Teken in het complexe vlak de getallen

Complexe getallen

© J. van Dort
2012
Niet-commerciële verspreiding,
onder bronvermelding, toegestaan
voor onderwijsdoeleinden.
Hoofdstuk 1
2
Hoofdstuk 1
§1.1 Nog meer getallen………??!!
In de onderbouw heb je gezien dat er naast de verzameling  van de Natuurlijke
Getallen (0, 1, 2, 3, 4, …..) ook nog andere verzamelingen van getallen bestaan.
Bij het oplossen van bijvoorbeeld de vergelijking 3x  9  0 kom je in de problemen als
je alleen de natuurlijke getallen zou hebben. Deze vergelijking heeft namelijk geen
oplossing in , want de oplossing -3 is geen natuurlijk getal.
We hebben een uitbreiding van  gemaakt door negatieve getallen in te voeren en samen
met de natuurlijke getallen ontstaat zo de verzameling  van de Gehele Getallen (….., -3, 2, -1, 0, 1, 2, 3, ……).
Maar een vergelijking als 3x  7  0 kan je ook in  niet oplossen, want de oplossing 2 13
is geen geheel getal. Daarom zijn de gebroken getallen ingevoerd en samen met de
gehele getallen ontstaat zo de verzameling  van de Rationale Getallen. Deze verzameling
bestaat uit alle getallen van de vorm ba , waarbij a en b getallen uit  zijn en bovendien
b  0.
Toch hadden we aan deze getallen nog niet genoeg, want de lengte van de schuine zijde
in bijvoorbeeld een gelijkbenige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden met
lengte 1 is gelijk aan
2 en dat is géén rationaal getal! (Pythagoras had daar zelf al
problemen mee; het schijnt dat een van zijn studenten die het getal 2 'ontdekte'
daarom moedwillig verdronken is!) Dit probleem is opgelost door het invoeren van de
'irrationale getallen' (zoals
3 , log(5) ,
 , sin(3) , etc.) die samen met de rationale
getallen de verzameling  van de reële getallen vormen.
Tot nu toe heb je al veel problemen met deze reële getallen kunnen oplossen.
Maar vergelijkingen als x 6  3 , x 4  x2  1 , x 2  6 x  10  0 of x 2  16 blijken
geen reële oplossingen te hebben. Om dit type vergelijking te kunnen oplossen moeten
we weer nieuwe getallen bedenken.
We voeren daarom een nieuw getal in dat we i noemen en waarvoor per definitie geldt:
i2  1
§1.2 Rekenen
Met dit getal i rekenen we op dezelfde manier als met de 'gewone' getallen en gebruiken
natuurlijk dat i 2
 1 .
Voorbeelden
Bereken:
1) 5i  7i  12i
(5i betekent: 5  i , net zoals 5p  5  p )
2) 10i  80i  70i
3) 7  5i  35i
4)
3  
5i  3 5i
5) 8i  4i  32i 2  32  1  32
6) 6  5i  6  5i (!!)
7) (5  3i )  (7  i )  2  2i
8) 10(7  2i )  70  20i
Hoofdstuk 1
We schrijven de term met i
meestal achteraan!
3
9) 10i(7  2i )  70i  20i 2  20  70i
Opgave 1.1
Bereken (zonder GR):
a) (2  3i )  (4  7i )
b) (8  2i )  (12  2i )
c) (4  7i )  (4  i )
d) 5(3  2i )
e) 4i(6  2i )
f)
i(i  1)
Definitie:
Getallen van de vorm b  i waarbij b een reëel getal is noemen we imaginaire getallen;
Getallen van de vorm a + b  i waarbij a en b reële getallen zijn noemen we complexe
getallen. De verzameling van alle complexe getallen noemen we
.
Het vermenigvuldigen en delen van complexe getallen is iets bewerkelijker en we maken
daar o.a. gebruik van het merkwaardige product (a  b)(a  b)  a2  b2 om de noemer
van breuk te herleiden tot een reëel getal. Zie vb 4) en 5).
Voorbeelden
Bereken exact:
1) (3  4i)(5  7i)  15  21i  20i  28i 2  15  1i  28  1  43  i
2) (5  2i)(6  2i )  30  10i  12i  4i 2
3) (11  5i)(11  5i)  121  55i  55i  25i
 30  22i  4  1 
2

26  22i
121  25  1  146
4)
4  8i 4  8i 1  i (4  8i)  (1  i) 4  4i  8i  8i 2 12  4i 12  4i






 6  2i
1 i
1 i 1i
(1  i )  (1  i)
11
2
1  i2
5)
i
i
5  2i
i  (5  2i)
5i  2i 2
5i  2
2  5i
2






  29

2
5  2i 5  2i 5  2i (5  2i)  (5  2i) 25  4i
25  4
29
Opgave 2.1 Bereken (schrijf zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk)
a) (4  3i )2 
b) (2  5i )(5  2i ) 
c) (9  4i )(9  4i ) 
d) (7  2i )(7  2i ) 
Opgave 2.2 Schrijf in de vorm a  bi :
a)
b)
c)
d)
e)
2

4  3i
3  2i

4i
5  2i

3i
2i

3  4i
1 i

1i
Hoofdstuk 1
(Hint: vermenigvuldig teller en noemer met 4-3i)
4
5
29
i
Met het definiëren van het getal i en daaraan gekoppeld de complexe getallen, blijkt dat
we nu de in § 1 genoemde vergelijkingen óók kunnen oplossen. De meeste hogeregraads
vergelijkingen vallen buiten de stof, maar de tweedegraads vergelijkingen kunnen we
allemaal de baas.
Voorbeelden
Los de volgende vergelijkingen exact op.
a) x 2  16 , ofwel x 2  42  i 2  (4i )2 levert x  4  i of x  4  i ;
dus x  4i of x  4i
b) 8x 2  56  x 2  7  x 
dus x 
7  i of x   7  i ;
7i of x   7i
c) (x  5)2  9 geeft
x  5  3i of x  5  3i dus
x  5  3i of x  5  3i
d) (x  2)2  7 geeft
x 2 
7i of x  2   7i dus
x  2  7i of x  2  7i
e) x 2  6 x  13 Om deze vergelijking op te lossen gaan we er links, dus ook rechts,
9 bij optellen. Daardoor ontstaat links het kwadraat (x  3)2 en kunnen we verder
zoals in het vorige voorbeeld. Dus dat geeft:
x 2  6 x  9  4 en dit kan je schrijven als
(x  3)2  4 dus
x  3  2i of x  3  2i dus
x  3  2i of x  3  2i
f)
x 2  10 x  28  0
2
x  10 x  28
Deze techniek heet:
een kwadraat afsplitsen
We trekken er eerst links en rechts 28 af:
Dan tellen we er links en rechts 25 
 
10
2
2
bij op:
x 2  10x  25  3 Nu hebben we links (x  5)2 gemaakt:
(x  5)2  3
Dus
x  5  3i of x  5   3i Het antwoord is dus:
x  5  3i of x  5  3i
g) x 2  20x  98  13
x 2  20 x  111
x 2  20x  100  11
(100 is het kwadraat van de helft van 20)
2
(x  10)  11
x  10  11i of x  10   11i
x  10  11i of x  10  11i
Opmerking: Het is gebruikelijk om complexe getallen aan te geven met de letter z, dus
in de volgende opgaven gebruiken we dat ook: z  a  bi , met a en b reële getallen.
Opgave 2.3 Los de volgende vergelijkingen (exact) op:
a) z 2  6 z  7  0
Hint: splits een kwadraat af:
b) z 2  2 z  2  0
z2  6z is het begin van het
z 2  8z  17  8
d) z 2  5z  7 14
c)
kwadraat
2
e) z  2 3z  19
Hoofdstuk 1
5
( z  3)2
f)
4z 2  12z  13 Tip: 4z 2  12z  ......  (2z  ....)2
Opgave 2.4 We nemen z1  a  bi en z2  x  yi .
Laat zien dat
a) z1  z2  (ax  by)  (ay  bx)i
b)
z1
ax  by bx  ay
 2
 2
i
z2
x  y2
x  y2
§1.3 Tekenen: het complexe vlak
Zoals we voor de reële getallen gebruik kunnen maken van de getallenlijn (elk reëel getal
correspondeert met één punt van de getallenlijn en omgekeerd), zo kunnen we de
complexe getallen weergeven in een plat vlak met rechthoekig assenstelsel. Immers, een
complex getal z  a  bi wordt helemaal vastgelegd door de getallen a en b. We kunnen
het complexe getal a  bi dus één op één koppelen aan het getallenpaar (a,b) en dat
getallenpaar stelt weer precies één punt in een rooster voor.
De horizontale as correspondeert met de reële getallen en wordt dan ook wel de reële as
genoemd en de verticale as correspondeert met de imaginaire getallen en wordt dan ook
wel de imaginaire as genoemd van het complexe vlak.
Hieronder staan de getallen 2+3i en -5-2i aangegeven.
5i
4i
3i
2i
i
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
-i
-2i
-3i
-4i
Definitie: In een complex getal z  a  bi zijn a en b reële getallen. We noemen a het
reële deel (notatie: Re z) en b het imaginaire deel (notatie Im z) van het getal z.
_
Het getal z  a  bi noemen we de (complex) geconjugeerde van z. Notatie: z .
_
N.B. Getallen z en z zijn dus elkaars geconjugeerde!
Opgave 3.1
Hoofdstuk 1
6
Teken in het complexe vlak de volgende getallen:
2 – 4i , -2i , 5, 2  i 3 , 1+i en -54i .
Opgave 3.2
Teken in het complexe vlak de getallen:
a) 4  i, 4  2i, 4  3i, 4  4i, 4, 4  1 12 i en 4  2 13 i
b) waarvoor geldt: Re z = 4.
c) waarvoor geldt: Im z = -3.
d) waarvoor geldt: Re z = 2.
Opgave 3.3
Teken in het complexe vlak de volgende verzamelingen:
a) alle getallen z waarvoor geldt dat Re z = Im z.
b) alle getallen z waarvoor geldt dat Im z = 3  Re z.
c) alle getallen waarvoor geldt dat Re z = Im z – 3.
d) alle getallen waarvoor geldt dat (Re z)2 + (Im z)2 = 25.
Opgave 3.4
a) Teken in het complexe vlak de volgende getallen en hun geconjugeerde:
5  2i,
 1  3i,
 3  4i,
5i,
4
b) Omschrijf de ligging in het complexe vlak van twee getallen die elkaars
geconjugeerde zijn.
§1.4 Rekenen en tekenen: complexe getallen als vectoren
Voor de notatie van een complex getal wordt ook regelmatig gebruik gemaakt van de
(kleine) letters uit het Griekse alfabet.
Een vector in een vlak kun je je voorstellen als een pijl
die van een beginpunt naar een eindpunt loopt.
Evenwijdige pijlen met dezelfde richting en dezelfde
grootte stellen dezelfde vector voor. In het complexe vlak
kun je bij elk complex getal  (spreek uit: alfa) een
vector maken door de pijl te tekenen die in de Oorsprong
begint en naar het getal (=punt)  loopt. Die vector kan
dan ook worden voorgesteld door een gelijkgerichte en
even lange pijl die vanuit een willekeurig punt β (spreek
uit: bèta) vertrekt. Het eindpunt van deze vector vormt
samen met de punten 0,  en β een parallellogram (de
bekende parallellogramconstructie van  + β). Zie de
figuur hiernaast. De vector  + β is dus de vector die
vanuit O het punt  + β aanwijst.
Het optellen van twee complexe getallen komt dus
overeen met het optellen van twee vectoren.
Hoofdstuk 1
7
 van  af te trekken moeten we bedenken dat
      ( ) . De vector  vinden we door 
180 te draaien. We moeten dus  en  bij elkaar
Om
optellen. Dit kan weer met de
parallellogramconstructie of door de vector  met
zijn 'staart' aan de 'kop' van  te leggen, zoals
hiernaast.    is de vector (pijl) die van de
Oorsprong naar het 'nieuwe' hoekpunt wijst. In de
figuur zie je dat ook geldt:    is de vector die van
 naar β loopt! Dus    is gelijk aan de afstand
van  tot  !
Definitie:
De modulus (of absolute waarde) van een complex getal z=a+bi (notatie z ) is:
z  a  bi  a2  b2 . Dit getal is dus ook op te vatten als de lengte van vector z, en
ook als de afstand van het punt z tot de Oorsprong.
Alle punten waarvoor geldt z  3 vormen dus samen de cirkel met middelpunt O en
straal 3.
Voor alle punten met z  (4  2i )  3 geldt dat de lengte van de vector die van het punt
4+2i naar het punt z wijst lengte 3 heeft, met andere
woorden: alle punten z liggen op afstand 3 van het
punt 4+2i, dus vormen de cirkel met middelpunt 4+2i
en straal 3.
In het algemeen geldt: alle punten z met z    r
vormen de cirkel met middelpunt
 en straal r.
Opgave 4.1
Teken in het complexe vlak z1 , z2 , z1  z2 en z1  z2
met behulp van de constructie als
a) z1  3  i en z2  1  3i
b) z1  3  3i en z2  1  2i
c)
z1  4  2i en z2  2  3i
Opgave 4.2
Teken in het complexe vlak alle punten waarvoor geldt:
a) z  2  5
b)
z  4  3i  2 (Waarom ligt het middelpunt in het 3e kwadrant?!)
c)
z  (1  i )  4
d)
z  (2  2i )  3 én z  4
Opgave 4.3
Toon aan dat z  z

2
z .
Opgave 4.4
Neem z1  a  bi en z2  c  di en toon aan dat z1  z2  z1  z2 , door zowel z1  z2
als z1  z2 uit te drukken in a, b, c en d.
Hoofdstuk 1
8
We kunnen bij elk complex getal z één vector tekenen die vanuit de Oorsprong dat
getal z aanwijst. De draaiingshoek  (spreek uit: fi) van die vector ten opzichte van de
positieve reële as heet een argument van z. Notatie:   a rg( z ) .
Bij bijvoorbeeld het complexe getal 1+i hoort het argument 45 , maar je kunt net zo
goed 315 of 765 nemen. Elk complex getal heeft oneindig veel argumenten die
allemaal veelvouden van 360 verschillen. De waarde van het argument die tussen
180 en 180 ligt noemen we de hoofdwaarde van het argument van z. Deze
wordt genoteerd als A rg(z ) (met een hoofdletter). Het getal 0 heeft geen argument.
De waarde  van Arg(z), met z=a+bi is te vinden met gebruik van de tangens van  :
Voor elk argument geldt: tan() 
b
. Zie de volgende figuur.
a
im-as
a+bi
b
O
re-as
a
In het vervolg drukken we de grootte van het argument uit in radialen, dus geldt voor
alle z:   Arg(z )   .
Met de grafische rekenmachine (TI84) kan je berekeningen maken met complexe
getallen door te kiezen voor MODE en dan optie a+bi. Het getal i is in te voeren met
SHIFT-knop + punt.
Voorbeeld: (de GR is ingesteld op radialen!)
a) Bepaal het hoofdargument van z=5-3i m.b.v. de GR.
Kies MATH en dan submenu CPX en dan optie 4:angle( . Vul dan de waarde van z
in. Na een druk op ENTER vind je: -0.5404…. (radialen).
b) Bepaal de modulus van het getal z=-8-6i.
Kies MATH en dan submenu CPX en dan optie 5:abs( . Vul dan de waarde van z
in. Na een druk op ENTER vind je: 10. Maar dat had je natuurlijk al uit je hoofd
gedaan want 82  62  100 .
Opgave 4.5
Bereken exact de modulus en de hoofdwaarde van het argument van
a) z  3  3i
b) z  13i
z  3i
d) z  cos( 14  )  i  sin( 14  )
c)
e) z  4(cos( 34  )  i  sin( 34  ))
f)
z  11
Opgave 4.6
Bereken met behulp van de GR het hoofdargument van z1 , z2 en z1  z2 .
Hoofdstuk 1
9
a) z1  1  2i en z2  4  2i
b) z1  3  i en z2  1  5i
c)
z1  2  3i en z2  3  5i
d) Bereken Arg(z1 )  Arg(z2 ) uit de opgaven a) , b) en c). Wat valt je op?
Het blijkt dat geldt: Arg(z1  z2 )  Arg(z1)  Arg(z2 ) .
In opgave 4.4 heb je al bewezen: z1  z2  z1  z2 , dus voor het vermenigvuldigen
van complexe getallen geldt: de argumenten worden opgeteld en de moduli
vermenigvuldigd. Voor het delen van complexe getallen geldt: de argumenten
worden afgetrokken en de moduli gedeeld: Arg(z1 : z2 )  Arg(z1 )  Arg(z2 ) en
z1 : z2  z1 : z2 .
De eigenschappen voor de argumenten zijn te bewijzen door gebruik te maken van een
andere notatie voor complexe getallen, nl. poolcoördinaten.
§1.5 Poolcoördinaten
Een complex getal z  a  bi is voor te stellen als een punt in het complexe vlak door
middel van de coördinaten (a, b) in een (rechthoekig) assenstelsel. De plaats van zo'n
punt kunnen we ook vastleggen door de afstand van dat punt tot de Oorsprong én de
draaiingshoek ten opzichte van de positieve reële as. Die afstand noemen we r en die
hoek geven we aan met  het argument. De getallen r en  heten de poolcoördinaten
van het getal z.
Met enige eenvoudige goniometrie
is te zien dat
a  Re(z )  z  cos( ) en
im-as
a+bi
b  Im(z)  z  sin( ) . Dus het
getal z  a  bi is ook te schrijven
als z  z  cos( )  i  z  sin( ) .
b=Im(z)
Als we r voor z schrijven, dan
kunnen we z ook noteren als
z  r  cos( )  i  r  sin( ) , ofwel:
O
z  r (cos( )  i  sin( ))
a=Re(z)
re-as
Opgave 5.1
Schrijf de volgende getallen in de vorm z  r (cos( )  i  sin( )) . Rond het argument zo
nodig(!) af op 2 decimalen nauwkeurig.
a) 7  7i
b) (3  2i )2
c) 4i  3
d) 123i
e)
7  5i
2i
Opgave 5.2
Schrijf de volgende getallen zonder poolcoördinaten. Rond zo nodig af op 2 decimalen
nauwkeurig.
a) 4(cos(60)  i sin(60))
Hoofdstuk 1
10
b) 10(cos(30)  i sin(30))
c)  (cos(120)  i sin(120))
d)
7 cos( 56  )  i 7 sin( 56  )
e) (cos( 12  )  i sin( 12  ))
Opgave 5.3
Teken in het complexe vlak de volgende getallen z  r (cos( )  i  sin( )) met
a) r  4 én 0    90
b) r  4 én 90    135
c) 1  r  4      1 12 
d) r  2    1 34 
Uit de goniometrie ken je de formules: sin(   )  sin   cos   cos   sin  en
cos(   )  cos   cos   sin   sin  .
Met behulp van poolcoördinaten en deze formules kunnen we nu bewijzen wat we na
opgave 4.6 al aangegeven hebben over het vermenigvuldigen van complexe getallen.
Als z1  r(cos   i sin ) en z2  s(cos   i sin  ) dan geldt:
z1  z2  r (cos   i sin  )  s(cos   i sin  ) 
r  s(cos   cos   i cos   sin   i sin   cos   i 2 sin   sin  ) 
r  s(cos   cos   sin   sin   i(cos   sin   sin   cos  )) 
r  s(cos(   )  i sin(   )).
Je ziet dat z1  z2  r  s  z1  z2 en arg(z1  z2 )   
  arg(z1)  arg(z2 ) .
Bij vermenigvuldigen van complexe getallen geldt dus:
de argumenten worden opgeteld en de moduli
vermenigvuldigd.
De formules voor de deling van
twee complexe getallen kan je
op soortgelijke wijze afleiden.
Uit deze formules volgt:
z n  z  z  z  .......  z  z  z  z  .......  z  z
n
en
zn  z
arg(z n )  arg( z  z  z  .......  z) 
 arg(z )  arg(z)  arg( z)  ..........  arg( z)  n  arg( z)
Voor z  r cos( )  i  r sin( ) geldt dus: z
n
n
arg( z)n  n  arg( z)
 r n en arg(z n )  n   , dus
z n  r n (cos(n)  i sin(n))
Nemen we r  1 dan krijgen we de formule van De Moivre:
(cos   i sin )n  cos n  i sin n . Deze formule geldt voor alle waarden van n.
Opgave 5.4
Schrijf de volgende getallen in de vorm r (cos( )  i sin( )) , met  in radialen (zo nodig
afgerond op 1 decimaal nauwkeurig).
a) (cos( 16  )  i sin( 16  ))5
b) (1  i)4
c) (3  4i )6
1
d) (4  3i )2
e) (2  2i )7
Hoofdstuk 1
11
f)
(cos(1 16  )  i sin(1 16  ))4
g) ( 12 3 
1
2
i)11
Opgave 5.5
a) Laat zien dat voor het getal z met modulus 1 en hoofdargument 120 geldt:
z3  1 .
b) Er zijn nóg twee getallen met z  1 waarvoor geldt z 3  1 .
Welke argumenten hebben die?
c) Er zijn 5 getallen met modulus 1 waarvoor geldt z 5  1 .
Welke argumenten hebben die?
In de vorige opgave heb je gezien dat er 3 getallen zijn met de eigenschap dat z 3  1 ,
namelijk cos120  i sin120 , cos240  i sin240 en cos360  i sin360 ofwel 1.
Deze drie oplossingen van de vergelijking z 3  1 schrijven we alledrie als
dus drie verschillende complexe uitkomsten voor
wortel meerwaardig is. Zo heeft
De vergelijking z
n
5
De vergelijking z
1 . Er zijn
1 . We zeggen dat de complexe
1 vijf waarden en
11
1 elf waarden!
 1 heeft dus precies n oplossingen in  (de verzameling van de
complexe getallen). Het zijn de n waarden voor
n
3
3
n
1 , de n-de eenheidswortels.
 c , met c  0 , heeft precies n oplossingen in .
Opgave 5.6
Waarom liggen alle eenheidswortels op de eenheidscirkel?
Voorbeeld
Los exact op in : z 3  11 en schrijf de oplossingen in de vorm a+bi.
Omdat deze vergelijking 3 oplossingen heeft begin je met 11 te schrijven in
poolcoördinaten met drie argumenten die telkens 360 verschillen. Dus (bijvoorbeeld)
z 3  11(cos 0  i sin0) of z 3  11(cos360  i sin360) of
z 3  11(cos720  i sin720) .
We gebruiken de formule van De Moivre, die zegt:
als z  cos( )  i  sin( ) dan is z 3  cos(3 )  i  sin(3 ) en omgekeerd.
Dus z 
3
11(cos 0  i sin0) of z  3 11(cos120  i sin120) of
z  3 11(cos 240  i sin240) .
Dus z 
3
11(1  i  0) of z  3 11( 12  i  12 3) of z  3 11( 12  i   12 3) .
Dus de oplossingen zijn: z  3 11 en z   12 3 11  i 
Opgave 5.7
Los exact op in
:
2
a) z  9i
b) z 3  8
c)
z 4  81
d) z 4  i
e) z 2  1  i
Voorbeeld
Hoofdstuk 1
12
1
2
33 en z   12 3 11  i  12 33 .
Los exact op in
: (z  2i)2  2i .
Schrijf (z  2i )2  2(cos270  i sin270) of (z  2i )2  2(cos(90)  i sin(90)) .
Dan is z  2i 
Dus z  2i 
2(cos135  i sin135) of z  2i  2(cos(45)  i sin(45)) .
2( 12 2  i  12 2) of z  2i  2(12 2  i   12 2) .
Dus z  2i  1  i of z  2i  1  i .
Dus z  1  3i of z  1  i .
Opgave 5.8
Los op in : rond zo nodig af op 2 decimalen nauwkeurig en schrijf de antwoorden
in de vorm a+bi.
a) z 2  4  3i
b) (z  i)3  3i
c) (z  4  i )2  3
d) z 2  5i  4  i
e) (3z  2i )2  5 2  5 2i
§ 1.6 De formule van Euler
Leonhard Euler (1707-1783) is een van de grootste wiskundigen tot nu toe. Hij heeft
maar liefst 886 boeken geschreven over allerlei wiskundige onderwerpen! Euler was een
van de eersten die het getal e uitvoerig bestudeerd heeft. Één van zijn ontdekkingen is
de formule
ei  cos()  i  sin() . Dit wordt de formule van Euler genoemd.
Hij heeft deze formule bewezen, maar dat voert voor ons nu te ver.
Er zijn dus drie manieren om een complex getal te noteren:
1.
z  x  i  y , met x en y reële getallen
2.
z  r(cos()  i  sin()) , met r  z
3.
z  r  ei , met r  z
en
en
  arg(z)
  arg(z)
Opgave 6.1
Bewijs de formule van De Moivre met de formule van Euler.
Opgave 6.2
Schrijf in de vorm a+bi.
a)
b)
c)
d)
e)
e6 i
5
3e6 i
11 i
5 2 e 4
12345634 i
2 2 e
e i
1
e i  1  0 . Dit wordt beschouwd
In de laatste opgave heb je gevonden dat geldt:
als een van de mooiste formules uit de wiskunde.
Hoofdstuk 1
13
In deze formule komen de drie basisbewerkingen optellen, vermenigvuldigen en
machtsverheffen voor, evenals de twee neutrale getallen 0 en 1 voor de optelling, resp.
de vermenigvuldiging én de drie belangrijkste bijzondere getallen e,  en i.
Euler vond deze formule zo mooi dat hij hem op zijn grafsteen heeft laten zetten…………..
Hoofdstuk 1
14