Materiële of substantiele afgeleide

Physics of Fluids – 2e college
1
Physics of Fluids – 2e college
r

  v  0
t

Studiemateriaal voorlopig op http://www.srderoode.nl/teaching.htm
2
Inhoud & Leerdoelen
 Notatie: over kromme  en grote D
 Steady-state
 Stromingsvisualisatie: streamlines, streaklines and pathlines
 Euleriaanse 
versus Lagrangiaanse beschrijving van stromingen
 Wet van behoud van massa: de continuïteitsvergelijking
3
Notatie: I
• We beschrijven een vloeistofstroming aan de hand van
de druk
p
de dichtheid

r
u = u,v,w,
de snelheidsvector
r
V = u1 ,u2 ,u3  of
r
V = vx ,vy ,vz 
z

 Maar al deze variabelen

zijn een functie van de tijd t
en positie
r
x = x, y, z
y
x

4
Notatie: II
• Dit betekent dus
de druk
p = p(x,y,z,t)
de dichtheid
(x,y,z,t)
de snelheidsvector
r
u = ux,y,z,t ˆi + vx,y,z,t ˆj + wx,y,z,t kˆ

g
source: Munson et al
5



Pascal's law
• Geometrie
• Som der krachten in y en z richting
F
y
 p yxz  ps xs sin   
xyz
ay
2
y  scos
F
z
 p z xy  ps xs cos  - g
xyz
xyz
 
az
2
2
z  s sin 

• Substitutie
p y  p s  a y

y
2
p z  ps  a z  g
z
2
• Limiet y en z  0
ps  p y  p z
g
6
source: Munson et al
Forces in the x-direction are not depicted
Experiment: Atmosferische druk
massabehoud
massa balans
d
M

in

u
it
d
t
8
Simpele, intuïtieve afleiding van massabehoud
source: Munson et al
• Mass flow rate:
dM
 Q = AV
dt
Q = volume flow rate

A = in/uitstroomoppervlakte
(kg/s)
(m3/s)
(m2)
V = gemiddelde snelheid loodrecht op het in/uitstroomoppervlak (m/s)
9
Intuïtieve afleiding van massabehoud
source: Munson et al
• Massabehoud: instroom massa = uitstroom massa
oftewel
1A1V1 = 2 A 2V2

1Q1  2Q2
• Stroming
is incompressibel: 1=2

dus

A1V1 = A 2V2

Q1  Q 2
10
Voorbeeld massabehoud: injectiespuit
• Inhoud spuitreservoir Volume ~ 3 ml = 3 x 10-6 m3
• Tijdsduur t injectie ~ 10 s
Dus Q1 = Volume/t = 3 x 10-7 m3/s
• Pas massabehoud toe
A1V1 = A 2V2

Q1  Q 2
• straal a naald ~ 0.2 mm = 2 x 10-4 m,
naaldoppervlak A2 = pa2 = 4px 10-8 m2
• met behulp van A1V1=Q1= A2V2 volgt V2=Q1/A2 = 2.4 ms-1
11
Streaklines, pathlines en streamlines
• Streakline
- Volg stromingspatroon door kleurstof los te laten op vaste plek
- Alle deeltjes op deze lijn hebben dezelfde oorsprong
• Pathline
- Volg de positie van een aantal vaste deeltjes in de stroming
• Streamline
- Plaats deeltjes in de stroming en maak foto's vlak na elkaar.
- De verandering in de positie geeft informatie over de snelheidsvector
- De raaklijn van een stroomlijn heeft dezelfde richting als de snelheidsvector
12
Streaklines
•- Volg stromingspatroon door kleurstof los te laten op vaste plek
- Alle deeltjes op deze lijn hebben dezelfde oorsprong
13
CFD simulation of 2 square obstructions by San Le.
Pathlines
- Volg de positie van een aantal vaste deeltjes in de stroming
14
Streamlines
- Plaats deeltjes in de stroming en maak foto's vlak na elkaar.
- De verandering in de positie geeft informatie over de snelheidsvector
- De raaklijn van een stroomlijn heeft dezelfde richting als de snelheidsvector
steady state:
snelheid u is constant met de tijd
in dat geval zijn pathlines,
streamlines and streaklines identiek
15
Materiële afgeleide
A
Doel:
r
bereken de versnelling aA van het vloeistofelementje A
Gegeven: de snelheidsvector

r
r r
r
VA = VA rA ,t  = VA x A t ,y A t ,z A t ,t 
Wiskunde: kettingregel voor differentiëren

16
Materiële afgeleide
A
r
r
r
r
r
r
dVA
VA
VA dx A
VA dy A
VA dz A
aA 
=
+
+
+
dt
t
x dt
y dt
z dt

r
r
r
r
r
r
dV
VA
V
V
V
aA  A =
+ u A A + vA A + wA A
dt
t
x
y
z
17

Materiële afgeleide
A
Beschouwing geldt voor deeltje A en alle willekeurige andere vloeistofelementjes
r
r
r
r
r
r dV
V
V
V
V
a
=
+ u
+ v
+ w
dt
t
x
y
z

18
Versnelling in afzonderlijke componenten
r
r
r
r
r
r DV
V
V
V
V
a
=
+ u
+ v
+ w
Dt
t
x
y
z
ax 
u
u
u
u
+ u
+ v
+ w
t
x
y
z

ay 
v
v
v
v
+ u
+ v
+ w
t
x
y
z

az 
w
w
w
w
+ u
+ v
+ w
t
x
y
z


19
Materiële of substantiele afgeleide
r
r
r
r
r
r DV
V
V
V
V
a
=
+ u
+ v
+ w
Dt
t
x
y
z

D
Dt




t
+ u
D
Dt




x

t
+ v



y
+ w
r
+ V  


z

20
Verandering van de temperatuur T(x,y,z,t)
DT
T
T
T
T
=
+ u
+ v
+ w
Dt
t
x
y
z

Andere fysische interpretatie:
DT/Dt is de verandering van T met de tijd als we met de vloeistof meebewegen
Maar dan is ook
DT
T
=
Dt
t

Vraag: in het algemeen
vinden we een bronterm ST ,
Wat betekent dat?
DT
= ST
Dt
21

Beweeg mee met
windvector
C)
26
t=0s
Temperatuur (
0
24
22
20
18
16
14
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
afstand tot kust parallel aan windvector (km)
Stel U = 10 km/uur
C)
26
DT
T
T
=
+ u
= 0
Dt
t
x
Temperatuur (
0
advectie van koude lucht
t = 1 uur
24
22
20
18
16
14
-20
-10
0
10
20
30
40
50
afstand tot kust parallel aan windvector (km)
Geen verandering in temperatuur
waargenomen in ballon

22
60
Waarneming op vast punt
(10 km vd kust)
C)
26
t=0s
Temperatuur (
0
24
22
20
18
16
14
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
afstand tot kust parallel aan windvector (km)
Stel U = 10 km/uur
C)
26
DT
T
T
=
+ u
= 0
Dt
t
x
u
T
10
T
= 10 
 2 K/uur = x
50
t
Temperatuur (
0
advectie van koude lucht
t = 1 uur
24
22
20
18
16
14
-20
-10
0
10
20
30
40
50
afstand tot kust parallel aan windvector (km)
23
60
Stroming langs een bol
Snelheid langs stroomlijn A-B is gegeven door
 R 3 
u x  V0 1 3 
 x 
1
, vx  wx  0

0.8
u(x)/V
0
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
x/R
24
Stroming langs een bol
Snelheid langs stroomlijn A-B is gegeven door
 R 3 
u x  V0 1 3 
 x 
, vx  wx  0

Dan geldt voor de versnelling:
3
2
 R 3 
u
u
V0 1 R /x
3
4
a x x   u  V0 1 3 V0 R 3x
 3
t
x
R x / R4
x


 

ay  az  0
25
Stroming langs een bol
Snelheid langs stroomlijn A-B is gegeven door
 R 3 
u x  V0 1 3 
 x 

,

0.1
V0
(m/s)
R
(m)
ax,max
(m/s2)
weerballon
0.3
1.2
-0.046
voetbal
7
0.25
-120
honkbal
30
0.04
-1.3x104
golfbal
70
0.023
-1.3x105
/R)
-0.2
2
0
x
a /(V
3
Object
0
-0.1
2
V0 1 R /x
a x x  3
R x / R4
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
x/R
26
massabehoud
w(z+Dz)
massa balans
v(y+Dy)
u(x)
Dz
z
y
u(x+Dx)
v(y)
Dx
w(z)
Dy
d
M

in

u
it
d
t




v
0

t
x
27
massabehoud
massa instroom linkervlak in tijdsinterval Dt:
(x,y,z) u(x,y,z) DtDyDz
massa uitstroom rechtervlak
(x+Dx,y,z) u(x+Dx,y,z) DtDyDz
28
Massabehoud voor stroming door alle vlakken
M t  Dt   M t  

 instroom   uitstroom
x,y,z u x,y,zDtDyDz
 x  Dx,y,z u x  Dx,y,zDtDyDz

x,y,z vx,y,zDtDxDz
 x,y  Dy,z vx,y  Dy,zDtDxDz

x,y,z wx,y,zDtDxDy
 x,y,z  Dz wx,y,z  DzDtDxDy

x-richting
y-richting
z-richting
Taylor expansie
x  Dx,y,z u x  Dx,y,z  x,y,z u x,y,z 
t  Dt   t  

u
Dx   Dx 2
x
 

Dt   Dt 2
t
 
29

Massabehoud voor stroming door alle vlakken
M t  Dt   M t  

DtDxDyDz 
t


Taylor



t  Dt  t DxDyDz
M  V
x,y,z u x,y,zDtDyDz
u

x,y,z u x,y,zDtDyDz 
DtDxDyDz
x
x,y,z vx,y,zDtDxDz
v
x,y,z vx,y,zDtDxDz 
DtDxDyDz
y
x,y,z wx,y,zDtDxDy
w
x,y,z wx,y,zDtDxDy 
DtDxDyDz
z
x-richting
y-richting
z-richting
30
De continuïteitsvergelijking
 u v w



0
t x y
z

mbv 'del' operator


    
   , , 
x y z 
r

  v  0
t
31
De continuïteitsvergelijking voor een incompressibele
stroming
incompressibel: dichtheid is constant, (x,y,z,t)=cst
r u v w
v   
0
x y z

Divergentievrije stroming
32
Samenvatting
 Notatie
 Steady-state
 Stromingsvisualisatie: streamlines, streaklines and pathlines
 Euleriaanse versus Lagrangiaanse beschrijving van stromingen
 Wet van behoud van massa: de continuïteitsvergelijking
r u v w
v   
0
x y z

33
Volgende week
 Navier-Stokes vergelijking
 Bernoulli
34