Vloeibaar-kristal schermen

Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
• De cholesterische fase:
– Net als nematisch, in de richting
loodrecht de molekulaire as
ontstaat een schroef.
• De smectische fase:
– Lange afstand orde in de molekulaire oriëntatie (gelaagde structuur).
• De nematische fase:
– Lange afstand orde in de molekulaire oriëntatie (geen orde in
positie).
Verschillende fasen
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
{Een vloeibaar kristal scherm
{Vloeibaar-kristal cellen
{Een vloeibaar kristal in een aangelegd elektrisch veld.
{Optische eigenschappen van vloeibare kristallen.
{Wat zijn de bouwstenen?
{Wat is een vloeibaar kristal?
Vloeibaar-kristal schermen
3
1
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
De cholesterische fase
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
• Een materiaal dat zich in een toestand tussen vast en
vloeibaar bevindt.
– Het materiaal is min of meer vloeibaar (hoge
viscositeit).
– Het materiaal is min of meer geordend.
– Bij afkoelen van een vloeibaar kristal ontstaat een
normaal vast kristallijn materiaal.
– Bij opwarmen ontstaat een normale isotrope vloeibare
fase.
– Hun eigenschappen (mechanisch, optisch) zijn zeer
anisotroop.
– Ze zijn opgebouwd uit staafvormige molekulen.
Wat is een vloeibaar kristal?
4
2
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
5CB (@ λ=515 nm): ne=1.736; no=1.544
– Dubbele breking is aanzienlijk:
– Voor een vloeibaar-kristal scherm is de dubbele
breking essentieel ⇒ Elke cel moet een éénkristal
bevatten.
– De gemiddelde richting van de molekulaire lange as
(de “director”) legt de optische as van het materiaal
vast.
– De brekingsindex hangt af van de voortplantingsrichting door het vloeibare kristal en van de
polarisatierichting van het invallende licht (denk aan
kristallijn kwarts en kalkspaat!).
• Nematische en smectische vloeibare
kristallen zijn dubbelbrekend.
7
Optische as
Director
Temperatuurgebied waarin 5
nematisch
Optische eigenschappen
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
Molekulen voor vloeibare kristallen
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
Om verder te komen moeten we eerst
een uistapje naar de elektrostatica
maken!
ε ≠ ε⊥
z
• Door middel van een elektrisch veld kan je de
richting van de director veranderen.
E θ
• Oorzaak: anisotropie van de diëlektrische coëfficiënt.
In een elektrisch veld
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
Isobare faselijn
P-ethoxybenzoic acid
Fase overgangen
8
n
6
x
y
E
ε xy ε xz   Ex 

ε yy ε yz   E y 
ε zy ε zz   Ez 
x
D
E
y
n
 ε ⊥ cos 2 θ + ε sin 2 θ

0
=
 ε − ε sin θ cos θ
(
)
 ⊥
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
ε eff
0
ε⊥
0
0
ε⊥
0
⊥
11
− ε ) sin θ cos θ 

0

2
2
ε ⊥ sin θ + ε cos θ 

(ε
9
0 sin θ   0 
 
1
0  0 
0 cos θ   E 
Draaiing van de
E-vector naar de
director.
0   cos θ

0  0
ε   − sin θ
Diëlektrische
coëfficiënt op
hoofdassen.
0 − sin θ   ε ⊥

1
0  0
0 cos θ   0
Terugdraaiing
naar de richting
van de E-vector.
 Dx   cos θ
D =  Dy  =  0
 D   sin θ
 z 
Effektieve
diëlektrische
tensor
θ
z
Nematisch vloeibaar kristal in extern veld 1
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
 Dx   ε xx
  
 Dy  =  ε yx
 D  ε
 z   zx
D =εE
• In het elektromagnetisme wordt naast het
elektrische veld E een diëlektrische verplaatsing D
ingevoerd. In isotrope materialen is de
D = εE
diëlektrische permittiviteit ε een constante.
• In anisotrope materialen (zoals nematische en
smectische vloeibaar kristallen is de
diëlektrische permittiviteit een tensor; E en D
zijn niet langer evenwijdig! Men schrijft dan:
z
Diëlektrische verplaatsing
y
θ
n
 ( ε ⊥ − ε ) sin θ cos θ 


0
E
 ε ⊥ sin 2 θ + ε cos 2 θ 


D=
0
0

0
ε 3 
ε LC
ε⊥

= 0
0

0
ε⊥
0
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
Liquid Crystal
A
Condensator
d
1d
Q2
2
2 A ( ε cos θ + ε ⊥ sin 2 θ )
A Dz A
=
d Ez d
Energie U =
Capaciteit C = ε eff
1 Q2
Energie U =
2 C
12
z
10
0

0
ε 
diëlektrische tensor
op hoofassen
0

 ε1 0
ε =  0 ε 2
Reoriëntatie van nematisch vloeibaar kristal
in extern veld
x
E
z
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
• Je kan de diëlektrische tensor
diagonaliseren door over te gaan op een
gedraaid coördinatenstelsel. De nieuwe
coördinaat-assen heten de hoofdassen.
• Als je het elektrische veld langs een van
de hoofdassen aanlegt staat de
diëlektrische verplaatsing in dezelfde
richting.
• Voor een materiaal met één symmetrieas (zoals een nematisch of smectisch
vloeibaar kristal) geldt:
Anisotrope materialen
Q2
1d
2
2 A ( ε cos θ + ε ⊥ sin 2 θ )
•
parallel
Soort cel:
“splay”
parallel
“bend”
parallel
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
Door de oplijning van de molekulen in een LC-cel heeft zo een cel
zeer anisotrope optsiche eigenschappen!
Dit is het soort cel waar we verder naar zullen kijken
antiparallel
Wrijfrichting:
In een LC scherm zit het vloeibare kristal ingeklemd tussen twee
gewreven wanden!
Cellen met gewreven wanden
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
to Electrodynamics, 4.4.4).
Dat levert tegenovergestelde voorwaarden op voor minimale
potentiële energie. Je bent nu op een dwaalspoor (zie Griffiths, Introduction
Energie U =
1A
(ε cos2 θ + ε ⊥ sin 2 θ )V 2
2d
Minimaal bij θ=π/2 als ε − ε ⊥ < 0
Minimaal bij θ=0 als ε − ε ⊥ > 0
Energie U =
Door zich te reoriënteren gaat de potentiële energie omlaag.
Je kan ook schrijven:
•
Nematisch vloeibaar kristal in extern veld
15
13
•
Door mechanisch wrijven van een op
het substraat aangebrachte polymeerlaag ontstaat parallele homogene
oplijning: zo ontstaat een éénkristal
Parallele homogene oplijning
Licht
We moeten zorgvuldig kijken naar
de polarisatierichting van het licht
op elke plek in de cel.
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
5 µm
Een complete LC-cel is een complex optisch element.
Een vloeibaar-kristal cel
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
Homeotrope oplijning
Om een vloeibaar-kristal cel goed te laten werken moet het
materiaal een éénkristal vormen. Eénkristallen worden gevormd
door de wanden van de cel te prepareren. Het fysisch mechanisme
achter dit proces wordt nog altijd niet volledig begrepen.
Nematische éénkristallen
16
14
Ey
x
– Faseverschil ϕx-ϕy bepaalt het soort gepolariseerd licht:
» ϕx-ϕy=0: Lineair gepolariseerd
» ϕx-ϕy=±π/2: circulair gepolariseerd (als Ex=Ey).
» andere situaties: elliptisch gepolariseerd.
1 0


0 i 
– Kwart-lambda plaatje:
 cos α

 sin α
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
OA

 sin α
− sin α   1 0   cos α


cos α   0 i   − sin α


cos α   0 −1  − sin α
sin α 

cos α 
sin α 

cos α 
Optische As
– Invallend veld gepolariseerd onder hoek α t.o.v.
optische as:
E
α – Half-lambda plaatje:  cos α − sin α   1 0   cos α
– Kwart-lambda plaatje:


 0 −1
• Invallend veld parallel aan optische as gepolariseerd:
1 0 
E
– Half-lambda plaatje:
Andere Jones matrices
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
 cos α eiφ x 
E ( z , t ) = E0 
exp(i (ω t − k z ))
 sin α eiφ y 


Alternatieve beschrijving: de complexe veldcomponenten worden
samen als een twee-dimensionale eenheidsvector geschreven.
α
y E
x
E ( z , t ) = x Ex exp(i (ω t − kz + φ x )) + y E y exp(i (ω t − kz + φ y ))
• Beschrijving van gepolariseerd licht;
Gepolariseerd licht
19
17
 cos α 


 sin α 
1 1 
 
2  ±i 
E
α
0 

e−i Γ 
0   cos α

e − i Γ   − sin α
Polarisator
− sin α   ei Γ

cos α   0
sin α 

cos α 
18
 cos α
M' =
 sin α
− sin α   1 0   cos α


cos α   0 0   − sin α
sin α 

cos α 
20
Invallend veld gepolariseerd onder hoek α t.o.v. transmissie- as:
1 0
M' =

0 0
Invallend licht gepolariseerd parallel aan transmissie-as:
 cos α
M =
 sin α
Invallend veld gepolariseerd onder hoek α t.o.v. optische as:
 ei Γ
M =
 0
Invallend licht gepolariseerd parallel aan optische as:
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
•
•
•
•
1 0 
 
0 0
Willekeurig vertragingsplaatje
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
Jones matrix voor x-polarisator:
Door middel van een matrix (de z.g. Jones matrix).
Hoe beschrijf je een element die de polarisatie toestand verandert?
– Circulair gepolariseerd licht:
– Lineair gepolariseerd licht:
 cos α eiφx 


iφ y 
 sin α e 
Voor de beschrijving van manipulaties van de polarisatie toestand
van het licht gebruiken we enkel de Jones vector:
OA
•
•
Jones-matrix beschrijving
α
x
E
Γ1
β1
Γ2
β2
OA
β3
Γ3
β4
Γ4
OA
Achter de serie wordt de polarisatie van het licht gegeven door:
y
OA
OA
Beschouw een serie polarisatie-veranderende elementen:
– Ieder plaatje een andere vertraging Γi.
– ieder plaatje een ander oriëntatie van de optische as βi.
sin β i 

cos β i 
 e iΓ j
M (Γ j ) = 
 0

0 

− iΓ j 
e 
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
• In een twisted-nematic cel draait de director over 90
graden tussen de elektroden.
• De director staat altijd loodrecht op de
voortplantingsrichting van het licht.
• Deel de cel op in dunne plakjes; elk dun plakje fungeert
als dubbelbrekend element met bepaalde relatieve
vertraging.
• De dubbelbrekende elementen zijn ten opzichte van
elkaar gedraaid.
Twisted Nematic cel 1
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
 cos β i
R( βi ) = 
 − sin β i
23
21
 Ex 
 E cos α 
−1
−1
−1
−1
  = R ( β 4 ) M (Γ 4 ) R ( β 4 )i R ( β 3 ) M (Γ3 ) R ( β 3 )i R ( β 2 ) M (Γ 2 ) R ( β 2 )i R ( β1 ) M (Γ1 ) R ( β1 ) 

E
 E sin α 
 y
•
De kracht van het Jones-matrix formalisme 1
sin β 

0 
β1
β2
λ
2π
(ne − no )d
•Vertraging
•Draaiing
Γ/N
ρ=φ/Ν
φ
β3
β4
TA
22
N
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
= R (−φ ) (W (Γ) R (φ / N ) )
N
N
= R −1 (φ ) (W (Γ) R (φ / N ) )
= R −1 ( N ρ ) (W (Γ) R ( ρ ) )
M = R −1 ( N ρ )W (Γ) R ( ρ )W (Γ) R ( ρ )i iW (Γ) R ( ρ )iW (Γ) R ( ρ )
R( ρ )
24
M = R −1 ( N ρ )W (Γ) R ( N ρ )i R −1 (( N − 1) ρ )W (Γ) R (( N − 1) ρ )i i R −1 (2 ρ )W (Γ) R (2 ρ )i R −1 ( ρ )W (Γ) R ( ρ )
Per dunne plak:
Totale director-draaiing (twist) over celdikte d:
Totale vertraging over celdikte d: Γ =
Twisted nematic cel 2
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
4
Vier
 cos β sin β   cos 4 β sin β cos3 β 

 =
polarisatoren: M =  0
0   0
0

sin β   cos β
E
x
Per polarisator: M =  0 0   − sin β cos β  =  0


 
 1 0   cos β
β 4 − β 3 = β 3 − β 2 = β 2 − β1 = β1
y
( β ) = R( β )
Een serie polarisatoren op een rijtje
−1
R ( β ) R ( β ) = R (2 β )
R ( β ) R −1 ( β ) = 1
R ( 2β ) R
• Er geldt:
De kracht van het Jones-matrix formalisme 2
N
∆n ⋅ d
Γ
2
π
φ
X≈
Γ
2
1
sin X
X
Γ sin X
cos X + i
2 X
φ
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
λ
2π
Bijna altijd geldt:
Γ sin X

 cos X − i 2 X
M = R (−φ ) 
sin X

−φ

X







Γ

 cos 2
M ≈ R ( −φ ) 
 0


2
25

0 

Γ
cos 
2
Γ
met X = φ 2 +  
2
Men kan laten zien dat dit kan worden herschreven als:

φ
Γ 
φ
Γ 


 cos N exp  −i 2 N  sin N exp  −i 2 N  




M = R (−φ ) 

φ
φ
 Γ 
 Γ 
 − sin exp  i
 cos exp  i

N
N
 2N 
 2N  

Twisted Nematic cel 3
26
Niet
verstrooiend
Sterk
verstrooiend
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
Geordend
In polymer-dispersed liquid crystals zitten kleine bolletjes vloeibaar
kristal opgesloten in een matrix van polymeer (zeg maar plastic).
Omdat de director van een bolletje een willekeurige richting uitwijst,
heeft, ten gevolge van de dubbele breking van het materiaal, elk
bolletje effectief een andere brekingsindex. Dit geldt voor elke keuze
van de voortplantingsrichting van het licht. Een materiaal
opgebouwd uit bolletjes die een andere brekingsindex hebben
dan hun omgeving verstrooit het licht heel effectief.
In een uitwendig elektrisch veld lijnen de directors van de bolletjes
op. De brekingsindex van het materiaal wordt homogeen; de
verstrooing verdwijnt.
Ongeordend
•
•
•
Polymer-dispersed liquid crystals