Speltheorie - CWI Amsterdam

Speltheorie
Krzysztof Apt
CWI & Universiteit van Amsterdam
Speltheorie – p.1/13
Basis Classificatie van Spellen
I Spellen met alternerende zetten (schaken, dammen, . . . ).
I Strategische spellen.
I Cooperatieve spellen.
Speltheorie – p.2/13
Strategisch Spel: Voorbeelden
K
S
A
B
A
2, 2
0, 1
B
1, 0
0, 0
B
C
B
2, 1
0, 0
C
0, 0
1, 2
K
−1, 1
1, −1
S
1, −1
−1, 1
Speltheorie – p.3/13
Nash Evenwicht
Neem een spel met willekeurige strategieën voor spelers 1 en 2.
I Strategie A van speler 1 is een beste respons op een
strategie B van speler 2 als het tenminste evenveel oplevert
als elke andere strategie.
I Combinatie (A, B) van strategieën van spelers 1 en 2 is een
Nash evenwicht als
A is een beste respons op B en
B is een beste respons op A.
I Intuïtie: geen speler heeft spijt van zijn keuze.
I Aanname: elke speler wil zijn winst maximaliseren.
Speltheorie – p.4/13
Terug naar Onze Voorbeelden
A
B
1 Nash evenwicht: (A, A)
A
2, 2
0, 1
B
1, 0
0, 0
B
C
B 2, 1 0, 0
C 0, 0 1, 2
2 Nash evenwichten: (B , B ) en (C , C )
K
S
Geen Nash evenwicht. :-(
K
−1, 1
1, −1
S
1, −1
−1, 1
Speltheorie – p.5/13
Prisoner’s dilemma
A
B
A
3, 3
4, 0
B
0, 4
1, 1
1 Nash evenwicht: (B , B ) . . .
Waarom een dilemma?
(A, A) is beter voor de spelers dan (B , B ) maar zij zullen het niet
spelen.
Speltheorie – p.6/13
Gemengde strategieën: Voorbeeld
2/3
1/3
1/3
2/9
1/9
2/3
4/9
2/9
Deze kansverdelingen leveren een strategie per speler.
Voorbeeld: Neem deze kansverdelingen en het spel
B
C
B 2, 1 0, 0
C 0, 0 1, 2
Dan:
– krijgt speler 1 2/9 × 2 + 4/9 × 0 + 1/9 × 0 + 2/9 × 1 = 2/3,
– krijgt speler 2 2/9 × 1 + 4/9 × 0 + 1/9 × 0 + 2/9 × 2 = 2/3.
Speltheorie – p.7/13
sh Evenwicht in Gemengde Strategieën
I Het begrip ‘Nash evenwicht’ kan ook gedefinieerd worden
voor de gemengde strategieën.
I Het paar van de gemengde strategieën ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3))
I
I
blijkt de derde Nash evenwicht in ons voorbeeld.
Nash’s Stelling: Elk strategisch spel voor n spelers heeft een
Nash evenwicht in de gemengde strategieën.
Het bewijs maakt gebruikt van:
Brouwer’s Stelling: Elke functie f : A → A van een niet lege,
compacte en convexe verzameling A ⊆ Rn naar zichzelf
heeft een dekpunt (x z.d.d. f (x) = x).
Speltheorie – p.8/13
Voorbeeld 1
K
S
K
−1, 1
1, −1
S
1, −1
−1, 1
Wat is de Nash evenwicht hier?
Speltheorie – p.9/13
Antwoord
K
S
K
−1, 1
1, −1
S
1, −1
−1, 1
((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)) is de enige Nash evenwicht.
Elke speler krijgt dan 0.
Speltheorie – p.10/13
Voorbeeld 2
Probleem van twee bakkers.
Waar plaats ik mijn bakkerij?
Bijvoorbeeld:
8
3
Dan:
bakker1 (3, 8) = 5,
bakker2 (3, 8) = 6.
Wat is de Nash evenwicht hier?
Speltheorie – p.11/13
Antwoord
6
Dan:
bakker1 (6, 6) = 5.5,
bakker2 (6, 6) = 5.5,
. . . en geen bakker heeft spijt van zijn keuze.
Speltheorie – p.12/13
Beste Respons Dynamiek
I Kies een ‘begin situatie’: elke speler kiest een strategie.
I Een ‘ontevreden’ speler mag een andere keuze maken via
de beste respons.
I Herhaal deze procedure.
I Als het eindigt dan bereiken wij een Nash evenwicht.
I Voor sommige spellen werkt het.
Voorbeeld 1: 0-1 spellen met beste responsen op de gemengde
strategieën.
Voorbeeld 2: ‘Congestion games’.
2/3/5
2/3/6
1/2/8
B
4/6/7
E
1/5/6
Speltheorie – p.13/13