Wiskunde voor het hoger / 1 / [Algemene grondbegrippen

WISKUNDE VOOR HET
HOGER TECHNISCH ONDERWIJS
deel 1
LOTHAR PAPULA
2e druk
>
ACADEMIC
SERVICE
inhoud
1
Algemene grondbegrippen
1.1
1.2
basisbegrippen in
1.1.1
Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling
1
1.1.2
Operaties
3
De
verzameling
1.2.1
1.3
1
Enkele
op
van
de
verzamelingenleer
1
verzamelingen
de reele
getallen R
5
De reele
getallen en hun eigenschappen
1.2.2
Ordening van getallen, ongelijkheid, absolute waarde
1.2.3
Deelverzamelingen en intervallen
Vergelijkingen
1.3.1
Lineaire vergelijkingen
1.3.2 Tweedegraads vergelijkingen
1.3.3 Vergelijkingen van de derde en hogere graad
1.3.4 Wortelvergelijkingen
1.3.5
5
6
7
8
9
9
10
12
Modulusvergelijkingen
13
1.4
Ongelijkheden
18
1.5
Stelsels lineaire
21
vergelijkingen
voorbeeld als inleiding
1.5.1
Een
1.5.2
De eliminatiemethode
1.5.3
Een voorbeeld
van een
van
21
Gauss
toepassing:
24
de
berekening
van een
elektrisch
netwerk
2
33
1.6
Het binomium
1.7
Opgaven
38
Vectoralgebra
2.1
Basisbegrippen
43
2.2
van
Newton
34
43
2.1.1
Definitie
2.1.2
Gelijkheid
2.1.3
Parallelle, anti-parallelle
2.1.4
Vectoroperaties
van een vector
van
43
vectoren
44
en
collineaire vectoren
45
46
Rekenen met vectoren in het platte vlak
51
2.2.1
51
Het ontbinden van
een vector
in
componenten
2.2.2
Vectoroperaties
2.2.3 Het inwendig product van twee vectoren
2.2.4 Lineair onafhankelijke vectoren
2.2.5
2.3
Een voorbeeld van
58
63
toepassing: de resultante van
werkend krachtensysteem
Rekenen
2.3.1
55
een
met vectoren in de
Het ontbinden van
een
3-dimensionale ruimte
een
vector in
componenten
2.3.2
Vectoroperaties
2.3.3 Het inwendig product van twee vectoren
2.3.4 Het uitwendig product (of uitproduct) van
in
een
vlak
65
67
68
71
75
twee vectoren
84
Inhoud
viii
2.3.5
2.3.6
2.4
2.4.2
3
vectorvoorstelling
Vectorvoorstelling van
De
en
3.4
3.5
99
Iijn
vlak
110
139
en
voorstelling
Definitie
van een
functie
139
functie
van een
139
Voorstelling
Eigenschappen van functies
140
3.2.1
van een functie
144
Nulpunten
144
3.2.2
Symmetrie
145
3.2.3
Monotonie
146
3.2.4
Periodiciteit
150
3.2.5
Inverse functies
151
156
Coördinatentransformaties
3.3.1
Een voorbeeld als
3.3.2
Translatie
3.3.3
De transformatie
Limiet
en
van
continu'iteit
reele
156
inleiding
een cartesisch coördinatenstelsel
156
van cartesische coördinaten in poolcoördinaten
van
een functie
165
Rijen
3.4.2
Limiet
3.4.3
Continu'iteit van
3.4.4
Discontinui'teiten
3.5.1
Definitie van
een
3.5.2
Constante
lineaire functies
van een
169
functie
een
176
functie
178
(gaten, polen, sprangen)
Polynoomfuncties (veeltermen)
en
polynoomfunctie
182
functies
Tweedegraads
Polynoomfuncties van een hogere graad
3.5.5
Het Hornerschema
3.5.7
181
181
3.5.4
3.5.6
het berekenen
184
189
de
en
van
nulpunten van
eenpoiynoom
Interpolate met polynomen
Een toepassingsvoorbeeld: buigingslijn (elastische lijn) van een balk
Gebvoken rationale functies
3.6.1
3.6.2
3.6.3
Definitie
gebroken
Nulpunten, polen,'gaten'in het domein
Het asymptotisch gedrag van een rationale
van een
3.7
Een toepassing:
193
197
202
203
rationale functie
203
204
functie als
x
oneindig
groot wordt
3.6.4
160
165
getallen
3.4.1
3.5.3
3.6
een
128
3.1.2
3.3
99
van een
krommen
Definitie
3.1.1
3.2
96
Opgaven
Functies
3.1
93
vectoren
in de meetkunde
Toepassingen
2.4.1
2.5
Blokproduct
Lineair onafhankelijke
209
de
capaciteit
van een
bolcondensator
212
Machtsfuncties en wortelfuncties
213
3.7.1
Machtsfuncties
213
3.7.2
Wortelfuncties
3.7.3
Machtsfuncties met rationale exponenten
3.7.4
met
gehele exponenten
Toepassingsvoorbeeld: de versnelling van
elektrisch veld
215
217
een
elektron in een
219
Inhoud
3.8
ix
Vergelijkingen van kegelsneden
3.8.1
Weergave van een kegelsnede
van
3.9
de
tw eede
graad
219
door
een
algebraische vergelijking
met constante coefficienten
Decirkel
220
3.8.3
3.8.4
Deellips
Dehyperbool
223
3.8.5
Deparabool
3.8.6
Voorbeelden
221
225
van
kegelsneden
227
Goniometrische lunettes
231
3.9.1
Basisbegrippen
231
3.9.2
Sinus-en cosinusfunctie
236
3.9.3
Tangens-en cotangensfunctie
3.9.4
Belangrijke relaties
tussen de
237
goniometrische functies
3.9.5
3.10
Toepassingen
Cyclometrische functies
258
3.14
4
259
260
3.10.4 De functies arctangens en arccotangens
3.10.5 Goniometrische vergelijkingen
261
Exponentiele functies
266
3.11.1
267
Basisbegrippen
Definitie en eigenschappen van exponentiele functies
Speciale functietypen die vaak toegepast worden
4.2
264
267
269
Logaritmische functies
279
3.12.1
Basisbegrippen
3.12.2 Definitie en eigenschappen van
logaritmische functies
3.12.3 Exponentiele en logaritmische
vergelijkingen
Hyperbolische functies en inverse hyperbolische functies
3.13.1 Hyperbolische functies
279
3.13.2 Areafuncties
291
Opgaven
295
Differentiaalrekening
4.1
258
3.10.3 De functie arccosinus
3.11.3
3.13
goniometrische functies
3.10.2 De functie arcsinus
3.11.2
3.12
239
240
3.10.1 Het inverteren van de
3.11
219
3.8.2
van een
functie
287
287
307
4.1.1
Hetprobleemvanderaaklijnaaneenkromme
4.1.2
De
afgeleide
4.1.3
De
afgeleiden
Regels
voor
4.2.1
De
4.2.2
4.2.5
Desomregel
De productregel
De quotientregel
De kettingregel
4.2.6
Combinatie
4.2.7
Logaritmisch
4.2.4
285
307
Differentieerbaarheid
4.2.3
281
van een
van
functie
308
de elementaire functies
het differentieren
311
314
factorregel
van
307
314
meerdere
315
316
318
319
regels voor
differentieren
het differentieren
325
326
Inhoud
X
4.2.8
De
4.2.9
Het differentieren
afgeleide van
een
4.2.10 De differentiaal van
4.2.11
4.2.12
impliciete
een
Hogere afgeleiden
De afgeleide van een
4.2.13 De
inverse fundie
van
328
nineties
329
fundie
331
333
fundie
(kromme)
in
parametervoorstelling
in poolcoördinaten gegeven functie (kromme)
4.2.14 Eenvoudige voorbeelden van toepassingen in de natuurkunde en de
afgeleide van
een
techniek
4.3
342
346
4.3.4
Karakteristieke punten
360
4.3.5
Extreembepalingen
4.3.6
Onderzoek van krommen
4.3.7
Het
oplossen
van een
van een
346
348
351
kromme
372
377
vergelijking met de benaderingsmethode
van
Newton-Raphson
383
Opgaven
391
Integraalrekening
5.1
Integreren als inverse operatie van differentieren
5.2
Het bepalen van een oppervlakte: de bepaalde integraal
5.2.1
Het probleem van het bepalen van een oppervlakte (een voorbeeld)
5.2.2
De
5.3
bepaalde integraal
De onbepaalde integraal en de oppervlaktefunctie
5.4
De
5.5
Stamintegralen
5.6
Het berekenen
5.7
Elementaire
5.8
Integratiemethoden
hoofdstelling
5.10
van
de differentiaal-
en
399
399
402
403
406
412
integraalrekening
415
418
bepaalde integraal
integratieregels
van een
met een
primitieve fundie
420
423
426
5.8.1
De substitutiemethode
426
5.8.2
Parti ele
434
5.8.3
5.9
337
Toepassingen van de differentiaalrekening
4.3.1
Raaklijnen en normalen
4.3.2
Linearisering van een functie
4.3.3 Monotonie en kromming van een grafiek (kromme)
4.4
5
334
integratie
Integreren
van
gebroken
rationale functies door middel
van
breuksplitsing
5.8.4 Numerieke integratiemethoden
Oneigenlijke integralen
5.9.1
Oneindig integratie-interval
5.9.2
integrand met oneindige functiewaarde (pool)
440
446
457
458
461
Toepassingen
465
5.10.1
Eenvoudige
5.10.2
Oppervlakte
5.10.3 Volume
5.10.4
5.10.5
voorbeelden uit de natuurkunde
van een
en
465
470
omwentelingslichaam
Booglengte van een vlakke kromme
Oppervlakte van een omwentelingslichaam
(ornwentelingsoppervlakken)
5.10.6 Arbeid
en
de techniek
energie
480
486
488
493
Inhoud
xi
5.10.7 Lineaire en kwadratische
5.11
6
6.3
6.4
7
Opgaven
525
6.1.1
Een voorbeeld als
6.1.2
Basisbegrippen
6.1.3
Convergentiecriteria
6.1.4
Eigenschappen
7.4
535
542
convergente
van
resp. absoluut convergente reeksen
Convergentiegedrag
6.2.3
Eigenschappen
van een
machtreeks
van
van een
553
machtreeks
554
machtreeksen
559
Taylorreeksen
560
6.3.1
Een voorbeeld als
6.3.2
6.3.3
Machtreeksontwikkeiing van
Toepassingen
6.3.4
Een voorbeeld
inleiding
560
een
functie
en
van een
val
waarbij rekening
functies
7.1.2
7.1.3
Verdere
weergave
van
wordt
589
591
597
complex getal
Definitie van een complex getal
Het complexe vlak
en
562
571
toepassing: vrije
gehouden met de luchtweerstand
Opgaven
Definitie
551
553
Definitie
een
basisbegrippen
Voorstelling van een complex getal
Complex rekenen
597
597
600
603
606
617
7.2.1
De vier
7.2.2
Machtsverheffen
628
7.2.3
Worteltrekken
630
7.2.4
De
basisbewerkingen
voor
complexe getallen
617
natuurlijke logaritme
Toepassingen van de complexe rekenwijze
636
7.3.1
Symbolische voorstelling van trillingen in een wijzerdiagram
7.3.2 Symbolische berekening van een wisselstroomkring
Plaatskrommen in het complexe vlak
638
7.4.1
Een inleidend voorbeeld
655
7.4.2
De baan
656
7.4.3
7.4.4
7.5
535
535
537
6.2.2
7.1.4
7.3
Taylorreeksen
inleiding
6.2.1
7.1.1
7.2
en
515
Machtreeksen
Complexe getallen
7.1
498
503
Oneindige reeksen, machtreeksen
6.1
Oneindige reeksen
6.2
gemiddelden
5.10.8 Het zwaartepunt van homogene vlakken en lichamen
5.10.9 Massatraagheidsmomenten
parameterafhankelijke complexe grootheid
Toepassingsvoorbeelden: eenvoudige netwerkfuncties
Inversie van een plaatskromme
Opgaven
Register
van een
638
645
655
658
660
667
673
xii
Inhoud
Appendix A: Oplossingen
van
de opgaven
Beschikbaar via www.academicservice.nl
A.l
A.2
Algemene grondbegrippen
Vectoralgebra
A.3
Functies en krommen
al
a7
al7
A.4
DifFerentiaalrekening
A.5 Integraalrekening
A.6 Oneindige reeksen, machtreeksen
A.7 Complexe getallen en functies
a32
a40
en
Taylorreeksen
a57
a69