Tentamen augustus 2006

Herkansingstentamen Electriciteit en Magnetisme
datum: 24 Augustus 2006
tijd: 8.45-11.30 uur
zaal: KC1.59
docent: J.F.J. van den Brand en R.J. Wijngaarden
•
•
•
•
•
•
•
•
Schrijf iedere opgave op een apart vel papier
Vermeld je naam op ieder papier
Vermeld je collegenummer.
Er zijn 7 opgaven
Vectorrelaties zijn te vinden in onderstaande bijlage.
Motiveer je resultaat teneinde een maximale score te bereiken.
Gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan.
Gebruik van een formuleblad (half A4) is toegestaan.
BIJLAGE:
FUNDAMENTELE CONSTANTEN
0 = 8.85 × 10−12 C2 /Nm2
k = 8.99 × 109 Nm−2 C−2
c = 3.00 × 108 m/s
e = −1.60 × 10−19 C
m = 9.11 × 10−31 kg
permittiviteit van het vacuum
lichtsnelheid
lading van het elektron
massa van het elektron
CARTESIAANSE COÖRDINATEN
dl = dx x̂ + dy ŷ + dz ẑ = dx i + dy j + dz k
dτ = dxdydz
lijn-element
volume-element
SFERISCHE COÖRDINATEN
dl = dr r̂ + rdθ θ̂ + r sin θdφ φ̂
dτ = r2 sin θdrdθdφ
lijn-element
volume-element
CILINDRISCHE COÖRDINATEN
dl = ds ŝ + sdφ φ̂ + dz ẑ
dτ = sdsdφdz
lijn-element
volume-element
1
Opgaven:
1. Tussen twee lange geisoleerd opgestelde vertikale geleidende palen bevindt zich een horizontale staaf met massa m, die met kontaktveren (deze glijden wrijvingsloos over de
palen) elektrisch geleidend met de palen is verbonden. Loodrecht op het vlak van de twee
palen staat een homogeen sterk magneetveld B. De afstand tussen de palen is en de
palen zijn aan de bovenkant verbonden met een weerstand met waarde R.
B
a. Bereken de afremmende kracht Fr die door het magneetveld wordt veroorzaakt.
b. Bereken de eindsnelheid v van de staaf
c. Maakt het uit of de weerstand die de palen verbindt bovenaan of onderaan de palen
zit? Waarom (niet)?
2. Gauss en Coulomb.
a. Welke relatie geeft de Wet van Gauss tussen lading en flux? (Geef niet alleen een
formule, maar maak duidelijk over welke lading en welke flux het precies gaat).
b. Welke relatie tussen lading en veld volgt uit de Wet van Coulomb? (Geef niet alleen
een formule maar maak duidelijk over welke lading en welk veld het precies gaat).
c. De ruimtehoek ∆Ω waaronder je een stukje oppervlak ∆A op een bol met straal r
ziet vanuit het middelpunt wordt gegeven door ∆Ω = ∆A/r2
Gebruik deze definitie van ruimtehoek om de Wet van Gauss af te leiden uit die van
Coulomb.
3. Twee condensatoren C1 = 2 µF en C2 = 4 µF worden parallel aangesloten op een spanningsbron van 100 V. Daarna worden ze losgenomen van de spanningsbron en van elkaar
en daarna wordt de plus-kant van C1 verbonden met de min-kant van C2 .
a. Wat is nu de spanning over C1 en over C2 ?
b. Wat is de spanning tussen de plus-kant van C1 en de min-kant van C2 ?
c. Wat is de spanning tussen de min-kant van C1 en de plus-kant van C2 ?
Nu verbinden we ook de min-kant van C1 met de plus-kant van C2 .
d. Wat is nu de lading op C1 en op C2 ?
e. Wat zijn de spanningen die nu over C1 en over C2 staan?
2
4. Een magnetisch cylindrisch sample heeft straal r = 14 mm en dikte t = 3 mm en is
uniform gemagnetiseerd langs de as van de cylinder. Het magnetisch moment is 3 ×
10−2 A m2
a. Wat is de magnetisatie M van de cylinder?
b. Als de magnetisatie wordt veroorzaakt door N elektronen met ieder een magnetisch
moment ter grootte µB = 9.27 × 10−24 A m2 wat is dan het totaal aantal electronen
dat bijdraagt aan de magnetisatie?
c. Wat is de grootte van de oppervlaktestroom van Ampère
d. Geef een voorbeeld van een spoel (geef de afmetingen en het aantal windingen) en
stroom waarmee een equivalent magnetisch veld wordt opgewekt.
5. Een holle geleider draagt een totale lading van +1.0 µC en bevat een klein object met een
totale lading van -5.0 µC. Verder is er een geladen staaf in de nabijheid met een totale
lading van +2.0 µC (zie figuur).
a. We maken gebruik van de conventie dat 2 "elektrische veldlijnen" zijn geassocieerd
met elke µC lading. Schets nu een plausibel veldlijnendiagram dat het elektrische
veld toont binnen en buiten de configuratie van geleiders. Geef hierbij de richting aan
van jouw elektrische veldlijnen.
b. Bepaal de hoeveelheid lading op zowel het binnen- als buitenoppervlak van de holle
geleider.
c. Bepaal de elektrische flux door een gesloten oppervlak dat alle objecten bevat. Wat is
het netto aantal veldlijnen dat de binnenzijde van een dergelijk oppervlak verlaat?
d. Verklaar hoe de configuratie "eruit ziet" in termen van elektrische lading voor iemand
die er heel ver van verwijderd is (dat wil zeggen: op welke eenvoudiger configuratie
lijkt hij van veraf gezien).
3
6. In het getoonde circuit (zie figuur) zijn E, L, R en C "gegeven". De schakelaar is
gedurende lange tijd in de open positie.
a. Wat zijn de stromen I1 , I2 en I3 in termen van de gegeven grootheden (E, L, R en
C)?
b. Wat is de lading op de condensator en welke plaat (links of rechts) is positief?
We sluiten nu de schakelaar. Onmiddellijk na het sluiten van de schakelaar:
c. Wat zijn de stromen I1 , I2 en I3 ?
d. Wat is dIdt1 ?
Nadat de schakelaar een lange tijd gesloten is:
e. Wat zijn de stromen I1 , I2 en I3 ?
f. Wat is de lading op de condensator en welke plaat (links of rechts) is positief?
7. Er loopt een stroom I door een lange cilindervormige geleider met lengte L, straal a en
soortelijke weerstand ρ. De stroom is uniform verdeeld over de dwarsdoorsnede van de
geleider.
a. Gebruik de wet van Ohm om het verband te vinden tussen het elektrische veld E in
de geleider en I, ρ en a.
b. Bereken het magnetisch veld B net buiten de geleider.
c. Gebruik de resultaten gevonden onder a) en b) om de Poynting vector S = (E×B)/µ0
te berekenen op positie r = a (dus op de rand van de geleider). Wat is de richting van
S?
d. Bereken de flux Sn dA door het oppervlak van de geleider en toon aan dat de verandering van de energie die de geleider instroomt gelijk is aan I 2 R, waarbij R de
weerstand van de cilinder is. (Merk op dat Sn de naar binnengerichte component is
van S loodrecht op de geleider).
4