Hoofdstuk 12B - Breuken en functies

er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
Voorkennis
V-1a
2
5
+ 15 =
g
2
7
⋅ 53 =
6
35
b
3
8
+ 1 18 = 1 48 = 1 12 h
2
9
⋅ 83 =
6
72
c
3
8
+ 14 = 83 + 28 = 85 i
5
6
⋅ − 134 = − 20
= − 10
78
39
d
5
12
j
−5
18
e
3 57 − 1 23 =
26
7
− 53 =
k
6
7
f
2 97 + 4 53 =
25
9
+
l
2 12 ⋅ 1 12 = 25 ⋅ 23 =
− 101 =
25
60
−
6
60
=
23
5
19
60
78
21
=
−
125
45
=
43
21
= 2 211 207
45
=
332
45
35
21
+
= 7 17
45
⋅ 103 =
−15
180
c
De lengte van elk stukje wordt dan twee keer zo klein.
Het verband tussen a en L is omgekeerd evenredig.
e
f
d
g
1
1
2
0,5
10
0,1
20
0,05
50
0,02
100
0,01
a ⋅ L = 1 , a = 1 en L = 1
L
a
a = 1000 geeft L = 1 : 1000 = 0,001
L = 0,004 geeft a = 1 : 0,004 = 250
= − 121
18
14
=
9
7
= 1 27
15
4
= 3 43
Ui
tg
Elk stukje wordt 1 : 10 = 0,1 meter.
a
L
1
12
⋅ 1 12 = 67 ⋅ 23 =
V-2a
b
=
ev
3
5
Bij de linkertabel is het product van x en y telkens 24.
In deze tabel zijn x en y dus omgekeerd evenredig.
In de rechtertabel is het product van x en y niet steeds hetzelfde, dus zijn x en y hier
niet omgekeerd evenredig.
Linkertabel: x ⋅ y = 24 of x = 24 of y = 24
y
x
Rechtertabel: Als x twee keer zo groot wordt, wordt y ook twee keer zo groot.
Het verband tussen x en y is recht evenredig, met evenredigheidsconstante 3.
Een formule bij de rechtertabel is y = 3x.
V-4a
x
y
c
d
2
–1
3
–2
3,9
–20
4
-
4,1
20
5
2
10
0,33
Bij x = 4 is de noemer van de breuk gelijk aan 0 en dan bestaat de breuk niet. Je kan
niet delen door 0.
Van de breuk blijft de teller constant, maar de noemer wordt steeds groter.
De uitkomst van de breuk wordt dan steeds kleiner en nadert naar 0.
Als x steeds kleiner wordt, dus bijvoorbeeld x = –100 of x = –1000, nadert de uitkomst
van de breuk ook naar 0.
No
b
©
0
1
–0,5 –0,67
dh
or
b
off
V-3a
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 159
⁄
159
01-04-2009 16:41:04
b
d
e
f
g
c
–1
1,75
0
1,67
1
1,5
2
1
3
-
4
3
5
2,5
6
2,33
Bij x = 3 is er geen functiewaarde.
k(10) ≈ 2,14
k(100) ≈ 2,01
k(1000) ≈ 2,001
De uitkomst van de breuk nadert dan naar 0, dus de functiewaarden naderen dan
naar 2 + 0, dus 2.
Van de breuk blijft de teller constant, maar de noemer nadert dan naar 0. Als je een
constante deelt door een getal dat naar 0 nadert is de uitkomst heel groot.
De functiewaarden worden dan heel groot (of heel klein, bijvoorbeeld –10 000).
De verticale asymptoot is de lijn x = 3.
De horizontale asymptoot is de lijn y = 2.
ev
x
y
20
Ui
tg
V-5a
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
y
15
10
5
–1 O
–5
1
2
3
4
5
6
x
–10
–15
h
off
–20
1 = 2 bereken je de x-coördinaat van het snijpunt van
x−3
de grafiek van k met de lijn y = 2. De lijn y = 2 is de horizontale asymptoot en die lijn
Met de vergelijking 2 +
b
c
d
De verticale asymptoot is de lijn x = –1, dus bij x = –1 is er geen functiewaarde.
De horizontale asymptoot is de lijn y = 1, dus de functiewaarden naderen naar de
waarde 1 voor waarden van x ver van 0.
Omdat er bij x = –1 geen functiewaarde is, is x – a gelijk aan 0 bij x = –1.
–1 – a = 0 geeft a = –1.
x
y
or
V-6a
dh
snijdt de grafiek niet.
–3 –2
1,67 2
–1
3
1
–1
2
0
3
0,33
4
0,5
y
No
20
0
-
15
10
5
–5
–4
–3
–2
–1 O
–5
1
2
3
4
5
x
–10
©
–15
⁄
160
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 160
–20
© Noordhoff Uitgevers bv
01-04-2009 16:41:04
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
12B-1 Rekenen met breuken
b
c
2a
x
0
y
0
2
4
1 72
8
10
6 73
5 71
Per stap van 2 is de toename telkens 1 27 , dus constant. Dus is f een lineaire functie.
f ( x) = 9 x
14
f (1) = 13 + 14 =
f (−6) =
b
f ( x) = 4 x + 3 x
12 12
c
f ( x) = 7 x
12
7 x = 14
12
7 x = 168
−6
3
+
4
12
6
3 76
2 74
−6
4
+ 123 =
7
12
ev
1a
= −3 12
Ui
tg
x = 24
48 ⋅ 13 = 483 = 16 , 48 : 3 = 16 en éénderde deel van 48 is 48 : 3 = 16.
Ze krijgen hetzelfde antwoord.
3a
b
c
4a
b
g ( x) = 43 x + 12 x is gelijk aan g ( x) = 43 x + 24 x dus g ( x) = 1 14 x
c
h( x) = 2 x + x is gelijk aan h( x) = 14 x + 5 x dus h( x) = 19 x
5 7
35 35
35
d
k( x) = 2 + 3 is gelijk aan k( x) = 5
x x
x
5a
b
c
d
1
4
B
1
7
⋅ 12 =
B 8a =
13
8
13
12
7
⋅ x = 2x
9
5
x
5
C
= 8 ⋅x
8
C
2
9
off
⋅ 3 = 43 3p 3
A
= 7⋅p
7
A
⋅a or
dh
f ( x) = x + 3 x is gelijk aan f ( x) = 4 x
5 5
5
©
No
Bij de tweede stap lekt niet 17 deel van 900 liter weg maar 17 deel van wat over is na
de eerste stap.
Na de eerste stap is nog 14
deel over. Nadat eerst 151 deel is weggelekt, lekt daarna
15
1
14
nog 7 deel van 15 weg. In totaal is dat 151 + 17 ⋅ 14
deel.
15
1
1
Eerst lekt 15 ⋅ 900 = 60 liter weg. Daarna lekt 7 ⋅ (900 − 60) = 17 ⋅ 840 = 120 liter weg.
In totaal lekt 60 + 120 = 180 liter weg.
1
+ 17 ⋅ 14
= 151 + 152 = 153 = 15 deel lekt weg.
15
15
Controle: 15 deel van 900 is 900 : 5 = 180 liter.
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 161
⁄
161
01-04-2009 16:41:10
d
b
5⋅ 1 = 5 12 12
e
c
2 ⋅ 5 = 10 x 7 7x
f
7a/b
c
d
e
f
8x = 2 4 x2 x
1 ⋅ 6x = 6x = 2 3x x
3x 2 x
12 x ⋅ 2 = 24 x = x 16 9 144 6
g 3 x ⋅
2 = 6x = 2x
15 15
5
h
2x ⋅ 3 = 6x = 3
5 10 x 2 50 x 2 25 x
i
2 ⋅ 9 x 2 = 18 x 2 = 3
3 x 2 16 x 48 x 3 8 x
Zie de figuur hiernaast.
Carlitos heeft het goed gedaan.
Edwin heeft gewoon de vieren weggelaten.
Irene heeft wel de term 2x door 4 gedeeld,
maar niet de term 4 in de teller door 4 gedeeld.
f ( x) = 12 x + 1
y
6
5
g ( x) = 6 − 8 x is gelijk aan g ( x) = 14 (6 − 8 x)
4
en dus g ( x) = 1 12 − 2 x
Edwin
4
Irene
3
2
f
Carlitos
1
Ui
tg
6a
ev
1⋅1 = 1 4 3 12
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
–4 –3 –2 –1 O
–1
1
2
3
4
5
x
–2
off
–3
h( x) = −10 x + 15 is gelijk aan
−4
h( x) = − 14 (−10 x + 15) en dus h( x) = 2 12 x − 3 43
12(2 x + 3)
k ( x) =
is gelijk aan k( x) = 126 (2 x + 3) ofwel k( x) = 2(2 x + 3)
6
en dus k( x) = 4 x + 6
12B-2 Gebroken functies
b
c
d
e
9a
b
1
12
2
24
3
36
4
48
5
60
dh
x
y
Delen door 0 is niet mogelijk.
Tussen x en y is een recht evenredig verband, met als formule y = 12 x (voor x ≠ 0 ).
Voor x = –2 is de noemer van de breuk gelijk en 0 en delen door 0 is niet mogelijk.
x
y
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
or
8a
Uit de tabel blijkt dat het functievoorschrift van g te schrijven is als g ( x) = x .
Bij x = 2 bestaat g ( x) niet, want delen door 0 is niet mogelijk.
No
x
g (x)
h (x)
0
–3
–3
1
–2
–2
2
–1
3
0
0
4
1
1
5
2
2
g is gelijk aan h behalve voor x = 2.
2
c teller = x − 5 x + 6 kun je ontbinden in teller = ( x − 2)( x − 3) .
d
g ( x) =
( x − 2)( x − 3)
, teller en noemer delen door x – 2 geeft g ( x) = x − 3 .
x−2
©
⁄
162
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 162
© Noordhoff Uitgevers bv
01-04-2009 16:41:14
b
c
f ( x) = 8 x als x ≠ 0 d l ( p) = −5 p als p ≠ 0
7( x + 2)
x+2
g ( x) =
j ( x) =
e
g ( x) = 7 als x ≠ −2 j( x) = x + 3 als x ≠ 0
h(t ) = −2t 2 k ( a) =
f
11a
b
x
y
–2
1
–1
–1
0
10
1
7
2
5
3
4,33
4
4
y
8
6
4
2
–5
–4
–3
–2
(a + 2)(a + 1)
a+2
k(a) = a + 1 als a ≠ −2
5 x( x + 3)
5x
–1 O
–2
1
2
3
4
5
–4
–6
x
ev
10a
Ui
tg
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
–10
d
12a
b
x
y
–2
1
–1
–1
0
-
1
7
2
5
3
4,33
4
4
De functies g en h zijn hetzelfde.
dh
c
2
2
p( x) = x + 5 x is gelijk aan p( x) = x + 5 x en dus p( x) = 12 x + 2 12 , mits x ≠ 0 .
2x
2x 2x
De functies p en q zijn hetzelfde.
2
Bij de functie p( x) = x + 5 x geeft bij x = 0 geen uitkomst, want delen door 0 is niet
2x
mogelijk.
or
off
–8
Bij de functie q( x) = 12 x + 2 12 krijg je bij x = 0 wel een uitkomst, q(0) = 2 12 .
c
d( x) = 18 x − 15 is gelijk aan d( x) = 18 x − 15 dus d( x) = 6 − 5
3x
3x 3x
x
No
2
2
r( x) = 1 + x is gelijk aan r( x) = 1 + x dus r( x) = 1 + x
x
x x
x
2
2
s( x) = 3 x − 8 x is gelijk aan s( x) = 3 x − 8 x dus s( x) = 1 12 − 4 x als x ≠ 0
2x
2x 2x
13a
b
Schrijf 3 als de breuk 13 en vermenigvuldig teller en noemer met x.
Antwoord C is goed. Als je de tellers 3x en 7 bij elkaar optelt krijg je 3x + 7.
Bij het optellen van gelijknamige breuken tel je alleen de tellers bij elkaar op,
de noemers niet. Antwoord D is dus fout.
©
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 163
⁄
163
01-04-2009 16:41:18
Schrijf 4 als de breuk
de breuk
f ( x) = 4 +
15a
b
c
d
3 is gelijk aan f ( x) = 4 x + 8 + 3
x+2
x+2 x+2
Optellen geeft f ( x) = 4 x + 8 + 3 en dus f ( x) = 4 x + 11
x+2
x+2
4 is gelijk aan k( x) = 5( x − 7) + 4
x−7
x−7
x−7
5( x − 7) + 4
en dus k( x) = 5 x − 31
Optellen geeft k( x) =
x−7
x−7
k ( x) = 5 +
m( x) = 1 +
15 is gelijk aan m( x) = 5 x − 9 + 15
5x − 9
5x − 9 5x − 9
ev
en vermenigvuldig teller en noemer met x + 2. je krijgt dan
4( x + 2)
. Werk vervolgens de haakjes weg en je hebt 4 x + 8 .
1( x + 2)
x+2
b
4
1
Ui
tg
14a
Optellen geeft m( x) = 5 x − 9 + 15 en dus m( x) = 5 x + 6
5x − 9
5x − 9
−2(3 x + 4)
l( x) = −2 + 10 is gelijk aan l( x) =
+ 10
3x + 4
3x + 4
3x + 4
−2(3 x + 4) + 10
en dus l( x) = −6 x + 2
Optellen geeft l( x) =
3x + 4
3x + 4
2
n( x) = x + 7 is gelijk aan n( x) = x + 7
x
x x
2
Optellen geeft n( x) = x + 7
x
off
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
12B-3 Grafieken van gebroken functies
c
d
17a
c
d
e
f(0,001) = 2001 en f(–0,001) = –1999
Om de coördinaten van een snijpunt met de y-as te berekenen moet je x = 0 in de
functie invullen. Maar de functie bestaat niet voor x = 0, dus is er geen snijpunt met
de y –as.
De grafiek snijdt de y-as niet want de functie bestaat niet voor x = 0.
Omdat x2 > 0 voor iedere waarde van x ≠ 0 is g ( x) > 0 voor iedere waarde voor
x≠ 0.
g(1000) = 0, 00001 en g(−1000) = 0, 00001
De vergelijking 102 = 0 heeft geen oplossingen. Voor waarden van x ver van 0 komt
x
10 wel steeds dichter bij 0.
x2
©
b
De functie bestaat niet voor x = 0.
f(1000) = 1,002 en f(–1000) = 0,998
Voor waarden van x ver van 0 nadert de uitkomst van de breuk 2 naar 0, maar
x
wordt nooit gelijk aan 0. Voor waarden van x ver van 0 nadert de functiewaarde dus
naar 0 + 1 = 1, maar wordt nooit gelijk aan 1.
dh
b
or
16a
No
⁄
164
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 164
© Noordhoff Uitgevers bv
01-04-2009 16:41:22
18a
b
Bij x = 0 bestaat de functie h(x) wel.
c
De vergelijking
19a
c
–3
0,77
–2
1,25
–1
2
0
2,5
1
2
2
1,25
3
0,77
10 = 0 heeft geen oplossingen.
x2 + 4
Bij x = 2 bestaat de functie niet, dus de lijn x = 2 is de verticale asymptoot.
f(1000) ≈ 4,012
Voor waarden van x ver van 0 nadert de uitkomst van de breuk 12 naar 0.
x−2
Voor waarden van x ver van 0 nadert de functiewaarde dus naar 4 + 0 = 4.
ev
b
x
y
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
De grafiek van f nadert daardoor de lijn y = 4 en dus is de lijn y = 4 de horizontale
asymptoot.
4 + 12 = 4 geeft 12 = 0
x−2
x−2
Als de teller van een breuk ongelijk is aan 0, kan de uitkomst ook geen 0 zijn.
Deze vergelijking heeft dus geen oplossingen.
d
e/f
x
y
–3 –2 –1
1,6 1 0
16
0 1
–2 –8
2
-
3
16
4
10
5
8
y
Ui
tg
6
7
7
6,4
8
6
off
14
12
10
8
6
2
–3
–2
–1 O
–2
–4
–6
2
3
4
5
6
7
8
x
or
–8
1
dh
4
–10
20a
b
c
De noemer kan geen 0 zijn.
4 x + 4 = 0 als 4x + 4 = 0
x−2
4x = –4
©
4( x − 2)
f ( x) = 4 + 12 is gelijk aan f ( x) =
+ 12
x−2
x−2
x−2
4( x − 2) + 12
Optellen geeft f ( x) =
en dus f ( x) = 4 x + 4
x−2
x−2
De uitkomst van een breuk is gelijk aan 0 als de teller van de breuk gelijk is aan 0.
No
x = –4 : 4 dus x = –1
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 165
⁄
165
01-04-2009 16:41:23
b
c
e
d
5 is gelijk aan g ( x) = −2( x + 1) + 5
x+1
x+1
x+1
−2( x + 1) + 5
Optellen geeft g ( x) =
en dus g ( x) = −2 x + 3
x+1
x+1
De functies g en h zijn hetzelfde.
g ( x) = −2 +
5 naar 0 nadert voor waarden
x+1
van x ver weg van 0. Dat kun je in het functievoorschrift van h niet zien.
In het functievoorschrift van g zie je dat de breuk
ev
21a
Het functievoorschrift van g is dus handiger om te bepalen welke lijn de horizontale
asymptoot is.
De horizontale asymptoot is de lijn y = –2.
Omdat het functievoorschrift van h als één breuk is geschreven kun je daarmee
sneller de coördinaten van het snijpunt van de grafiek met de x-as berekenen.
−2 x + 3 = 0 als –2x + 3 = 0 (en x + 1 ≠ 0)
x+1
–2x = –3
x = –3 : –2 dus x = 1 12
Ui
tg
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
Het snijpunt met de x-as is het punt ( 1 12 , 0).
22a
b
c
De noemer is 0 voor x 2 − 4 = 0 . Dus voor x2 = 4 ofwel x = –2 of x = 2.
Dus voor x = 2 en x = –2 is er een verticale asymptoot.
Voor waarden van x ver weg van 0 nadert de uitkomst van de breuk naar 0.
De grafiek nadert dus naar de lijn y = 0, dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 0
(de x-as).
De noemer wordt nooit 0 want de vergelijking x2 + 4 = 0 heeft geen oplossingen.
d
Voor de coördinaten van een snijpunt met de x-as geldt
c
b
De grafiek van f ontstaat uit die van k door deze 2 omhoog te schuiven.
De grafiek van k snijdt de y-as voor x = 0 en y = k(0) = −1 14 .
Als de grafiek van k 2 omhoog schuift, verschuift dit snijpunt naar (0, 43 ). Het stuk
van de grafiek tussen de verticale asymptoten komt daarmee gedeeltelijk boven de
x-as en gedeeltelijk onder de x-as te liggen. Dus snijdt de grafiek van f de x-as.
2( x − 4)
5
+ 25
is gelijk aan f ( x) =
2
2
x −4
x −4
x −4
2( x 2 − 4) + 5
2 x2 − 3
(
)
=
Optellen geeft f ( x) =
en
dus
f
x
x2 − 4
x2 − 4
2
In de snijpunten met de x-as geldt 2 x2 − 3 = 0
x −4
2x2 – 3 = 0 (en x2 – 4 ≠ 0)
f ( x) = 2 +
⁄
166
2
2x2 = 3
x2 = 1,5 dus x = − 1, 5 of x =
©
dh
23a
or
5 = 0 . Omdat de teller
x +4
van deze breuk nooit gelijk kan zijn aan 0, is er geen oplossing. En dus is er geen
snijpunt met de x-as.
2
No
off
1, 5
De snijpunten met de x-as zijn ( − 1, 5 , 0) en ( 1, 5 , 0).
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 166
© Noordhoff Uitgevers bv
01-04-2009 16:41:26
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
12B-4 Vergelijkingen oplossen
24a
y
c
a
x
O
b
25a
c
d
Ja, er zijn meerdere lijnen mogelijk.
Ja, ook hier zijn meerdere lijnen mogelijk.
Nee, je kunt geen lijn trekken die meer dan twee snijpunten heeft met de hyperbool.
7
y
f
6
5
4
3
g
2
1
–7
–6
–5
–4 –3
–2 –1 O
–1
1
2
3
4
5
Ui
tg
ev
b
6
7
x
–3
–4
–5
–6
–7
bDe snijpunten zijn (–4, –2) en (2, 4).
dh
off
–2
f (−4) = 8 = −2; g (−4) = −4 + 2 = −2 , klopt
−4
f (2) = 8 = 4; g (2) = 2 + 2 = 4 , klopt
2
26a
b
c
27a
x ⋅ 3 = x( x − 2) mits x ≠ 0
x
3 = x2 − 2 x
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x – 3 = 0 of x + 1 = 0
x = 3 of x = –1
©
8 = x2 + 2 x
x2 + 2 x − 8 = 0
( x + 4)( x − 2) = 0
x + 4 = 0 of x − 2 = 0
x = −4 of x = 2
g (−4) = −2 en g (2) = 4
No
or
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 167
⁄
167
01-04-2009 16:41:28
b
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
( x − 1) ⋅ −2 = ( x − 1)(2 x + 3) mits x ≠ 1
x−1
2
–2 = 2x + 3x – 2x – 3
2x2 + x – 1 = 0
x 2 + 12 x − 12 = 0
( x + 1)( x − 12 ) = 0
x = –1 of x =
c
=0
1
2
x ⋅ ( 5 + 2) = x ⋅ 4 mits x ≠ 0
x
5 + 2x = 4x
5 = 2x
x = 2 12
d
( x − 3) ⋅ (2 x + 7) = ( x − 3) ⋅ −6 mits x ≠ 3
x−3
2
2x + 7x – 6x – 21 = –6
2x2 + x – 15 = 0
abc-formule met a = 2, b = 1 en c = –15
D = 12 – 4 × 2 × –15 = 121
x = −1 + 121 = −1 + 11 = 10 dus x = 2 12 of
2⋅2
4
4
off
Ui
tg
1
2
ev
x + 1 = 0 of x –
x = −1 − 121 = −1 − 11 = −12 dus x = –3
2⋅2
4
4
28a
( x + 1) ⋅ −8 = ( x + 1) ⋅ (2 x − 6) mits x ≠ 1
x+1
−8 = 2 x 2 + 2 x − 6 x − 6
2 x2 − 4 x + 2 = 0
or
x2 – 2x + 1 = 0
dh
(x – 1)(x – 1) = 0
x – 1 = 0 dus x = 1
b
( x + 1) ⋅ −8 = ( x + 1) ⋅ (2 x − 4) mits x ≠ −1
x+1
2
−8 = 2 x + 2 x − 4 x − 4
No
2 x2 − 2 x + 4 = 0
D = (−2)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 4 = −28; D < 0
©
Geen oplossingen.
⁄
168
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 168
© Noordhoff Uitgevers bv
01-04-2009 16:41:31
c
7
y
6
5
4
l
3
g
2
1
–5
–4 –3
–2 –1 O
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
ev
–6
k
–2
–3
–4
–5
Ui
tg
–6
–7
29a
b
30a
x ⋅ 3 = x ⋅ ( x + 2)
x
3 = x2 + 2 x
x2 + 2 x − 3 = 0
x = −3 of x = 1
Ja, Mathilde krijgt hetzelfde antwoord als Melanie.
−2 x + 10 = 4 − 20
x
20
−2 x + 6 = −
x
x ⋅ (−2 x + 6) = x ⋅ − 20 mits x ≠ 0
x
2
−2 x + 6 x = −20
x 2 − 3 x − 10 = 0
( x − 5)( x + 2) = 0
x − 5 = 0 of x + 2 = 0
x = 5 of x = −2
x = 5 geeft y = f(5) = 0
x = –2 geeft y = f(–2) = 14
De snijpunten zijn (5, 0) en (–2, 14).
©
No
or
x2 + 2 x − 3 = 0
( x + 3)( x − 1) = 0
x + 3 = 0 of x − 1 = 0
x = −3 of x = 1
off
De grafiek van l snijdt de hyperbool niet, dus heeft de vergelijking geen oplossing.
dh
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 169
⁄
169
01-04-2009 16:41:34
b
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
−3 − 1 = 3 x − 1
x
−3 = 3 x
x
x ⋅ −3 = x ⋅ 3 x mits x ≠ 0
x
x 2 = −1 ; geen oplossingen
Er zijn geen snijpunten.
2 = 2x − 3
x+1
( x + 1) ⋅ 2 = ( x + 1) ⋅ (2 x − 3) mits x ≠ −1
x+1
2 = ( x + 1)(2 x − 3)
c
Ui
tg
2 = 2 x 2 − 3x + 2 x − 3
2 x2 − x − 5 = 0
D = (−1)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ −5 = 41
31a
b
off
7 + 2 = −5 x
x+2
7 = −5 x − 2
x+2
( x + 2) ⋅ 7 = ( x + 2) ⋅ (−5 x − 2) mits x ≠ −2
x+2
7 = ( x + 2)(−5 x − 2)
7 = −5 x 2 − 10 x − 2 x − 4
5 x 2 + 12 x + 11 = 0
D = 12 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 11 = −76; D < 0 ; geen oplossingen
Er zijn geen snijpunten.
dh
d
or
x = 1 + 41 ≈ 1, 85 of x = 1 − 41 ≈ −1, 35
4
4
x ≈ 1,85 geeft y ≈ n(1,85) ≈ 0,7
x ≈ –1,35 geeft y ≈ n(–1,35) ≈ –5,7
De snijpunten zijn (1,85; 0,7) en (–1,35; –5,7).
x ⋅ ( 6 + 3) = x ⋅ 14 geeft 6 + 3 x = 14 x
x
2x − 1
2x − 1
(2 x − 1) ⋅ (6 + 3 x) = (2 x − 1) ⋅ 14 x geeft dan (2x – 1)(6 + 3x) = 14x
2x − 1
12x + 6x2 – 6 – 3x = 14x
No
ev
−3 = 3 x 2
6x2 –5x – 6 = 0
D = (−5)2 − 4 ⋅ 6 ⋅ −6 = 169
x = 5 + 169 = 5 + 13 = 18 of x = 5 − 169 = 5 − 13 = −8
2⋅6
12
12
2⋅6
12
12
©
dus x = 1 12 of x = − 23
⁄
170
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 170
© Noordhoff Uitgevers bv
01-04-2009 16:41:38
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
32a
b
Dré: t = 80
v
Ed rijdt 4 km sneller dus daarom v + 4.
Ed komt één uur eerder aan daarom moet je om de tijden aan elkaar gelijk te stellen
één uur optellen bij de tijd van Ed.
c
80 − 1 = 80
v
v+4
80 − v = 80v
v+4
(v + 4) ⋅ (80 − v) = (v + 4) ⋅ 80v
v+4
(v + 4)(80 − v) = 80v
80v − v2 + 320 − 4v = 80v
−v2 − 4v + 320 = 0
D = ( −4)2 − 4 ⋅ −1 ⋅ 320 = 1296, dus v = 4 + 1296 = −20 of v = 4 − 1296 = 16
−2
−2
De oplossing is v = 16 (v = –20 valt hier natuurlijk af).
De gemiddelde snelheid van Dré is 16 km/uur en die van Ed is 16 + 4 = 20 km/uur.
d
34a
b
c
dh
c
y
12
10
8
6
4
2
–3
–2
–1 O
–2
1
2
3
4
5
6
7
8
x
–4
–6
–8
T(0) = 20 + = 32
De temperatuur bij het begin is dus 32 °C.
Neem bijvoorbeeld t = 1000
24
T(1000) = 20 + 502
= 20, 05
Voor grote waarden van t nadert de temperatuur naar 20.
Het wordt op den duur dus 20 °C.
24
2
or
b
Zie de grafiek hiernaast.
f(1) = 4 dus 1 + a = 4
1− 3
− 12 + a = 4
a = 4 12
Voor a = –5 is de horizontale asymptoot
de lijn y = –5.
Dan moet de horizontale asymptoot de
lijn y = 0 zijn.
Dat is het geval als a = 0.
No
33a
off
12B-5 Gemengde opdrachten
ev
 80

80
v⋅
− 1 = v ⋅
v+4
 v

Ui
tg
20 +
1
2
24 = 22, 5 , geeft
t+2
1
2
24 = 2, 5
t+2
( 12 t + 2) ⋅ 1 24 = 2, 5 ⋅ ( 12 t + 2) mits t ≠ −4
t+2
2
1,25t = 19, dus t = 19 : 1,25
t = 15,2, dus na 15,2 minuten (dat is 15 minuten en 12 seconden)
©
24 = 1, 25t + 5
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 171
⁄
171
01-04-2009 16:41:41
d
e
b
c
Met één kraan open duurt het 3 × 200 = 600 minuten.
Met twee kranen open duurt het 600 : 2 = 300 minuten.
Met één kraan open duurt het 600 minuten. Met de kraan half open duurt het dus
2 × 600 = 1200 minuten. En dat is 1200 : 60 = 20 uur.
Met 2,5 kranen open gaat het twee en een half keer zo snel als met één kraan open.
Het duurt dus 600 : 2,5 = 240 minuten
1
2
aantal kranen geopend
tijd in minuten
f
g
1
1200
2
600 300
2,5
240 200
t = 600
k
2,5 uur komt overeen met 2,5 × 60 = 150 minuten
150 = 600
k
k = 4; er moeten vier kranen open staan.
36a
b
3
QI = 75 2 = 24, 49
1, 75
QI = 12 ⋅ G
l
QI = 1 2 ⋅ G
1, 75
ev
35a
Ui
tg
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
c
35
QI
off
QI ≈ 0, 33 ⋅ G
30
25
20
10
5
0
e
f
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110
G
Bij een gewicht van meer dan 76 kg.
Voor G = 80 is QI = 80
l2
80
25 = 2
l
l 2 ⋅ 25 = l 2 ⋅ 80
geeft 25l2 = 80
l2
l 2 = 3, 2 geeft l ≈ 1, 79
or
d
10
No
0
dh
15
©
Bij een lengte van minder dan 1,79 m is iemand van 80 kg te zwaar.
⁄
172
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 172
© Noordhoff Uitgevers bv
01-04-2009 16:41:43
37a
b
Als x2 – 3x – 4 = 0 bestaat f niet.
(x – 4)(x + 1) = 0
x – 4 = 0 of x + 1 = 0
x = 4 of x = –1
De functie f bestaat niet voor x = 4 of x = –1.
f ( x) =
3 x − 12 is gelijk aan f ( x) = 3( x − 4)
( x − 4)( x + 1)
x − 3x − 4
2
c
Voor x = 4 zijn de functies f en g niet gelijk. Functie f bestaat niet voor x = 4,
maar functie g wel.
1=1+ 1
8 b 10
1=1− 1 = 5 − 4 = 1
b 8 10 40 40 40
38a
b = 40; de beeldafstand is 40 cm.
b
1=1+ 1
8 b 12
1− 1 =1
8 12 b
c
1= 3 − 2 = 1
b 24 24 24
b = 24; de beeldafstand is 24 cm.
1 =1+1
8 b v
0, 125 − 1 = 1
v b
b ⋅ (0, 125 − 1 ) = 1
v
d
1
0, 125 − 1
v
or
b=
dh
b ⋅ (0, 125 − 1 ) = b ⋅ 1
v
b
off
Ui
tg
3 mits x ≠ 4 .
x+1
ev
Teller en nemer delen door x – 4 geeft f ( x) =
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
1
wordt kleiner en v blijft gelijk. De noemer van opdracht c wordt dan kleiner en
f
fi
I-1a
b
ICT Grafieken van gebroken functies
x=0
x
y
10 20 100
1,2 1,1 1,02
©
No
daarmee de uitkomst van de breuk groter. De beeldafstand b wordt groter.
c
200 1000
1,01 1,00
f (1000) = 1, 002
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 173
⁄
173
01-04-2009 16:41:45
e
g
I-2a
c
d
f
b
Voor grote waarden van x nadert 2 naar 0, maar wordt nooit gelijk aan 0.
x
2
De uitkomst van + 1 nadert dus naar 1, maar wordt nooit gelijk aan 1.
x
Voor x = 0 staan er kruisjes in de tabel.
x
y
–0,1
–19
–0,01 –0,001
–199 –1999
0 0,001
- 2001
0,01
201
0,1
21
De functiewaarden worden erg groot (positief en negatief), de grafiek loopt steil naar
beneden en steil omhoog.
ev
d
De grafiek snijdt de y-as niet want de functie bestaat niet voor x = 0.
Omdat x2 > 0 voor iedere waarde van x ≠ 0 is g ( x) > 0 voor iedere waarde voor
x≠ 0.
g(1000) = 0, 00001 en g(−1000) = 0, 00001
Ui
tg
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
De vergelijking 102 = 0 heeft geen oplossingen. Voor waarden van x ver van 0 komt
x
10 wel steeds dichter bij 0.
x2
I-3a
d
e
Ja, voor waarden van x ver van 0 nadert de functiewaarde naar 0, dus de grafiek
nadert de lijn y = 0.
I-4a
b
c
Voor x = 1 bestaat de functie niet.
De verticale asymptoot is de lijn x = 1.
Voor waarden ver van 0 nadert de uitkomst van de breuk naar 0, dus nadert de
functiewaarde naar 2.
De horizontale asymptoot is de lijn y = 2.
a=2
De verticale asymptoot is de lijn x = 2.
De horizontale asymptoot is de lijn y = 2.
a=3
De verticale asymptoot is de lijn x = 3.
De horizontale asymptoot is de lijn y = 2.
a=4
De verticale asymptoot is de lijn x = 4.
De horizontale asymptoot is de lijn y = 2.
a=5
De verticale asymptoot is de lijn x = 5.
De horizontale asymptoot is de lijn y = 2.
dh
Voor b = 0 is g ( x) = 102 en deze functie bestaat niet voor x = 0.
x
De functies g ( x) = 210 met b ≠ 0 bestaan wel voor x = 0.
x +b
©
No
c
Bij x = 0 staan kruisjes.
De grafiek snijdt de y-as nu wel, bij (0, 100).
De grafieken snijden de y-as.
Voor b = 0,25 is het snijpunt (0, 40).
Voor b = 0,5 is het snijpunt (0, 20).
Voor b = 5 is het snijpunt (0, 2).
or
b
off
⁄
174
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 174
© Noordhoff Uitgevers bv
01-04-2009 16:41:47
b
c
d
e
I-6a
Het is de grafiek bij de formule y = 4 + 12
x−2
De grafiek valt samen met die van y = 4 + 12
x−2
4
(
x
−
2
)
y = 4 + 12 is gelijk aan y =
+ 12
x−2
x−2
x−2
4( x − 2) + 12
Optellen geeft y =
en dus y = 4 x + 4
x−2
x−2
De uitkomst van een breuk is gelijk aan 0 als de teller van de breuk gelijk is aan 0.
De noemer kan geen 0 zijn.
4 x + 4 = 0 als 4x + 4 = 0
x−2
4x = –4
x = –4 : 4 dus x = –1
5 is gelijk aan g ( x) = −2( x + 1) + 5
x+1
x+1
x+1
−2( x + 1) + 5
Optellen geeft g ( x) =
en dus g ( x) = −2 x + 3
x+1
x+1
g ( x) = −2 +
ev
I-5a
Ui
tg
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
De functies g en h zijn hetzelfde.
5 naar 0 nadert voor waarden
x+1
van x ver weg van 0. Dat kun je in het functievoorschrift van h niet zien.
Het functievoorschrift van g is dus handiger om te bepalen welke lijn de horizontale
asymptoot is.
Omdat het functievoorschrift van h als één breuk is geschreven kun je daarmee
sneller de coördinaten van het snijpunt van de grafiek met de x-as berekenen.
c
I-7a
d
b
c
off
De verticale asymptoot is de lijn x = 0.
Dat zijn de lijnen x = –2 en x = 2.
De noemer x2 + 4 is voor geen enkele waarde van x gelijk aan 0. Er is dus geen
waarde van x waarvoor de functie niet bestaat.
Voor b < 0 zijn er twee verticale asymptoten,
voor b = 0 is er één verticale asymptoot en
voor b > 0 zijn er geen verticale asymptoten.
dh
In het functievoorschrift van g zie je dat de breuk
or
b
Test jezelf
b
c
f ( x) = 19 x
6
g ( x) = 7 x + 3 x
21 21
g ( x) = 10 x
21
h( x) = 12 x − 10 x
15
15
h( x) = 2 x
15
©
f ( x) = 4 x + 15 x
6
6
No
T-1a
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 175
d
e
f
i( x) = 2 x − 11 x
22 22
i( x ) = − 9 x
22
j ( x) = 2
4x
j ( x) = 1
2x
k ( x) = 2 x
14
k ( x) = x
7
g
h
l( x) = 36 x2
6x
l ( x) = 6
x
m( x) = 35 x2
42 x
m( x) = 5
6x
⁄
175
01-04-2009 16:41:51
b
c
d
T-3a
b
c
d
2( x + 4)
2( x + 4) + 3
+ 3 geeft f ( x) =
en dus f ( x) = 2 x + 11
x+4
x+4
x+4
x+4
−3( x − 9)
−
3
(
x
−
9
)
+
1
g ( x) =
+ 1 geeft g ( x) =
en dus g ( x) = −3 x + 28
x−9
x−9
x−9
x−9
ev
4(3 x + 4)
dus m( x) = 3 x + 4
4
2 x( x + 4)
n( x) =
dus n( x) = x + 4 of ook n( x) = − 17 ( x + 4) mits x ≠ 0
2 x ⋅ −7
−7
5 x( x − 3)
p( x) =
dus p( x) = x − 3 mits x ≠ 0
5x
( x + 4)( x + 9)
q( x) =
dus q( x) = x + 9 mits x ≠ −4
x+4
m( x) =
f ( x) =
h( x) = 2 x − 7 + 9
geeft h( x) = 2 x − 7 + 9 en dus h( x) = 2 x + 2
2x − 7 2x − 7
2x − 7
2x − 7
7
(
3
x
+
2
)
5
−
7
(
3
x
+
2
)
k ( x) = 5 −
geeft k( x) =
en
3x + 2
3x + 2
3x + 2
k( x) = 5 − 21 x − 14 dus k( x) = −21 x − 9
3x + 2
3x + 2
b
c
Als er een verticale asymptoot is, dan moet gelden dat x2 + 9 = 0 oftewel x2 = –9 en
dat kan niet.
Voor waarden van x ver van 0 nadert de functiewaarde naar 0.
De lijn y = 0 is de horizontale asymptoot van de grafiek.
Als er een verticale asymptoot is, dan moet gelden dat x2 – 9 = 0 oftewel x2 = 9. Dat is
zo als x = 3 en als x = –3.
De lijnen x = 3 en x = –3 zijn de verticale asymptoten.
off
T-4a
T-5a
2 −3= 1 x+1
2
x
x · 2 − 3 = x ⋅ 12 x + 1 mits x ≠ 0
x
2 − 3 x = 12 x 2 + x
)
(
)
dh
(
x2 + 4 x − 2 = 0
D = 4 2 − 4 × 12 × −2 = 20
1
2
x = −4 + 120 of x = −4 − 120
2× 2
2× 2
or
Ui
tg
T-2a
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
x = −4 + 20 ≈ 0, 47 of x = −4 − 20 ≈ −8, 47
No
Verder is g(−4 + 20 ) = 12 × (−4 + 20 ) + 1 ≈ 1, 24 en
g(−4 − 20 ) = 12 × (−4 − 20 ) + 1 ≈ −3, 24 .
De coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g zijn
(0,47; 1,24) en (–8,47; –3,24).
©
⁄
176
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 176
© Noordhoff Uitgevers bv
01-04-2009 16:41:56
b
2 − 3 = −2 x + 1
x
x · 2 − 3 = x ⋅ (−2 x + 1) mits x ≠ 0
x
2 − 3 x = −2 x 2 + x
(
)
2 x2 − 4 x + 2 = 0
D = (−4)2 − 4 × 2 × 2 = 0 , dus is er maar één oplossing.
T-6
T-7a
b
2 − 3 = −2 x − 7
x
x · 2 − 3 = x ⋅ (−2 x − 7) mits x ≠ 0
x
2 − 3 x = −2 x 2 − 7 x
2 x2 + 4 x + 2 = 0
D = 42 − 4 × 2 × 2 = 0
De grafieken van i en f hebben één punt gemeenschappelijk.
(
)
Ui
tg
c
Iedere lijn met een formule van de vorm y = −2 x + b met −7 < b < 1 heeft geen punt
gemeenschappelijk met de grafiek van f. Dus bijvoorbeeld y = –2x – 3.
Voor x =
x
y
1
2
–4
1,44
is de noemer van de breuk gelijk aan 0, en is er dus geen functiewaarde.
–2
1,8
c
0
2
4
5 –0,33 0,43
6
y
5
4
3
–5
–4
–3
–2
–1 O
–1
–2
–3
1
2
3
4
5
x
f
or
–4
dh
2
1
6
0,64
off
ev
De grafieken van h en f hebben één punt gemeenschappelijk.
er
sb
v
Hoofdstuk 12B - Breuken en functies
–5
–6
No
De verticale asymptoot is de lijn x = –1.
De horizontale asymptoot is de lijn y = 3.
De functievoorschriften f en i passen bij de grafiek.
©
T-8a
b
c
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 177
⁄
177
01-04-2009 16:41:58