISTAAK 6
1. Bereken de volgende determinanten door gebruik te maken van de eigenschappen van de determinanten.
1 7 8 1 a a 2 a 1 a2 a. 1 b b2 + b 1 b2 b. 0 6 5 0 0 3 1 c c 2 c 1 c2 3
1
2
−2
1 −1 3 4
8 3
0
4
1
5
c. 2 − 16 1 d. 1 1
3
9 −6 −6 −3 24
36
−3
3
2
1 2. Geef een ontbinding in factoren voor de uitwerking
1
1
1
b+c c+a a+b
bc
ca
ab
van de volgende determinant:
122
3.5
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
Stelsels van Cramer
Bij een stelsel van Cramer is de rang van de coëfficiëntenmatrix die een vierkante (n × n)matrix is, gelijk aan n. Hieruit volgt dat de determinant van de coëfficiëntenmatrix
verschillend is van nul.
r = rangA = n ⇐⇒ detA 6= 0.
3.5.1
De regel van Cramer
De oplossing van een stelsel van Cramer kan op een specifieke manier bekomen worden,
nl. met de zogenaamde regel van Cramer.
Bij een stelsel van Cramer is het mogelijk een lineaire combinatie te maken van de n vergelijkingen zodanig dat alle onbekenden verdwijnen op één onbekende na. Op die manier
kunnen we de waarden van alle onbekenden bepalen.
Willen we de waarde van de eerste onbekende, dan vermenigvuldigen we de vergelijkingen in beide leden met resp. de cofactoren van de elementen van de eerste kolom van de
coëfficiëntenmatrix en tellen de bekomen producten op.


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
= b1 ×A11


 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
= b2 ×A21
..
..
..
..
..

.
.
.
.
.


 a x + a x + ··· + a x
= bn ×An1
n1 1
n2 2
nn n
(a11 A11 + a21 A21 + · · · + an1 An1 )x1
+(a12 A11 + a22 A21 + · · · + an2 An1 )x2
+ · · · + (a1n A11 + a2n A21 + · · · + ann An1 )xn = b1 A11 + b2 A21 + · · · + bn An1
In de vergelijking die we bekomen is de coëfficiënt van de eerste onbekende gelijk aan
de determinant van A, de coëfficiënten van de andere onbekenden zijn nul. Dit steunt
enerzijds op de definitie van de determinant van een matrix, nl. de determinant van een
matrix is gelijk aan de som van de producten van de elementen van bepaalde kolom met
hun corresponderende cofactor en anderzijds op de eigenschap dat de som van de producten van de elementen van een bepaalde kolom met de cofactoren van de corresponderende
elementen van een andere kolom gelijk is aan nul. We bekomen dus
(detA)x1 = b1 A11 + b2 A21 + · · · + bn An1
De uitdrukking in het tweede lid kan geschreven worden in de vorm van een determinant,
dezelfde als van detA maar waarin de eerste kolom vervangen is door de constanten bi van
3.5. STELSELS VAN CRAMER
123
het stelsel.
(detA)x1 = b1 a12 . . . a1n b2 a22 . . . a2n ..
..
.. . .
.
bn an2 . . . ann Aangezien detA 6= 0 kunnen we de eerste onbekende uit de vergelijking oplossen. De
eerste onbekende is dan gelijk aan het quotiënt van twee determinanten.
Op analoge wijze verkrijgen we de andere onbekenden.
* Regel van Cramer voor een lineair (2, 2)-stelsel.
Een lineair (2, 2)-stelsel met rang gelijk aan 2 heeft juist één oplossing. De waarde
van de eerste en tweede onbekende is gelijk aan het quotiënt van twee determinanten van de orde 2. De teller is de determinant van de matrix die we bekomen
door in de coëfficiëntenmatrix A resp. de eerste en de tweede kolomvector te vervangen door de kolomvector van de constanten, de noemer is de determinant van de
coëfficiëntenmatrix.
a11 x + a12 y = b1
(met detA 6= 0).
a21 x + a22 y = b2
De oplossing van dit stelsel is
b1
b2
(x, y) = ( a11
a21
a12 a11
a22 a21
, a12 a11
a22 a21
b1 b2 ).
a12 a22 Bijzonder geval: Is het lineair (2, 2)-stelsel een homogeen stelsel met rang gelijk aan
2 dan is de enige oplossing de nuloplossing (0, 0).
* Regel van Cramer voor een lineair (3, 3)-stelsel.
Een lineair (3, 3)-stelsel met rang gelijk aan 3 heeft juist één oplossing. De waarde
van de eerste, tweede en derde onbekende is gelijk aan het quotiënt van twee determinanten van de orde 3. De teller is de determinant van de matrix die we bekomen
door in de coëfficiëntenmatrix A resp. de eerste, de tweede en de derde kolomvector
te vervangen door de kolomvector van de constanten, de noemer is de determinant
van de coëfficiëntenmatrix.

 a11 x + a12 y + a13 z = b1
a21 x + a22 y + a23 z = b2 (met detA 6= 0).

a31 x + a32 y + a33 z = b3
124
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
De oplossing van dit stelsel is
b1
b2
b3
(x, y, z) = ( a11
a21
a31
a12
a22
a32
a12
a22
a32
a13 a11
a23 a21
a33 a31
, a13 a11
a23 a21
a33 a31
b1
b2
b3
a12
a22
a32
a13 a11
a23 a21
a33 a31
, a13 a11
a23 a21
a33 a31
a12
a22
a32
a12
a22
a32
b1 b2 b3 ).
a13 a23 a33 Bijzonder geval: Is het lineair (3, 3)-stelsel een homogeen stelsel met rang gelijk aan
3 dan is de enige oplossing de nuloplossing (0, 0, 0).
OPGAVEN — 93 Ga na of volgende stelsels stelsels zijn van Cramer. Indien zo, bepaal de oplossing
met de regel van Cramer.
2x − y = 5
x−y =2
a.
b.
x+y =1
x + y = −2
c.


x −
2x −

3x −
3y
y
4y
+ z
− z
+ z
= −2
=
3
=
2
d.

 x
2x

x
+
y
+ 5y
+ 7y
+
−
−
z
2z
7z
=
4
=
3
= −6
Oplossingen:
93 a. (2, −1); b. (0, −2); c. (3, 2, 1); d. geen stelsel van Cramer.
3.6
De inverse matrix van een niet-singuliere matrix
De inverse matrix van een vierkante matrix A is de matrix A−1 waarvoor geldt:
A.A−1 = In = A−1 .A
Nemen we van beide leden de determinant
det(A.A−1 ) = detIn = det(A−1 .A) ⇐⇒ detAdetA−1 = 1
Hieruit volgt dat detA 6= 0. Een nodige voorwaarde opdat een matrix een inverse matrix
zou bezitten is dus dat de determinant van de matrix verschillend is van nul.
Dit laatste doet ons denken aan een stelsel van Cramer waar de determinant van de
coëfficiëntenmatrix verschillend is van nul. We bewijzen nu met de theorie van de stelsels
van Cramer dat elke matrix met determinant verschillend van nul een inverse matrix heeft
door hem daadwerkelijk te construeren.
3.6. DE INVERSE MATRIX VAN EEN NIET-SINGULIERE MATRIX
125
Een stelsel van Cramer heeft juist één oplossing. We schrijven een algemeen stelsel van
Cramer in verkorte matrixgedaante:
A.X = B met detA 6= 0



A=

a11 a12 · · ·
a21 a22 · · ·
..
..
.
.
an1 an2 · · ·
a1n
a2n
..
.





ann
en



X=

x1
x2
..
.


b1
b2
..
.




 en B = 


xn





bn
De vergelijking A.X = B is de matriciële vergelijking van het stelsel.
Vermits het stelsel een stelsel van Cramer is, geldt dat de matrix A−1 bestaat.
A.A−1 = In = A−1 .A
A.X = B ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
A−1 .(A.X) = A−1 .B
(A−1 bestaat)
(A−1 .A).X = A−1 .B
( prod. is ass.)
In .X = A−1 .B
( def A−1 )
X = A−1 .B
(In is neutr. el. vr. prod)
Volgens de regel van Cramer is



X=

x1
x2
..
.





xn
met

x1 =



 x2 =
..

.



xn =
1
(b1 A11 + b2 A21 + · · · + bn An1 )
det
A
1
(b A + b2 A22 + · · · + bn An2 )
detA 1 12
..
.
1
(b1 A1n + b2 A2n + · · · + bn Ann )
detA
m
126
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN







1


x1 =

det
A















1
 x2 =
detA






..


.










1

xn =


det
A





A11 A21 . . . An1
A12 A22 . . . An2


.

b1
b2
..
.





 bn 
b1

 b2 

.  .. 
 . 
bn
..
.

A1n A2n . . . Ann


.

b1
b2
..
.





bn
m





x1
x2
..
.
xn



1 


.
=
 detA 
A11 A21 · · ·
A12 A22 · · ·
..
..
.
.
A1n A2n · · ·
Uit deze laatste gelijkheid volgt dat

A11 A21 · · ·

1  A12 A22 · · ·
A−1 =
. .
..
detA  ..
.
A1n A2n · · ·
An1
An2
..
.
An1
An2
..
.
Ann
 
 
 
.
 
b1
b2
..
.





bn


1

.AAdj
 ⇐⇒
detA

Ann
De adjunct-matrix van A, genoteerd AAdj , is de getransponeerde matrix van de matrix
die we bekomen uit de matrix A door elk element te vervangen door zijn cofactor.
Besluit: Is
detA 6= 0
dan is
A−1 =
AAdj
detA
(3.5)
We zeggen dat de matrix A regulier of niet-singulier of invertibel of inverteerbaar
is.
3.6. DE INVERSE MATRIX VAN EEN NIET-SINGULIERE MATRIX
127
Verband tussen een matrix en zijn adjunct-matrix
Vermenigvuldigen we beide leden van de formule 3.5 met detA dan is
detA.A−1 = AAdj .
Vermenigvuldigen we achtereenvolgens de laatste uitdrukking links en rechts met de matrix A dan verkrijgen we de formule die een verband uitdrukt tussen de matrix A en zijn
adjunct.
AAdj .A = A.AAdj = detA.In
(3.6)
De determinant van de adjunct-matrix
Nemen we van beide leden van de formule 3.6 de determinant dan bekomen we
detA · detAAdj = (detA)n ⇐⇒ detAAdj = (detA)n−1 .
LIN.AL. HUISTAAK 7
1. Toon aan dat (AAdj )Adj = (detA)n−2 · A.
2. Los het volgend stelsel op met de regel van Cramer en met de matriciële methode:

 x+y−z =0
2x − 3y + z = 5

−x + y − 4z = −3
128
3.7
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
Rang van een matrix bepalen met determinanten
STELLING 3.16 Is de rang van een matrix van de orde r × n gelijk aan het aantal
rijen r dan bestaat er een vierkante deelmatrix van de orde r × r waarvan de determinant
verschillend is van nul.
Bewijs: De r rijvectoren van de matrix zijn lineair onafhankelijk vermits de rang gelijk is
aan het aantal rijvectoren.
Stel dat de determinanten van alle deelmatrices van de orde r gelijk zijn aan nul dan
zouden de rijen lineair afhankelijk zijn, wat in strijd is met het feit dat de rijvectoren
lineair onafhankelijk zijn.
STELLING 3.17 Is de rang van een matrix van de orde m × n gelijk aan r, dan hebben
alle vierkante deelmatrices van een orde strikt groter dan r × r een determinant gelijk aan
nul en dan bestaat er een vierkante deelmatrix van de orde r × r waarvoor de determinant
verschillend is van nul.
Bewijs:
1. Aangezien de rang van de matrix gelijk is aan r, is een verzameling rijvectoren waarvan het aantal groter is dan r een niet vrije verzameling. Beschouwen we de matrix
behorende bij deze rijvectoren dan is de determinant van elke vierkante deelmatrix
van de orde groter dan r × r gelijk aan nul, vermits de rijvectoren daarin lineair
afhankelijk zijn. Hieruit besluiten we dat de determinant van elke deelmatrix van
een orde groter dan r × r gelijk is aan nul.
2. Aangezien de rang van de matrix gelijk is aan r, bestaat er een deelmatrix van de
orde r × n waarvan de rang ook gelijk is aan r (de rijvectoren vormen hier een
minimaal voortbrengend deel).
Volgens de voorgaande stelling bestaat er in die matrix een vierkante deelmatrix
van de orde r × r waarvan de determinant verschillend is van nul.
Deze stelling laat toe derang van een matrix te definiëren als het grootste getal r
waarvoor er een niet-nul deelmatrix bestaat van de orde r×r met determinant verschillend
van nul.
Daar de determinant van een matrix gelijk is aan de determinant van zijn getransponeerde
matrix, hebben we:
GEVOLG 3.2 De rang van een matrix is dezelfde als deze van zijn getransponeerde.
3.7. RANG VAN EEN MATRIX BEPALEN MET DETERMINANTEN
129
Anders geformuleerd geeft dit het volgend belangrijk resultaat:
GEVOLG 3.3 De dimensie van de vectorruimte voortgebracht door de rijvectoren is
dezelfde als deze van de vectorruimte voortgebracht door de kolomvectoren.
We zeggen dat de rijenrang gelijk is aan de kolommenrang van de matrix.
OPGAVEN — 94 Bespreek de rang van de volgende matrices met behulp van determinanten.
p q 1
p 1 −1
a.
b.
q p 1 
1 p p

a 1 b
1 1 1
c 
c.  1 1 ab 
d.  a b
1
a
b
bc
ac
ab




1
a 1
1 a a2
1 a  f.  1 a ab 
e.  1
2
a
+
1
a
1

 b a a b
a b c
x a a
h.  a x a 
g.  a2 b2 c2 
a a x
a3 b3 c3
Oplossingen: 94:
a. r = 2 ⇐⇒ p 6= q en r = 1 ⇐⇒ p = q;
b. r = 2;
c.
* r = 3 ⇐⇒ b 6= 0 ∧ a 6= −2 ∧ a 6= 1
* r = 2 ⇐⇒ (b = 0 ∧ a 6= 1) ∨ a = −2
* r = 1 ⇐⇒ a = 1
d.
* r = 3 ⇐⇒ de 3 parameters 2à 2 verschillend zijn van elkaar;
* r = 2 ⇐⇒ 2 parameters gelijk aan elkaar maar verschillend van de derde;
* r = 1 ⇐⇒ de 3 parameters gelijk aan elkaar.
e.
* r = 3 ⇐⇒ a 6= 0 ∧ a 6= −1 ∧ a 6= 1
* r = 2 ⇐⇒ (a = 0 ∨ a = 1 ∨ a = −1)
f.
* r = 3 ⇐⇒ a 6= 0 ∧ a 6= b ∧ b 6= 1
* r = 2 ⇐⇒ (a = b ∧ a 6= 0 ∧ a 6= 1) ∨ (b = 1 ∧ a 6= 0 ∧ a 6= 1)
* r = 1 ⇐⇒ a = b = 1 ∧ a = 0
g.
* r = 3 ⇐⇒ de 3 parameters 2à 2 verschillend zijn van elkaar en verschillend van nul;
* r = 2 ⇐⇒ 2 parameters gelijk aan elkaar maar verschillend van de derde en allemaal verschillend van nul of 1 parameter gelijk aan nul en de 2 andere parameters verschillend van
nul en verschillend van elkaar;
* r = 1 ⇐⇒ de 3 parameters gelijk aan nul.
130
3.8
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
Regel van Rouché voor de oplosbaarheid van een
lineair stelsel
We beschouwen een lineair (m, n)-stelsel waarvan de rang gelijk is aan r met r < m. De
determinant behorende bij een hoofdmatrix noemen we een hoofddeterminant van het
stelsel. Een hoofddeterminant is steeds verschillend van nul.
STELLING 3.18 (De regel van Rouché) Een lineair (m, n)-stelsel waarvan de rang
r < m, is oplosbaar als en slechts als de (m − r) karakteristieke determinanten t.o.v. een
hoofddeterminant gelijk zijn aan nul. De karakteristieke determinanten zijn van de orde
r + 1.
Is het stelsel oplosbaar, dan is elke nevenvergelijking een lineaire combinatie van de r
hoofdvergelijkingen. Elke oplossing van het stelsel hoofdvergelijkingen is ook oplossing
van de nevenvergelijkingen. D.w.z. dat het lineair (m, n)-stelsel zich herleidt tot een stelsel van r hoofdvergelijkingen.
In het geval r = n heeft het stelsel juist één oplossing en in geval r < n heeft het stelsel
oneindig veel oplossingen met (n − r) vrije onbekenden of er zijn ∞n−r oplossingen. Het
stelsel is (n − r)-voudig onbepaald.
Het stelsel is onoplosbaar als en slechts als minstens één van de karakteristieke determinanten verschillend is van nul.
Bewijs: Voor het bewijs van de regel van Rouché zullen we zonder aan de algemeenheid
van de redenering te schaden ons beperken tot een lineair (4, 3)-stelsel met bvb. rang gelijk
aan 2.

a11 x + a12 y + a13 z = b1



a21 x + a22 y + a23 z = b2
(met rangA = 2).
a31 x + a32 y + a33 z = b3



a41 x + a42 y + a43 z = b4
Brengen we in elke vergelijking van het stelsel de constante bi naar het eerste lid, dan
kunnen we elke vergelijking kort schrijven als Vi = 0 met i ∈ {1, 2, 3, 4}.
Het stelsel kunnen we kort schrijven:

V1 = 0



V2 = 0
V3 = 0



V4 = 0
a11 a12 6= 0.
We nemen bvb. als hoofddeterminant de determinant δ = a21 a22 Een stelsel hoofdvergelijkingen is hier het stelsel bestaande uit de eerste twee vergelijkin-
3.8. REGEL VAN ROUCHÉ VOOR DE OPLOSBAARHEID VAN EEN LINEAIR STELSEL131
gen van het gegeven stelsel. Het stelsel hoofdvergelijkingen is oplosbaar met ∞1 oplossingen en is dus enkelvoudig onbepaald.
Beschouwen we de volgende determinanten van de derde
a11 a12 V1 a11 a12
a21 a22 V2 en a21 a22
a31 a32 V3 a41 a42
a
a
en stellen α = 21 22
a31 a32
en β = − a11 a12
a31 a32
orde
V1 V2 V4 .
Door uitwerking van beide determinanten van de derde orde op twee verschillende manieren (enerzijds door te ontwikkelen naar de laatste kolom en anderzijds door gebruik te
maken van de eigenschappen van de determinanten) leiden we volgende identiteiten af:
a11 a12 b1 − a21 a22 b2 = V1 .α + V2 .β + V3 .δ
(3.7)
a31 a32 b3 a11 a12 b1 − a21 a22 b2 = V1 .α0 + V2 .β 0 + V4 .δ
a41 a42 b4 (3.8)
In de tweede leden van 3.7 en 3.8 treden x, y en z op terwijl de eerste leden enkel de
gegeven coëfficiënten van het stelsel bevatten en onafhankelijk zijn van x, y en z. Nu zijn
3.7 en 3.8 geldig voor elke waarde van x, y en z en in het bijzonder ook voor de eventuele
oplossingen van het stelsel.
We gaan nu bewijzen dat het stelsel oplosbaar is als en slechts de determinanten van 3.7
en 3.8 gelijk zijn aan nul.
1. =⇒
Is het stelsel oplosbaar dan worden de tweede leden van 3.7 en 3.8 nul, als we een
oplossing invullen. Dit betekent dat voor een oplosbaar stelsel de constante eerste
leden steeds nul zijn.
a11 a12 b1 a11 a12 b1 a21 a22 b2 = 0 en a21 a22 b2 = 0.
a31 a32 b3 a41 a42 b4 Is het stelsel oplosbaar, dan geldt tevens:
132
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
3
∀(x, y, z) ∈ R :
V1 .α + V2 .β + V3 .δ = 0
V1 .α0 + V2 .β 0 + V4 .δ = 0
m (δ 6= 0)
3
∀(x, y, z) ∈ R :
V3 = − αδ .V1 − βδ .V2
0
0
V4 = − αδ .V1 − βδ .V2
Is het lineair (4, 3)-stelsel met r = 2 oplosbaar dan is het eerste lid van elke nevenvergelijking te schrijven als een lineaire combinatie van de eerste leden van de twee
hoofdvergelijkingen. Hier zijn de eerste leden van de derde en de vierde vergelijking te schrijven als lineaire combinaties van de eerste leden van de eerste twee
vergelijkingen, die hoofdvergelijkingen zijn.
2. ⇐=
Als
a11 a12 b1 a11 a12 b1 a21 a22 b2 = 0 en a21 a22 b2 = 0,
a41 a42 b4 a31 a32 b3 dan zijn volgens 3.7 en 3.8, V3 en V4 te schrijven als lineaire combinaties van V1
en V2 . Elke oplossing van het stelsel bestaande uit de eerste twee vergelijkingen
is ook oplossing van de laatste twee vergelijkingen. Hieruit volgt dat het lineair
(4, 3)-stelsel oplosbaar is.
Besluit: De nodige en voldoende voorwaarde opdat het lineair (4, 3)-stelsel met rang gelijk aan 2 oplosbaar zou zijn is dat de twee determinanten gelijk zijn aan nul. Deze twee
determinanten worden daarom de karakteristieke determinanten t.o.v. een hoofddeterminant van het lineair stelsel genoemd. Ze worden gevormd door een hoofddeterminant van de coëfficiëntenmatrix te randen met de overeenkomstige constanten en
de overeenkomstige coëfficiënten uit de nevenvergelijkingen. Het aantal karakteristieke
determinanten is gelijk aan het aantal nevenvergelijkingen van het stelsel.
De orde van een karakteristieke determinant is één hoger dan de orde van een hoofddeterminant.
De nodige en voldoende voorwaarde opdat het lineair (4, 3)-stelsel met rang gelijk aan 2
oplosbaar zou zijn is ook dat de twee nevenvergelijkingen lineaire combinaties zijn van de
twee hoofdvergelijkingen.
3.9. WISKUNDE-CULTUUR
OPGAVEN — 95 Bespreek de oplosbaarheid van
geval de oplossingen.

 x + ay + z − u = 0
x − ay + z − u = 0
a.

 x + ay + z + bu = 0
 x + ay + z + u = 1
x + ay + az + 5u = 0
b.

 ax + 4y + 3z + 3au = 1
 x − 3y − az + u = 4


y + az + 3u = 0
c.
 ax + 2ay + z + 2u = −2


3x − 5y + 2az + au = 1
3.9
133
volgende stelsel d.m.v. determinanten en geef in elk

 x − ay + z − u = 0
x + ay − z − u = 1
d.

 x + y + az − bu = 2
 x+y−z−u=1
x−y+z−u=a
e.

 x + y + az + au = 3
 x + y + z + 4u = a


x − 3y + az + u = 4
f.
 x + 2y + z + 2u = −2


bx − 5y + 2az + 2u = 1
Wiskunde-Cultuur
1. GAUSS Carl Friedrich Vreemd is het dat geen enkel ontwikkeld mens zou willen
toegeven niets van Shakespeare af te weten - waarschijnlijk de grootste schrijver die
ooit bestaan heeft, vooropgesteld dat zo’n titel enige betekenis heeft - maar dat zeer
weinig ‘ontwikkelde’ mensen er moeite mee hebben hun onwetendheid over Gauss,
EULER (1707-1783), POINCARÉ (1854-1912), enzovoort, toe te geven.
Op de scheidingslijn tussen de achttiende en negentiende eeuw verheft zich de Olympische gestalte van Carl Friedrich Gauss. Hij was de zoon van een arbeider in Brunswijk, maar zijn vroege begaafdheid bracht hem onder de aandacht van de hertog
van Brunswijk, die voor de opvoeding van het wonderkind zorg droeg. Na van 1795’98 in Göttingen gestudeerd te hebben verkreeg de jonge Gauss in 1799 de graad
van doctor in Helmstedt, waar J.f. PFAFF (Duits evangelisch theoloog 1686-1760)
professor was. Van 1807 tot zijn dood in 1855 werkte hij ongestoord als directeur
van de sterrenwacht en professor aan de universiteit van Göttingen. Zijn tamelijk
streng isolement, zijn beheersing van de ‘zuivere’ als wel de ‘toegepaste’ wiskunde, zijn grote astronomische belangstellingen zijn voorliefde voor het Latijn als taal
waarin hij publiceerde, geven aan zijn figuur een achttiende eeuws karakter, maar
in zijn eigen gebied van de exacte wetenschappen wist hij aan de nieuwe ideeën op
diepzinnige, doch ook klare wijze uitdrukking te verlenen. Gauss en Jacobi waren
vrijwel de laatsten die in het Latijn schreven.
Gauss begon op zeventienjarige leeftijd merkwaardige ontdekkingen te doen. Gauss
bracht het eerste strenge bewijs van de zogenaamde hoofdstelling van de algebra.
Deze stelling, volgens welke een algebraı̈sche vergelijking van graad n juist n wortels heeft in de verzameling van de complexe getallen, gaan we dit schooljaar nog
zien. Gauss hield van deze stelling en gaf later nog twee bewijzen. Gauss gaf een
merkwaardige aanvulling van de Griekse meetkunde door een constructie te geven
met passer en lineaal van een regelmatige zeventienhoek. Dit geldt voor alle regel-
134
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
matige n-hoeken waarvoor n = 2p , p = 2k , n priemgetal, k = 0, 1, 2, 3, ..., dus b.v.
ook n = 257. Een standbeeld in Göttingen stelt Gauss met zijn jongere medewerker
Wilhelm WEBER voor op het ogenblik dat zij bezig zijn de electrische telegraaf te
ontdekken. Dit gebeurde in de jaren 1833-34 in de tijd dat Gauss begon fysica te
beoefenen. Gauss was reeds in 1816 in het bezit van de niet-euclidisch meetkunde
(later herontdekt). Gauss betwijfelde de toen algemeen aanvaarde leer van KANT
(1724-1804) die onze ruimtevoorstelling a priori voor euclidisch hield. Hij schijnt wel
de eerste geweest te zijn die geloofde in de onafhankelijkheid van het parallellenaxioma en dus tot de conclusie kwam dat andere meetkunden, die op een ander axioma
berusten, logisch mogelijk waren. Gauss maakte zijn gedachten over dit onderwerp
niet publiek. De eerste die openlijk de autoriteiten van tweeduizend jaar wiskunde
durfden tegen te spreken en een niet-euclidische meetkunde construeerden waren
een Rus en een Hongaar. De eerste wiskundige van de eerste rang, die het belang
van de niet-euclidische meetkunde volledig begreep, was RIEMANN (1826-1866).
Volledige erkenning van deze andere meetkunden kwam eerst toen, na 1870, een
jongere generatie Riemanns ideeën begon te begrijpen en uit te werken.
2. JORDAN Camille is een Frans wiskundige van 1838 tot 1922.
LIN.AL. HUISTAAK 8 Bespreek de oplosbaarheid van het volgend stelsel. Geef ook
telkens de oplossingen.

2
3

 x + az + a2 u = a

y + bz + b u = 0
x + cy + c2 u = c3



y + dz + d2 u = 0
3.9. WISKUNDE-CULTUUR
135
PROEFHERHALINGSTOETS
1. Bespreek de rang van de volgende matrix met behulp van determinanten.


1 b 1
 a 1 1 
1 c 1
2. Bespreek de oplosbaarheid van het volgend stelsel. Geef ook telkens de oplossingen.

ax + y + bz = a



(a − 1)x + z = a − b + 1
ax + y + az = b



x + ay + z = a + b
Wanneer stellen de stelsels van de eerste twee vergelijkingen en van de laatste twee
vergelijkingen rechten voor
(a) die kruisend zijn?
(b) die snijdend zijn?
(c) die parallel zijn?
136
HOOFDSTUK 3. DETERMINANTEN
Hoofdstuk 4
Krommen
4.1
4.1.1
Poolvergelijking van een kromme
Definitie van poolcoördinaat van een punt in het vlak
Beschouwen we het punt P (x, y) t.o.v. een cartesisch coördinatenstelsel in het euclidisch
vlak (orthonormale basis). De ligging van het punt P (x, y) wordt volledig bepaald door θ
en r. De hoek θ is de scherpe of de stompe georiënteerde hoek die de rechte OP insluit met
de positieve halve x-as (rotatiehoek met beginbeen de positieve halve x-as). De oriëntatie
van de rechte OP wordt aangegeven door de hoek θ. De reële waarde r is de absis van het
~ (x, y) met een plusteken
punt P op de georiënteerde rechte OP (lengte van de vector OP
~ dezelfde is van de georiënteerde rechte al
of een minteken al naargelang de zin van OP
dan niet).
We noemen het koppel (θ, r) een poolcoördinaat van het punt P .
Voor de georiënteerde hoek θ mogen we elk maatgetal geven.
De poolcoördinaat van een punt wordt volledig bepaald t.o.v. een polair coördinatenstelsel
Figuur 4.1: Poolcoördinaat van een punt P
137
138
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
dat bestaat uit de zogenaamde pool O en de positieve halve x-as, die we de poolas noemen. De y-as moet enkel beschouwd worden als we het verband willen leggen met de
cartesische coördinaat.
Verband tussen poolcoördinaat en cartesische coördinaat van een punt
Zijn r en θ gegeven dan zoeken we x en y met de volgende formules:
x = r cos θ
y = r sin θ
Zijn x en y gegeven dan zoeken we r en θ met de volgende formules:
2
r = x2 + y 2
tan θ = xy
Opmerkingen:
• Een punt heeft oneindig veel poolcoördinaten.
Voorbeeld: De koppels
π
( , 2)
3
(
4π
, −2)
3
(
7π
, 2)
3
(
−5π
, 2)
3
(
−2π
, −2)
3
zijn verschillende poolcoördinaten van hetzelfde punt.
• Voor beschrijving van krommen in poolcoördinaten is het nodig dat we voor θ alle
maatgetallen kunnen beschouwen uitgedrukt in radialen omdat ze aanleiding geven
tot oneindig veel verschillende punten in het vlak bv. bij de vergelijking van een
spiraal (zie later).
4.1.2
Scalair product in poolcoördinaten
Het scalair product van twee vectoren v~1 en v~2 is het reëel getal dat we bekomen door
het product te maken van de normen van de beide vectoren en de cosinus van de hoek θ
ingesloten door de twee vectoren.
Met symbolen:
v~1 .v~2 = kv~1 kkv~2 k cos θ
We beschouwen de punten A en B met resp. de poolcoördinaten (θ1 , r1 ) en (θ2 , r2 ). De
~ en OB.
~
hoek θ1 − θ2 is de hoek ingesloten door de vectoren OA
~ · OB
~ = kOAkk
~
~ cos(θ1 − θ2 ) = r1 r2 cos(θ1 − θ2 )
OA
OBk
4.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME
4.1.3
139
Afstand in poolcoördinaten
Om de afstand tussen tywee punten uit te drukken in poolcoördinaten, kunnen we gebruik
maken van de cosinusregel in de driehoek OAB.
|AB|2 = |OA|2 + |OB|2 − 2|OA| · |OB| cos(θ1 − θ2 )
|OA|=|OB|=1
m
2
|AB| =
r12
+
r22
− 2r1 r2 cos(θ1 − θ2 )
Figuur 4.2: scalair product en afstand in poolcoördinaten
4.1.4
Eenvoudige vergelijkingen in poolcoördinaten
In poolcoördinaten kunnen we de volgende krommen eenvoudig schetsen:
* De cirkel met middelpunt in de pool en straal R: r = R;
* Een vectorrechte: θ = θ1 (als we ook negatieve r-waarden toelaten);
* Een spiraal van Archimedes: r = aθ met a ∈ R0 ;
* Een hyperbolische spiraal: r =
a
θ
met a ∈ R0 .
(4.1)
140
4.1.5
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
Poolvergelijking van een rechte
Figuur 4.3: de poolvergelijking van een rechte
In het euclidisch vlak is een rechte volledig bepaald door een punt en een normaalvector.
Beschouwen we een rechte a niet gaande door de pool O. Is het punt A(θ0 , r) het voetpunt
van de loodlijn uit de pool O op de rechte a dan is (θ0 ), r0 de poolcoördinaat van een
normaalvector ~n van de rechte a alsook de poolcoördinaat van een punt van de rechte a.
We gaan nu de nodige en voldoende voorwaarde zoeken waaraan de poolcoördinaat (θ, r)
van een punt P moet voldoen opdat het op de rechte a zou gelegen zijn.
P (θ, r) ∈ a ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
~ ⊥ ~n
AP
~ .~n = 0
AP
~ − OA).
~ OA
~ =0
(OP
~ .OA
~ − (OA)
~ 2=0
OP
rr0 cos(θ − θ0 ) − r02 = 0
r0 6=0
⇐⇒ r cos(θ − θ0 ) − r0 = 0
De poolvergelijking van een rechte a is van de gedaante
r cos(θ − θ0 ) − r0 = 0
We lossen een vergelijking in poolcoördinaten meestal op naar r, dan hebben we de voerstraal van een punt van de rechte in functie van de hoek die deze voerstraal insluit met
de positieve x-as.
r0
.
r=
cos(θ − θ0 )
4.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME
141
Met deze gedaante sluiten we de waarde van θ uit waarvoor
cos(θ − θ0 ) = 0 ⇐⇒ θ = θ0 + 90o .
Deze waarde van θ levert het oneigenlijk punt van de rechte a op.
Bijzondere gevallen:
* Rechte parallel met de poolas
De normaalvector van de rechte sluit een hoek van 90o in met de poolas.
θ0 = 90o
r=
r0
.
cos(θ − 90o )
De algemene vergelijking van een rechte parallel met de poolas is
r=
r0
.
sin θ
* Rechte orthogonaal met de poolas
De normaalvector van de rechte sluit een hoek van 0o in met de poolas.
θ0 = 0o
r0
.
cos θ
Dit is de algemene vergelijking van een rechte orthogonaal met de poolas.
r=
OPGAVEN — 96 Bepaal de vergelijking van de rechte met normaalvector (135o , 2) en door het punt
(135o , 2)
97 Bepaal de vergelijking van de rechte met normaalvector (210o , 1) en door het punt (210o , −2)
98 Teken de rechten met volgende poolvergelijking
a. r =
4
cos(θ−60o ) ;
b. r = − sin3 θ ;
√
c. r =
2
cos(θ+15o ) ;
d. r =
√
−1
;
3 cos(θ−315o )
4
e. r = − 3 cos(θ+102
o) .
f. r =
6
√
.
cos θ+ 3 sin θ
142
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
4.1.6
Poolvergelijking van een cirkel
1. Het middelpunt van de cirkel ligt in de oorsprong
De vergelijking is
r = R.
Merk op dat de vergelijking van de eerste graad is en dat in tegenstelling met de
vergelijking van een cirkel in cartesische coördinaten die steeds van de tweede graad
is.
Figuur 4.4: poolvergelijking van een cirkel
2. De cirkel C(M ; R) gaat niet door O en M 6= O
Is M (r0 , θ0 ) (r0 6= 0) het middelpunt van een cirkel C in poolcoördinaten en R de
straal dan geldt:
P (θ, r) ∈ C ⇐⇒ |P M |2 = R2
⇐⇒ r2 + r02 − 2rr0 cos(θ − θ0 ) = R2
De algemene vergelijking van een cirkel in poolcoördinaten is
r2 + r02 − 2rr0 cos(θ − θ0 ) = R2 .
Betekenis van de vergelijking van de cirkel in poolcoördinaten: Om
een poolcoördinaat van een punt te bepalen van C geven we aan θ een waarde θ1
en berekenen we uit de poolvergelijking de corresponderende r-waarde. Dit komt er
4.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME
143
op neer dat we de snijpunten zoeken van de cirkel met de rechte aO : θ = θ1 .
Dit levert het volgend stelsel op:
2
2
r − 2(r0 cos(θ1 − θ0 ))r + r02 − R2 = 0
r + r02 − 2rr0 cos(θ − θ0 ) = R2
⇐⇒
θ = θ1
θ = θ1
De eerste vergelijking van het laatste stelsel is een kwadratische vergelijking in r.
Met elke waarde θ1 van θ vinden we ofwel twee verschillende reële r-waarden, twee
samenvallende r-waarden of twee toegevoegd imaginaire r-waarden al naar gelang
de discriminant van de kwadratische vergelijking. Deze |r|-waarden zijn dan de afstanden van de snijpunten van aO met de cirkel.
Figuur 4.5: de raaklijnen uit een punt aan een cirkel
Raaklijnen uit de oorsprong aan de cirkel:
De bovenstaande beschouwing laat ons ook toe de raaklijnen te vinden uit O aan een
cirkel. We bepalen dan de θ-waarden waarvoor de discriminant van de kwadratische
vergelijking gelijk is aan nul.
r02 cos2 (θ − θ0 ) − (r02 − R2 ) = 0
m
cos2 (θ − θ0 ) =
r02 − R2
r02
m
p
r02 − R2
cos(θ − θ0 ) = ±
r0
144
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
m
p
r02 − R2
r02 − R2
) + 2kπ ∧ θ = θ0 − arccos(±
) + 2kπ
θ = θ0 + arccos(±
r0
r0
De vier mogelijkheden voor θ zijn twee aan twee antisupplementair en corresponderen dus met slechts twee raaklijnen aan de cirkel.
p
3. De cirkel gaat door O
Gaat de cirkel door de oorsprong dan is de afstand van het middelpunt tot O gelijk
aan de straal R van de cirkel.
m(θ0 , R)
Stellen we in de vergelijking van de cirkel r0 = R dan verkrijgen we
r2 + R2 − 2rR cos(θ − θ0 ) = R2 ⇐⇒ r2 − 2rR cos(θ − θ0 ) = 0.
De algemene vergelijking van een cirkel door de oorsprong is
r = 2R cos(θ − θ0 ).
De onbekende r treedt nu niet in het kwadraat op. Elke rechte θ = θ1 door de
oorsprong snijdt de cirkel nog een tweede maal in een punt waarvoor de r-waarde
onmiddellijk volgt uit de vergelijking na substitutie van θ door θ1 , nl.
r1 = 2R cos(θ1 − θ0 ).
De raaklijn in de oorsprong aan de cirkel vinden we door de r-waarde van het tweede
snijpunt gelijk aan nul te stellen. Dan geldt er:
cos(θ1 − θ0 ) = 0 ⇐⇒ θ1 = 90o + θ0 .
Dit is de waarde van θ waarvoor r gelijk is aan nul. De raaklijn staat bij een cirkel
inderdaad loodrecht op de straal naar het raakpunt.
TAAK ♣ 99 Geef een vergelijking in poolcoördinaten van een cirkel niet door de oorsprong. Bepaal de vergelijkingen in poolcoördinaten van de raaklijnen uit O aan de cirkel.
Stel alles voor in figuur 4.5.
♣ 100 Geef een vergelijking in poolcoördinaten van een cirkel door de oorsprong. Bepaal
de vergelijkingen in poolcoördinaten van de raaklijn in O aan de cirkel. Stel alles voor in
figuur 4.6.
4.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME
145
Figuur 4.6: poolvergelijking van een cirkel door de oorsprong
4.1.7
Poolvergelijking van een niet-ontaarde kegelsnede
STELLING 4.1 De meetkundige plaats van het punt P waarvoor de verhouding van de
afstanden tot een gegeven punt F en een gegeven rechte d een gegeven constante is, is een
(reële niet-ontaarde) kegelsnede, waarvan F een brandpunt is en d de overeenkomstige
richtlijn.
De constante verhouding e > 0 van de afstand van een punt van een kegelsnede tot een
reëel brandpunt en tot de overeenkomstige richtlijn wordt de excentriciteit van de
kegelsnede genoemd.
Naargelang de reële niet-ontaarde kegelsnede een ellips, een parabool of een hyperbool is,
geldt voor de excentriciteit 0 < e < 1, e = 1, e > 1.
We beschouwen enkel eenvoudige poolvergelijkingen van niet-ontaarde reële kegelsneden.
Daartoe kiezen we een speciaal polair coördinatenstelsel. De pool leggen we in een reëel
brandpunt F van de kegelsnede.
F =O
Noem D de projectie van F op zijn richtlijn d. De poolas x leggen we langs de as van
de kegelsnede door dit brandpunt F . We oriënteren x in de zin van het punt D naar het
brandpunt F . Is ~e een eenheidsvector van x dan is
~ = q~e.
DF
waarin q > 0 de afstand voorstelt tussen het brandpunt F en de richtlijn d.
We noemen G en P 0 de voetpunten van de loodlijnen uit P op resp. d en x.
~ = DF
~ + F~P 0 = (q + r cos θ)~e =⇒ |GP | = |q + r cos θ|
GP
146
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
Figuur 4.7: poolvergelijking van een niet-ontaarde kegelsnede opstellen
We gaan nu met poolcoördinaten uitdrukken dat een punt P (θ, r) een punt is van K.
P (θ, r) ∈ K ⇐⇒
|P F |
|P F |
r
=
= e ⇐⇒
=e
d(P, d)
|GP |
q + r cos θ
Omdat de excentriciteit een positieve grootheid is, moeten r en q + r cos θ hetzelfde teken
hebben.
• Als P en F aan dezelfde kant liggen van de richtlijn dan is q + r cos θ > 0 en moeten
we r > 0 kiezen.
– Is θ een scherpe hoek (in I en IV) (F ligt tussen D en P 0 ) dan is r cos θ > 0.
q + r cos θ > 0 drukt de som uit: |DF | + |F P 0 | = |GP |.
– Is θ een stompe hoek (in II en III) (P 0 ligt tussen D en F ) dan is r cos θ < 0
q + r cos θ > 0 drukt het verschil uit |DF | − |F P 0 | = |GP |
• Als P en F aan weerskanten liggen van de richtlijn dan is q + r cos θ < 0 en moeten
we bijgevolg r < 0 kiezen. In dit geval is de hoek θ scherp (in I en IV) (P ligt in II
of III) zodat cos θ > 0 en vermits r < 0 is r cos θ < 0.
q + r cos θ < 0 drukt het verschil uit |DF | − |F P 0 | = −|GP |.
P (θ, r) ∈ K ⇐⇒
r
= e ⇐⇒ r(1 − e cos θ) = eq
q + r cos θ
4.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME
m
cos θ 6=
P (θ, r) ∈ K ⇐⇒ r =
147
1
e
eq
1 − e cos θ
Figuur 4.8: poolvergelijking van een niet-ontaarde ellips naar keuze
Figuur 4.9: poolvergelijking van een niet-ontaarde parabool naar keuze
Stellen we e.q = p, dan verkrijgen we voor de poolvergelijking van de kegelsnede
r=
p
.
1 − e cos θ
waarbij e de excentriciteit is van de kegelsnede, 2p wordt de hoofdparameter van de
kegelsnede genoemd en is gelijk aan de lengte van de koorde afgesneden op de kegelsnede
148
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
Figuur 4.10: poolvergelijking van een niet-ontaarde hyperbool naar keuze
door een rechte door een brandpunt loodrecht op de as. De afstand van het brandpunt
tot zijn richtlijn is q = ep .
Omdat voor een parabool e = 1 is p = q. Voor een parabool is p de afstand tussen het
brandpunt en de richtlijn (dezelfde p als in de vergelijking y 2 = 2px).
Enkele beschouwingen:
• Is de kegelsnede een ellips of een parabool dan ligt een punt van de kegelsnede steeds
met F aan dezelfde kant van de overeenkomstige richtlijn en is dus steeds r > 0 en
worden alle reële punten van de kegelsnede opgeleverd door in de vergelijking θ te
laten variëren tussen 0 en 2π.
• Is de kegelsnede een hyperbool, dan heeft de noemer in het tweede lid van de vergelijking wegens e > 1 twee verschillende nulpunten.
cos θ =
1
> 0 ⇐⇒ θ = ±θ0
e
waarbij θ0 een scherpe hoek is. Voor deze twee hoeken vinden we geen punten van de
hyperbool. Deze hoeken bepalen dus de asymptotische richtingen van de hyperbool.
De punten van de hyperbool die gevonden worden voor een negatieve r-waarde
hebben een scherpe hoek θ gelegen tussen −θ0 en θ0 . Deze punten bevinden zich
allemaal op die tak van de hyperbool met het ander brandpunt.
De punten van die we vinden voor positieve r-waarde behoren bij alle andere scherpe
hoeken en alle stompe hoeken.
TAAK ♣ 101 Teken in de figuren 4.8, 4.9 en 4.10 (met de computer) naar keuze een
parabool, een ellips en een hyperbool. Bepaal in poolcoördinaten de vergelijkingen van
de asymptoten van de hyperbool.
4.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME
4.1.8
149
De cissoı̈de of de klimoplijn van Diocles
Aan een cirkel met middellijn [OT ] trekt men de raaklijn t in punt T . Een veranderlijke
rechte door O snijdt de cirkel een tweede maal in Q en de raaklijn in S. De cissoı̈de is de
~ = QS.
~
meetkundige plaats van het punt P van die rechte, waarvoor OP
Figuur 4.11: de cissoı̈de
Poolvergelijking van de cissoı̈de:
sin2 θ
cos θ
π
< θ < 2 , waarbij 2a de lengte is van de middellijn van de gegeven cirkel.
r = 2a
met r ≥ 0 en
π
2
Cartesische vergelijking van de cissoı̈de in een orthonormale basis:
x(x2 + y 2 ) = 2ay 2
150
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
De cissoı̈de ligt symmetrisch t.o.v. de x-as. De cissoı̈de gaat door de oorsprong. We
snijden de kromme met de rechte y = ωx. De vergelijking in x is:
−2aω 2 x2 + (1 + ω 2 )x3 = 0 ⇐⇒ x2 (−2aω 2 + (1 + ω 2 )x) = 0.
De oorsprong is een keerpunt met als keerraaklijn de x-as, die de kromme 3-puntig snijdt
in de oorsprong.
4.1.9
De strophoı̈de
(Strephein= keren)
Men geeft twee vaste rechten s en t, loodrecht op elkaar met snijpunt T . Door een vast punt
O van t gaat een veranderlijke rechte, die s snijdt in S. De strophoı̈de is de meetkundige
plaats van de snijpunten P en P 0 van de rechte OS met de cirkel met middelpunt S, die
door T gaat (a is de afstand tussen O en T ).
Figuur 4.12: de strophoı̈de
4.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME
151
Poolvergelijking van de strophoı̈de:
r2 − 2arsecθ + a2 = 0
met − π2 < θ < π2 .
Cartesische vergelijking van de strophoı̈de:
(x2 + y 2 )(x − 2a) + a2 x = 0.
We verschuiven de kromme over de vector ~v (−a, 0) en snijden de kromme met de rechte
y = ωx. De vergelijking in x
a(1 − ω 2 )x2 + (1 + ω 2 )x3 = 0
toont dat elke rechte door O de kromme dubbel snijdt in O. Het derde snijpunt heeft
2 −1
a. De oorsprong is dus een dubbelpunt.
absis ωω2 +1
De rechten waarvoor ω 2 − 1 = 0 is, snijden de kromme drievoudig in O. De oorsprong is
dus een knooppunt en y = x en y = −x zijn de hoofdraaklijnen.
4.1.10
De conchoı̈de of schelplijn van Nicomedes
Door het punt A( π2 , a) trekken we de rechte r parallel met de poolas. Een veranderlijke
rechte d door O snijdt een vaste rechte r in het punt M . Op die veranderlijke rechte
neemt men aan weerskanten van M de punten P1 en P2 zo, dat |P1 M | = |M P2 | constant
is en gelijk aan k. De conchoı̈de van Nicomedes is de meetkundige plaats van de punten
P1 en P2 . De conchoı̈de van Nicomedes is de conchoı̈daal getransformeerde kromme van
een rechte.
Poolvergelijking van de conchoı̈de:
r2 − 2
a2
a
r+
− k 2 = 0 ⇐⇒ r = acosecθ ± k
sin θ
sin2 θ
Cartesische vergelijking van de conchoı̈de:
(y − a)2 (x2 + y 2 ) = k 2 y 2 .
De conchoı̈de gaat door de oorsprong. We snijden de kromme met de rechte y = ωx. De
vergelijking in x is:
(a2 + a2 ω 2 − k 2 ω 2 )x2 − 2aω(1 + ω 2 )x3 + ω 2 (1 + ω 2 )x4 = 0.
De oorsprong is een dubbelpunt met twee verschillende hoofdraaklijnen y = √k2a−a2 x en
y = − √k2a−a2 x. De oorsprong is dus een knooppunt en de hoofdraaklijnen snijden de
kromme 3-puntig in de oorsprong.
152
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
Figuur 4.13: de conchoı̈de van Nicomedes
4.1.11
De slakkenlijn van Pascal en de hartlijn
Een veranderlijke rechte door het punt O van een gegeven cirkel C met straal a snijdt C
een tweede keer in M . Op die veranderlijke rechte neemt men aan weerskanten van M de
punten P1 en P2 zo, dat |M P1 | = |M P2 | constant is en gelijk aan k. De slakkenlijn van
Pascal is de meetkundige plaats van de punten P1 en P2 . De slakkenlijn van Pascal is de
conchoı̈daal getransformeerde kromme van een cirkel.
Poolvergelijking van de slakkenlijn van Pascal:
r2 − 4a cos θ · r + 4a2 cos2 θ − k 2 = 0 ⇐⇒ r = 2a cos θ ± k
Cartesische vergelijking van de slakkenlijn van Pascal:
(x2 + y 2 − 2ax)2 = k 2 (x2 + y 2 )
Bijzonder geval: de cardioı̈de of hartlijn:
Dit is de slakkenlijn van Pascal in geval k = 2a.
r = 2a(cos θ ± 1) en (x2 + y 2 − 2ax)2 = 4a2 (x2 + y 2 )
4.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME
153
Figuur 4.14: de slakkenlijn van Pascal
De slakkenlijn gaat door de oorsprong. We snijden de kromme met de rechte y = ωx. De
vergelijking in x is:
(4a2 − k 2 − k 2 ω 2 )x2 − 4a(1 + ω 2 )x3 + (1 + ω 2 )2 x4 = 0.
De oorsprong
is een dubbelpunt. De richtingscoëfficiënten van de hoofdraaklijnen zijn:
√
4a2 −k2
ω=
k
1. In geval 4a2 − k 2 > 0 hebben we twee verschillende hoofdraaklijnen. De oorsprong is
een knooppunt en de hoofdraaklijnen snijden de kromme 3-puntig in de oorsprong.
2. In geval 4a2 − k 2 < 0 hebben we in de oorsprong een geı̈soleerd dubbelpunt.
3. In geval 4a2 − k 2 = 0 hebben we twee samenvallende hoofdraaklijnen. De oorsprong
is een gewoon keerpunt. De kromme is dan de cardioı̈de.
154
4.1.12
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
De lemniscaat of lintlijn van Bernoulli
(Grieks: lemniskos: wollen band)
De meetkundige plaats van de punten waarvoor het product van de afstanden tot twee
vaste punten constant is en gelijk aan het kwadraat van de halve afstand tussen die punten
(= 2a) is de lemniscaat van Bernouilli.
Figuur 4.15: de lemniscaat van Bernouilli
Poolvergelijking van de lemniscaat:
r2 = 4a2 cos2 θ − 2a2 met a ∈ R+
0
Rekening houdend met de formule van goniometrie cos 2θ = 2 cos2 θ − 1 komt de vergelijking in de gedaante
r2 = 2a2 cos 2θ met a ∈ R+
0
Cartesische vergelijking van de lemniscaat:
(x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ).
De lemnicsaat gaat door de oorsprong. We snijden de kromme met de rechte y = ωx. De
vergelijking in x is:
2a2 (1 − ω 2 )x2 − (1 + ω 2 )2 x4 = 0.
De oorsprong is een dubbelpunt met twee verschillende reële hoofdraaklijnen. De oorsprong is een knooppunt (crunode). De hoofdraaklijnen
y = x en y = −x
snijden de lemniscaat 4-puntig in de oorsprong. De oorsprong is een biflecnodaal punt.
4.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME
4.1.13
155
De kappa-kromme of de kromme van Gutschoven
We beschouwen een punt P (θ, r) zo dat het stuk van de loodlijn P Q in P op OP , begrepen
tussen OP en de poolas, een gegegeven lengte a heeft. De meetkundige plaats van het
punt P is de kappa-kromme.
Figuur 4.16: de kappa-kromme
Poolvergelijking van de kappa-kromme:
r = acotθ met a ∈ R+
0
Cartesische vergelijking van de kappa-kromme:
y 2 (x2 + y 2 ) = a2 x2 .
De x-as en y-as zijn symmetriaassen. De oorsprong is een punt van symmetrie.
De kappakromme gaat door de oorsprong. We snijden de kromme met de rechte y = ωx.
De vergelijking in x is:
a2 x2 − ω 2 (1 + ω 2 )2 x4 = 0.
De oorsprong is een dubbelpunt met twee samenvallende hoofdraaklijnen met de Y -as,
die de kromme in de oorsprong 4-puntig snijdt. De oorsprong is een zelfaanrakingspunt
(tacnode).
156
4.1.14
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
Het trifolium van De Longchamps
T.o.v. een orthonormale basis is een cirkel gegeven met middelpunt M (0, a) en die in de
oorsprong raakt aan de x-as. Het punt P is een punt van de cirkel en P 0 is het spiegelbeeld
van P t.o.v. de y-as. De meetkundige plaats van de orthogonale projectie van P 0 op de
rechte OP als P de cirkel doorloopt is het trifolium van De Longchamps.
Figuur 4.17: het trifolium van De Longchamps
Poolvergelijking van het trifolium van Longchamps:
r = −2a sin θ cos 2θ met a ∈ R+
0
Rekening houdend met de formule van goniometrie cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ komt de vergelijking in de gedaante
r = −2a sin θ(cos2 θ − sin2 θ) met a ∈ R+
0
Cartesische vergelijking van het trifolium van Longchamps:
(x2 + y 2 )2 = 2ay(y 2 − x2 ).
De y-as is een symmetrieas. Het trifolium gaat door de oorsprong. We snijden de kromme
met de rechte y = ωx. De vergelijking in x is:
2aω(ω 2 − 1)x3 − (1 + ω 2 )2 x4 = 0.
De oorsprong is een drievoudig punt en de drie hoofdraaklijnen in de oorsprong aan het
trifolium zijn y = 0, y = x en y = −x, die de kromme in de oorsprong 4-puntig snijden.
De snijpunten met de y-as zijn de oorsprong en het punt (0, 2a).
4.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME
4.1.15
157
Het bifolium
T.o.v. een orthonormale basis is een cirkel gegeven met middelpunt M (0, a) en die in de
oorsprong raakt aan de x-as. Het punt P is een punt van de cirkel en P 0 is de orthogonale
projectie van P op de x-as. De meetkundige plaats van de orthogonale projectie van P 0
op de rechte OP als P de cirkel doorloopt is het bifolium.
Figuur 4.18: het bifolium
Poolvergelijking van het bifolium van Longchamps:
r = 2a sin θ cos2 θ met a ∈ R+
0
Cartesische vergelijking van het bifolium:
(x2 + y 2 )2 = 2ax2 y.
De y-as is een symmetrieas. De oorsprong is een drievoudig punt en twee raaklijnen in
de oorsprong aan het bifolium vallen samen met de yas, de derde raaklijn is de x-as. De
snijpunten met de rechte y = x zijn de oorsprong en het punt ( a2 , a2 ).
Men kan de maxima van het bifolium bepalen door in de vergelijking de termen te rangschikken naar machten van x.
x4 − 2(a − y)yx2 + y 4 = 0
Deze vergelijking kunnen we oplossen naar x2 .
p
x2 = (a − y)y ± |y| (a − y)2 − y 2
158
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
De bestaansvoorwaarde voor y is
(a − y)2 − y 2 ≥ 0
m
a2 − 2ay ≥ 0
m
2ay ≤ a2
ma>0
a
y≤
2
De maxima zijn de punten waarvoor y = a2 , nl. ( a2 , a2 ) en (− a2 , a2 ).
Het bifolium gaat door de oorsprong. We snijden de kromme met de rechte y = ωx. De
vergelijking in x is:
2aωx3 − (1 + ω 2 )2 x4 = 0.
De oorsprong is een tripelpunt met als hoofdraaklijnen de X-as en de Y -as, die de kromme
in de oorsprong 4-puntig snijden.
4.1.16
Het vierbladig rozet of klavervierkromme
Van een lijnstuk [AB] met vaste lengte 2c glijden de twee eindpunten A en B resp. op de
x-as en de y-as. De meetkundige plaats van de orthogonale projectie P van de oorsprong
op het lijnstuk is het vierbladig rozet. Hoeveel mogelijke standen van het lijnstuk [AB]
leveren als punt van de meetkundige plaats de oorsprong op?
Poolvergelijking van het vierbladig rozet:
r = 2c sin θ cos θ ⇐⇒ r = c sin 2θ.
Cartesische vergelijking van het vierbladig rozet:
(x2 + y 2 )3 = 4c2 x2 y 2 .
De x-as en y-as zijn symmetrieassen, alsook de twee eerste en tweede bissectrice. De
oorsprong een een punt van symmetrie.
4.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME
159
Figuur 4.19: het vierbladig rozet
Het vierbladig rozet gaat door de oorsprong. We snijden de kromme met de rechte y = ωx.
De vergelijking in x is:
(4c2 ω 2 )x4 − (1 + ω 2 )x6 = 0.
De oorsrong is een viervoudig punt met vier hoofdraaklijnen die twee aan twee samenvallen
met de X-as en de Y -as.
Door een rotatie over 45o krijgt het vierbladig rozet een vergelijking:
(x2 + y 2 )3 = a2 (x2 − y 2 )2 .
4.1.17
De serpentine
T.o.v. een orthonormaal coördinatenstelsel is een rechte a : y = a gegeven en een cirkel
door O en met middelpunt (b, 0) op de x-as. Een veranderlijke vectorrechte snijdt de
cirkel een tweede maal in P en a in Q. De meetkundige plaats van het snijpunt S van de
evenwijdige door P met de x-as en de evenwijdige door Q met de y-as is een serpentine.
160
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
Figuur 4.20: de serpentine
De poolvergelijking van de serpentine:
r2 =
2ab cos θ − a2 sin θ
.
cos2 θ sin θ
De cartesische vergelijking van de serpentine:
y(x2 + a2 ) = 2abx met a, b ∈ R+
0
m
2abx
met a, b ∈ R+
0
2
+x
De oorsprong is een punt van symmetrie.
Het vierbladig rozet gaat door de oorsprong. We snijden de kromme met de rechte y = ωx.
De vergelijking in x is:
a(aω − 2b)x + ωx3 = 0.
y=
a2
De oorsprong is een enkelvoudig punt. De raaklijn snijdt de kromme in de oorsprong
3-puntig. De oorsprong is een buigpunt met buigraaklijn de rechte ay = 2bx.
4.2. PARAMETERVOORSTELLING VAN EEN KROMME
4.2
161
Parametervoorstelling van een kromme
De kromme K is een rationale kromme als de coördinaatgetallen van een willekeurig
punt van de kromme als het quotiënt van twee veeltermen in een parameter t kunnen
geschreven worden.
In het bijzonder zijn de kegelsneden rationale krommen. Dit is niet zo gemakkelijk te zien
daar de standaard parametervoorstelling gebruik maakt van sinus en cosinus. Doch met
behulp van de t-formules kan men deze parametervoorstelling rationaal maken. In de rest
van dit hoofdstuk zullen we nog enkele krommen geven die voortkomen uit mechanica,
meer in het bijzonder, de bewegingsleer of kinematica. De parametervoorstellingen die we
zullen bekomen zullen altijd goniometrische functies bezitten, maar vele kunnen rationaal
gemaakt worden door kunstgrepen waar we ons niet willen mee inlaten.
4.2.1
De kegelsneden
4.2.1.1
De parametervoorstelling van een niet-ontaarde ellips
In het euclidisch vlak beschouwen we een niet-ontaarde ellips betrokken op haar assen,
haar vergelijking is van de gedaante:
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
waarin |2a| en |2b| de lengten van de koorden zijn op resp. de grote en de kleine as van
de ellips.
c 2 = a2 − b 2
De reële brandpunten en corresponderende richtlijnen van de ellips zijn: f1 (c, 0), f2 (−c, 0)
2
2
en R1 : x = ac , R2 : x = − ac . De parametervoorstelling is:
x = a cos θ
y = b sin θ
We noemen de grote hoofdcirkel van de ellips de cirkel met middelpunt het middelpunt
van de ellips en als straal de lengte van de halve grote as.
STELLING 4.2 De meetkundige plaats van de punten waaruit de ellips E onder een
rechte
hoek gezien wordt, is de cirkel met middelpunt het middelpunt van E en met straal
√
2
a + b2 (orthoptische cirkel of cirkel van Monge).
162
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
Figuur 4.21: parametervoorstelling van een niet-ontaarde ellips
Figuur 4.22: cirkel van Monge
4.2.1.2
De parametervoorstelling van een niet-ontaarde hyperbool
In het euclidisch vlak beschouwen we een niet-ontaarde hyperbool betrokken op zijn assen,
zijn vergelijking is van de gedaante:
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
waarin |2a| de lengte is van de koorde op de hoofdas van de hyperbool.
c 2 = a2 + b 2
4.2. PARAMETERVOORSTELLING VAN EEN KROMME
163
De reële brandpunten en corresponderende richtlijnen van de hyperbool zijn: f1 (c, 0),
2
2
f2 (−c, 0) en R1 : x = ac , R2 : x = − ac . De parametervoorstelling is:
x = cosa θ
y = b tan θ
De ene tak van de hyperbool wordt beschreven als θ varieert tussen −π/2 en π/2, de
andere tak als θ varieert tussen π/2 en 3π/2.
Figuur 4.23: parametervoorstelling van een niet-ontaarde hyperbool
STELLING 4.3 De meetkundige plaats van de punten waaruit de hyperbool H onder
een rechte
√ hoek gezien wordt, is de cirkel met middelpunt het middelpunt van H en met
straal a2 − b2 (orthoptische cirkel of cirkel van Monge).
Figuur 4.24: cirkel van Monge
164
4.2.2
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
Enkele kinematische krommen
Een aantal krommen zijn het resultaat van kinematische problemen. Meestal komt uit de
oplossing van het vraagstuk een parametervoorstelling naar voor met de wentelingshoek
of de tijd als parameter.
4.2.2.1
De cycloı̈de
Een cycloı̈de is de kromme beschreven door een punt van een cirkel, als deze cirkel rolt
zonder glijden over een rechte.
Figuur 4.25: de cycloı̈de
De parametervoorstelling van de cycloı̈de is:
x = R(t − sin t)
y = R(1 − cos t)
∧
Hierbij is R de straal van de cirkel en t de kleinste positieve waarde van de hoek P M Q
4.2.2.2
De epicycloı̈de
Een epicycloı̈de is een kromme beschreven door een punt van een cirkel C1 , als deze
cirkel rolt zonder glijden op een andere cirkel C2 .
4.2. PARAMETERVOORSTELLING VAN EEN KROMME
165
Figuur 4.26: de epicycloı̈de
De parametervoorstelling van de epicycloı̈de is:
t
x = (R + r) cos t − r cos R+r
r
R+r
y = (R + r) sin t − r sin r t
Hierbij is r de straal van C1 en R de straal van C2 en t de kleinste positieve waarde van
∧
de hoek a o q.
Bijzondere gevallen:
* Is r = R dan is de epicycloı̈de een cardioı̈de hartlijn).
* Is r =
4.2.2.3
R
2
dan is de epicycloı̈de een nefroı̈de (nierlijn).
De hypocycloı̈de
Een hypocycloı̈de is een kromme beschreven door een punt van een cirkel C1 , als deze
cirkel rolt zonder glijden in een andere cirkel C2 .
166
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
Figuur 4.27: de hypocycloı̈de
De parametervoorstelling van de hypocycloı̈de is:
x = (R − r) cos t + r cos R−r
t
r
y = (R − r) sin t − r sin R−r
t
r
Hierbij is r de straal van C1 en R de straal van C2 en t de kleinste positieve waarde van
∧
de hoek a o q.
Bijzondere gevallen:
* Is r = R4 dan is de hypocycloı̈de een regelmatige astroı̈de.
De parametervoorstelling van de regelmatige astroı̈de is:
x = R cos3 t
y = R sin3 t
Hieruit leiden we de cartesische vergelijking af:
x2/3 + y 2/3 = R2/3 .
* Is r =
R
3
dan is de hypocycloı̈de een hypocycloı̈de van Steiner of een Deltoı̈de.
4.2. PARAMETERVOORSTELLING VAN EEN KROMME
167
Figuur 4.28: de astroı̈de en de deltoı̈de
4.2.2.4
De spiraal van Archimedes
Een halfrechte wentelt met een constante hoeksnelheid ω rond o. Op die halfrechte beweegt een punt p met een constante snelheid v vanaf o.
De afgelegde hoek na t seconden is:
θ = ωt
en de afgelegde weg op de halfrechte is
r = vt.
De parametervoorstelling in poolcoördinaten is
θ = ωt
r = vt
Na eliminatie van de parameter t verkrijgen we de vergelijking van een spiraal van Archimedes.
r = kθ.
168
HOOFDSTUK 4. KROMMEN
Figuur 4.29: de spiralen van een zonnebloem
4.3
Wiskunde-Cultuur
1. NEIL W. is een Engelse wiskundige van 1637 tot 1670. De parabool van Neil is
een kubische kromme die de evolute is van een parabool.
2. NICODEMUS is een Farizeeër, die in het Johannes-evangelie enkele malen wordt
genoemd. Er bestaat ook nog het “Evangelie van Nicodemus”.
3. LONCHAMPS en GUTSCHOVEN zijn Belgische gemeenten op het Haspengouwse Leemplateau. Waarom twee krommen in de wiskunde naar deze twee
gemeenten genoemd worden is mij een groot raadsel.
4. DIOCLES is een Grieks wiskundige van waarschijnlijk de 2de eeuw v.C. Hij
schreef een boek over brandspiegels, waarin hij de cissoı̈de invoerde om het Delisch probleem op te lossen en waarin hij een oplossing gaf van het probleem, door
Archimedes in zijn “Bol en Cilinder” gesteld: de bol door een vlak te verdelen in
twee segmenten waarvan de inhouden in een gegeven verhouding staan.
Inhoudsopgave
1 Meetkundige plaatsen
1.1
1.2
1.3
3
Herhaling: analytische meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Affiene meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
Euclidische meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Meetkundige plaatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1
Methode I: analytisch uitdrukken van de meetkundige voorwaarde . . . . . . . . .
12
1.2.2
Methode II: methode van de geassocieerde krommen . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2 Lineaire transformaties
63
2.1
Reële vectorruimte en deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.2
Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.3
Lineaire transformaties van het vlak ΠO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.3.1
Transformatieformules en geassocieerde matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.3.2
Affiene lineaire transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.3.2.1
Lineaire spiegelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.3.2.2
Lineaire uitrekkingen-inkrimpingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2.3.2.3
Lineaire homothetie met factor r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.3.2.4
Lineaire parallelprojecties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.3.3
Orthogonale lineaire transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.3.4
Lineaire loodrechte projecties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.3.5
Opsporen van eigenvectoren van een (2 × 2)-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Lineaire transformaties van de driedimensionale vectorruimte EO . . . . . . . . . . . . . .
90
2.4.1
Transformatieformules en geassocieerde matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.4.2
Enkele voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.4
169
170
INHOUDSOPGAVE
2.4.3
Opsporen van eigenwaarden en eigenvectoren van een
(3 × 3)-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
2.5
Eigenvectoren van een symmetrische matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
2.6
Diagonalisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
2.7
Bewerkingen met lineaire transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.7.1
De som van twee lineaire transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.7.2
De scalaire vermenigvuldiging van lineaire transformaties . . . . . . . . . . . . . . 103
2.7.3
Samenstelling van lineaire transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.7.4
Inverse lineaire transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 Determinanten
107
3.1
Determinant van de orde twee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2
Determinant van de orde drie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2.1
Cofactor van een element van een (3 × 3)-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2.2
Definitie van determinant van de orde 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3
Uitbreiding van het begrip determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4
Eigenschappen van determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4.1
3.5
Reciproke determinant van de determinant van een symmetrische matrix ∗ . . . . . 114
Stelsels van Cramer
3.5.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
De regel van Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.6
De inverse matrix van een niet-singuliere matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.7
Rang van een matrix bepalen met determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.8
Regel van Rouché voor de oplosbaarheid van een lineair stelsel . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.9
Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4 Krommen
4.1
137
Poolvergelijking van een kromme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1.1
Definitie van poolcoördinaat van een punt in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1.2
Scalair product in poolcoördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.1.3
Afstand in poolcoördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.1.4
Eenvoudige vergelijkingen in poolcoördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.1.5
Poolvergelijking van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.1.6
Poolvergelijking van een cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.1.7
Poolvergelijking van een niet-ontaarde kegelsnede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.1.8
De cissoı̈de of de klimoplijn van Diocles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
INHOUDSOPGAVE
4.1.9
171
De strophoı̈de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.1.10 De conchoı̈de of schelplijn van Nicomedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.1.11 De slakkenlijn van Pascal en de hartlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.1.12 De lemniscaat of lintlijn van Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.1.13 De kappa-kromme of de kromme van Gutschoven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.1.14 Het trifolium van De Longchamps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.1.15 Het bifolium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.1.16 Het vierbladig rozet of klavervierkromme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.1.17 De serpentine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2
Parametervoorstelling van een kromme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2.1
4.2.2
4.3
De kegelsneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2.1.1
De parametervoorstelling van een niet-ontaarde ellips . . . . . . . . . . . 161
4.2.1.2
De parametervoorstelling van een niet-ontaarde hyperbool . . . . . . . . 162
Enkele kinematische krommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.2.2.1
De cycloı̈de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.2.2.2
De epicycloı̈de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.2.2.3
De hypocycloı̈de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.2.2.4
De spiraal van Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Meetkunde en Algebra

Related documents

Products

Support

Meetkunde en Algebra

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib