Zomercursus Wiskunde Module 10 De afgeleide functie

Zomercursus Wiskunde
Katholieke Universiteit Leuven
Groep Wetenschap & Technologie
September 2011
Module 10
De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
(versie 22 augustus 2011)
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
Inhoudsopgave
1 Definitie — Betekenis van de afgeleide
1
2 Standaardafgeleiden en rekenregels
4
3 Voorbeeldoefeningen
5
4 Toepassingen
9
4.1
Minimum-maximum problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2
Toepassing uit de fysica: Harmonische oscillator . . . . . . . . . . . . .
10
4.3
Vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie . . . . . . .
10
4.4
Hogere orde benaderingen (B-programma) . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.5
De regels van de l’Hôpital (B-programma) . . . . . . . . . . . . . . . .
13
5 Oefeningen
16
5.1
Basis (A- en B-programma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
5.2
Uitbreiding (B-programma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
6 Oplossingen
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
20
10 - 1
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
Inleiding
De afgeleide van een functie f in een punt a ∈ R geeft aan hoe de functiewaarde f (x)
verandert in de buurt van a. Het teken van de afgeleide in een punt a geeft aan of de
functie stijgend of dalend is in de omgeving van a. De functie die met een reëel getal
x de afgeleide van een functie f in het punt x associeert, heet de afgeleide functie (of
df
kortweg de afgeleide) van f . Deze functie wordt meestal genoteerd met f ′ of dx
. Het
bepalen van de afgeleide van een functie heet differentiëren of afleiden. Het concept
van afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd uitgevonden
door Isaac Newton en Gottfried Leibniz.
In deze module wordt de (grafische) betekenis van afgeleide samen met de definitie
kort herhaald. Voor een uitgebreidere en meer conceptuele behandeling van afgeleiden
verwijzen we naar de cursus wiskunde uit het eerste jaar. Hier ligt de nadruk op
de standaardafgeleiden en de rekenregels. Deze worden herhaald (zonder bewijs) en
verwerkt in een aantal voorbeeldoefeningen. Daarnaast gaat deze module dieper in op
de toepassingen van afgeleiden en is er een uitgebreid gamma aan oefeningen.
1
Definitie — Betekenis van de afgeleide
Een rechte heeft de eigenschap dat de helling in elk punt dezelfde is. Maar bij de meeste
grafieken van functies is de helling van punt tot punt verschillend. De afgeleide van een
functie is een maat voor die lokale helling van de grafiek in elk punt en levert bijgevolg
informatie over het verloop van de functie. Beschouw de functie f waarvan de grafiek
getekend is in Figuur 1 en s de rechte (koorde) door de punten P en Q op de grafiek
van f . De richtingscoëfficiënt van de rechte s is gegeven door het differentiequotiënt 1
rc (s) =
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a)
=
.
(a + h) − a
h
(1)
De raaklijn t aan de grafiek van f in het punt P (a, f (a)) is de limietstand van de
koorde s voor Q → P of nog voor h → 0. De richtingscoëfficiënt van t is bijgevolg ook
de limiet voor h → 0 van het differentiequotiënt (1):
f (a + h) − f (a)
.
h→0
h
rc (t) = lim rc (s) = lim
h→0
De richtingscoëfficiënt van t bepaalt precies de lokale helling van de grafiek van f in
het punt P (a, f (a)) en wordt daarom als definitie genomen van de afgeleide f ′ (a) van
1
De toename h (tussen de x-coördinaat van P en die van Q) wordt soms ook genoteerd als ∆x en
heet de differentie van x. De bijhorende toename van f nl. f (a + h) − f (a) noteert men dan als ∆f (a)
(a)
en heet de differentie van f . Het quotiënt ∆f
∆x wordt dan het differentiequotiënt of Newtonquotiënt
genoemd.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 2
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
y
f (x0+h)
s
t
Q
f (x0)
f
P
x0
x0+ h x
Figuur 1: Raaklijn als limietstand van koorden — Afgeleide als limiet van differentiequotiënten
de functie f in het punt a:
f ′ (a) =
df
f (a + h) − f (a)
def
(a) = lim
.
h→0
dx
h
We komen op deze manier tot onderstaande definitie van afleidbaarheid van een functie
en afgeleide van een functie.
Definitie 1.1 (Afleidbaarheid en afgeleide van een functie)
Zij f een functie en a ∈ R. Indien de limiet
f (a + h) − f (a)
h→0
h
bestaat en eindig is, heet f afleidbaar of differentieerbaar in het punt a ∈ R.
De waarde van deze limiet wordt dan de afgeleide van f in a genoemd en wordt
genoteerd met
df
f ′ (a)
of
(a).
dx
Dus
f (a + h) − f (a)
def
def df
(a) = lim
.
f ′ (a) =
h→0
dx
h
De functie die x afbeeldt op f ′ (x) noemt men dan de afgeleide functie (of kortweg
de afgeleide) van f . Ze wordt genoteerd met
lim
f′
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
of
df
.
dx
10 - 3
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
Opmerkingen 1.2
1. Een andere veel gebruikte definitie voor afgeleide vind je door substitutie van
a + h voor x zodat h = x − a. We bekomen dan als alternatieve en volledig
gelijkwaardige definitie
f (x) − f (a)
def
.
f ′ (a) = lim
x→a
x−a
2. De tweede afgeleide van een functie f is de afgeleide
functie van de afgeleide
2
d
f
d
df
functie, ze wordt genoteerd met f ′′ of
=
. Analoog definiëren we
2
dx
dx dx
ook de ne afgeleide (n ∈ N0 ) van een functie f . Deze noteren we met f (n) of met
dn f
.
dxn
Als de afgeleide strikt positief is in een bepaald punt, zal de functie stijgen in de
omgeving van dat punt. Als de afgeleide strikt negatief is in een bepaald punt, zal de
functie dalen in de omgeving van dat punt. Als f ′ (a) = 0 voor een zekere a ∈ R zal
de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f (a)) horizontaal zijn. We vermelden
nog dat wanneer een afleidbare functie f een lokaal maximum of een lokaal minimum
bereikt in een punt a ∈ R, de afgeleide f ′ (a) in dat punt steeds nul zal zijn. Hier zullen
we dieper op ingaan in het onderdeel ”Minimum-maximum problemen.”
Men kan dus verwachten dat bij het bepalen van het verloop van een functie afgeleiden
een belangrijke rol spelen. De afgeleide kent ook veel toepassingen in de fysica. Denk
hierbij bijvoorbeeld aan de snelheid die de afgeleide is van de verplaatsing naar de tijd.
De versnelling is dan weer de afgeleide van de snelheid naar de tijd.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 4
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
2
Standaardafgeleiden en rekenregels
Hieronder zien we twee tabellen met de afgeleiden van enkele belangrijke functies. In
de linkerkolom vinden we telkens het functievoorschrift van de oorspronkelijke functie,
rechts dat van de afgeleide functie. In de functievoorschriften stellen a > 0, c en n
reële constanten voor, e ≈ 2, 7182818 is de constante van Euler.
f (x)
d
[f (x)] = f ′ (x)
dx
f (x)
d
[f (x)] = f ′ (x)
dx
c
0
cosec x
xn
nxn−1
sec x
−cosec x cot x
ex
ex
cot x
ax
ax ln a
ln x
loga x
sin x
cos x
tan x
sec x tan x
−
1
= −cosec 2 x
sin2 x
= −1 − cot2 x
1
x
1
x ln a
cos x
Bgsin x
Bgcos x
− sin x
Bgtan x
1
= sec2 x = 1 + tan2 x
cos2 x
1
1 − x2
−1
√
1 − x2
1
1 + x2
√
Rekenregels 2.1
Zij f en g twee functies die beide afleidbaar zijn in x ∈ R. Dan geldt:
1. Afgeleide van een veelvoud van een functie
Voor elke c ∈ R is de functie cf afleidbaar in x, met afgeleide
(cf )′ (x) = cf ′ (x).
2. Afgeleide van som en verschil van functies
De som f + g en het verschil f − g zijn beide afleidbaar in x, met als afgeleiden
(f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x)
(f − g)′ (x) = f ′ (x) − g ′ (x).
3. Afgeleide van een product van functies
Het product f g is afleidbaar in x, met als afgeleide
(f g)′ (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x).
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 5
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
4. Afgeleide van het omgekeerde van een functie
Indien g(x) 6= 0, dan is 1/g afleidbaar in x, met als afgeleide
′
1
g ′ (x)
.
(x) = −
g
g(x)2
5. Afgeleide van een quotiënt van functies
Indien g(x) 6= 0, dan is het quotiënt f /g afleidbaar in x, met als afgeleide
′
f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x)
f
.
(x) =
g
g(x)2
6. Afgeleide van een samengestelde functie: kettingregel
De samengestelde functie g ◦ f is afleidbaar in x, met als afgeleide
(g ◦ f )′ (x) = g ′ (f (x))f ′ (x).
In woorden: de afgeleide van g ◦ f in x ∈ R vind je door de laatst toegepaste
functie g af te leiden en te evalueren in f (x) en vervolgens te vermenigvuldigen
met de afgeleide van f in x.
7. Afgeleide van de inverse van een functie
Indien f ′ (x) 6= 0, dan is de inverse functie f −1 afleidbaar in y = f (x), met als
afgeleide
1
1
(f −1 )′ (y) = ′ −1
= ′ .
f (f (y))
f (x)
3
Voorbeeldoefeningen
In deze paragraaf worden enkele voorbeelden uitgebreid uitgewerkt om te illustreren
hoe bovenstaande rekenregels en standaardafgeleiden toegepast worden.
1. Bereken de afgeleide van de functie f (x) = x. Het gaat hier om een standaardafgeleide, nl. van de functie f (x) = xn met n = 1. We bekomen
f ′ (x) =
d n
n=1
[x ] = nxn−1 = 1 · x1−1 = 1 · x0 = 1 · 1 = 1.
dx
Dus de afgeleide van de functie f (x) = x is de functie f ′ (x) = 1. Men noteert dit
d
[x] = 1.
ook als
dx
√
2. Bereken de afgeleide van de functie f (x) = x. Het gaat hier om een standaardafgeleide, nl. van de functie f (x) = xn met n = 1/2. We bekomen dus
f ′ (x) =
d n
[x ] = nxn−1
dx
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
n=1/2
=
1
1 1 −1 1 − 1
x2 = x 2 = √ .
2
2
2 x
10 - 6
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
Dus de afgeleide van de functie f (x) =
noteert dit ook als
1
d √
[ x] = √ .
dx
2 x
√
1
x is de functie f ′ (x) = √ . Men
2 x
3. Bereken de afgeleide van de functie f (x) = x4 ln x. Omdat het hier om een
product van twee functies gaat, moeten we gebruik maken van de productregel.
We bekomen
f ′ (x) =
=
=
=
=
d
[f (x)]
dx
d 4
x ln x
dx
d
d 4
[ln x]
x + x4 ·
ln x ·
dx
dx
1
ln x · 4x3 + x4 ·
x
3
x (4 ln x + 1) .
4. Bereken de afgeleide van de functie
f (x) =
ln x
.
sin x
Omdat het hier om een quotiënt van twee functies gaat, moeten we gebruik maken
van de quotiëntregel. We bekomen
f ′ (x) =
=
=
=
=
d
[f (x)]
dx d ln x
dx sin x
d
[ln x] − ln x ·
sin x · dx
sin2 x
sin x
− ln x · cos x
x
sin2 x
ln x cos x
1
.
−
x sin x
sin2 x
d
dx
[sin x]
Soms kunnen we een quotiënt van functies ook afleiden zonder de quotiëntregel
te gebruiken, zoals blijkt uit volgend voorbeeld.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 7
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
5. We berekenen de afgeleide van de functie f (x) =
f ′ (x) =
=
=
=
=
=
−2
.
5x
d
[f (x)]
dx d −2
dx 5x
d
2 −1
− x
dx
5
2 d −1 −
x
5 dx
2
− (−1) x−2
5
2
.
5x2
6. Bereken de afgeleide van de functie
f (x) =
q
3
(x2 + 3)4 .
Om het berekenen van de afgeleide te vereenvoudigen, kunnen we het functievoorschrift van f best herschrijven tot
4/3
f (x) = x2 + 3
.
De functie f is een samenstelling van twee andere functies. D.w.z. dat f (x) te
schrijven is als f (x) = h(g(x)) met g(x) = x2 + 3 en h(x) = x4/3 . De afgeleiden
van g en h zijn gegeven door respectievelijk g ′ (x) = 2x en h′ (x) = (4/3) x1/3 . Met
behulp van de kettingregel voor het afleiden van samengestelde functies bekomen
we dan voor f ′ ,
d
[f (x)]
f ′ (x) =
dx
d
=
[h (g(x))]
dx
d
[g(x)]
= h′ (g(x)) ·
dx
4 2
d 2
=
(x + 3)1/3 ·
x +3
3
dx
4 2
=
(x + 3)1/3 · 2x
3 √
8x 3 x2 + 3
=
.
3
Bij het afleiden van een samengestelde functie hoeft men natuurlijk niet steeds
de samenstellende functies expliciet te benoemen en af te leiden, men mag rechtstreeks de afgeleide van de samengestelde functie neerschrijven zoals in het voorbeeld hieronder.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 8
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
2
7. Bereken de afgeleide van de functie f (x) = 5x . Het gaat hier opnieuw om een
samengestelde functie. De afgeleide vinden we dus met behulp van de kettingregel :
d
[f (x)]
dx
d h x2 i
=
5
dx
f ′ (x) =
d 2
x
dx
2
= 5x ln 5 · 2x
2
= (2 ln 5) x 5x .
2
= 5x ln 5 ·
8. Bereken de afgeleide van de functie
f (x) =
x
1 + 2x
4
.
Gebruikmakend van de kettingregel en de quotiëntregel bekomen we
d
[f (x)]
dx
"
4 #
d
x
=
dx
1 + 2x
3
x
d
x
=4
·
1 + 2x
dx 1 + 2x
=4
x
1 + 2x
=4
x
1 + 2x
=
3
3
(1 + 2x) ·
d
[x]
dx
−x·
(1 + 2x)2
d
[1
dx
+ 2x]
(1 + 2x) · 1 − x · 2
(1 + 2x)2
4x3
.
(1 + 2x)5
√
5 cos3 (4t2 − 7). Als we de
9. We berekenen
de
afgeleide
van
de
functie
s(t)
=
√
factor 5 niet in rekening brengen, hebben we te maken met een samenstelling
van drie functies, m.n. de functies f (t) = 4t2 − 7, g(t) = cos t en h(t) = t3 . Om
s′ te berekenen, moeten we de kettingregel twee keer toepassen:
d
[s(t)]
dt
i
d h√
5 cos3 4t2 − 7
=
dt
√ d 3
= 5·
cos 4t2 − 7
dt
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
√
d 5 · 3 cos2 4t2 − 7 ·
cos 4t2 − 7
dt
√
d 2
2
2
2
= 3 5 cos 4t − 7 − sin 4t − 7 ·
4t − 7
dt
√
= − 3 5 cos2 4t2 − 7 sin 4t2 − 7 · 8t
√
= − 24 5 t sin 4t2 − 7 cos2 4t2 − 7 .
=
10 - 9
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
10. Bereken de tweede afgeleide van de functie g(x) = Bgsin x + x.
d2
[g(x)]
dx2
d2
= 2 [Bgsin x + x]
dx d d
=
[Bgsin x + x]
dx dx
d
1
√
+1
=
dx
1 − x2
i
d h
d
2 −1/2
=
1−x
+ [1]
dx
dx
1
d
−3/2
= −
1 − x2
·
1 − x2 + 0
2
dx
1
(−2x)
= − q
2 (1 − x2 )3
x
= q
.
3
2
(1 − x )
11. Bereken de derde afgeleide van de functie
f (x) = 2 ex
2 −1
− sin 3x +
x3
12
+ 4x2 − 6x − .
2
5
We vinden
3x2
+ 8x − 6
2
2
2
f ′′ (x) = 8x2 ex −1 + 4 ex −1 + 9 sin 3x + 3x + 8
f ′ (x) = 4x ex
2 −1
f ′′′ (x) = 16x3 ex
− 3 cos 3x +
2 −1
+ 24x ex
2 −1
+ 27 cos 3x + 3.
12. Stel dat g een afleidbare functie is. Geef de afgeleide van de functie f in termen
van de afgeleide van de functie g als f bepaald wordt door het functievoorschrift
f (x) = ln g(x).
We vinden
f ′ (x) =
4
4.1
d
1
d
g ′ (x)
[ln g(x)] =
·
[g(x)] =
.
dx
g(x) dx
g(x)
Toepassingen
Minimum-maximum problemen
Een belangrijke toepassing van de afgeleide functie ligt in het zoeken van minima en
maxima van functies. Hier is een aparte module aan gewijd.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 10
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
4.2
Toepassing uit de fysica: Harmonische oscillator
In de cursus fysica zullen we zien dat wanneer een massa aan een veer een trillende beweging uitvoert (in het verlengde van de veer), de uitwijking x van de massa t.o.v. haar
rusttoestand, in functie van de tijd t, beschreven wordt door
x(t) = A cos ωt.
Hierin zijn de amplitude A > 0 en de hoeksnelheid ω > 0 reële constanten. De snelheid
v waarmee de massa trilt (in functie van de tijd) kunnen we bepalen door de uitwijking
x af te leiden naar de tijd t. Met de kettingregel vinden we
v(t) =
dx(t)
d
=
(A cos ωt)
dt
dt
d
= A(− sin ωt) (ωt)
dt
= − ωA sin ωt.
Op analoge manier wordt de versnelling a van de massa in functie van de tijd gevonden
door de snelheid v op haar beurt af te leiden naar de tijd:
a(t) =
4.3
d
dv(t)
=
(−ωA sin ωt)
dt
dt
= − ω 2 A cos ωt.
Vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie
De afgeleide van een functie kan gebruikt worden om de vergelijking van de raaklijn
aan de grafiek van die functie in een gegeven punt van de grafiek te bepalen. De
afgeleide f ′ (a) van een functie f in een punt a ∈ R is namelijk niets anders dan de
richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f (a)) op die
grafiek. De vergelijking van de raaklijn t1 in het punt (a, f (a)) aan de grafiek is dan
gegeven door
y = t1 (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a)
Voorbeeld 4.1
Zij f de functie met voorschrift f (x) = x3 − x. We zoeken de vergelijking van de
raaklijn t1 aan de grafiek van f in het punt P (−1, 0) ∈ graf f . De richtingscoëfficiënt
van deze raaklijn is gegeven door f ′ (−1) = 3 (−1)2 − 1 = 2. Van de gezochte rechte t1
kennen we dus de richtingscoëfficiënt en een punt, nl. P (−1, 0). Dit is voldoende om
de vergelijking op te stellen:
t1 ↔ y = 2 (x − (−1))
↔ y = 2x + 2.
Grafiek en raaklijn zijn getekend in figuur 2.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 11
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
2
t1
f
1
P
−2
x
1
−1
2
−1
−2
Figuur 2: Grafiek van f (x) = x3 − x met raaklijn t1 in P (−1, 0)
4.4
Hogere orde benaderingen (B-programma)
De raaklijn t1 ↔ y = f (a) + f ′ (a)(x − a) uit de vorige paragraaf, kan gezien worden
als een benadering van de functie f in de buurt van het punt a. Omdat de raaklijn
beschreven wordt door een veelterm van de eerste graad, noemen we dit de eerste orde
benadering van f in de buurt van a, of een lineaire benadering in de buurt van a. Zoals
we ons kunnen afvragen wat de ’beste’ lineaire benadering van een functie f rond a
is, zo kunnen we ons ook afvragen wat de beste kwadratische functie zou zijn om f te
benaderen rond a.
De beste lineaire benadering t1 voldoet aan t1 (a) = f (a) en t′1 (a) = f ′ (a). De beste
kwadratische functie t2 die f rond a benadert, heeft naast dezelfde functiewaarde en
eerste afgeleide, ook een identieke tweede afgeleide in a. De voorwaardes worden dus:
t2 (a) = f (a)
t′2 (a) = f ′ (a)
t′′2 (a) = f ′′ (a)
Men kan eenvoudig nagaan dat de kwadratische functie die hieraan voldoet gegeven is
door
f ′′ (a)
(x − a)2 .
t2 (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
2
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 12
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
Voorbeeld 4.2
Beschouwen we opnieuw de functie f met voorschrift f (x) = x3 − x. We zoeken de
tweede orde benadering rond het punt P (−1, 0) ∈ graf f . Aangezien f (−1) = 0,
f ′ (−1) = 2 en f ′′ (−1) = −6 is deze tweede orde benadering gegeven door:
t2 (x) = 0 + 2(x + 1) − 3(x + 1)2 = 2x + 2 − 3x2 − 6x − 3 = −3x2 − 4x − 1
De functies f en t2 zijn getekend in figuur 3.
2
t1
f = t3
1
P
−2
x
1
−1
2
−1
t2
−2
Figuur 3: Grafiek van f (x) = x3 − x met tweede orde benadering t2 in P (−1, 0)
In het algemeen zal een n-de orde benadering rond a gegeven worden door een veelterm
tn van graad n die voldoet aan
(k)
t(k)
(a), ∀0 ≤ k ≤ n.
n (a) = f
Men kan eenvoudig nagaan dat de volgende veelterm aan deze voorwaarden voldoet:
tn (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k
Voorbeeld 4.3
Beschouwen we opnieuw de functie f met voorschrift f (x) = x3 − x. Aangezien dit
reeds een veelterm van de derde graad is, moet de beste derdegraadsbenadering gegeven
worden door t3 (x) = f (x).
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 13
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
Voorbeeld 4.4
We zoeken de beste vierde orde benadering voor de functie g met als voorschrift g(θ) =
cos(θ) in de buurt van θ = 0. Aangezien g(0) = 1, g ′ (0) = 0, g ′′ (0) = −1, g ′′′ (0) = 0 en
g (iv) = 1 is deze vierde orde benadering gegeven door:
θ2 θ4
t4 (θ) = 1 −
+ .
2
24
De functies g en de benaderingen tot vierde orde in de buurt van 0 zijn getekend in
figuur 4.
t4
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
−2
t1
1
2
3
4
cos θ
5
6
θ
t2
Figuur 4: Grafiek van g(θ) = cos(θ) met benaderingen in (0, 1).
4.5
De regels van de l’Hôpital (B-programma)
In de module ”Limieten en asymptoten van rationale functies”worden de rekenregels
voor limieten uitvoerig besproken. Voor de zogenaamde onbepaalde vormen konden
echter geen algemene rekenregels geformuleerd worden. Deze onbepaalde vormen wer∞
0
den symbolisch genoteerd met ∞ − ∞, 0 · ∞, en . De regels van de l’Hôpital bieden
0
∞
0
∞
een manier om limieten van de vorm en
verder uit te werken.
0
∞
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 14
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
Eigenschap 4.5 (Eerste regel van de l’Hôpital)
Neem aan dat f en g afleidbare functies zijn in een omgeving van het punt a met
f (a) = g(a) = 0. Indien g ′ (x) 6= 0 voor x 6= a in een omgeving van a en indien de
limiet
f ′ (x)
=L
lim
x→a g ′ (x)
bestaat, dan geldt:
f (x)
=L
x→a g(x)
lim
Eigenschap 4.6 (Tweede regel van de l’Hôpital)
Neem aan dat f en g afleidbare functies zijn in een omgeving van het punt a, maar
niet noodzakelijk in a zelf,en dat lim f (x) = ∞ en lim g(x) = ∞. Indien g ′ (x) 6= 0 voor
x→a
x→a
x 6= a in een omgeving van a en indien de limiet
f ′ (x)
=L
x→a g ′ (x)
lim
bestaat, dan geldt:
lim
x→a
f (x)
=L
g(x)
Onbepaalde vormen ∞ − ∞ en 0 · ∞ kunnen vaak teruggebracht worden tot de onbe0
∞
paalde vormen of
. Bijvoorbeeld:
0
∞
0·∞=
∞
1
0
=
∞
∞
Ook onbepaalde vormen van het type 00 , ∞0 en 1∞ kunnen dikwijls herleid worden
0
∞
naar of
. Hierbij gebruiken we dat de logaritme een continue functie is:
0
∞
i
h
ln lim f (x)g(x) = lim ln f (x)g(x)
x→a
x→a
= lim [g(x) ln f (x)]
x→a
Als bovenstaande limiet bestaat en gelijk is aan L, dan is
lim f (x)g(x) = exp(L)
x→a
Voorbeeld 4.7
a x
.
Bereken lim 1 +
x→∞
x
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 15
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
lim ln
x→∞
h
1+
h
a x i
a i
= lim x ln 1 +
x→∞
x
x
a
ln 1 + x
= lim
1
x→∞
(H)
= lim
x
a
− x2 +ax
− x12
ax
= lim
=a
x→∞ x + a
x→∞
Hieruit vinden we dat
a x
lim 1 +
= exp(a).
x→∞
x
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 16
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
5
Oefeningen
5.1
Basis (A- en B-programma)
Oefening 1
Bereken de afgeleide van volgende functies
(a) f (t) = (1 + t) ln t
(b) f (t) = t2 cos t
(c) f (t) =
−1
t2
(d) f (t) =
3t − 1
2t + 2
(e) f (x) = sin(4x + 5)
(f) f (t) = ln(7t2 )
(g) f (x) =
4x3 + 1
3x
(h) f (x) = tan
1
x
(i) f (x) = cos(−8x2 − 1)
(j) f (x) = sin3 3x
√
(k) f (x) = x2 − 7x + 8
(l) f (t) = ln t sin(t2 )
(m) f (t) = ln(1 − t2 ).
Oefening 2
Stel dat g een afleidbare functie is. Geef de afgeleide van de functie f in termen van
de afgeleide van de functie g als f bepaald wordt door het functievoorschrift
(a) f (x) = Bgtan g(x)
(b) f (x) = g(3x) + 3g(x) + (g(x))3 + g(x) + g(3) + xg(3) + g(3x ) + 3g(x) .
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 17
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
Oefening 3
Zij a, b, c ∈ R. Bepaal dan de afgeleide van onderstaande functies
(a) s(t) = a + b sin(bt − c)
(b) s(θ) = abθ + cθ2
(c) s(x) = b [1 − cos(a2 x)].
Oefening 4
Bereken de tweede afgeleide van elk van volgende functies.
(a) f (x) = ln x2
(b) f (θ) = θ cos θ
(c) f (t) = sin t4
Oefening 5
Bepaal
dr
als de functie r gegeven wordt door
dθ
(a) r(θ) = 2 θ1/2 +
3 2/3 4 3/4
θ + θ
2
3
4
1 + 2 cos θ
√
(c) r(θ) = 1 − 2θ
(b) r(θ) =
(d) r(θ) =
a
met a > 0
θ
θ
(e) r(θ) = Aea met A, a > 0
√
(f) r(θ) = a cos 2θ met a > 0 .
Oefening 6
Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt
P ∈ graf f als
(a) f (x) = 4x−4 − 1 en de coördinaten van P zijn P (1, 3)
(b) f (x) = 1 − cos x en de x-coördinaat van P is π/2
(c) f (x) = 1 − x2 en de coördinaten van P zijn P (2, −3).
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 18
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
5.2
Uitbreiding (B-programma)
Oefening 7
In onderstaande figuur zijn de grafieken van een functie f geschetst, haar eerste afgeleide f ′ en haar tweede afgeleide f ′′ . Welke kromme correspondeert met de grafiek van
f , welke met die van f ′ en welke met die van f ′′ ?
3
2
1
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
Oefening 8
G en H zijn functies van T en voldoen aan
G=H +T
Toon aan dat
dG
dT
d(G/T )
H
=− 2
dT
T
gebaseerd op M. Baelmans en P. Wollants, Thermodynamica, 1e jaar burgelijk ingenieur (2009)
Oefening 9
Geef de lineaire, tweede en derde orde benadering van de volgende functies in de buurt
π
van θ = 0. Wat is het verschil tussen de functiewaarde en de benaderingen voor θ = ?
18
(a) f (θ) = sin θ
(b) f (θ) = 1 − cos θ
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 19
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
Oefening 10
Geef de derde orde benadering in de buurt van 0 voor de volgende functies:
(a) exp x
(b) 1/(1 + x)
(c) ln(1 + x)
Oefening 11
Bereken volgende limieten
x 2 − a2
√
(a) lim √
x→a
x− a
(b) lim+ xx
x→0
(c) lim x4 e−x
2
x→+∞
sin x
x→0 x
(d) lim
(e) lim 2x ln x
x→0
sin2 x − sin(x2 )
x→0
x4
(f) lim
1
1
− 2
2
x→0 sin x
x
(g) lim
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 20
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
6
1
Oplossingen
(a) ln t +
1
+1
t
(b) 2t cos t − t2 sin t
(c) 2t−3
(d) 2(t + 1)−2
(e) 4 cos(4x + 5)
(f)
2
t
(g)
8x3 − 1
3x2
(h) −(x cos(x−1 ))−2
(i) 16x sin(−8x2 − 1)
(j) 9 sin2 (3x) cos(3x)
(k)
2x − 7
√
2 x2 − 7x + 8
(l)
sin t2
+ 2t ln t cos t2
t
(m)
2
−2t
1 − t2
(a)
g ′ (x)
1 + g 2 (x)
(b) 3g ′ (3x) + 3g ′ (x) + 3g 2 (x)g ′ (x) + g ′ (x) + g(3) + 3x ln 3g ′ (3x ) + 3g(x) ln 3g ′ (x)
3
(a) b2 cos(bt − c)
(b) ab + 2cθ
(c) a2 b sin(a2 x)
4
(a) −2x−2
(b) −2 sin θ − θ cos θ
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 21
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
(c) −16t6 sin t4 + 12t2 cos t4
5
(a) θ−1/2 + θ−1/3 + θ−1/4
(b)
8 sin θ
(1 + 2 cos θ)2
−1
(c) √
1 − 2θ
(d)
−a
θ2
(e) Aaθ ea
θ
−a sin 2θ
(f) √
cos 2θ
6
(a) y = −16x + 19
(b) y = x −
π
+1
2
(c) y = −4x + 5
7 De grafiek van f is een streepjeslijn, die van haar afgeleide f ′ is een volle lijn, die
van de tweede afgeleide f ′′ de gepunte lijn.
9
π
π
(a) t1 (θ) = θ; sin( 18
) − t1 ( 18
) = 0.0009;
π
π
) = 0.0009;
t2 (θ) = θ; sin( 18 ) − t2 ( 18
θ3
π
π
t2 (θ) = θ − 6 ;sin( 18 ) − t3 ( 18
) = 1 × 10−6
π
π
(b) t1 (θ) = 0; cos( 18
) − t1 ( 18
) = 0.015;
π
π
θ2
t2 (θ) = 2 ; cos( 18 ) − t1 ( 18 ) = −4 × 10−5
10
(a) y = 1 + x + x2 /2 + x3 /6
(b) y = 1 − x + x2 − x3
(c) y = x − x2 /2 + x3 /3
11
(a) 4a3/2
(b) 1
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10 - 22
Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen
(c) 0
(d) 1
(e) 0
(f) -1/3
(g) 1/3
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie