Examenvragen Hogere Wiskunde I

1
Examenvragen Hogere Wiskunde I
Vraag 1. Zij a ∈ R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s ∈ Q geldt dat
ar+s = ar · as .
Bewijs dat voor alle x, y ∈ R geldt dat
ax+y = ax · ay .
Vraag 2. Gegeven 2 functies g : R → R, f : R2 → R, met f en g continu partieel afleidbaar .
Bereken
D21 f (x − y, g(x + 2y)).
Vraag 3. Bewijs met de middelwaardestelling van Taylor dat voor alle x ∈ R geldt dat:
ex + e−x ≥ 2 + x2 .
Vraag 4. Gegeven een houten doos waarvan het buitenste volume 64000 cm2 is. De dikte van
het hout is in de lengte en breedte 4cm en in de hoogte 8cm. Bereken het minimale volume van
het binnenste van de doos.
Vraag 5. Gegeven een 10 × 10 matrix A waarvoor (A)ij = i + j voor alle i, j = 1, . . . , 10.
Bereken det A.
Vraag 6. Beschouw de volgende bewering: als A = A2 en B = B 2 voor n × n - matrices, dan is
A + B = In enkel als A = 0 of A = In en B = 0 of B = In . Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
Vraag 7. Gegeven een rij (xn )n∈N die naar a ∈ R+
0 convergeert, bewijs dat de
limn→∞ nxn = +∞.
2
Vraag 8. Beschouw een n × m-matrix A en een m × k matrix B met n, m, k ∈ N0 . Bewijs dat
als A twee dezelfde rijen heeft, dat AB tenminste twee dezelfde rijen heeft. Bewijs vervolgens
dat als B twee dezelfde kolommen heeft, dat AB tenminste twee dezelfde kolommen heeft.
Vraag 9. Stel dat we weten dat een functie F : R → R+
0 voldoet aan:
lim F (x) = +∞,
x→−∞
lim F (x) = 0.
x→∞
Bewijs dan dat het bereik van deze functie gelijk is aan R+
0.
Vraag 10. Zij F : R2 → R een continue functie en definieer voor (a, b) ∈ R2
F1 : R → R : x 7→ F (x, b),
F2 : R → R : y 7→ F (a, y).
(a) Bewijs dat F1 en F2 continu zijn.
(b) Als F1 en F2 continu zijn voor alle (a, b) ∈ R2 , mogen we dan besluiten dat F continu is?
Vraag 11. Zij A, B en C n × n matrices en veronderstel dat AB = AC.
(a) Toon aan dat we niet noodzakelijk kunnen besluiten dat B = C.
(b) Toon aan dat als A inverteerbaar is, we wel kunnen besluiten dat B = C.
Vraag 12.
(a) Wat betekent het in de context van limieten van rijen dat a × (−∞) = (+∞) met a ∈ R−
0?
(b) Bewijs de stelling die je in (a) hebt geformuleerd.
Vraag 13. (a) Veronderstel dat een stelsel twee oplossingen (1, 2, −1) en (3, −4, 2) heeft.
Construeer uit deze gegevens de oneindige oplossingsverzameling van het stelsel.
(b) Beschouw het volgende stelsel in de parameter a ∈ R. Formuleer de nodige en voldoende
voorwaarden opdat dit stelsel niet strijdig is.

 (a + 1)x + y + z = a + 1
x + (a + 1)y + z = a + 3

x + y + (a + 1)z = −2a − 4
3
Vraag 14. Zij (xn )n∈N een begrensde rij in R en stel
yn =
2n + xn
n+1
voor alle n ∈ N. Wat is de limiet van yn als hij bestaat?
Vraag 15. Zij
g : R → R : (x, y) 7→ f (x2 − y 2 , xy).
Veronderstel dat f continu partieel afleidbaar is. Bereken D21 g(x, y) in termen van partiële
afgeleiden van f .
Vraag 16. Zij f : R2 → R een functie met continue partiële afgeleiden en beschouw de volgende
functie:
g : R2 → R : (x, y) 7→ x · f (y, 2x − y).
Bereken dan de volgende uitdrukking in termen van de partiële afgeleiden van f :
2
2
2
D11
g(x, y) + 4D12
g(x, y) + 4D22
g(x, y).
Vraag 17. Beschouw de verlijking: |z| = |z − 2| = 2. Voor hoeveel elementen z ∈ C klopt deze
vergelijking?
A. Geen B. 1 C. 2 D. Oneindig
Vraag 18. Zij f en g lineair, welke bewerking levert geen lineaire functie op?
A: f + g B: f − g C: < f, g > D: f ◦ g
Vraag 19. Veronderstel dat een functie f : R2 → R homogeen is van graad s en g : R2 → R
homogeen is van graad r. Definieer de volgende functie
h : R2 → R : (x, y) 7→ g(f (x, y), f (x, y)).
Welke uitspraak is dan juist over h?
A.
B.
C.
D.
h
h
h
h
is homogeen van graad r · s
is homogeen van graad r + s
is homogeen van graad r
hoeft niet homogeen te zijn
4
Vraag 20. Beschouw het vierkant bepaald door de punten 2 + 2i, 2 − 2i, −2 + 2i, −2 − 2i in het
complexe vlak. Welke uitspraak geldt voor alle punten die in het vierkant liggen?
A: z = 1 B: |z| = 1 C: |z| > 1 D: 0 ≤ |z| ≤ 1
Vraag 21. Als f een continue functie heeft dan kunnen we zeggen dat
A.
B.
C.
D.
Als
Als
Als
Als
f niet injectief is dan vinden we zeker een punt x waar f 0 (x) = 0
ergens f 0 (x) = 0 dan is f zeker niet injectief
f niet surjectief is dan vinden we zeker een punt x waar f 0 (x) = 0
er ergens f 0 (x) = 0 dan is f zeker niet surjectief.
Vraag 22. Beschouw een linear stelsel S in n vergelijkingen en m vergelijkingen. We leiden
hieruit een nieuw stelsel S 0 af met n + 1 vergelijkingen en m onbekenden verkregen door aan S
de vergelijking toe te voegen met als linkerlid de som van de linkerleden van de vergelijkingen in
S en als rechterlid de som van de rechterleden van de vergelijkingen in S.
A.
B.
C.
D.
De oplossingverzameling van S is (strikt) groter dan S 0 .
De oplossingverzameling van S 0 is (strikt) groter dan S.
De oplossingverzameling van S is dezelfde als deze van S 0 .
Dit stelsel is strijdig omdat n + 1 > m.
Vraag 23. Van een afleidbare functie f : R → R is hier de afgeleide functie f 0 : R → R
getekend. Wat kan je besluiten over f ?
A.
B.
C.
D.
f (0) ≤ f (1)
f (2) − f (1) ≤ f (3) − f (2)
f bereikt een lokaal maximum in 1
Geen van bovenstaanden.
5
Vraag 24. Bekijk de volgende 4 tekeningen van niveaulijnen van een functie. Welke functie kan
al zeker niet homogeen zijn?
A: 1
B: 2
1
C: 3
D: 4
2
3
4
Vraag 25. Op de volgende tekening wordt de grafiek getekend van een functie f : R2 → R.
Welke uitspraak is waar over het punt P met coördinaten (x0 , y0 )?
A: D11 f (x0 , y0 ) < 0, D21 f (x0 , y0 ) < 0
A: D11 f (x0 , y0 ) > 0, D21 f (x0 , y0 ) < 0
B: D11 f (x0 , y0 ) < 0, D21 f (x0 , y0 ) > 0
B: D11 f (x0 , y0 ) > 0, D21 f (x0 , y0 ) > 0