Uittreksel boek Calculus 5e editie hoofdstuk 1 t/m 4

Uittreksel Algebra A
Inhoudsopgave
Voorwoord ..................................................................................................................... 1
1. Logica ..................................................................................................................... 2
1.1 Proposities ....................................................................................................... 2
1.2 Bewerkingen met proposities ............................................................................ 3
1.3 Eigenschappen................................................................................................. 5
1.4 Propositiefuncties en kwantoren ....................................................................... 8
2. Verzamelingenleer .................................................................................................. 9
2.1 Verzamelingen en elementen ........................................................................... 9
2.2 Bewerkingen met verzamelingen .................................................................... 11
2.3 Eigenschappen............................................................................................... 12
2.4 Gelijkmachtigheid ........................................................................................... 12
3. Relaties en functies............................................................................................... 13
3.1 Relaties .......................................................................................................... 13
3.2 Equivalentierelaties en orderelaties ................................................................ 13
3.3 Functies.......................................................................................................... 16
4. Binaire operaties ................................................................................................... 19
4.1 Basisbegrippen............................................................................................... 19
4.2 Congruenties .................................................................................................. 20
4.3 Permutaties .................................................................................................... 24
5. Groepen................................................................................................................ 25
5.1 Definities en voorbeelden ............................................................................... 25
5.2 Stellingen ....................................................................................................... 27
5.3 Ondergroepen ................................................................................................ 28
5.4 Coëfficiënten en exponenten .......................................................................... 29
6. Bewijzen ............................................................................................................... 30
Algebra op de TI-89..................................................................................................... 34
Geraadpleegde bronnen ............................................................................................. 34
Samenvatting definities en stellingen .......................................................................... 35
Voorwoord
Dit is een uitgebreid uittreksel van de studiewijzer Algebra A. Het bevat alle begrippen
en formules in de volgorde waarin ze in de studiewijzer aan bod komen. Uit de omvang
van dit uittreksel blijkt wel hoe compact de studiewijzer geschreven is. Hier en daar heb
ik daarom zelfs aanvullende voorbeelden of toelichtingen gebruikt. Aan het eind staat
een overzicht van de bronnen die ik bij deze module heb geraadpleegd.
Succes met de module Algebra A!
Bert Kraai
P.S. Omdat de symbolen van MathType voor de verzamelingen ,
,
en
niet
met behulp van een standaard lettertype worden weergegeven, heb ik besloten deze te
vervangen door de vetgedrukte hoofdletters N, Z, Q en R.
Uittreksel Algebra A
1.
Logica
Het hoofdstuk begint met een oude legende over de Griekse sofist Protagoras waaruit
blijkt dat het belangrijk is om duidelijke afspraken te maken over de begrippen en de te
volgen werkwijzen.
1.1
Proposities
Een DEFINITIE is een afspraak over een begrip in de wiskunde.
Aristoteles heeft als regel gesteld dat bij het definiëren van een nieuw begrip uitsluitend
gebruik gemaakt mag worden van reeds eerder gedefinieerde begrippen. Voorbeeld:
Een GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK is een driehoek waarvan de drie zijden gelijke lengtes hebben.
Hierbij zijn de reeds eerder gedefinieerde begrippen: driehoek, zijde en lengte.
Bij het definiëren zijn wel enkele GRONDBEGRIPPEN of PRIMITIEVE BEGRIPPEN noodzakelijk.
Deze begrippen doen een beroep op onze intuïtie. Voorbeelden: punt, lijn, propositie.
Een PROPOSITIE is een volzin waarin iets beweerd wordt, wat in principe te verifiëren is.
Voorbeeld: 144  12 . Verificatie: 122 =144. Conclusie: deze propositie is waar.
Een propositie hoeft niet waar te zijn, denk aan "het dubbele van 10 is 30".
Soms is een propositie zelfs nog niet te verifiëren, denk aan "er is leven op Mars".
Non-voorbeelden:
 "Gedraag je!"
 "Men neme passer en liniaal"
 "Is er nog thee?"
 "Wiskunde is heilzaam voor de geest"
gebiedende wijs
aanvoegende wijs
vragende zin
subjectieve bewering.
Een STELLING is een propositie waarvoor wij een correct bewijs kunnen leveren.
Vaak wordt hierbij gebruik gemaakt van eerder bewezen stellingen.
Ook hierbij zijn enkele "grondstellingen" noodzakelijk, zogenaamde AXIOMA'S.
Euclides onderscheidt in de vlakke meetkunde 5 axioma's, de ELEMENTEN VAN EUCLIDES:
(bron: http://members.lycos.nl/gulikgulikers/NE_euclides_axioma's.htm en
het boek Moderne Wiskunde Wiskunde B2 deel 1, blz. 211).
1. Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde zijn ook gelijk aan elkaar.
2. Als je bij gelijke dingen gelijke voegt, dan zijn de totalen gelijk.
3. Als je van gelijke dingen gelijke afneemt, dan zijn de resten gelijk.
4. Dingen, die op elkaar passen, zijn gelijk.
5. Het geheel is groter dan het deel.
Daarnaast onderscheidt hij 5 postulaten:
1. Van een punt naar een ander punt kun je een rechte lijn trekken.
2. Je kunt een lijnstuk verlengen tot een rechte lijn.
3. Je kunt een cirkel tekenen met een gegeven straal en middelpunt.
4. Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.
5. Door een punt buiten een lijn kun je niet meer dan één rechte lijn evenwijdig met de
gegeven lijn tekenen.
Met behulp van deze 5 axioma's en 5 postulaten van Euclides zijn alle stellingen uit de
meetkunde te bewijzen. Dit noemen we DEDUCTIEF (afgeleid van).
De wiskunde leent zich met uitstek voor een deductieve opbouw, net als de filosofie.
Versie 3
Blz. 2 van 41
Uittreksel Algebra A
We spreken af dat een propositie een WAARHEIDSWAARDE 1 heeft als hij waar is en
een WAARHEIDSWAARDE 0 als hij niet waar is. Andere mogelijkheden sluiten we uit.
Ook over de NOTATIEWIJZE moeten we duidelijke afspraken maken. Helaas gebruiken
verschillende bronnen soms verschillende notatiewijzen, bv. bij vectoren. Ook komt het
voor dat hetzelfde symbool in verschillende contexten een andere betekenis heeft.
1.2
Bewerkingen met proposities
Bij een UNAIRE BEWERKING is slechts één propositie betrokken. Deze propositie geven
we meestal aan met een hoofdletter P, Q, R enz.

Hieronder valt alleen de NEGATIE.
Als van 2 proposities P en Q geldt dat, als P waar is, Q niet waar is èn omgekeerd,
dan noemen we Q de negatie of ONTKENNING van P, geschreven als  P of NOT P.
We kunnen dit in onderstaande WAARHEIDSTABEL weergeven:
P
0
1
Q = P
1
0
Bij een BINAIRE BEWERKING zijn twee getallen of twee proposities betrokken.
De volgende 5 worden besproken in de studiewijzer:

CONJUNCTIE (AND,  )
Twee proposities worden samengevoegd tot één samengestelde propositie met
behulp van het voegwoordje "en".
Voorbeeld: vrouw EN rijbewijs.
Dit is alleen waar voor vrouwen met een rijbewijs.
Definitie 1.1 De conjunctie van proposities P en Q is gedefinieerd met de waarheidstabel:
P
Q
P  Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1

DISJUNCTIE, INCLUSIEF-OF (OR,  )
Twee proposities worden samengevoegd tot één samengestelde propositie met
behulp van het voegwoordje "of" in de betekenis van "en/of".
Voorbeeld: vrouw en/of rijbewijs.
Dit is waar voor (vrouw EN rijbewijs) OF vrouw OF rijbewijs.
Definitie 1.2: De disjunctie van proposities P en Q is als volgt gedefinieerd:
P
Q
P  Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Versie 3
Blz. 3 van 41
Uittreksel Algebra A

EXCLUSIEF-OF (XOR,  )
Twee proposities worden samengevoegd tot één samengestelde propositie met
behulp van het voegwoordje "of" in de betekenis van "òf … òf".
Voorbeeld: òfwel vrouw, òfwel een rijbewijs
Dit is alleen waar voor òfwel vrouwen òfwel mensen met een rijbewijs.
Vrouwen met een rijbewijs worden nu uitgesloten.
Definitie 1.3 Een exclusief-of van P en Q is als volgt gedefinieerd:
P
Q
P  Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0

IMPLICATIE (  )
Twee proposities hebben een "als… dan…" relatie.
Definitie 1.4 Een implicatie van P  Q is als volgt gedefinieerd:
P
Q
P  Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Bij een implicatie geldt dat :
 uit een onwaar van P mag zowel een waar als een onwaar voor Q volgen.
De waarheidswaarde van Q is dus helemaal niet meer relevant.
Bij een onwaar van P is de propositie P  Q altijd waar.
 uit een waar van P alleen maar een waar van Q mag volgen.
Als P waar is en Q waar, klopt de gevolgtrekking. De propositie P  Q is waar.
Als P waar is en Q onwaar "klopt er iets niet". De propositie P  Q is onwaar.
Hierbij heet propositie P de PREMISSE of VOLDOENDE VOORWAARDE en
Q de CONSEQUENTIE of NODIGE VOORWAARDE.
De premisse P is een voldoende voorwaarde voor de consequentie Q.
Q heeft P nodig, dus Q is de nodige voorwaarde.

BI-IMPLICATIE of EQUIVALENTIE (IFF,  )
Definitie 1.5 Onder de bi-implicatie P  Q verstaan we (P  Q)  (Q  P).
Een bi-implicatie van P  Q is als volgt gedefinieerd:
P
Q
P  Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Versie 3
Blz. 4 van 41
Uittreksel Algebra A
Bi-implicaties worden veel toegepast bij het oplossen van vergelijkingen.
Bij een bi-implicatie is P zowel een nodige als een voldoende voorwaarde voor Q.
Omgekeerd geldt dat Q zowel een nodige als een voldoende voorwaarde is voor P.
In woorden wordt een bi-implicatie soms omschreven met "dan en slechts dan als"
of met "iff" (if and only if).
1.3
Eigenschappen
Bij de bi-implicatie hebben we gezien dat de samengestelde propositie P  Q waar is
als P en Q dezelfde waarheidswaarde hebben.
Als P  Q dan zijn P en Q EQUIVALENT of GELIJKWAARDIG.
Verder geldt dat (  P  Q) dezelfde waarheidstabel oplevert als P  Q.
Deze samengestelde proposities hebben dus dezelfde waarheidswaarde en zijn dus
equivalent of gelijkwaardig. We mogen dus schrijven: (  P  Q)  P  Q.
Als we de waarheidstabel van deze laatste samengestelde propositie uitschrijven, blijkt
dat de waarheidswaarde altijd 1 is. Hiermee is de volgende stelling bewezen.
Stelling 1.1
De proposities (P  Q) en (  P  Q) zijn gelijkwaardig.
Definitie 1.6
Een TAUTOLOGIE is een samengestelde propositie die voor alle mogelijke waarden van
de afzonderlijke propositievariabelen waarheidswaarde 1 heeft.
Een CONTRADICTIE is een samengestelde propositie die voor alle mogelijke waarden
van de afzonderlijke propositievariabelen waarheidswaarde 0 heeft.
Bij oefenopgave 2 komen enkele belangrijke tautologieën aan bod:
 (P  P)  P
(idempotentie van de conjunctie)
 (P  P)  P
(idempotentie van de disjunctie)
  (  P) )  P
(wet van de dubbele ontkenning)
 (P  (P  Q))  P
(absorptiewet)
 (P  (P  Q))  P
(absorptiewet)
 (P  Q)  ((  P  Q)  (P   Q))
 (P  Q)  ((P  Q)   (P  Q))
 ((P  Q)  (Q  R))  (P  R) (transitiviteit van de implicatie)
 (P  Q)  P
(simplificatie)
DE WETTEN VAN DE MORGAN zijn twee belangrijke stellingen:
 (P  Q)   P   Q
 (P  Q)   P   Q.
De wetten van De Morgan zijn handig bij het ontkennen van samengestelde
proposities. Voorbeeld van een bewijsvoering m.b.v. stellingen:
(met R = P  Q)

R
(De Morgan)

 (P  Q)
 P   Q.
Versie 3
Blz. 5 van 41
Uittreksel Algebra A
Bij het bewijzen van tautologieën kan, naast een waarheidstabel, gebruik gemaakt
worden van eerder bewezen stellingen. Het is een goede gewoonte om bij iedere stap
te verwijzen naar de bijbehorende bewezen stelling.
Zie ook de uitwerking van oefenopgave 3 op blz. 23.
Een tautologie die we heel vaak gebruiken in bewijzen is de CONTRAPOSITIE.
Die luidt: ( P  Q)  (Q  P) .
Voorbeeld:
als ik te veel alcohol drink, word ik dronken 
als ik niet dronken word, heb ik niet te veel gedronken.
Let op: dit is niet de ontkenning van ( P  Q) !
De ontkenning van een implicatie is immers: ( P  Q)  (P  Q)  P  Q .
De volgende 4 logische binaire bewerkingen zijn COMMUTATIEF, dat wil zeggen:
de proposities zijn verwisselbaar.

PQ  Q P
 conjunctie

PQ  Q P
 disjunctie

PQ  QP
 exclusief-of
( P  Q)  (Q  P)
 bi-implicatie

LET OP: de implicatie is NIET commutatief: ( P  Q)  (Q  P) .
Sommige logische binaire bewerkingen zijn ASSOCIATIEF, dat wil zeggen: binnen een
samengestelde propositie van 3 proposities is er geen verschil tussen de mogelijke
interpretaties. Ze zijn gelijkwaardig.
Voorbeeld: (( P  Q)  R)  ( P  (Q  R) .
Het bewijs via stellingen ziet er als volgt uit:
(( P  Q)  R)
(( P  Q))  (R)
( P  Q)  (R)
(( P  Q)  R)
( P  ( Q  R))
( P  (Q  R))
( ( P  (Q  R)))
( P  (Q  R)) .







(dubbele ontkenning)
(De Morgan)
(De Morgan)
 is associatief
(De Morgan)
(De Morgan)
(dubbele ontkenning)
Ook de disjunctie, exclusief-of en de bi-implicatie zijn associatief.
Versie 3
Blz. 6 van 41
Uittreksel Algebra A
Een derde eigenschap van binaire bewerkingen is de DISTRIBUTIEVE EIGENSCHAP.
Bij de distributieve eigenschap spelen twee binaire bewerkingen een rol.
Voorbeeld: 2*(3+4)= 2*3+2*4. De vermenigvuldiging LINKSDISTRIBUTIEF over de optelling.
Er geldt eveneens dat (3+4)*2 = 2*3+2*4. Dus is de vermenigvuldiging ook
RECHTSDISTRIBUTIEF over de optelling. Samenvattend: de vermenigvuldiging is DISTRIBUTIEF
over de optelling.
Logische bewerkingen zijn rijk aan distributiviteit. Vier stellingen:
 P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R)
(Conclusie:  is linksdistributief over  )
 ( P  Q)  R  ( P  R)  (Q  R)
(Conclusie:  is rechtsdistributief over  )
 P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R)
(Conclusie:  is linksdistributief over  )
 ( P  Q)  R  ( P  R)  (Q  R)
(Conclusie:  is rechtsdistributief over  ).
Het bewijs kunnen we leveren via een waarheidstabel en via stellingen. Als voorbeeld
het bewijs van de tweede stelling, nadat de eerste stelling via een waarheidstabel is
aangetoond:
( P  Q)  R
(  is commutatief)

R  ( P  Q)
(  is linksdistributief over  )

( R  P)  ( R  Q)
(  is commutatief)

( P  R)  (Q  R) .
(Conclusie:  is rechtsdistributief over  ).
Samenvattend kunnen we dus zeggen dat
  is distributief over  en dat
  distributief is over  .
Evenzo geldt dat:
  distributief is over  .
Versie 3
Blz. 7 van 41
Uittreksel Algebra A
1.4
Propositiefuncties en kwantoren
Een PROPOSITIEFUNCTIE (ook wel PREDIKAAT of OPEN BEWERING) is een uitdrukking met
variabelen, die na toekenning van waarden aan de variabelen een propositie wordt.
Het toekennen van waarden aan variabelen heet het BINDEN VAN VARIABELEN. Pas als
alle variabelen gebonden zijn, is de propositiefunctie verandert in een propositie.
Een propositiefunctie met de variabele x noteren we als P ( x ) .
Voor de propositiefunctie P( x) : 2( x  6)  18 geldt alleen dat propositie P(15) waar is.
Het binden van een variabele kan op twee manieren:
1. door het toekennen van een waarde
2. door het gebruik van een KWANTOR.
Kwantoren gelden voor een bepaalde verzameling. Zo'n verzameling wordt de
DEFINITIEVERZAMELING genoemd. Is er geen definitieverzameling gegeven, dan gaan we
uit van de verzameling R (verzameling van reële getallen).
In de studiewijzer worden de volgende kwantoren onderscheiden:
 De AL-KWANTOR of UNIVERSELE KWANTOR 
xV

"voor alle x uit de verzameling V geldt dat …"
De EXISTENTIËLE KWANTOR 
xV
"er bestaat minimaal één x uit de verzameling V waarvoor geldt dat …"
In andere boeken (zoals Discrete Wiskunde) worden nog wel meer kwantoren gebruikt.
De bekendste is
 De unieke kwantor !
xV
"er bestaat precies één x uit de verzameling V waarvoor geldt dat …"
P ( x)  Q( x) geldt alleen als voor alle waarden x uit het domein geldt dat
P( x)  Q( x) en P( x)  Q( x) .
Versie 3
Blz. 8 van 41
Uittreksel Algebra A
2.
Verzamelingenleer
2.1
Verzamelingen en elementen
Het begrip verzameling is een primitief begrip.
Pogingen om het begrip VERZAMELING te omschrijven:
 een collectie van goed omschreven objecten of dingen;
 bijeenvoeging van bepaalde welonderscheiden objecten in ons denken of
aanschouwen tot één geheel;
De objecten van de verzameling noemen we ELEMENTEN.
Let op: bij een verzameling van verzamelingen kan een element op zich ook weer een
verzameling zijn!
Een verzameling schrijven we vaak met een hoofdletter.
De inhoud van een verzameling kunnen we aangeven door:
1. alle elementen op te sommen
A = {1, 2, 3, 4}
2. de elementen op één of andere manier te beschrijven: B = { x | x2 - 1 = 3 en 0<x<10}
3. het tekenen van Venndiagrammen (zie § 2.3)
4. in termen van andere verzamelingen.
Bij de beschrijving noemen we het teken | de VERZAMELINGENBOUWER en we spreken
dit uit als "waarvoor geldt dat".
Met  geven we aan dat een element in een bepaalde verzameling zit.
Met  geven we aan dat een element NIET in een bepaalde verzameling zit.
x V  ( x  V ) .
Definitie 2.1
De LEGE VERZAMELING  bevat geen enkel element.
Definitie 2.2
Een verzameling met precies één element heet een SINGLETON.
N:
N+:
Z:
Z+:
Z-:
Q:
R:
verzameling der natuurlijke getallen
0, 1, 2, 3, …
verzameling positieve natuurlijke getallen
1, 2, 3, …
verzameling der gehele getallen
…, -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, …
verzameling positieve gehele getallen
1, 2, 3, …
verzameling negatieve gehele getallen
…,-3, -2, -1.
verzameling rationale getallen = verzameling breuken waarvan de teller en
noemer gehele getallen zijn en de noemer niet gelijk aan 0.
verzameling reële getallen = verzameling rationale en irrationale getallen =
de verzameling van alle getallen op een getallenlijn.
(a,b) of <a,b> open interval
[a,b]
gesloten interval
Versie 3
verzameling reële getallen tussen a en b.
verzameling reële getallen die niet kleiner zijn dan a
en niet groter dan b.
Blz. 9 van 41
Uittreksel Algebra A
Definitie 2.3
Twee verzamelingen A en B heten GELIJK als voor alle x geldt dat x  A  x  B .
Dit komt overeen met de bi-implicatie.
Let op: aan de aard van x hoeven hier geen beperkingen te worden opgelegd.
Als x namelijk noch element van A noch van B is, is de bi-implicatie altijd waar.
Het wordt pas interessant als x wèl element is van 1 van beide verzamelingen.
De definitie van gelijkheid van twee verzamelingen impliceert dat:
1. het vaker noemen van een element de verzameling niet verandert.
2. de volgorde van opsommen niet van belang is.
Definitie 2.4
Een verzameling A heet een deelverzameling van een verzameling B als
voor alle x geldt: x  A  x  B . Notatie: A  B .
Dit komt overeen met de implicatie.
Als we willen aantonen dat verzameling A geen deelverzameling van B is, is het dus
voldoende als we één element x kunnen vinden waarvoor geldt dat x  A  x  B
Stelling 2.1
Iedere verzameling is deelverzameling van zichzelf.
Stelling 2.2
( A  B)  ( B  A)  A  B .
Stelling 2.3
Een lege verzameling is deelverzameling van iedere verzameling.
Stelling 2.4
Er bestaat maar één lege verzameling.
Stelling 2.5
Een verzameling A met n elementen heeft 2n deelverzamelingen.
Dit komt overeen met
n
n
k 0
 
 k  .
Definitie 2.4B
De verzameling van alle deelverzamelingen van A heet de MACHTSVERZAMELING van A
en we noteren dat met P(A). Dit is afgeleid van het Engelse Power set.
Er geldt dus dat P( A)  { X | X  A} .
"QED" (Quod Erat Demonstrandum) betekent: "hetgeen te bewijzen was".
Hiermee kunnen we het einde van een bewijs markeren.
Versie 3
Blz. 10 van 41
Uittreksel Algebra A
2.2
Bewerkingen met verzamelingen
Definitie 2.5
De DOORSNEDE van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen
x waarvoor geldt: x  A  x  B . Notatie: A  B .
Dit komt overeen met de conjunctie.
Als A en B de lege verzameling als doorsnede hebben, noemen we A en B DISJUNCT.
Definitie 2.6
De VERENIGING van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen
x waarvoor geldt: x  A  x  B . Notatie: A  B .
Dit komt overeen met de disjunctie.
Omdat de implicatie transitief is, is ook de inclusie transitief.
Hieruit volgt dat ( A  B)  A  ( A  B)  ( A  B)  ( A  B) . Zie oefenopgave 8.
Definitie 2.7
Het VERSCHIL van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen x
waarvoor geldt: x  A  x  B . Notatie: A \ B .
Dit komt overeen met de ontkenning van de implicatie:
( P  Q)  ( P  Q) (NOT stelling 1.1). Zie blz. 36 studiewijzer.
Definitie 2.8
Het SYMMETRISCH VERSCHIL van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle
elementen x waarvoor geldt: x  Ax  B . Notatie: AB .
Dit komt overeen met exclusief-of.
Definitie 2.9
Het COMPLEMENT van verzameling A is de verzameling van alle elementen x waarvoor
geldt: ( x  A) . Notatie: AC .
Dit komt overeen met de negatie.
Het complement heeft alleen betekenis als we de verzameling van complementen
afbakenen, bijvoorbeeld tot de UNIVERSELE VERZAMELING U.
We spreken dan over het complement ten opzichte van U.
Versie 3
Blz. 11 van 41
Uittreksel Algebra A
2.3
Eigenschappen
Een VENNDIAGRAM is een handige hulpmiddel ter illustratie van hoe gedefinieerde
verzamelingen met elkaar samenhangen. Ze worden in de wiskunde echter niet
gebruikt als hard bewijsmiddel.
Stelling 2.6
De doorsnede, vereniging en symmetrisch verschil zijn commutatief.
Stelling 2.7
De doorsnede, vereniging en symmetrisch verschil zijn associatief.
Stelling 2.8
De doorsnede is distributief over de vereniging.
De vereniging is distributief over de doorsnede.
De doorsnede is distributief over het symmetrisch verschil.
Het symmetrisch verschil is distributief over de doorsnede.
Uit het bovenstaande blijkt dat er grote overeenkomst bestaat tussen de
propositielogica en de verzamelingenleer. Deze overeenkomsten worden op een hoger
abstractieniveau uitgewerkt in de Boolesche algebra. Binnen de Boolesche algebra
bestaan eveneens de wetten van De Morgan. Toegepast op de verzamelingenleer
levert dit de volgende stellingen op.
Stelling 2.9
Voor twee verzamelingen A en B geldt:
1. ( A  B)C  AC  BC
2. ( A  B)C  AC  BC .
2.4
Gelijkmachtigheid
Definitie 2.10
Twee eindige verzamelingen zijn GELIJKMACHTIG als ze evenveel elementen bevatten.
Het aantal elementen van een verzameling A geven we aan met #A.
Stelling 2.10
Voor 2 eindige verzamelingen A en B geldt dat #( A  B)  # A  # B  #( A  B) .
Voor 3 eindige verzamelingen A, B en C geldt dat
#( A  B  C )  # A  # B  # C  #( A  B)  #( A  C )  #( B  C )  #( A  B  C ) .
Versie 3
Blz. 12 van 41
Uittreksel Algebra A
3.
Relaties en functies
3.1
Relaties
Definitie 3.1
Een RELATIE R van een verzameling X naar een verzameling Y is een verzameling van
geordende paren ( x , y ) met x  X en y  Y .
Definitie 3.2
Het CARTESISCH PRODUCT van twee verzamelingen X en Y is de verzameling van alle
geordende paren ( x , y ) met x  X en y  Y .
We noteren dit als X x Y. Dus X x Y= {( x, y ) | x  X  y  Y } .
Een relatie van X naar Y is dus een deelverzameling het cartesisch product.
Definitie 3.3
Als R een relatie is van X naar Y, dan noemen we de verzameling van elementen uit X
die als eerste element in de geordende paren van R voorkomen het DOMEIN van de
relatie R en de verzameling van elementen uit Y die als tweede element in de
geordende paren van R voorkomen het BEREIK van de relatie R.
Als de verzamelingen X en Y gelijk zijn, spreken we over een relatie X naar X of: X IN X.
Als R een relatie is van een verzameling X naar een verzameling Y en ( x , y ) is een
geordend paar dat tot R behoort, schrijven we vaak ( x , y )  R of x R y .
Relaties kunnen we in beeld brengen met een:
 pijldiagram
 grafiek.
3.2
Equivalentierelaties en orderelaties
Van iedere verzameling A kunnen we deelverzamelingen A1, A2, A3 enzovoorts
onderscheiden. Elke deelverzameling geven we een volgnummer, een index mee.
De verzameling van al deze volgnummers noemen we I, de INDEXVERZAMELING.
Definitie 3.4
Laat V een niet-lege verzameling zijn en I een indexverzameling met Ai  V voor alle
i  I . Dan heet { Ai | i  I } een PARTITIE van V als aan de volgende drie voorwaarden
is voldaan:
1. Voor alle i  I geldt: Ai   .
2. Voor alle i  I en j  I met i  j geldt: Ai  Aj   .
3.  Ai  V .
iI
Een partitie van een verzameling is dus een opdeling van een verzameling in een
aantal niet-lege disjuncte deelverzamelingen.
Let op: de elementen van een partitie van V zijn dus deelverzamelingen van V!
Versie 3
Blz. 13 van 41
Uittreksel Algebra A
Definitie 3.5
Een relatie R in een verzameling V heet REFLEXIEF als aRa voor alle a V .
Definitie 3.6
Een relatie R in een verzameling V heet SYMMETRISCH als voor alle a, b V geldt:
aRb  bRa.
Definitie 3.7
Een relatie R in een verzameling V heet TRANSITIEF als voor alle a, b, c  V geldt:
(aRb  bRc)  aRc.
Definitie 3.8
Een relatie R in een verzameling V heet een EQUIVALENTIERELATIE
als R reflexief, symmetrisch en transitief is.
Voorbeelden:
1. De relatie R "is gelijk aan" in een willekeurige verzameling V is een
equivalentierelatie, want:
 a = a voor alle a V , dus R is reflexief;
 uit a = b volgt b = a voor alle a, b V , dus R is symmetrisch;
 als a = b en b = c dan volgt a = c voor alle a, b, c  V , dus R transitief.
2. De relatie R "is evenwijdig aan" is een equivalentierelatie voor de verzameling L van
alle lijnen in het platte vlak, want:
 m // m voor alle m  L, dus R is reflexief;
 uit m // n volgt n // m voor alle m,n  L, dus R is symmetrisch;
 als k // m en m // n dan volgt k // n voor alle k,m,n  L, dus R is transitief.
Definitie 3.9
Als R een equivalentierelatie in een verzameling V is en x en y zijn elementen uit V
en er geldt x R y (dus ( x , y )  R), zeggen we dat x en y EQUIVALENT zijn.
Definitie 3.10
Als R een equivalentierelatie is en a  V, is de EQUIVALENTIEKLASSE van a de
verzameling van alle elementen die equivalent zijn met a .
We noteren dit met a of  a  . Dus a =  a  = {x V | aRx} .
We noemen a een REPRESENTANT van de equivalentieklasse  a  .
Ieder element uit een equivalentieklasse kan als representant worden gekozen.
Voorbeeld (oefenopgave 10)
Gegeven: {R = (a,b)  ZxZ | a-b is een drievoud}
Equivalent met 3 zijn de getallen …,-3, 0, 3, 6, …. Want 3R-3 is een drievoud enz.
De verzameling van alle drievouden is dus een equivalentieklasse van 3. Maar ook van 0!
De drie equivalentieklassen {…,-5,-2,1,4,…} en {…,-4,-1,2,5,…} en {…,-3,0,3,6,…}
vormen samen een partitie van Z.
Versie 3
Blz. 14 van 41
Uittreksel Algebra A
Stelling 3.1
Als R een equivalentierelatie is in een verzameling V, vormen de equivalentieklassen R
een partitie van V.
Bewijsplan:
Om te bewijzen dat alle equivalentieklassen R een partitie zijn van V, moeten alle
equivalentieklassen voldoen aan de 3 voorwaarden van de definitie van een partitie
(definitie 3.4). Dus te bewijzen is:
1. Voor alle i  I geldt:  ai   .
2. Voor alle i  I en j  I met i  j geldt:  a i   a  j   .
3.   a i  V .
iI
Bewijs:
Ad. 1. Omdat R een equivalentierelatie is van V, geldt dat R reflexief, symmetrisch en
transitief is (definitie 3.8). Omdat R reflexief is, geldt dus voor alle a V : aRa .
Dit betekent dat er geen lege equivalentieklassen bestaan.
Ad. 3. a)
Uit definitie 3.9 en 3.10 blijkt, dat elke equivalentieklasse een
deelverzameling is van V. Immers:  a  = {x  V | aRx}   a  V .
Dus geldt ook dat de vereniging van alle equivalentieklassen ook een
deelverzameling van V:
  ai  V .
iI
b)
Verder geldt dat elke a V tot de equivalentieklasse  a  behoort. Dus
geldt voor dat V deelverzameling is van de vereniging van alle
equivalentieklassen:
V    a i .
iI
Uit a) en b) volgt volgens stelling 2.2:
  a i  V .
iI
Ad. 2 Om te bewijzen dat 2 verschillende equivalentieklassen disjunct zijn, gebruiken
we de contrapositie. Dus stelling  a  b   a  b   is equivalent met
 a    b      a   b  .
Laat x   a   b ( x bestaat want de premisse is  a  b   ).
Dan geldt x R a , en omdat R symmetrisch is ook a R x .
Tevens geldt x R b . R is transitief, dus geldt ( a R x  x R b )  a R b .
Voor elke y   a  geldt y R a en ( y R a  a R b )  y R b . Dus  a   b .
Voor elke y  b geldt y R b en ( y R b  b R a )  y R a . Dus b   a  .
Conclusie  a  b (stelling 2.2).
Omdat aan alle drie de voorwaarden van een partitie is voldaan, kunnen we
concluderen dat de equivalentieklassen R een partitie is van V.
QED.
Het verband tussen een equivalentierelatie en een partitie is echter nog veel sterker.
Bij elke partitie van V hoort ook een equivalentierelatie!
Versie 3
Blz. 15 van 41
Uittreksel Algebra A
Definitie 3.11
Een relatie R in een verzameling V heet ANTI-SYMMETRISCH als a, b V geldt:
(aRb  bRa)  a = b.
Definitie 3.12
Een relatie R in een verzameling V heet een ORDERELATIE als R
reflexief, anti-symmetrisch en transitief is.
Een voorbeeld van een orderelatie is de relatie  in een machtsverzameling P(V):
 voor alle verzamelingen A  P(V) geldt dat A  A (stelling 2.1), dus  is reflexief;
 voor alle verzamelingen A, B, C  P(V) geldt dat (A  B  B  C)  A  C
(oefenopgave 3 van H2), dus  is transitief;
 voor alle verzamelingen A, B  P(V) geldt dat (A  B  B  A)  A=B (stelling 2.2),
dus  is anti-symmetrisch.
Bij eindige relaties kunnen we de orderelatie op een overzichtelijke manier presenteren
in een ORDENINGSDIAGRAM of HASSE-DIAGRAM.
3.3
Functies
Definitie 3.13
Een FUNCTIE of AFBEELDING F van een verzameling X naar een verzameling Y is een
verzameling van geordende paren ( x , y ) met x  X en y  Y zodat elk element uit X in
precies één geordend paar voorkomt.
De verzameling Y (= de verzameling waarop wordt afgebeeld) noemen we het CO-DOMEIN.
Let op: de verzameling van de waarden van y noemen we het bereik! Zie definitie 3.3.
Als F een functie is van X naar Y, dan is F ook een relatie van X naar Y, want F is
immers een verzameling van geordende paren ( x , y ) met x  X en y  Y.
Als ( a , b )  F, dan noteren we dit met a F b
Omdat bij een functie elke x  X slechts één keer voorkomt kunnen we dit ook
samenvatten tot F( a ) = b . Een functie is dus in feite een bijzondere relatie!
Notatiewijzen van het FUNCTIEVOORSCHRIFT:
 F= {( x , y )  ZxZ | y = x 2)
 F: Z  Z met F( x )= x 2
 F: Z  Z met F: x  x 2
Definitie 3.14
Als F een functie is van X naar Y en F( a ) = b , zeggen we dat:
 b HET BEELD is van a onder de functie F en dat
 a EEN ORIGINEEL is van b .
Definitie 3.15
Laat F een functie zijn van X naar Y en A  X en B  Y.
Het BEELD van A onder de functie F is nu: F(A) = {F( a )| a  A} = { b  Y |  (F( a ) = b )}.
a A
Het VOLLEDIG ORIGINEEL van B onder de functie F is: F (B) = { x  X | F( x )  B}.
-1
Versie 3
Blz. 16 van 41
Uittreksel Algebra A
Bedenk: F(X) = bereik  co-domein. Het bereik is de verzameling van
afbeeldingswaarden en het co-domein de verzameling waarop afgebeeld wordt!
Versie 3
Blz. 17 van 41
Uittreksel Algebra A
Definitie 3.16
Als F een functie is van X naar Y en voor alle a  X en b  X geldt dat
F( a ) = F( b )  a = b , heet F INJECTIEF of ÉÉN-ÉÉNDUIDIG (ONE-TO-ONE).
Bij een functie heeft elk origineel slechts één beeld.
Voor een injectieve functie geldt bovendien dat elk beeld hoogstens één origineel heeft.
In een pijldiagram blijkt een injectieve functie uit het feit dat in elk element van het codomein hoogstens één pijl aankomt.
In een grafiek is een injectieve functie herkenbaar aan het feit dat elke horizontale lijn
de grafiek van F hoogstens één keer snijdt.
Definitie 3.17
Een functie F van X naar Y heet SURJECTIEF als F(X)= Y.
Met andere woorden: het bereik is gelijk aan het co-domein.
Bij ieder element uit het co-domein is dus minstens één origineel te vinden.
In een pijldiagram blijkt een surjectieve functie uit het feit dat in elk element van het codomein minstens één pijl aankomt.
In een grafiek is een surjectieve functie herkenbaar aan het feit dat elke horizontale lijn
de grafiek van F minstens één keer snijdt.
Definitie 3.18
Een functie die én injectief én surjectief is, heet BIJECTIEF.
Bij elk element uit het co-domein hoort precies één element uit het domein.
Van een bijectieve functie kunnen we de inverse bepalen.
Definitie 3.19
Als F: X  Y een bijectie is, verstaan we onder de INVERSE FUNCTIE van F de functie
F-1: Y  X met F-1 = {( y, x)  Y x X | F ( x)  y} .
Er geldt dus dat F-1 ( y )  x  F ( x)  y .
In plaats van F-1 schrijven we ook wel Finv.
Bij een functie van RxR ontstaat de grafiek van F-1 door spiegeling in de lijn y=x .
Als F een bijectieve functie is, dan is ook F-1 is een bijectieve functie.
Een injectieve functie die niet surjectief is, kunnen we vaak door beperking van het
co-domein bijectief maken.
Voorbeeld: F ( x)  e x van R naar R+ levert F 1 ( x)  ln( x) van R+ naar R.
Domein van F-1 = bereik van F en bereik van F-1 = domein van F.
Een surjectieve functie die niet injectief is, kunnen we vaak door beperking van domein
èn co-domein bijectief maken.
Voorbeeld: F ( x)  sin x van [ / 2,  / 2] naar [1,1] levert F 1 ( x)  sin 1 x  arcsin x .
Definitie 3.20
Onder de IDENTIEKE FUNCTIE op X verstaan we de functie F met F( x )= x voor alle x  X.
We noteren deze functie vaak met I( x ) of I.
Versie 3
Blz. 18 van 41
Uittreksel Algebra A
4.
Binaire operaties
4.1
Basisbegrippen
Definitie 4.1
Een BINAIRE OPERATIE of BINAIRE BEWERKING op een verzameling V is een functie van
de verzameling VxV naar een verzameling W.
Als V = W spreken we van een binaire operatie IN V. We zeggen in dat geval dat de
verzameling V GESLOTEN is voor de binaire operatie.
Voorbeeld:
De bewerkingen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen zijn gedefinieerd van RxR naar R.
De functie optellen is gedefinieerd als F:( x1 , x2 )  x1 + x2 .
Voor de binaire operaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, vereniging, doorsnede,
disjunctie en conjunctie bestaan speciale symbolen.
Voor andere binaire operaties kunnen we zelf symbolen introduceren zoals  of .
We kunnen zelfs in abstracto spreken over een willekeurige binaire operatie en die
aanduiden met een willekeurig symbool zoals  of .
Definitie 4.2
Gegeven is een binaire operatie  op een verzameling V.
Deze operatie heet COMMUTATIEF als a  b = b  a voor alle a, b  V.
Definitie 4.3
Gegeven is een binaire operatie  op een verzameling V.
Deze operatie heet ASSOCIATIEF als a  (b  c) = (a  b)  c voor alle a, b  V.
Definitie 4.4
Gegeven is een binaire operaties  en  op een verzameling V.
De operatie  heet LINKSDISTRIBUTIEF over , als a  (b  c) = (a  b)  (a  c) voor alle
a, b, c  V.
De operatie  heet RECHTSDISTRIBUTIEF over , als (a  b)  c = (a  c)  (b  c) voor
alle a, b, c  V.
De operatie  heet DISTRIBUTIEF over , als  links- en rechtsdistributief is over .
Voorbeelden:
 Optellen en vermenigvuldigen is commutatief en associatief in Z, Q en R.
 Aftrekken is noch commutatief noch associatief in Z, Q en R.
 De vermenigvuldiging is distributief over de optelling in Z, Q en R.
 De samenstelling van afbeeldingen is associatief.
Als we de eigenschappen commutatief, associatief of distributief aan willen tonen, is het
nodig om het bewijs van de gelijkheid in de definitie te geven voor elke willekeurige
combinatie van elementen uit de desbetreffende verzameling.
Als we willen bewijzen dat een binaire operatie NIET commutatief, associatief of
distributief is, volstaat één tegenvoorbeeld.
Versie 3
Blz. 19 van 41
Uittreksel Algebra A
Definitie 4.5
Laat  een binaire operatie in een verzameling V zijn.
We noemen e het NEUTRAAL ELEMENT in V voor de operatie  als
e  x = x  e = x voor alle x  V.
Stelling 4.1
Als  een binaire operatie is in de verzameling V, bestaat er hoogstens één neutraal
element e in V voor .
Definitie 4.6
Laat  een binaire operatie in V zijn en x , y  V. We noemen y een INVERSE van x
voor de operatie  als x  y = y  x = e.
Stelling 4.2
Laat  een binaire operatie zijn in V, die associatief is en laat e het neutrale element in
V zijn voor de operatie . Dan bezit elke x  V hoogstens één inverse.
Belangrijke binaire bewerkingen met hun neutraal element uit oefenopgave 9 en 10:
Binaire bewerking
vermenigvuldigen
aftrekken
deling
vereniging
doorsnede
symmetrisch verschil
verschil
4.2
Verzameling
R
R
R\{0}
P(V) met V een willekeurige niet-lege
verzameling
P(V)
P(V)
P(V)
Neutraal element
1
geen
geen

V

geen
Congruenties
Zoals we al in voorbeeld 2 op bladzijde 83 zagen, hebben alleen de getallen 1 en -1 een
multiplicatieve inverse in Z. Voor alle andere x  Z geldt dat er geen y  Z te vinden is
waarvoor geldt dat x  y = 1 (1 is het neutrale element voor vermenigvuldigen in Z).
Een vergelijking als a=2 x is echter voor sommige a  Z wel oplosbaar, namelijk voor
alle even getallen, getallen die deelbaar zijn door 2.
Definitie 4.7
We noemen b  Z een DELER van a  Z als er een c  Z bestaat zodat a = bc.
Notatie b|a (b deler van a).
We noemen in dit geval a een VEELVOUD van b.
Definitie 4.8
Laat a,b  Z. Dan heet b een ECHTE DELER van a als b|a, b  1, b  a en b>0.
Definitie 4.9
Een geheel getal groter dan 1 en zonder echte delers noemen we een PRIEMGETAL.
Versie 3
Blz. 20 van 41
Uittreksel Algebra A
Definitie 4.10
Een GROOTSTE GEMENE DELER (GGD) van twee gehele getallen a en b (niet beide nul)
is een positief geheel getal d zodanig dat
1.
d|a en d|b en
2.
als c  Z en c|a en c|b dan is c  d.
In woorden: de GGD is een deler d van beide getallen a en b, waarvoor geldt dat deze
deler groter of gelijk is aan alle andere gemeenschappelijke delers c.
We noteren de GGD van a en b met D(a,b) of GGD(a,b).
Definitie 4.11
Twee gehele getallen a en b heten ONDERLING PRIEM als D(a,b)=1.
Andere benamingen: ONDERLING ONDEELBAAR, of RELATIEF PRIEM.
Stelling 4.3
1. Als a en b gehele getallen zijn met b  0, bestaan er eenduidig bepaalde gehele
getallen q en r, zodanig dat a = qb + r met 0  r<|b| (delingsalgoritme).
Voorbeeld: a=25 en b=15  a = 1x25+10 met quotiënt = 1 en rest = 10.
2. Elk paar gehele getallen a en b, niet beide nul, bezit een eenduidig bepaalde
grootste gemene deler D(a,b) die te schrijven is als D(a,b) = x a + y b voor zekere
x , y  Z.
Voorbeeld: a=25 en b=15. D(a,b) = 2x25 -3x15 = 5.
3. Laat a,b  Z. Voor alle x  Z geldt nu D(a+ x b,b) = D(a,b).
Voorbeeld: a=25 en b =15. D(25+7x15,15) = D(25,15) = 5.
4. Als a,b,c  Z en a en b zijn niet beide nul, geldt: a x +b y =c is oplosbaar in Z xZ
 D(a,b)|c.
Voorbeeld: stel x =25, y =15 en c=10. Nu is 25a+ 15b = 10 oplosbaar in Z xZ voor
onder andere (a,b)  {…, (1,-1); (4,-6); (7,-11); (10,-16); (13,-21); (19;31), …}.
Steeds geldt dat D(a,b)  {1,2,5} en dus een deler is van c.
5. Stel p is een priemgetal en a,b  Z. Als p|ab, is p|a of p|b.
Voorbeeld: p = 5, a = 25 en b = 7. Omdat p|ab, is p|a of p|b.
Versie 3
Blz. 21 van 41
Uittreksel Algebra A
Maak een keuze uit 1 van onderstaande kaders:
Definitie 4.12A
Als a,b  Z en m  Z+, dan zijn a en b CONGRUENT MODULO M als m|(a-b) en we schrijven
dan a  b (mod m).
Voorbeeld
Stel a = 26, b = 16 en m = 2, dan is 2|(26-16), dus zijn a  b (mod 2).
Evenzo geldt dat a  b (mod 1), a  b (mod 5) en a  b (mod 10).
Stelling 4.4A
Twee gehele getallen a en b zijn congruent modulo m met m  Z+  a en b laten na
deling door m dezelfde rest over.
Voorbeeld
26/1 = 26 rest 0 en 16/1 = 16 rest 0.
26/2 = 13 rest 0 en 16/2 = 8 rest 0.
26/5 = 5 rest 1 en 16/5 = 3 rest 1.
26/10 = 2 rest 6 en 16/10 = 1 rest 6.
OF
Definitie 4.12B
Als a,b  Z en m  Z+, dan zijn a en b CONGRUENT MODULO M als a en b na deling door m
dezelfde rest overlaten en we schrijven a  b (mod m).
Stelling 4.4B
Twee gehele getallen a en b zijn congruent modulo m met m  Z+  m|(a-b).
Stelling 4.5
Voor elk positief geheel getal m is de relatie congruent modulo m een
equivalentierelatie in Z, dus: reflexief, symmetrisch en transitief.
Bij de equivalentierelatie congruent modulo m vinden we m equivalentierelaties, die
samen een partitie van Z vormen. Zie hoofdstuk 3 oefenopgave 10 voor m=3.
Definitie 4.13
Onder een restklasse a modulo m (a  Z) verstaan we de verzameling van gehele
getallen b die congruent modulo m zijn met a, dus a = {b  Z | a  b (mod m)}.
Een restklasse is dus de verzameling getallen die na deling door m dezelfde rest
overlaten. De verzameling restklassen Zm = {0,1, 2,..., m  1} onder modulo m. Dit is dus
een partitie van Z.
Versie 3
Blz. 22 van 41
Uittreksel Algebra A
Definitie 4.14
Op de verzameling Zm van restklassen modulo m definiëren we een optelling en een
vermenigvuldiging door
a m b  a  b
a m b  a  b voor alle a,b  Z.
Stelling 4.6
In Zm met m>1 gelden de volgende eigenschappen voor  m en m
1. Zm is gesloten voor  m en m
2.  m en m zijn associatief
3. 0 is het neutraal element voor  m
4. 1 is het neutraal element voor m
5. elk element in Zm bezit een inverse voor  m (een zogenaamde additieve inverse)
6.  m en m zijn commutatief
7. m is links- en rechtsdistributief over  m .
Definitie 4.15
Laat + en  een optelling en vermenigvuldiging in V zijn en e+ is het neutraal element
voor de optelling.
Dan heten a,b  V NULDELERS van V als a  e+ en b  e+ en tevens ab = e+.
Stelling 4.7
De verzameling Zm (m>1) bezit geen nuldelers  m is een priemgetal.
Stelling 4.8
Een element a  Zm (m>1) heeft een multiplicatieve inverse  D(a,m) = 1.
Met behulp van het bewijs van deze stelling zijn we eveneens in staat de multiplicatieve
inverse te bepalen. Hiervoor moeten we de vergelijking ax + my = 1 oplossen in ZxZ.
Dit doen we door de GGD te bepalen van a en m met behulp van het algoritme van
Euclides. Zie het boek voor Discrete Wiskunde van de Open Universiteit, deel 3
Getaltheorie, blz. 32 en verder. Daarbij past Euclides stelling 4.3.3 toe (blz. 86).
Versie 3
Blz. 23 van 41
Uittreksel Algebra A
4.3
Permutaties
Definitie 4.16 (studiewijzer: nogmaals 4.15)
Onder een PERMUTATIE van een eindige verzameling A verstaan we een bijectieve
afbeelding van A op zichzelf.
Sn is de VERZAMELING VAN ALLE PERMUTATIES van de verzameling A = {1,2,3,…,n}, n  N
Als A = a1
a
a2
a
2
   1
 ai 1 ai 2
a3 ... an  , dan noteren we permutatie  van A door
a3
ai 3
an 
 , waarbij geldt dat  (a1 )  ai1 enz.
... ai n 
...
Feitelijk zijn dus alleen de indices van belang. Vandaar dat we deze permutatie ook
kunnen schrijven als:
1
2
3 ... n 
 .
  
i
i
i
...
i
n
1 2 3
Permutaties zijn afbeeldingen, dus samenstellingen van permutaties zijn
samenstellingen van afbeeldingen.
Nu kunnen we een permutatie nog compacter opschrijven, door alleen op te schrijven
hoe de getallen cyclisch op elkaar worden afgebeeld.
 1 2 3 4
 = (1 4 3). Dit noemen we een CYKEL.
Voorbeeld:   
 4 2 1 3
Element 2 laten we weg, omdat die op zichzelf wordt afgebeeld.
De volgorde waarin we een cykel opschrijven is niet van belang.
(1 4 3) = (4 3 1) = (3 4 1). Meestal beginnen we met het laagste getal.
Definitie 4.17 (studiewijzer: 4.16)
Een permutatie  Sn heet een CYKEL VAN LENGTE K (k  n) als er k verschillende
getallen i1, i2,, i3 , …., in in de verzameling {1,2,3,…,n} bestaan zodat
 (i1 )  i2 ,  (i2 )  i3 , …,  (ik 1 )  ik ,  (ik )  i1 en
 (x)=x als x  i1, x  i2,… x  ik.
We schrijven dan  =( i1, i2,, i3 , …., ik).
Een cykel is dus een permutatie die een aantal getallen cyclisch verwisselt en de
overige op zichzelf afbeeldt.
De IDENTIEKE PERMUTATIE wordt vaak genoteerd met (1).
Voorbeeld: (1 4 3)  (3 4 1) = (1).
Meestal laten we het symbool  (spreek uit: na) weg, dus schrijven we (1 4 3)(3 4 1).
Let op: het samenstellen van afbeeldingen werkt van rechts naar links!
Dus: eerst (3 4 1) en daarna (1 4 3 )!
Definitie 4.18 (studiewijzer: nogmaals 4.16)
Twee cykels  en  heten DISJUNCT als ze geen gemeenschappelijke getallen
bevatten.
Definitie 4.19 (studiewijzer: 4.17)
Een cykel van lengte 2 heet een VERWISSELING of TRANSPOSITIE.
NB. Elke permutatie kan geschreven worden als product van verwisselingen.
Versie 3
Blz. 24 van 41
Uittreksel Algebra A
5.
Groepen
5.1
Definities en voorbeelden
Gegeven: een binaire associatieve bewerking  in een verzameling V, die gesloten is
voor de bewerking .
Een formele werkwijze om vergelijkingen met deze bewerking  in V op te lossen voor
één onbekende x:
1.
Kijk naar het lid met de onbekende: links of rechts. Zoek de meest geïsoleerde
term met zijn bijbehorende bewerking *. Bepaal de inverse van deze term ten
opzichte van  in V.
2.
Voer bij het linker- en rechterlid de bewerking  uit met deze inverse.
3.
Pas de associatieve eigenschap toe op het lid met de onbekende x.
4.
Vervang nu de "samengestelde term met de inverse" door het neutrale element.
5.
Voer de bewerking * uit met het neutrale element. (Vervang dus ex = xe door x.)
6.
Herhaal zo nodig dit proces vanaf stap 1 t/m 5, totdat het linker- of rechterlid
uitsluitend nog uit de onbekende x bestaat.
7.
Omdat V gesloten is voor de bewerking , levert de nu ontstane rekensom een
betrouwbare oplossing op x.
Voorbeelden van binaire bewerkingen en verzamelingen waarbij deze werkwijze
toepasbaar is:
+
in
R
(zie stellingen na definitie 4.4)
x
in
R
(zie stellingen na definitie 4.4)
+m
in
Zm
(zie stelling 4.6.1, 4.6.2 en 4.6.3)
m
in
Zm
(zie stelling 4.6.1, 4.6.2 en 4.6.4)
Definitie 5.1
Als G een niet-lege verzameling is en  een binaire operatie in G, heet (G, ) een GROEP
als aan de volgende voorwaarden is voldaan:
G1.
Voor alle a,b  G geldt: a  b  G.
Dus: G is gesloten voor de bewerking .
G2.
Voor alle a,b,c  G geldt: (a  b)  c = a  (b  c).
Dus: de bewerking  is associatief.
G3.
Er bestaat een e  G zodanig dat voor alle a  G geldt: ae = ea = a.
Dus: er bestaat een neutraal element in G t.o.v. de binaire operatie .
G4
Bij elke a  G bestaat er een b  G zodanig dat ab = ba = e.
Dus: elk element van G heeft een inverse in G t.o.v. de binaire operatie .
Om aan te tonen dat een verzameling met een binaire operatie een groep is, moeten
we steeds de voorwaarden G1 t/m G4 controleren.
Versie 3
Blz. 25 van 41
Uittreksel Algebra A
Voorbeelden van groepen:
 De additieve groepen (Z, +), (Q, +), (R, + ) en Zm, +m)
 De multiplicatieve groepen (Q\{0}, ) en (R\{0}, )
 (Zm\{0}, m) mits m een priemgetal is.
 (V, ) met V = {-1,1}
 (kZ, +) met kZ = {kn | n  Z}
 (P(V),  ) met een willekeurige verzameling V
 ( {f1, f2, f3, f4}, ) met f1= x, f2= 1/x, f3= -x, f4= -1/x van R\{0} naar R\{0}.
Wanneer het aantal elementen van de groep eindig en ook nog eens beperkt is, kunnen
we met behulp van een GROEPSTABEL (of CAYLEY-TABEL) voorwaarden G1, G3 en G4
eenvoudig controleren.
Voorwaarde G2 (associatief) wordt in veel gevallen overgeërfd en hoeft dus niet
opnieuw bewezen te worden. Dit komt doordat de verzameling G dan een
deelverzameling is van een verzameling waarvan al aangetoond is dat hij associatief is.
Definitie 5.2
Een groep (G, ) heet COMMUTATIEF of ABELS als voor alle a,b  G geldt: ab = ba.
Voorbeeld: (G, +) met G  Z.
Dit is herkenbaar aan de groepstabel, doordat de hele tabel symmetrisch is om de
hoofddiagonaal (= van linkerbovenhoek tot rechteronderhoek).
Definitie 5.3
Een groep heet EINDIG als de groep uit een eindig aantal elementen bestaat.
Zijn er oneindig veel elementen in een groep, dan spreken we van een oneindige
groep.
Voorbeeld:
G = {1,2,3,…,10} is een eindige groep.
G = {x | x  N} is een oneindige groep.
Definitie 5.4
Het aantal elementen van een groep noemen we de ORDE van een groep.
Notatie o(G). Een oneindige groep heeft orde oneindig.
Voorbeeld:
G = {1,2,3,…,10} heeft orde 10.
G = {x | x  N} heeft orde oneindig.
Vaak zien twee groepen er verschillend uit, maar blijken ze qua structuur exact overeen
te komen. Ze zijn isomorf. Soms zijn kolommen en rijen verwisseld, waardoor de
overeenkomst niet snel opvalt.
Er is maar 1 groep van orde 3 (zie oefenopgave 7 en 8):
*
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
e is neutraal element. a * b kan geen a zijn, want dan is b ook een neutrale element.
a *b kan ook geen b zijn, want dan is a eveneens neutraal element. Dus moet a * b = e zijn.
Hieruit volgt dat a * a = b en b * b = a.
Versie 3
Blz. 26 van 41
Uittreksel Algebra A
Verder zijn er maar twee verschillende groepen van orde 4 (zie ook oefenopgave 9):
Viergroep van Klein
*
e
a
b
e
e
a
b
a
a
e
c
b
b
c
e
c
c
b
a
c
c
b
a
e
De neutrale elementen staan op de hoofddiagonaal,
dus ieder element heeft zichzelf als inverse.
Cyclische groep van orde 4
*
e
a
b
c
is isomorf met
e
k
l

e
e
a
b
c
e
e
k
l
a
a
b
c
e
k
k
m
e
b
b
c
e
a
l
l
e
m
c
c
e
a
b
m
m
l
k
De isomorfie blijkt weer als we kolommen EN rijen l en m omwisselen.
m
m
l
k
e
Definitie 5.5
Laat (G, ) en (H, ) twee groepen zijn.
We noemen deze groepen ISOMORF als er een bijectieve functie F van G naar H
bestaat zodanig dat voor alle a,b  G geldt: F(a  b) = F(a)  F(b).
De afbeelding F noemen we een GROEPSISOMORFISME.
5.2
Stellingen
Stelling 5.1
Een groep heeft precies één neutraal element.
Stelling 5.2
In een groep heeft elk element precies één inverse.
Stelling 5.3
In een groep (G, ) geldt de schrapwet, dat wil zeggen: als a,b,x  G, geldt:
a. a  x = b  x  a = b
b. x  a = x  b  a = b
Stelling 5.4
Als G een groep is en a,b  G, zijn de lineaire vergelijkingen a  x = b en x  a = b
eenduidig oplosbaar in G.
Stelling 5.5
Laat G een groep zijn en a,b  G. Laat verder a' de inverse zijn van a en b' de inverse
van b. Dan is de inverse van a  b gelijk aan b'  a'.
Stelling 5.6
De verzameling Sn (verzameling van alle permutaties van A={1,2,3,…n} met n  N)
met als binaire operatie de samenstelling van afbeeldingen, is een groep: (Sn, ).
(Sn, ) wordt wel de SYMMETRISCHE GROEP VAN N ELEMENTEN genoemd.
Versie 3
Blz. 27 van 41
Uittreksel Algebra A
5.3
Ondergroepen
Definitie 5.6
Zij (G, ) een groep. Dan heet (H, ) een ONDERGROEP van (G, ) als:
 H  G en
 H met betrekking tot de binaire operatie  een groep is.
Omdat een groep per definitie een neutraal element bevat, kan een ondergroep als
verzameling nooit leeg zijn.
Elke groep (G,*) waarvan de orde groter is dan 1, heeft ten minste twee ondergroepen:
 de TRIVIALE ONDERGROEPEN ({e},*) en (G,*).
 de ECHTE ONDERGROEPEN.
Uit opgave 15 blijkt dat de orde van een ondergroep (H,*) van een eindige groep (G,*)
een deler is van de orde van (G,*).
Zo zul je dus bij een groep van orde 4 alleen ondergroepen vinden van 1 (het neutrale
element), van 2 en van 4 (de groep zelf).
Stelling 5.7
Laat (H, ) een ondergroep van de groep (G,) zijn en e neutraal element van (G,),
dan geldt:
1. e is het neutraal element in (H,)
2. als h  H, is de inverse h-1 in (G,) ook inverse van h in (H,).
Hiermee hebben we bewezen dat het neutraal element e van een groep G tot elke
ondergroep van G behoort en dat bovendien e in elke ondergroep weer neutraal
element is.
Stelling 5.8
Als (H, ) een ondergroep van de groep (G,) en (K,) een ondergroep van (H,), dan is
(K,) een ondergroep van (G,).
Dit volgt rechtstreeks uit de transitiviteit van de inclusie.
Stelling 5.9 (ondergroepcriterium)
Zij (G,) een groep en H  G met H   .
Dan geldt dat (H,) een ondergroep is van (G,) 
voor elk paar elementen a,b  H geldt dat ab-1  H.
Hierin is b-1 de inverse van b in groep (G,).
Stelling 5.10
Als (H,) en (K,) ondergroepen zijn van (G,), is ook (H  K,) een ondergroep van
(G,).
Versie 3
Blz. 28 van 41
Uittreksel Algebra A
5.4
Coëfficiënten en exponenten
Definitie 5.7
Laat (G,) een groep zijn, e het neutraal element van de groep en a  G. Verder is n  N.
Dan definiëren we:
1. 0a = e
2. (n+1)a = na  a
3. a0 = e
4. an+1 = an  a.
Definitie 5.8
Laat (G,) een groep zijn, a  N,G en a' de inverse van a. Verder is n  N.
Dan definiëren we:
1. (-n)a = na'
2. a-n = (a')n
Versie 3
Blz. 29 van 41
Uittreksel Algebra A
6.
Bewijzen
Bewijzen reproduceren en bedenken is een lastige klus. Er is een verscheidenheid aan
bewijsmethoden, die niet eenvoudig in een classificatie zijn op te nemen. Wel zijn er
aanwijzingen te bedenken welke methode in welke situatie de meeste kans op succes
oplevert.
Tegenvoorbeelden
Op grond van patronen die ontstaan bij reken- en tekenwerk, kunnen we tot een
bepaald vermoeden komen.
Als we één geval k  V vinden waarvoor het vermoeden P(k) niet geldt, is het
vermoeden dus niet algemeen geldend. k noemen we een TEGENVOORBEELD.
(  P(k ))   (P( k )) .
kV
kV
Het bewijs dat een vermoeden wel in alle gevallen geldend is, kan soms eeuwen duren.
Pigeonhole-principe
Als f:A  B een functie is met A en B eindige verzamelingen en #A > #B,
dan is f niet injectief.
In omgangstaal: heb je meer duiven dan hokjes en zitten alle duiven in een hokje, dan
zijn er hokjes waar meer dan één duif in zit.
Volledige inductie
Veel wiskundige stellingen hebben de vorm van een propositiefunctie P(n) met
definitieverzameling N. Als we P(n) willen bewijzen voor alle n, dan kunnen we
onmogelijk alle gevallen controleren. We kunnen wel gebruik maken van het dominoeffect van de volledige inductie.
Stelling 6.1: Laat P(n) een propositiefunctie zijn met n  N.
Als nu geldt P(0) is waar EN voor alle k  N geldt P(k)  P(k+1),
dan is P(n) waar voor alle n  N.
Stelling 6.2: voor alle n  N geldt:
n
i 
i 1
n( n  1)
.
2
Het bewijs bestaat uit 2 delen:
1. Bewijzen dat de stelling geldt voor de startwaarde, in dit geval n = 0.
2. Ervan uitgaande dat de stelling geldt voor een willekeurige k  N
(INDUCTIEVERONDERSTELLING) bewijzen dat de stelling opgaat voor elk daarop volgende
element k+1.
Versie 3
Blz. 30 van 41
Uittreksel Algebra A
Volledige inductie toegepast op stelling 6.2:
0
1.
Voor n = 0 geldt
i 
i 1
2.
0(0  1)
0.
2
Stel dat voor een willekeurige k  N geldt
Dan geldt voor k+1  N
k 1
k
i 1
i 1
 i   i  (k  1) 
k
i 
i 1
k ( k  1)
(inductieveronderstelling).
2
k (k  1)
k (k  1)  2(k  1) k 2  3k  2 (k  1)(k  2)
 (k  1) 


2
2
2
2
Conclusie: startend bij k = 0 kunnen we k voortdurend met 1 ophogen en blijft stelling 6.2
gelden. Dus geldt de stelling voor alle waarden van n  N. QED.
Zoals bij stelling 6.4 blijkt, hoeft de startwaarde n niet altijd gelijk te zijn aan 0.
Zoals uit de "stelling" op blz. 130 blijkt, is het wel belangrijk dat de startwaarde meedoet bij
de inductieveronderstelling. Anders is de "kettingreactie" verbroken, wat kan leiden tot
onjuiste conclusies.
Contrapositie
Bij implicaties is het bewijzen van de contrapositie soms eenvoudiger dan het bewijzen van
de oorspronkelijke implicatie. ( P  Q)  (Q  P) .
Waarheidstabellen
Binnen de logica kunnen we waarheidstabellen gebruiken als bewijstechniek. Binnen de
verzamelingenleer maken we liever gebruik van al bewezen eigenschappen uit de logica.
Gevalsonderscheiding
Soms is het voor de bewijsvoering nodig om onderscheid te maken tussen verschillende
gevallen die zich voor kunnen doen.
Dat geldt bijvoorbeeld wanneer 2 getallen x en y met elkaar vergelijken worden.
De WET VAN DE TRICHOTOMIE zegt dan dat geldt: x < y OF x = y OF x > y.
Bewijs uit het ongerijmde
Veronderstel dat de propositie in de stelling die je wilt bewijzen niet waar is en toon aan dat
deze aanname tot een tegenspraak leidt. Kennelijk was de propositie dus wel juist.
Bewijzen van een bi-implicatie
Hierbij zijn 2 mogelijkheden:
1. Bewijzen via een reeks van bi-implicaties. Vanwege de transitiviteit van de
bi-implicatie volgt P  R1  R2  R3  ...  Rn  Q .
2.
Door het afzonderlijk bewijzen van 2 implicaties P  Q en Q  P .
Versie 3
Blz. 31 van 41
Uittreksel Algebra A
Bewijs van identiteiten
Uitdrukkingen kunnen soms op elkaar lijken, maar een volstrekt verschillende betekenis
hebben. Voorbeelden:
1. sin2x = 2 sinxcosx. Dit is een algemeen geldende IDENTITEIT en vraagt om een bewijs.
2. sin2x = cosx.
Dit is een VERGELIJKING en kan 1 of meer (mogelijk zelfs een
oneindig aantal) oplossingen hebben.
Bewijzen van identiteiten hebben altijd dezelfde structuur. Bijvoorbeeld:
f(x) = … = … = … = g(x)
OF
g(x)= … = … = … = f(x).
TIP: over het algemeen is het handig om te beginnen aan de kant waar de
ingewikkeldste uitdrukking staat.
NB: in het bewijs van een identiteit komen alleen =-tekens voor, geen (bi)-implicaties!
Het is van belang dat een wiskundige (en een leek) iedere stap kan volgen.
Met andere woorden: het verband moet duidelijk zijn tussen ieder linker- en rechterlid.
Gelijkheid van verzamelingen en getallen
Om te bewijzen dat twee reële getallen x en y gelijk zijn, kunnen we gebruik maken van
de anti-symmetrie van de relatie  . Immers, als x  y en y  x, dan is x = y.
Dit is vergelijkbaar met stelling 2.2, waar in feite de anti-symmetrie van de inclusie wordt
bewezen: Als A  B en B  A, dan A = B.
Een ander voorbeeld betreft de relatie | (is deler van). Bedenk dat deze relatie
anti-symmetrisch is van R+ naar R+. Als x en y beide positief en x | y en y | x, dan x = y.
Existentie- en eenduidigheidsstellingen
Voorbeelden hiervan zijn stelling 4.3, lid 1 en 2. De structuur van deze stellingen is:
"Als …, dan bestaan er eenduidig bepaalde getallen … waarvoor geldt …"
Deze stellingen zijn te bewijzen vanuit de contrapositie. Stel dat er toch twee
verschillende oplossingen bestaan die aan de voorwaarden voldoen.
Uitwerking levert op dat deze twee verschillende oplossingen gelijk aan elkaar moeten
zijn, dus: tegenspraak.
Let op: soms levert een stelling alleen een bewijs voor de eenduidigheid van een
oplossing (bv. stellingen 4.1 en 4.2), niet voor het bestaan (existentie) ervan.
Andere stellingen leveren zowel een bewijs voor de eenduidigheid als de existentie (bv.
stelling 4.3 lid 1 en 2).
Existentie versus constructief bewijs
Stelling 4.8 geeft aan dat a  Zm een multiplicatieve inverse heeft  D(a,m)=1.
Hiermee is zowel de existentie van deze multiplicatieve inverse aangetoond, als de
wijze waarop deze m.i. te bepalen is. Dit is een voorbeeld van een constructief bewijs.
Het pigeonhole-principe is een voorbeeld van een existentiebewijs: het geeft alleen aan
dat er een stelling waar moet zijn, maar geeft geen recept om dit met concrete
voorbeelden te onderbouwen.
Versie 3
Blz. 32 van 41
Uittreksel Algebra A
Bewijzen van ongelijkheid
Soms is handig gebruik te maken van afspraken en wetmatigheden die in de wiskunde
gelden. Bijvoorbeeld dat in de reële getallenwereld de uitkomst van een wortel of een
kwadraat nooit negatief is.
Voorbeeld hiervan is stelling 6.8: als x,y  R+ dan is het rekenkundig gemiddelde niet
kleiner dan het meetkundig gemiddelde. Dus
x y
 xy .
2
Bewijs door substitutie
Door substitutie toe te passen in een eerder bewezen stelling, kunnen we een afgeleide
stelling bewijzen. Voorbeelden hiervan zijn:
 Stelling 6.9: |x - y|  |x| + |y|. Te bewijzen door substitutie van y = -y in de bewezen
driehoeksongelijkheid |x + y|  |x| + |y|.
 Stellingen in de goniometrie, zoals sin2x= 2sinxcosx door substitutie van y=x in
sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx.
Versie 3
Blz. 33 van 41
Uittreksel Algebra A
Algebra op de TI-89
Hoewel de TI-89 op het tentamen niet gebruikt mag worden, toch enkele tips hoe je dit
rekenwonder bij deze module kunt gebruiken.
Logische functies:
NOT, AND, OR, XOR
te vinden via MATH, TEST.
De volgende vetgedrukte functies zijn te vinden onder "Catalog":
Bepalen of een getal een priemgetal is met IsPrime(getal).
Grootst Gemene Deler (GGD) bepalen met gcd(getal1, getal2).
Grootste integer waarde bepalen kleiner of gelijk aan een reëel of complex getal met
int(getal) of floor(getal).
Modulus van een getal uitrekenen mod(a, m) met getal a en modulus m.
Geraadpleegde bronnen




Discrete wiskunde in de informatica, R. Vader, Academic Service, ISBN
9062338267, hoofdstukken 1 t/m 5 en 12.
Nieuwe Wiskunde I - Taal en logica, E.J. Wijdeveld, Wolters-Noordhoff.
Nieuwe Wiskunde II - Structuren, E.J. Wijdeveld, Wolters-Noordhoff.
www.lovowis.net
Versie 3
Blz. 34 van 41
Uittreksel Algebra A
Samenvatting definities en stellingen
Hoofdstuk 1: Logica
( P  Q)  ( P  Q)  (Q  P)
( P  Q)  (P  Q)
( P  P)  P
( P  P)  P
(P)  P
( P  ( P  Q))  P
( P  ( P  Q))  P
( PQ)  ((P  Q)  ( P  Q))
( PQ)  (( P  Q)  ( P  Q))
(( P  Q)  (Q  R))  ( P  R)
(P  Q)  P
( P  Q)  P  Q
( P  Q)  P  Q
( P  Q)  (Q  P)
Versie 3
Definitie 1.5
Stelling 1.1
Idempotentie van de conjunctie
Idempotentie van de disjunctie
Wet van de dubbele ontkenning
Absorptiewet
Absorptiewet
Transitiviteit van de implicatie
Let op! Alleen implicatietekens!
Simplificatie
De Morgan
De Morgan
Contrapositie
Blz. 35 van 41
Uittreksel Algebra A
Hoofdstuk 2: Verzamelingen
Lege verzameling  is een verzameling met nul elementen.
Een singleton is een verzameling met precies één element.
Twee verzamelingen A en B heten gelijk als
voor alle x geldt dat x  A  x  B (bi-implicatie).
Een verzameling A heet een deelverzameling van een verzameling B als
voor alle x geldt: x  A  x  B . Notatie: A  B (implicatie).
Iedere verzameling is deelverzameling van zichzelf.
( A  B)  ( B  A)  A  B (definitie bi-implicatie).
Een lege verzameling is deelverzameling van iedere verzameling.
Er bestaat maar één lege verzameling.
Een verzameling A met n elementen heeft 2n deelverzamelingen.
De verzameling van alle deelverzamelingen van A heet de
machtsverzameling van A. Er geldt dat P( A)  { X | X  A} .
De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle
elementen x waarvoor geldt: x  A  x  B . Notatie: A  B (conjunctie).
De vereniging van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle
elementen x waarvoor geldt: x  A  x  B . Notatie: A  B (disjunctie).
( A  B)  A  ( A  B)  ( A  B)  ( A  B)
Definitie 2.1
Definitie 2.2
Definitie 2.3
Definitie 2.4
Stelling 2.1
Stelling 2.2
Stelling 2.3
Stelling 2.4
Stelling 2.5
Definitie 2.4B
Definitie 2.5
Definitie 2.6
Transitiviteit
van de inclusie
Definitie 2.7
Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle
elementen x waarvoor geldt: x  A  x  B . Notatie: A \ B .
(ontkenning implicatie).
( P  Q)  ( P  Q)
Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen A en B is de
verzameling van alle elementen x waarvoor geldt: x  Ax  B .
Notatie: AB (exclusief-of).
Het complement van verzameling A is de verzameling van alle elementen
x waarvoor geldt: ( x  A) .
Notatie: AC (negatie).
De doorsnede, vereniging en symmetrisch verschil zijn commutatief.
De doorsnede, vereniging en symmetrisch verschil zijn associatief.
De doorsnede is distributief over de vereniging.
De vereniging is distributief over de doorsnede.
De doorsnede is distributief over het symmetrisch verschil.
Het symmetrisch verschil is distributief over de doorsnede.
Voor twee verzamelingen A en B geldt (De Morgan bij verzamelingen):
( A  B)C  AC  BC en ( A  B)C  AC  BC
Twee eindige verzamelingen zijn gelijkmachtig als ze evenveel elementen
bevatten.
Voor 2 eindige verzamelingen A en B geldt dat
#( A  B)  # A  # B  #( A  B) .
Voor 3 eindige verzamelingen A, B en C geldt dat
NOT Stelling
1.1 Zie blz. 36.
Definitie 2.8
Definitie 2.9
Stelling 2.6
Stelling 2.7
Stelling 2.8
Stelling 2.9
Definitie 2.10
Stelling 2.10
#( A  B  C )  # A  # B  # C
 #( A  B)  #( A  C )  #( B  C )  #( A  B  C )
Versie 3
Blz. 36 van 41
Uittreksel Algebra A
Hoofdstuk 3: Relaties en functies
Een relatie R van een verzameling X naar een verzameling Y is een
verzameling van geordende paren ( x , y ) met x  X en y  Y .
Het cartesisch product van twee verzamelingen X en Y is de verzameling
van alle geordende paren ( x , y ) met x  X en y  Y .
Als R een relatie is van X naar Y, dan noemen we de verzameling van
elementen uit X die als eerste element in de geordende paren van R
voorkomen het domein van de relatie R en de verzameling van elementen
uit Y die als tweede element in de geordende paren van R voorkomen het
bereik van de relatie R.
Laat V een niet-lege verzameling zijn en I een indexverzameling met
Ai  V voor alle i  I . Dan heet { Ai | i  I } een partitie van V als:
Definitie 3.1
Definitie 3.2
Definitie 3.3
Definitie 3.4
1. Voor alle i  I geldt: Ai   .
2. Voor alle i  I en j  I met i  j geldt: Ai  Aj   .
3.  Ai  V .
iI
Een relatie R heet reflexief als voor alle a V geldt: aRa.
Een relatie R heet symmetrisch als voor alle a, b V geldt: aRb  bRa.
Een relatie R heet transitief als voor alle a, b, c  V geldt: (aRb  bRc) 
aRc.
Een relatie R in een verzameling V heet een equivalentierelatie als R
reflexief, symmetrisch en transitief is.
Als R een equivalentierelatie in een verzameling V is en x en y zijn
elementen uit V en er geldt x R y , zeggen we dat x en y equivalent zijn.
Als R een equivalentierelatie is en a  V, is de equivalentieklasse van a de
verzameling van alle elementen die equivalent zijn met a.
Als R een equivalentierelatie is in een verzameling V, vormen de
equivalentieklassen R een partitie van V.
Een relatie R heet anti-symmetrisch als voor alle a, b V geldt:
(aRb  bRa)  a = b.
Een relatie R in een verzameling V heet een orderelatie
als R reflexief, anti-symmetrisch en transitief is.
Een functie of afbeelding F van een verzameling X naar een verzameling Y
is een verzameling van geordende paren ( x , y ) met x  X en y  Y zodat
elk element uit X in precies één geordend paar voorkomt.
Als F een functie is van X naar Y en F( a ) = b , zeggen we dat b het
beeld is van a onder de functie F en dat a een origineel is van b .
Laat F een functie zijn van X naar Y en A  X en B  Y.
Het beeld van A onder de functie F is:
F(A) = {F( a )| a  A} = { b  Y |  (F( a ) = b )}.
Definitie 3.5
Definitie 3.6
Definitie 3.7
Definitie 3.8
Definitie 3.9
Definitie 3.10
Stelling 3.1
Definitie 3.11
Definitie 3.12
Definitie 3.13
Definitie 3.14
Definitie 3.15
a A
Het volledig origineel van B onder functie F is: F-1(B) = { x  X | F( x )  B}.
Als F een functie is van X naar Y en voor alle a  X en b  X geldt dat
F( a ) = F( b )  a = b , heet F injectief.
Een functie F van X naar Y heet surjectief als F(X)= Y.
Een functie die én injectief én surjectief is, heet bijectief.
Als F: X  Y een bijectie is, verstaan we onder de inverse functie van F de
functie F-1: Y  X met F-1 = {( y, x)  Y x X | F ( x)  y} .
Onder de identieke functie op X verstaan we de functie F met F( x )= x
voor alle x  X.
Versie 3
Definitie 3.16
Definitie 3.17
Definitie 3.18
Definitie 3.19
Definitie 3.20
Blz. 37 van 41
Uittreksel Algebra A
Hoofdstuk 4: Binaire operaties
Een binaire operatie of binaire bewerking op een verzameling V is een
functie van de verzameling VxV naar een verzameling W.
Als V = W spreken we van een binaire operatie in V. We zeggen in dat
geval dat de verzameling V gesloten is voor de binaire operatie.
Gegeven is een binaire operatie  op een verzameling V. Deze operatie
heet commutatief als a  b = b  a voor alle a, b  V.
Gegeven is een binaire operatie  op een verzameling V. Deze operatie
heet associatief als a  (b  c) = (a  b)  c voor alle a, b  V.
Gegeven is een binaire operaties  en  op een verzameling V.
De operatie  heet linksdistributief over  als a  (b  c) = (a  b)  (a  c)
voor alle a, b, c  V.
De operatie  heet rechtsdistributief over  als (a  b)  c = (a  c)  (b 
c) voor alle a, b, c  V.
De operatie  heet distributief over  als  links- en rechtsdistributief is
over .
Laat  een binaire operatie in een verzameling V zijn.
We noemen e het neutraal element in V voor de operatie  als
e  x = x  e = x voor alle x  V.
Als  een binaire operatie is in de verzameling V, bestaat er hoogstens
één neutraal element in V voor .
Laat  een binaire operatie in V zijn en x , y  V. We noemen y een
inverse van x voor de operatie  als x  y = y  x = e, waarbij e het
neutraal element in V is voor de operatie .
Laat  een binaire operatie zijn in V, die associatief is en laat e het
neutrale element in V zijn voor de operatie . Dan bezit elke x  V
hoogstens één inverse.
We noemen b  Z een deler van a  Z als er een c  Z bestaat zodat
a = bc. Notatie b|a. We noemen in dit geval a een veelvoud van b.
Laat a,b  Z. Dan heet b een echte deler van a als b|a, b  1, b  a, b>0.
Een geheel getal groter dan 1 en zonder echte delers is een priemgetal.
Een grootste gemene deler (GGD) van twee gehele getallen a en b
(niet beide nul) is een positief geheel getal d zodanig, dat d|a en d|b en
als c  Z en c|a en c|b dan is c  d.
We noteren de GGD van a en b met D(a,b).
Twee gehele getallen a en b heten onderling priem als D(a,b)=1.
1. Als a en b gehele getallen zijn met b  0, bestaan er eenduidig
bepaalde gehele getallen q en r, zodanig dat a = qb + r met 0  r<|b|
(delingsalgoritme).
2. Elk paar gehele getallen a en b, niet beide nul, bezit een eenduidig
bepaalde grootste gemene deler D(a,b) die te schrijven is als D(a,b) =
x a + y b voor zekere x , y  Z.
3. Laat a,b  Z. Voor alle x  Z geldt nu D(a+ x b,b) = D(a,b).
4. Als a,b,c  Z en a en b zijn niet beide nul, geldt: a x +b y =c is
oplosbaar in ZxZ  D(a,b)|c.
5. Stel p is een priemgetal en a,b  Z. Als p|ab, is p|a of p|b.
Versie 3
Definitie 4.1
Definitie 4.2
Definitie 4.3
Definitie 4.4
Definitie 4.5
Stelling 4.1
Definitie 4.6
Stelling 4.2
Definitie 4.7
Definitie 4.8
Definitie 4.9
Definitie 4.10
Definitie 4.11
Stelling 4.3
Blz. 38 van 41
Uittreksel Algebra A
OFWEL:
Als a,b  Z en m  Z+, dan zijn a en b congruent modulo m als m|(a-b) en
we schrijven dan a  b (mod m).
Hieruit volgt: Twee gehele getallen a en b zijn congruent modulo m met
m  Z+  a en b laten na deling door m dezelfde rest over.
OFWEL OMGEKEERD:
Als a,b  Z en m  Z+, dan zijn a en b congruent modulo m als a en b na
deling door m dezelfde rest overlaten en we schrijven a  b (mod m).
Hieruit volgt: Twee gehele getallen a en b zijn congruent modulo m met
m  Z+  m|(a-b).
Voor elk positief geheel getal m is de relatie congruent modulo m een
equivalentierelatie in Z.
Definitie 4.12A
Stelling 4.4A
Definitie 4.12B
Stelling 4.4B
Stelling 4.5
Onder een restklasse a modulo m (a  Z) verstaan we de verzameling van Definitie 4.13
gehele getallen b die congruent modulo m zijn met a, dus a = {b  Z | a  b
(mod m)}.
Op de verzameling Zm van restklassen modulo m definiëren we een
optelling en een vermenigvuldiging door
Definitie 4.14
a m b  a  b
a m b  a  b voor alle a,b  Z.
In Zm met m>1 gelden de volgende eigenschappen voor  m en m
Stelling 4.6
1. Zm is gesloten voor  m en m
2.  m en m zijn associatief
3. 0 is het neutraal element voor  m
4. 1 is het neutraal element voor m
5. elk element in Zm bezit een inverse voor  m
6.  m en m zijn commutatief
7. m is links- en rechtsdistributief over  m .
Laat + en  een optelling en vermenigvuldiging in V zijn en e+ is het
neutraal element voor de optelling. Dan heten a,b  V nuldelers van V als
a  e+ en b  e+ en tevens ab = e+.
De verzameling Zm (m>1) bezit geen nuldelers  m is een priemgetal.
Een element a  Zm (m>1) heeft een multiplicatieve inverse  D(a,m) = 1.
Onder een permutatie van een eindige verzameling A verstaan we een
bijectieve afbeelding van A op zichzelf.
Sn is de verzameling van alle permutaties van de verzameling A =
{1,2,3,…,n}, n  N
Een permutatie  Sn heet een cykel van lengte k (k  n) als er
k verschillende getallen i1, i2,, i3 , …., in in de verzameling {1,2,3,…,n}
bestaan zodat
 (i1 )  i2 ,  (i2 )  i3 , …,  (ik 1 )  ik ,  (ik )  i1 en
 (x)=x als x  i1, x  i2,… x  ik.
We schrijven dan  =( i1, i2,, i3 , …., ik).
Twee cykels  en  heten disjunct als ze geen gemeenschappelijke
getallen bevatten.
Een cykel van lengte 2 heet een verwisseling of transpositie.
Versie 3
Definitie 4.15
Stelling 4.7
Stelling 4.8
Definitie 4.16
Definitie 4.17
Definitie 4.18
Definitie 4.19
Blz. 39 van 41
Uittreksel Algebra A
Hoofdstuk 5: Groepen
Als G een niet-lege verzameling is en  een binaire operatie in G, heet
(G, ) een groep als aan de volgende voorwaarden is voldaan:
G1.
Voor alle a,b  G geldt: a  b  G.
G2.
Voor alle a,b,c  G geldt: (a  b)  c = a  (b  c).
G3.
Er bestaat een e  G zodanig dat voor alle a  G geldt: ae=ea= a.
G4
Bij elke a  G bestaat er een b  G zodanig dat a  b = b  a = e.
Een groep (G, ) heet commutatief of abels als voor alle a,b  G geldt:
a  b = b  a.
Een groep heet eindig als hij uit een eindig aantal elementen bestaat.
Het aantal elementen van een groep noemen we de orde van een groep.
Notatie o(G). Een oneindige groep heeft orde oneindig.
Laat (G, ) en (H, ) twee groepen zijn. We noemen deze groepen
isomorf als er een bijectieve functie F van G naar H bestaat zodanig dat
voor alle a,b  G geldt: F(a  b) = F(a)  F(b).
De afbeelding F noemen we een groepsisomorfisme.
Een groep heeft precies één neutraal element.
In een groep heeft elk element precies één inverse.
In een groep (G, ) geldt de schrapwet, dat wil zeggen: als a,b,x  G, geldt:
a. a  x = b  x  a = b
b. x  a = x  b  a = b
Als G een groep is en a,b  G, zijn de lineaire vergelijkingen a  x = b en
x  a = b eenduidig oplosbaar in G.
Laat G een groep zijn en a,b  G. Laat verder a' de inverse zijn van a en
b' de inverse van b. Dan is de inverse van a  b gelijk aan b'  a'.
De verzameling Sn met als binaire operatie de samenstelling van
afbeeldingen is een groep: (Sn, ).
Zij (G, ) een groep. Dan heet (H, ) een ondergroep van (G, ) als H  G
en H met betrekking tot de binaire operatie  een groep is.
Laat (H, ) een ondergroep van de groep (G,) zijn en e neutraal element
van (G,), dan geldt:
1. e is het neutraal element in (H,)
2. als h  H, is de inverse h-1 in (G,) ook inverse van h in (H,).
Als (H, ) een ondergroep van de groep (G,) en (K,) een ondergroep
van (H,), dan is (K,) een ondergroep van (G,).
Zij (G,) een groep en H  G met H   .
Dan geldt dat (H,) een ondergroep is van (G,) 
voor elk paar elementen a,b  H geldt dat ab-1  H.
Als (H,) en (K,) ondergroepen zijn van (G,), is ook (H  K,) een
ondergroep van (G,).
Laat (G,) een groep zijn, e het neutraal element van de groep en a  G.
Verder is n  N. Dan definiëren we:
1. 0a = e
2. (n+1)a = na  a
3. a0 = e
4. an+1 = an  a.
Laat (G,) een groep zijn, a  N,G en a' de inverse van a. Verder is n  N.
Dan definiëren we:
1. (-n)a = na'
2. a-n = (a')n
Versie 3
Definitie 5.1
Definitie 5.2
Definitie 5.3
Definitie 5.4
Definitie 5.5
Stelling 5.1
Stelling 5.2
Stelling 5.3
Stelling 5.4
Stelling 5.5
Stelling 5.6
Definitie 5.6
Stelling 5.7
Stelling 5.8
Stelling 5.9
(ondergroepcriterium)
Stelling 5.10
Definitie 5.7
Definitie 5.8
Blz. 40 van 41
Uittreksel Algebra A
Hoofdstuk 6: Bewijzen
Laat P(n) een propositiefunctie zijn met n  N.
Als nu geldt P(0) is waar EN voor alle k  N geldt P(k)  P(k+1)
dan is P(n) waar voor alle n  N.
Te bewijzen met volledige inductie:
Voor alle n  N geldt:
n
i 
i 0
n2
n( n  1)
2
2 n 1
3
is deelbaar door 7 voor alle n  N.
Elk geheeltallig geldbedrag groter dan 7 roebel kan worden betaald met
munten van 3 en 5 roebel.
Te bewijzen met de contrapositie:
Voor elke n  Z geldt: n2 is even  n is even.
Te bewijzen met contrapositie en gevalsonderscheiding:
De verzameling A = {3k-1 | k  Z+} = {2,5,8,11,…} bevat geen kwadraten.
Te bewijzen met bewijs uit het ongerijmde:
2
2 Q
x y
 xy .
2
Te bewijzen door substitutie:
|x - y|  |x| + |y| voor alle x,y  R
Versie 3
Stelling 6.2
Stelling 6.3
Stelling 6.4
Stelling 6.5
Stelling 6.6
Stelling 6.7
Te bewijzen met bewijzen van ongelijkheid:
Als x,y  R+ dan is het rekenkundig gemiddelde niet kleiner dan het
meetkundig gemiddelde. Dus
Stelling 6.1
(volledige
inductie)
Stelling 6.8
Stelling 6.9
Blz. 41 van 41