Onderzoeksvragen als uitgangspunt bij lineaire algebra

Onderzoeksvragen als
uitgangspunt bij lineaire
algebra
1
Onderzoeksvragen als uitgangspunt
2
Lineaire algebra
 Modules
ontwikkeld op het
Coornhert Gymnasium Gouda
 Auteurs: H. van Gendt en R. Dames
 In opdracht van cTWO
Waarom wiskunde D?
 Uitdagend
voor de goede wiskundeleerling
 Vernieuwend voor de docent
 Toepassingen van wiskunde in praktijk
 Ook aandacht voor wiskunde als
wetenschap
Hoe zien wij wiskunde D?
 Het
liefst in complete modules (de hele
stof in één keer)
 Aansluitend bij andere Bètavakken
 Aansluitend bij het hoger onderwijs
 In een activerende en dus motiverende
onderwijsvorm
Andersom werken
 Einddoelen
zijn uitgangspunten
 Geformuleerd als onderzoeksvragen
 Welke kennis is daarvoor nodig?
 Basiskennis (voor alle onderzoeksvragen)
 Specifieke kennis (per onderzoeksvraag)
 Verschillende leerroutes (en eindpunten)
Onderzoeksvragen
formules bewijzen (Euler en De Moivre)
 Homogene lineaire tweede orde d.v.’s
 Tweede wet van newton als d.v.
 RCL-serieschakeling
 Fractals (in voorbereiding)

Voorbereidende opgaven
De eigenlijke opdracht
Samenwerkend leren
 Weinig
of geen klassikale instructie nodig
 Wél begeleiding op afroep
 Leerlingen bestuderen stof als groep
 Voortgangstoets is groepstoets
 Antwoorden onderzoeksvragen onderdeel
van praktische opdracht
 Individuele afsluitende toets
Ervaringen
 Vorig
jaar uitgeprobeerd in 5 NG en 5 NT
 Leerlingen komen er als groep goed
doorheen
 Groepstoets stimuleert leren van elkaar
 Resultaten individuele toets wisselend,
maar over geheel ruim voldoende
 Leerlingen vonden het leuk en “stoer” dat
ze ”stof van de universiteit” snapten.
Voorbeeld: RCL-serieschakeling
 Aansluiting
bij natuurkunde
 Aansluiting bij hoger onderwijs
 Ruimte voor practicum
 Uitdagend en motiverend
Waarom lineaire algebra
 Breed
onderwerp
 Veel (wiskundige) toepassingen
 Kennismaking abstracte(re) wiskunde
 Nuttig als voorbereiding op hoger
onderwijs
Module Lineaire Algebra
 Opzet
vergelijkbaar met die van complexe
getallen
 Twee hoofdstukken basisstof voor
iedereen afgesloten met groepstoets
 Uitbreidingsmodules in de overige
hoofdstukken
Basisstof

1
Inleiding eerstegraads vergelijkingen






1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Inleiding
Het oplossen van stelsels eerstegraads vergelijkingen
Enkele afspraken en definities
Het Gauss-Jordan algoritme
Bijzondere situatie
Homogene stelsels

2
Inleiding matrixrekening



2.1
2.2
2.3
Matrices
Vierkante matrices
Determinanten
Onderzoeksvragen




3
Op weg naar een automatiseerbare oplossingsmethode
3.5 De regel van Cramer
4
Toepassingen in de ruimtemeetkunde (oude programma)
4.5 Hoeken in de ruimte

5
Lineair programmeren
5.6 De Simplex-methode toegepast

6
Lineaire transformaties (oude programma)

6.5
De karakteristieke vergelijking van een matrix

Nog te ontwikkelen: basis en dimensie van deelruimtes; ruimtes van
functies

Onderzoeksvraag hoofdstuk 6:
Lineaire transformaties

In het platte vlak en de ruimte kunnen bepaalde
afbeeldingen beschreven worden met behulp van
matrices. In het platte vlak houden we ons eerst bezig
met rotaties; in de ruimte gaan we vervolgens in op
lineaire operatoren die in bepaalde richtingen alleen een
verlenging of verkorting tot gevolg hebben. Je maakt
hierbij kennis met eigenwaarden en eigenvectoren van
matrices.

Toelichting: Ben je geïnteresseerd in meetkunde en
berekeningen in de ruimte dan kan je kiezen voor deze
onderzoeksvraag. Deelvragen zijn gegeven.
6





Lineaire transformaties
6.1 Inleiding
6.2 Overgangsmatrices bij lineaire operatoren
6.3 Rotatiematrices
6.4 Eigenwaarden en eigenvectoren
6.5 De karakteristieke vergelijking van een
matrix
Wennen aan overgangsmatrices









De vector OP noemen we ook wel de plaatsvector van punt P.
Als je een 2 bij 2 -matrix loslaat op OP krijg je een nieuwe vector
met OP‘ eindpunt P’. Zie desnoods ook hoofdstuk 2.
De matrix legt hiermee een afbeelding vast waarbij ieder punt
(x,y) wordt afgebeeld op het punt (ax+by,cx+dy).
Bepaal de matrix die hoort bij een spiegeling in de x-as.
Bepaal de matrix die hoort bij een spiegeling in de y-as.
Bepaal de matrix die hoort bij een puntspiegeling in O(0,0) .
Bepaal de matrix die hoort bij een spiegeling in de lijn met
vergelijking y=x.
Bepaal de matrix die hoort bij een rotatie om O over 90° linksom
(tegen de wijzers van de klok in; zoek even op wat een rotatie is).
Bepaal de matrix die hoort bij een rotatie om O over 90°
rechtsom.
6.5 De karakteristieke vergelijking van
een matrix

Zoek op het internet of in de pdf-bestanden die wij op It’s
Learning hebben gezet wat er verstaan wordt onder de
karakteristieke vergelijking van een matrix en bepaal met
behulp hiervan de eigenwaarden en eigenvectoren van
de volgende matrices:
 2 0
L


1
1



 1 1 2 


M   2 0 2 
 3 4 0 


Bewijs de volgende stelling: L heeft een eigenvector dan
en slechts dan als det(L-λI)=0
Documenten voor leerlingen
 De
opdracht
• Beschrijving
• Beoordelingsmodel
 Samenwerken
• Rubrics
• Evaluatieformulier
 Het
dictaat
 De bronnen
• Links
• Pdf-bestanden