functieverloop 1/3/2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Wiskunde: functieverloop
1/3/2017
dr. Brenda Casteleyn
Met dank aan:
Atheneum van Veurne, Leen Goyens
(http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding
Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens,
gerangschikt per thema.
De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het
atheneum van Veurne had een prachtige website maar deze is helaas niet meer online.
2. Oefeningen over functieverloop
1997 – Juli Vraag 2
De functie f: R
<A>
<B>
<C>
<D>
R: f(x) =
Heeft geen buigpunt(en)
Vertoont een buigpunt voor x = 0
Vertoont twee buigpunten, voor x = -1 en voor x = +1
Vertoont twee buigpunten, voor x = - √3 en voor x = √3
1997 – Juli Vraag 3
De functie f: R
<A>
<B>
<C>
<D>
R, f(x) =
Heeft rechte x = -1 als verticale asymptoot
Heeft rechte x = 1 als horizontale asymptoot
Heeft recht y = 2x + 1 als schuine asymptoot
Heeft rechte y = 2x – 1 als schuine asymptoot
1997 – Juli Vraag 10
Aan de vier hoeken van een rechthoekig stuk karton van 80 cm op 50 cm snijdt men gelijke
vierkanten weg. Van de rest maakt men een doos zonder deksel; de maximale inhoud van
deze doos in cm3 is:
<A>
<B>
<C>
<D>
14000
16000
18000
20000
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 2
1997 –Augustus Vraag 2
Welke van de volgende verzamelingen bevat minstens één nulpunt van de veeltermfunctie:
f:x
y(x) = 2x4 – 4x3 – 13x2-6x-24 ?
<A>
<B>
<C>
<D>
{-5;-1;2;7}
{-4;-1.5;1;16}
{-7;-0.5;3;5}
{-3;-2.5;4;9}
1997 – Augustus Vraag 6
Welke van de volgende beweringen is juist? De rationele functie:
F: x y(x) =
<A>
<B>
<C>
<D>
heeft de rechte y = 0 als asymptoot
Vertoont geen relatieve extrema
Heeft de rechte y = x + 2 als schuine asymptoot
Heeft de rechte y = x – 2 als schuine asymptoot
1997 – Augustus Vraag 8
Beschouw een cylindrisch vat (zonder deksel) met gegeven volume V0m3.
Als de oppervlakte van het vat minimaal is, welk verband is er dan tussen de hoogte h (in m)
van het vat en de straal r (in m) van het grondvlak?
<A>
<B>
<C>
<D>
h = 0.75 r
h=r
h = 1.5r
h = 2r
1997 – Augustus Vraag 9
Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie
F: x
y(x) = 6ac x3 + 4bc x2 + 9ad x + 6bd
Is NIET juist?
<A>
<B>
<C>
<D>
Als a = 0 en bcd ≠0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten
Als 2c+3d=0 dan heeft de veeltermfunctie +1 en -1 als nulpunten
Als cd > 0 dan heeft de veeltermfunctie 2 tegengestelde nulpunten
Als a = 2 heeft de veeltermfunctie –b/3 als nulpunten
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 3
1997 – Augustus Vraag 11
Beschouw de volgende irrationele functie: f: x
y(x) = - √−
−2 +8
Welke van de volgende beweringen is NIET juist?
<A>
<B>
<C>
<D>
Ze heeft een buigpunt voor x = 2
Ze heeft een minimum voor x = -1
Ze is alleen gedefinieerd in het interval [-4,2]
Ze heeft twee snijpunten met y = -2
2000 – Juli Vraag 2
Welke van de volgende beweringen is juist?
De rationale functie f: x
<A>
<B>
<C>
<D>
y(x) = x2 -
Heeft de recht y = 0 als asymptoot
Vertoont een (relatief) minimum
Heeft de rechte y = x en y = -x als schuine asymptoten
Heeft een schuine asymptoot
2000 – Juli Vraag 8
Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie
f: x
y(x): 3x4 – 10x3 -12x2 + 12x -7
Welke van de volgende beweringen is juist?
<A>
<B>
<C>
<D>
Voor x = -1/2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd
Voor x = 0 is haar bolle zijde naar boven gekeerd
Voor x = 2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd
Voor x = 3 is haar bolle zijde naar boven gekeerd
2001 – Augustus Vraag 1
Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie
f: x
y(x) = 2ac x3 + 3bc x2 - 8ad x -12bd
Is NIET juist?
<A>
<B>
<C>
<D>
Als a = 0 en bcd ≠0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten
Als c=d<0 dan heeft de veeltermfunctie +2 en -2 als nulpunten
Als a = 3 dan heeft de veeltermfunctie b/2 als nulpunt
Als abcd ≠ 0 dan heeft de veeltermfunctie hoogstens 3 nulpunten
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 4
2001 – Augustus Vraag 2
Welke van de volgende beweringen is NIET juist?
De rationale functie: f: x
<A>
<B>
<C>
<D>
y(x) =
Heeft de rechte y = 2 als asymptoot
Heeft een verticale asymptoot
Heeft een schuine asymptoot
Vertoont een buigpunt
2001 – Augustus Vraag 9
Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top
(-2,3).
Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met
straal 2.
<A>
<B>
<C>
<D>
Beide beweringen zijn juist.
Alleen de eerste bewering is juist.
Alleen de tweede bewering is juist.
Beide beweringen zijn onjuist.
2002 - Juli Vraag 1
Beschouw de grafiek van volgende veeltermfunctie:
y(x) = 4 x3 - 21 x2 + 18 x - 9
Welke van de volgende beweringen is juist?
<A>
<B>
<C>
<D>
voor x= 1/2 vertoont zij een relatief minimum
voor x= 3vertoont zij een relatief minimum
voor x= 7/4 vertoont zij een relatief maximum
voor x= 3 vertoont zij een relatief maximum
2002 -Juli Vraag 10
Beschouw de kromme x2y + 3y -4 = 0. De waarde van de afgeleide y’ in een punt van de
kromme met x=3 is
<A>
<B>
<C>
<D>
-1/6
0
1/6
1
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 5
2002 - Augustus Vraag 1
Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie y=−2x3+5x2+4x+5. Welk van de volgende
beweringen is juist?
<A>
<B>
<C>
<D>
x = 5/6 is een relatief maximum
x = -1/3 is een relatief maximum
x = 5/2 is een relatief maximum
x = 2 is een relatief maximum
2002 - Augustus Vraag 10
Gegeven is de vergelijking van een bepaalde kromme: x.y + x – 2y – 1 = 0
Hoeveel bedraagt de afgeleide y’ in een punt van deze kromme voor x = 3?
<A>
<B>
<C>
<D>
1
0
½
1
2007 – Augustus Vraag 2
Welke van de volgende beweringen over de rationale functie
f: x
y(x) =
<A>
<B>
<C>
<D>
is NIET juist?
De functie heeft de rechte y = 2 als asymptoot
De functie heeft een verticale asymptoot
De functie heeft een schuine asymptot
De functie heeft twee nulpunten
2008 – Juli Vraag 4
Als 0 ≤ x ≤ 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door √1 +
Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee uitdrukkingen?
<A>
<B>
<C>
<D>
[0,06;0,07[
[0,07;0,08[
[0,08;0,09[
[0,09;0,10[
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 6
2008 - Juli Vraag 7
We beschouwen de parabool y =
+ 3x + 6 en zijn afgeleide y’ = -x +3
Welke uitspraak is onjuist?
<A>
Het snijpunt van de rechte met de x-as komt overeen met de top van de
parabool
<B>
De afgeleide functie is een dalende rechte omdat de parabool met zijn holle
zijde naar onder ligt.
<C>
De afgeleide functie van een parabool heeft steeds twee snijpunten met de
parabool.
Als de rechte onder de x-as zit, dan is de parabool dalend.
<D>
2008 - Augustus Vraag 8
Beschouw de veeltermfunctie: f(x) = 3x3+27x2+5
Welke uitspraken over nulpunten, extrema en buigpunten is verkeerd?
<A>
<B>
<C>
<D>
De functie heeft x=5 en x=1 niet als nulpunt.
De functie heeft twee extrema bij x=0 en x=-6.
De functie heeft een buigpunt bij x=-3
De holle kant van de functie ligt naar onder in de buurt van x=0
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 7
2009 - Juli Vraag 1
Gegeven is een parabolische functie: f (x) = 2 x2 - 2x -1
Waar ligt de top van deze parabool?
<A>
<B>
<C>
<D>
X = - 1/2
X = 1/2
X=1
X=2
2009 – Juli Vraag 2
Gegeven is een derdegraadsfunctie:
f (x) = 4 x3 + 2 x2 + x -1/6
Welke buigpunten heeft deze functie?
<A>
<B>
<C>
<D>
een buigpunt op x = -1/6
eeen buigpunt op x = 1/6
een buigpunt op x = 0
een buigpunt op x = 1
2009 - Juli Vraag 3
Gegeven is een parabolische functie: f(x) = 2x2 – 2x -1
Waar ligt de top van deze parabool?
<A>
<B>
<C>
<D>
x = - 1/2
x=½
x=1
x =2
2009 - Juli Vraag 10
Hoeveel reële nulpunten heeft deze functie x3 – x2 – 3x -9
<A>
<B>
<C>
<D>
0
1
2
3
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 8
2010 - Augustus Vraag 5
De grafiek van de functie y(x)=(x2−4x)/(x+2)2:
<A>
<B>
<C>
<D>
Vertoont een relatief minimum tussen de twee nulpunten
Vertoont een relatief minimum buiten de twee nulpunten
Vertoont een relatief maximum tussen de twee nulpunten
Vertoont een relatief maximum buiten de twee nulpunten
2011 - Juli Vraag 3
Gegeven is de volgende veelterm: x4 – 3x3 + x2 – 5x + 6
Hoeveel reële nulpunten heeft deze veelterm?
<A>
<B>
<C>
<D>
1
2
3
4
2011 - Juli Vraag 7
Gegeven is de functie y =
Slechts één van de volgende uitspraken over asymptoten en buigpunten is correct, welke?
<A>
<B>
<C>
<D>
Deze functie heeft een verticale asymptoot en geen buigpunten
Deze functie heeft een verticale asymptoot en één buigpunt
Deze functie heeft een schuine asymptoot en één buigpunt
Deze functie heeft een schuine asymptoot en twee buigpunten
2011 - Augustus Vraag 3
Gegeven is de volgende rationele functie: y =
Welke uitspraak is verkeerd?
<A>
<B>
<C>
<D>
Deze functie heeft geen nulwaarden en één verticale asymptoot
Deze functie heeft één buigpunt en een verticale asymptoot
Deze functie heeft één verticale asymptoot en één schuine asymptoot
Deze functie heeft geen buigpunt en een schuine asymptoot
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 9
2012 - Juli Vraag 2
Hieronder is de functie y=2x²+2x+3/2 afgebeeld.
Een niet horizontale rechte gaat door punt P(2,1) en heeft een raakpunt met deze parabool.
Hoeveel bedraagt de helling van deze raaklijn.
A.
B.
C.
D.
8
12
20
32
2012 – Juli Vraag 5
In een onderzoek gaat men het verband na tussen onverwachte mortaliteit (y) en het
gemiddelde aantal uren slaap (x) van deze personen.
Dit verband wordt weegegeven door de volgende best passende functie:
Y = 100x2 – 1500x + 600
Bij welk gemiddeld aantal uren slaap was in dit onderzoek de mortaliteit het kleinst?
<A>
<B>
<C>
<D>
6,5 uur
7 uur
7.5 uur
8 uur
2012 – Augustus Vraag 7
De werking van een geneesmiddel wordt onderzocht voor dosissen van 0 tot 2 gram/dag.
Na regressieanalyse van de waarnemingen was men in staat het percentage genezen
mensen (A) uit te drukken als functie van de toegediende dosis (d) van een bepaald
geneesmiddel.
A = -d2 + 2d + 3 (0 ≤ d ≤ 2)
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 10
Walke dosis van dit geneesmiddel is het meest effectief?
<A>
<B>
<C>
<D>
2
3/2
1
½
2012 – Augustus Vraag 8
We beschouwen de kwadratische functie: y = -2x2 + 2
Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4) heeft één punt gemeenschappelijk met deze
parabool. Hoeveel bedraagt de helling van die rechte?
De gezochte rechte is niet verticaal en is niet parallel met de rechte y = 4x.
<A>
<B>
<C>
<D>
-4
¼
-2
½
2013 - Juli Vraag 3 versie1
We beschouwen de volgende rationale functie:
=
Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie:
1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1
2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1
3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1
4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1
Welke van deze uitspraken zijn correct?
<A>
<B>
<C>
<D>
1
2
1 en 3
2 en 4
2013 - Juli Vraag 3 versie2
We beschouwen de volgende rationale functie:
=
Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 11
1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1
2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1
3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1
4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1
Welke van deze uitspraken zijn correct?
<A>
<B>
<C>
<D>
1 en 4
2 en 3
1,2 en 3
1, 2 en 4
2013 - Juli Vraag 6
We beschouwen de functie:
=
− 2 +4
Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2
<A>
<B>
<C>
<D>
0
1
2
3
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 12
2013 - Juli Vraag 8 versie 1
Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer?
2013 - Juli Vraag 8 versie 2
In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend. Welke van de volgende curven
geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer?
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 13
2013 - Augustus Vraag 4
We beschouwen de volgende rationale functie: y(x) =
Welke uitspraak is correct?
A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1
B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1
C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -√3
D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = √3
2013 - Augustus Vraag 7
Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x2 + 2x door het punt (-1/2, -3)?
<A>
<B>
<C>
<D>
0
1
2
3
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 14
2013 - Augustus Vraag 8
Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek.
y = 1 - (x - 2)3
y = 1 + (x - 2)3
y = 2 - (x - 1)3
y = 1 + (x - 1)3
Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2)3 voor?
<A>
<B>
<C>
<D>
grafiek A
grafiek B
grafiek C
grafiek D
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 15
2014 – Juli Vraag 3
Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie.
y
x
Welk functievoorschrift is correct?
<A>
<B>
<C>
<D>
Y = 300 + 200.
Y = 300 + 200.
Y = 500 - 200.
Y = 500 - 200.
.
.
.
.
2014 – Juli Vraag 8
Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte.
Y = -x – ¼
y = x2 +m.x + 2
Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool. Hoeveel
bedraagt de som van die waarden voor m?
<A>
<B>
<C>
<D>
6
-6
2
-2
2014 – Augustus Vraag 3
Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 16
y
700
500
300
100
x
Welk functievoorschrift is correct?
<A>
<B>
<C>
<D>
Y = 700 – 200.e-0,025x
Y = 700 – 200.e0,025x
Y = 500 + 200.e0,025x
Y = 500 + 200.e -0,025x
2015 - Juli Vraag 4
Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x2 + x + 1 en y = 2x2 -2x +3
<A>
<B>
<C>
<D>
4
2
1
0
2015 - Juli Vraag 9
Bepaal het domein van S, als
<A>
<B>
<C>
<D>
een sinus van hoek α is.
]- ∞ , 0]
]- ∞ , 0]U [2/3, + ∞ [
]- ∞ , 1/2]
]- ∞ , -1/2]U [1/2, + ∞ [
2015 - Juli Vraag 10
Gegeven is een parabool: y = 2x2 + (a-1)x + (a2 - 1) met a ϵ 0,1
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 17
We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool.
Hoeveel bedraagt deze som maximaal?
<A>
<B>
<C>
<D>
1/2
5/4
0
3/2
2015 – Augustus Vraag 3
De functie f is bepaald door het voorschrift f(x) = x2e-x. Over welk interval is deze functie
monotoon dalend?
<A>
<B>
<C>
<D>
]1,2[
]-1,1[
]0,1[
]2,3[
2015 - Augustus Vraag 5
Het aantal snijpunten van de parabolen met vergelijking y = x2 en x = y2 is gelijk aan
<A>
<B>
<C>
<D>
4
3
2
1
2016 - Juli Geel Vraag 10
Gegeven is de functie met voorschrift f(x) = x3 – 11 x2 – 25x – 13. De rechte met vergelijking
y = px + q raakt de grafiek van f in het punt A(a,f(a)) en snijdt de grafiek van f in het punt
B(13,0). Als A en B verschillende punten zijn, dan is p + q gelijk aan
<A>
<B>
<C>
<D>
-2352
-1
0
1
2016 - Juli Geel Vraag 13
Beschouw drie functies f, g en h met functievoorschriften
f(x) = sin (x/2)
g(x) = 1 – e-x
h(x) =
De grafieken van f, g en h gaan door de oorsprong O. De volgende figuur toont de grafieken
van deze functies op een gesloten interval waarvan het linkereindpunt de oorsprong is.
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 18
Welke grafiek stemt overeen met welke functie?
<A> (a) met f, (b) met g, (c) met h
<B> (a) met g, (b) met f, (c) met h
<C> (a) met g, (b) met h, (c) met f
<D> (a) met f, (b) met h, (c) met g
2016 - Augustus Geel Vraag 4
Beschouw de punten P(√2, √2) en Q (√4, √2) De grafieken van de functies f en g met
voorschrift f(x) : x2 - √2 en g(x) = √ snijden elkaar
!
<A> in P en in Q
<B> in P,maar niet in Q
<C> in Q, maar niet in P
<D> niet in P en niet in Q
2016 - Augustus Geel Vraag 5
In deze figuur staat de grafiek van één van de functies f waarvan het voorschirft hieronder is
gegeven. Wat is dat voorschrift?
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 19
<A> f(x) = ex – sin 2x
<B> f(x) = ex – sin x
<C> f(x) = ex + sin x
<D> f(x) = ex + sin 2x
2016 – Augustus Geel Vraag 10
Beschouw de functie f bepaald door het voorschrift f(x) = (x – 1).e-x. Als de punten A(a,f(a))
en B(b,f(b)) de raakpunten zijn van de raaklijnen uit de oorsprong aan de grafiek van f, dan is
a + b gelijk aan
<A> -2
<B> -1
<C> 1
<D> 2
2016 – Augustus Geel Vraag 11
Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) =
]-4,-3[, ]-3,-2[,
]-2,-1[,
en de acht open intervallen
]-1,0[, ]0,1[,
]1,2[,
]2,3[,
]3,4[
De functie is negatief
<A> in precies één van deze intervallen
<B> in precies twee van deze intervallen
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 20
<C> in precies drie van deze intervallen
<D> in precies vier van deze gevallen
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 21
3. Oplossingen oefeningen
1997 – Juli Vraag 2
Gegeven: De functie f: R
R: f(x) =
Gevraagd: buigpunt
2de afgeleide
Oplossing: Buigpunt
"
f’(x) =
f’’(x) =
=
(
=
(
=
(
#
)
(
"
#(
)["
)
(
=
(
(
)
)
)
&
)
)&
(
)&
(
"
)
#(
&
=
(
#. "
"
&
=
)
(
(
)
)
#
#]
)
)
Tekenverloop:
x
f”(x)
-1
-
Ι
0
+
0
1
-
Ι
+
Tekenverandering in 0, dus buigpunt enkel in 0
Antwoord B
1997 – Juli Vraag 3
Ter herinnering:
Verticale asymptoot: nulwaarde(n) van de noemer, die niet in de teller voorkomen.
Horizontale asymptoot: als de graad van de teller kleiner of gelijk is aan de graad van de
noemer. Door waarden in te vullen,kan je de asymptoot vinden.
Schuine asymptoot: als de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer. Je vindt
die asymptoot door de euclidische deling van teller gedeeld door noemer en die vergelijking
mag maar van de eerste graad zijn, anders is het geen asymptoot meer
Niets: als de graad van de teller meer dan 1 eenheid groter is dan de graad van de noemer,
heb je geen asymptotisch gedrag.
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 22
Gegeven: De functie f: R
R, f(x) =
Gevraagd: VA, HA, SA?
Oplossing:
VA: x = 1 (= nulpunt noemer)
Geen HA want graad T > graad N
SA bestaat want graad T = graad N+1
Snelste manier is volgende deling
2x2-3x+4
-2x2+2x
-x+4
-x-1
3
SA: y = 2x-1
x-1
2x-1
Antwoord D
1997 – Juli Vraag 10
Gegeven:
x
80-2x
x
x
50-2x
Met x < 25, anders is er geen doos
Gevraagd: maximale inhoud in cm3
Bereken de inhoud van de doos: oppervlakte grondvlak x hoogte
Inhoud = (80-2x)(50-2x).x = (80-2x)(50x-2x2) = 4000x-160x2-100x2+4x3 = 400x-260x2+4x3=
4(1000x-65x2+x3)
Maximale waarde: afgeleide = 0 voor extremum en via tekenverloop maximum bepalen.
Inhoud’(x) =(4(x3-65x2+1000x))’ = 4 (3x2 -130x + 1000)
Nulpunten van deze afgeleide: x = 10 en x = 100/3
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 23
Tekenverloop:
X
10
100/3
Inhoud(x)
stijgt
daalt
Inhoud’(x)
+
0
-
0
stijgt
+
De inhoud bereikt dus een maximale waarde voor x=10
De inhoud is dan I(10) = (80-2.10)(50-2.10).10= 18000
Antwoord C
1997 –Augustus Vraag 2
y(x) = 2x4 – 4x3 – 13x2-6x-24
Gegeven: f : x
Gevraagd: nulpunten
Oplossing:
Alle delers van -24 zijn mogelijke nulpunten, dus 1, -1,2,-2,3,-3 4,-4,8,-8,12,-12
Gebruik regel van Horner:
2
-2
2
-4
-12
6
-24
-4
16
-6
24
-8
3
-12
0
(x+2)(2x3-8x2+3x-12)
Opnieuw Horner toepassen
2
4
2
-8
3
-12
8
0
12
0
3
0
(x+2)(x-4)(2x2+3)
Nulpunten: -2 en 4
Antwoord D
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 24
1997 – Augustus Vraag 6
Gegeven: f: x y(x) =
Gevraagd: asymptoten, extrema
Oplossing:
Geen H.A;. want graad T > graad N
Schuine asymptoot: deling: x2-2x+1 : x = x-2
SA: y = x-2
Antwoord D
1997 – Augustus Vraag 8
Gegeven: volume cilinder V0m3
Gevraagd: verband hoogte vat en straal grondlvak bij minimale oppervlakte vat
Oplossing:
Formule volume cilinder: V = πr2h
Formule oppervlakte vat: oppervlakte grondvlak + oppervlakte mantel
Oppervlakte vat = πr2 + 2πrh
Vervang h uit formule van volume: h = V/ πr2
Dus: Oppervlakte vat = πr2 + 2πr. V/ πr2
Vereenvoudig: Oppervlakte vat = πr2 + 2. V/ r
Een minimale oppervlakte: eerste afgeleide = 0
( πr2 + 2. V/ r)’ =2 πr + -1.2. V/ r2 = 0
2 πr = 2 V/ r2
We kunnen nu V vervangen door de formule van volume:
2 πr = 2 πr2h / r2
2 πr = 2 πh
r=h
Antwoord B
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 25
1997 – Augustus Vraag 9
y(x) = 6ac x3 + 4bc x2 + 9ad x + 6bd
Gegeven: f: x
Gevraagd: welke optie is fout.
Oplossing:
Mogelijkheid A: Als a = 0 en bcd ≠ 0, dan wordt de vergelijking:
y(x) = 4bc x2 + 6bd Aantal mogelijke nulpunten: 0, 1 of 2 want kwadratische vergelijking
Mogelijkheid B: Als 3d = -2c, dan wordt de vergelijking:
y(x) = 6ac x3 + 4bc x2 + (-6c)a x - 4bc
y(-1) = -6ac + 4bc +6ac -4bc = 0
y(1) = 6ac +4bc -6ac -4bc = 0
Mogelijkheid D: Als a=2, dan wordt de vergelijking:
y(x) = 12c x3 + 4bc x2 + 18d x + 6bd
12c(-b3/27) + 4bc(b2/9+18d(-b/3) +6bd
y(-b/3) =
=
-12cb3/27 + 4cb3/9 -18bd/3 + 6bd
=
0
Antwoord C
1997 – Augustus Vraag 11
Gegeven: de irrationele functie: f: x
y(x) = - √−
−2 +8
Gevraagd: foute bewering
Oplossing:
Mogelijkheid B: Minimum voor x = -1?
Afgeleide van - √−
−2 +8
= -1/2(-2x-2)(-x2-2x+8)-1/2
=√
*
Dit wordt = 0 bij x =-1. Uit tekenverloop blijkt dit een minimum te zijn.
Mogelijkheid C: alleen gedefinieerd in interval [-4,2]?
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 26
Domein is beperkt door voorwaarde dat wat onder vierkantswortel staat positief moet zijn.
Dus − − 2 + 8> 0
Bereken nulpunten: D = 36 en x1 = -4 en x2 = 2
Bepaal tekenverloop:
X
√−
-√−
-4
−2 +8
−2 +8
2
///
0
++++++
0
///
///
0
---------
0
///
Dus domein inderdaad tussen -4 en 2
Mogelijkheid D: 2 snijpunten met y = -2?
Los daarvoor volgende vergelijking op:
-2 = - √−
2 = √−
−2 +8
−2 +8
4=−
−2 +8
0=−
−2 +4
Bereken de nulpunten: D2 = 4 + 16 = 20. Dat geeft twee nulpunten
Dus twee snijpunten.
Besluit: Mogelijkheid A moet fout zijn
Antwoord A
2000 – Juli Vraag 2
Gegeven: De rationale functie f: x
y(x) = x2 -
Gevraagd: asymptoten, maxima
y(x) =( x3-27)/x
Er is geen schuine asymptoot want graad teller ≠ graad noemer +1
Er is ook geen horizontale asymptoot want graad teller ≠ graad noemer
Antwoord B
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 27
2000 – Juli Vraag 8
Gegeven: f: x
y(x): 3x4 – 10x3 -12x2 + 12x -7
Gevraagd: juiste bewering: voor welke waarde van x bolle zijde naar boven?
Berekening van tweede afgeleide:
(3x4 – 10x3 -12x2 + 12x -7)’= 12x3-30x2-24x+12
(12x3-30x2-24x+12)’= 36x2 – 60x -24
Mogelijkheid A: y’’(-1/2) = 36/4 + 30 – 24 = 15 >0 (bol onder)
Mogelijkheid B: y’’(0) = -24
bol boven
Mogelijkheid C: y”(2) = 144-120-24 = 0
buigpunt
Mogelijkheid D: y”(3) = 324-180-24= 120
bol onder
Antwoord B
2001 – Augustus Vraag 1
Gegeven: f: x
y(x) = 2ac x3 + 3bc x2 - 8ad x -12bd
Gevraagd: foute bewering?
Oplossing:
Mogelijkheid A: als a = 0 en bcd ≠ 0, dan wordt de vergelijking:
y(x) = 3bc x2 -12bd, dit is een kwadratische vergelijking die geen, 1 of 2 nulpunten heeft
Mogelijkheid B: Als c=d<0, dan wordt de vergelijking:
y(x) = 2ac x3 + 3bc x2 - 8ac x -12bc
Y(2) = 16ac + 12bc – 16ac – 12bc = 0
Y(-2) = -16ac + 12bc +16ac -12bc = 0
Mogelijkheid C: Als a = 3, dan wordt de vergelijking:
y(x) = 6c x3 + 3bc x2 - 24d x -12bd
y(b/2) = 6c(b/2)3 + 3bc(b/2)2 – 24d(b/2) -12bd
= 6cb3/8 + 3cb3/4-12db -12bd≠0
Antwoord C
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 28
2001 – Augustus Vraag 2
Gegeven: De rationale functie: f: x
y(x) =
Gevraagd: foute bewering
Graad teller = graad noemer, dus wel een horizontale asymptoot
Graad teller≠ graad noemer +1, dus geen schuine asymptoot.
Antwoord C
2001 – Augustus Vraag 9
Gegeven: Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top
(-2,3).Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met
straal 2.
Gevraagd: welke bewering juist?
Oplossing:
Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top
(-2,3).
Om de top te berekenen zoek je de afgeleide van x in functie van y:
X = ¼( y² - 6y + 1) en zoek je de afgeleide:
(¼( y² - 6y + 1))’ = ¼(2y-6)
deze vergelijking wordt 0 voor y = 3
Met de oorspronkelijke vergelijking vinden we bij y = 3 de waarde x=-2
De top is dus (-2,3)
Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor metstraal 2.
De standaardvorm van de vergelijking van een cirkel is: (x-a)2+(y-b)2=r2 met middelpunt (a,b)
en straal r.
We vormen de vergelijking om naar de standaardvorm:
y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0
y² - 6y +9-9 + x² - 4x+4-4 + 4 = 0 (toevoeging +9-9 en +4-4 om merkwaardig product te
kunnen toepassen)
(y-3)2-9+ (x-2)2-4+4 = 0
(y-3)2 + (x-2)2 = 32 De straal van de cirkel is dus 3.
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 29
Antwoord B
2002 – Juli Vraag 1
Gegeven: veeltermfunctie: y(x) = 4 x3 - 21 x2 + 18 x - 9
Gevraagd: juiste bewering
Oplossing:
(4 x3 - 21 x2 + 18 x – 9)’ = 12x2 – 42x + 18
Nulpunten: discriminant = 900 en x1 = ½ en x2 = 3
Tweede afgeleide: 24x – 42
nulpunt: x = 7/4 (= buigpunt)
Tekenverloop:
X
½
7/4
f’(x)
+++ 0
f’’(x)
---------------------
f(x)
max
3
--- -------------------0
0 +++++++++
+++++++++++++++
buigpunt
min
Antwoord B
2002 - Juli Vraag 10
Gegeven: Kromme x2y + 3y -4 = 0
Gevraagd: waarde van afgeleide y’ in punt van de kromme met x =3
Oplossing:
Herschrijf de vergelijking: y(x2+3)-4 = 0 of y = 4/(x2+3)
(4/(x2+3))’ =( 0(x2+ 3) – 8x) /(x2+3)2
=-8x /(x2+3)2
y’(3) = -1/6
Antwoord A
2002 - Augustus Vraag 1
Gegeven: veeltermfunctie y=−2x3+5x2+4x+5
Gevraagd: extrema?
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 30
Oplossing:
(−2x3+5x2+4x+5)’= -6x2 +10x +4
= -2(3x2-5x-2)
Ontbinden via Horner: = -2(x-2)(3x+1)
Nulpunten: 2 en -1/3
Tweede afgeleide:
(-6x2 +10x +4)’= -12x+10
Het nulpunt x = 10/12 = 5/6 is een buigpunt
Tekenverloop
x
-1/3
y’
----------
y”
++++++++++++++++++++++++
y
0
0
5/6
2
++++++++++++++++++
min
0 ---------0
--------------------------
buigpt max
Antwoord D
2002 - Augustus Vraag 10
Gegeven: vergelijking: x.y + x – 2y – 1 = 0
Gevraag: afgeleide y’ in een punt van deze kromme voor x = 3?
Oplossing:
xy + x – 2y – 1 = 0
y(x-2) + x = 1
y = (1-x)/(x-2)
y’ =
(
(
y’ = (
)
)
(
)
)
y’(3) = 1
Antwoord D
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 31
2007 – Augustus Vraag 2
Gegeven: de rationale functie f: x
y(x) =
is NIET juist?
Gevraagd: foute bewering
Oplossing:
Horizontale asymptoot: limx
∞
= 2, dus bewering A is juist
Nulpunten: teller heeft twee nulpunten, dus ook D is juist
Er is geen schuine asymptoot want graad teller niet gelijk aan graad noemer +1
Antwoord C
2008 – Juli Vraag 4
Gegeven: Als 0 ≤ x ≤ 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door √1 +
Gevraagd: Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee
uitdrukkingen?
Oplossing:
Grootste afwijking of grootste verschil: maximum of minimum
Verschil: V= 1 + x/2 - √1 +
V’ = ½ -
(
)
=0
extremum
afgeleide = 0
x=0
Is x 0 een minimum of een maximum: invullen: 1 + 0/2 = 1 en √1 + 0 = 1 verschil
=0
Er is geen maximum, dus moeten we kijken binnen de toegelaten voorwaarde wat de
hoogste waarde is, nl. 1: invullen: 1 + ½ = 3/2 en √1 + 1 = √2 Verschil: 3/2 – 1,4141
= 0,0858
Antwoord C
2008 - Juli Vraag 7
Gegeven: de parabool y =
+ 3x + 6 en zijn afgeleide y’ = -x +3
Gevraagd: onjuiste uitspraak
Oplossing:
Uitspraak A: Het snijpunt van de rechte met x-as komt overeen met de top van de parabool.
Op het snijpunt van de rechte met x is de waarde van y = 0, de afgeleide is er dus 0. Dat is
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 32
exact hoe we een extremum vinden. Dus, voor de x waar de rechte kruist met de x-as, is er
een extremum, in dit geval een maximum. Deze uitspraak klopt.
Uitspraak B: De richtingscoëficiënt van de afgeleide is negatief en de afgeleide is dus een
dalende functie. De tweede afgeleide = -1, dus negatief holle zijde is dan naar onder.
Deze uitspraak klopt
Uitspraak C: Er zijn niet altijd 2 snijpunten tussen een parabool en zijn afgeleide. Deze
uitspraak klopt niet. (voorbeeld: y = x2 + 10 en afgeleide: y’ = 2x, er zijn geen snijpunten)
Uitspraak D: Als de rechte onder de x-as is, dan is de afgeleide negatief (na het nulpunt). De
parabool is dan dalend. Deze uitspraak klopt.
Antwoord C
2008 - Augustus Vraag 8
Gegeven: veeltermfunctie: f(x) = 3x3+27x2+5
Gevraagd: foute uitspraak
Oplossing:
Mogelijkheid A:
f(5) = 3.53+27.55+5 ≠0
f(1) = 3+27.5 ≠0
Mogelijkheid B: (3x3+27x2+5)’ = 9x2 +54x
= x(9x+54)
Nulpunten: x = 0 en x =-6, dit zijn de twee extrema
Mogelijkheid C: buigpunt berekenen
tweede afgeleide:
(9x2 +54x )’ = 18x +54
Nulpunt = -54/18 = -3 is een buigpunt
Mogelijkheid D: f’’(0) = 18.0+54 = 54 >0 (hol naar boven)
Antwoord D
2009 - Juli Vraag 1
Gegeven: parabolische functie: f (x) = 2 x2 - 2x -1
Gevraagd: top?
Oplossing: Berekening van de top: afgeleide gelijk aan 0
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 33
( 2 x2 - 2x -1)’ = 4x -2 = 0
x=1/2
Antwoord B
2009 – Juli Vraag 2
Gegeven: f (x) = 4 x3 + 2 x2 + x -1/6
Gevraagd: Buigpunten
Oplossing:
(4 x3 + 2 x2 + x -1/6)’ = 12x2 +4x +1
(12x2 +2x +1)’ = 24x +4
Nulpunt: -1/6
Antwoord A
2009 - Juli Vraag 3
Gegeven: parabolische functie: f(x) = 2x2 – 2x -1
Gevraagd: top van deze parabool?
Oplossing: top
y’ = 0
Y’ = 4x -2 = 0
x=½
Antwoord B
2009 - Juli Vraag 10
Gegeven: de functie x3 – x2 – 3x -9
Gevraagd: aantal reële nulpunten
Oplossing:
Alle delers van 9 kunnen nulpunten zijn: 1,-1,2,-2,3,-3,9,-9
Experimenteel vind je bij x=3 een nulpunt: f(3)=27-9-9-9=0
Regel van Horner:
1
3
1
-1
-3
-9
3
6
9
2
3
0
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 34
(x-3)(x2+2x+3)
Nulpunten van (x2+2x+3) berekenen
Discriminant = 4-4.3.1 = -8 <0
Er is dus maar 1 reëel nulpunt
Antwoord B
2010 - Augustus Vraag 5
Gegeven: functie y(x)=(x2−4x)/(x+2)2
Gevraagd: waar is extremum tov nulpunten
Oplossing:
y = x(x-4)/(x+2)2
nulpunten: x=0 en x =4
Berekening extremum:
y’
= [(2x-4)(x+2)2 – 2(x+2)(x2-4x)] / (x=2)4
= (8x -8)/(x+2)3
Nulpunt bij x=1 (= extremum)
Tekenverloop:
X
Y
-2
+++++
0
+++++
1
0 ---------------------------
4
0 +++++
(8x-8)
--------
--------------------------- 0 ++++++++++++++++
(x+2)3
---------
+++++++++++++++++++++++++++++++++++
Y’
+++++
-------------------------- 0 ++++++++++++++++
y
min
Antwoord A
2011 - Juli Vraag 3
Gegeven: veelterm: x4 – 3x3 + x2 – 5x + 6
Gevraagd: aantal reële nulpunten
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 35
Oplossing:
Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6
Experimenteel: f(1) = 0
Via Horner:
1
1
1
-3
1
-5
6
1
-2
-1
-6
-2
-1
-6
0
(x-1)(x3-2x2-x-6)
Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6
Experimenteel: f(3)=0
1
3
1
-2
-1
-6
3
3
6
1
2
0
(x-1)(x-3)(x2+x+2)
D2 = 1 – 8 = -7 <0
Er zijn dus 2 reële nulpunten, nl. 1 en 3
Antwoord B
2011 - Juli Vraag 7
Gegeven: functie y =
Gevraagd: asymptoten en buigpunten?
Oplossing:
Graad teller = 1 + graad noemer -> er is een schuine asymptoot
Verticale asymptoot: x = -2/3
Onderzoek buigpunten: via nulpunten van tweede afgeleide:
y’ =[2x(3x+2)-3(x2)]/(3x+2)2 = [6x2+4x-3x2]/(3x+2)2
= (3x2+4x) / (3x+2)2
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 36
y” =
( +
)
( +
)( +
),
)( +
=
( +
( +
)&
( +
)( +
( +
)
+)
)( +
+)
= (18x2+24x+8-18x2-24x)/(3x+2)3
= 8/(3x+2)3
Deze functie heeft geen nulpunten
dus ook geen buigpunten.
Antwoord A
2011 - Augustus Vraag 3
Gegeven: rationele functie: y =
Gevraagd: asymptoten en buigpunten?
Oplossing:
Teller heeft geen nulpunten D2 = -3 <0
Verticale asymptoot: x = -2
Schuine asymptoot: y = ax + b
A = 1 en b = -1
Dus y = x-1
Horizontale asymptoot: geen
Eerste afgeleide:
y’
= [(2x+1)(x+2) – (x2+x+1)] / (x+2)2
= (2x2+4x+x+2-x2-x-1)/ (x+2)2
= x2+4x+1/(x+2)2
Nulpunt teller:
D2 = 12 en nulpunten: x = (-8 -√12)/2 en x = (-8 +√12)/2 , dit zijn de extrema
Tweede afgeleide geven de buigpunten:
Y”
= [(2x+4)(x+2)2 – 2(x+2)(x2+4x+1)] / (x+2)4
= (2x2 + 4x+4x+8-2x2-8x-2)/(x+2)3
= 6/(x+2)3
geen nulpunten, dus ook geen buigpunten
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 37
Antwoord B
2012 - Juli Vraag 2
Gegeven: functie y=2x²+2x+3/2
Gevraagd: helling van raaklijn door punt P(2,1)
Oplossing:
De afgeleide is de raaklijn, dus vgl van de raaklijn is y’=4x+2
Anderzijds wordt de helling van de rechte bepaald door( y-y0)/(x-x0)
Gegeven in tekening volgend punt op de raaklijn: X0 = 2 en y0 = 1
Dus 4x+2 =( y-1)/x-2
Vul de uitdrukking van y in in deze vergelijking:
4x+2 =(( 2x²+2x+3/2 )-1)/x-2
(4x+2)(x-2) = 2x²+2x+1/2
4x2+2x-8x-4-2x²-2x-1/2=0
2x2-4x-4-1/2=0
2x2-4x-9/2=0
4x2-16x-9=0
D2= 162+(4.4.9) = 400
Nulpunten zijn: x = -1/2 en x =9/2
X invullen in y’:
Y’ = 4(-1/2) = 2 = 0
horizontale raaklijn
Y’ = 4(9/2)+2 = 20
Antwoord A
2012 – Juli Vraag 5
Gegeven: verband onverwachte mortaliteit (y) en gemiddeld aantal uren slaap:
y = 100x2 – 1500x + 600
Gevraagd: bij welk gemiddeld aantal uren slaap was de mortaliteit het kleinst?
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 38
Oplossing:
Minimum berekenen
afgeleide
y’ = 200x – 1500 = 0
X = 1500/200 = 7.5 uur
Antwoord C
2012 – Augustus Vraag 7
Gegeven: A = -d2 + 2d + 3 (0 ≤ d ≤ 2)
Gevraagd: voor welke waarde van d is A maximaal?
Oplossing:
Maximum bij A’ = 0
2d +2 = 0
d=1
Antwoord C
2012 – Augustus Vraag 8
Gegeven: de kwadratische functie: y = -2x2 + 2Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4)
heeft één punt gemeenschappelijk met deze parabool. De gezochte rechte is niet verticaal
en is niet parallel met de rechte y = 4x
Gevraagd: Hoeveel bedraagt de helling van die rechte?
Oplossing:
(0.4)
(0,2)
De tekening geeft (met wat verbeelding, word heeft zijn beperkingen...) een raaklijn links en
één rechts. De rechte y = 4x loopt parallel met de linkse raaklijn. De y-as mag niet omdat ze
verticaal is. We zoeken dus de rechter raaklijn.
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 39
Vermits de raaklijn door punt (0,4) gaat is de vergelijking van die rechte van de vorm:
y = ax +4. Om het gemeenschappelijk punt met de parabool te vinden stellen we de
vergelijkingen aan elkaar gelijk:
ax + 4 = -2x2 + 2
2x2 + + ax + 2 = 0
Slechts één oplossing (één raakpunt)
Dus: √- − 4.2.2 = 0
a2 = 16
discriminant = 0
a = 4 of a = -4
Voor a = 4 krijgen we de linkse raaklijn en voor a = -4 de rechtse raaklijn
Antwoord A
2013 - Juli Vraag 3 versie1
Gegeven: de volgende rationale functie:
=
Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie:
1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1
2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1
3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1
4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1
Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct?
Oplossing:
VA: nulpunt van de noemer (maar mag niet het nulpunt van de teller zijn).
VA = 1 (nulpunt noemer) en nulpunt teller is niet 1
SA: er is geen schuine asymptoot want want graad T ≠ graad N+1
Er is ook geen HA want lim van x-->∞ = ∞
Antwoord B
2013 - Juli Vraag 3 versie2
Gegeven: de volgende rationale functie:
=
Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 40
1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1
2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1
3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1
4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1
Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct?
Oplossing:
Bepaal nulpunten van teller en noemer:
=
2
+
−
−1
=
(2 + − 1)
( − 1)( + 1)
telpunten noemer: 1 en -1
nulpunten teller: geen nulpunt voor x = 1; dus wel een verticale asymptoot voor x = 1
bij x = -1 wel een nulpunt voor teller, we kunnen (2 + − 1) delen door (x+1). Via
Horner verkrijgen we voor deze deling: (2 + − 1)/ (x+1) =2x -1
Dus (2
+
− 1)= (2x -1)(x+1)
We vervangen dit in y =
(
)(
(
)(
)
)
=
(
)
(
)
=
x = -1 is dus geen verticale asymptoot
SA: er is een schuine asymptoot want want graad T = graad N+1
Berekening: SA: y = ax + b waarbij a = lim
Bereken a: lim
→ 2
Bereken b: lim
→ 2
3(
)
3"
#
→ 2
3( )
en b = lim
→ 2 (4(
)−- )
=2
− 2 = lim
→ 2
3"
#
(
)
= = lim
→ 2
3"
#
)
=1
De schuine asymptoot is dus y = 2x + 1
Antwoord B
2013 - Juli Vraag 6
Gegeven: de functie:
=
− 2 +4
Gevraagd: Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2
Oplossing:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 41
3x - y = 2 --> y = 3x - 2
De helling van de rechte y is de richtingscoëfficiënt nl. 3. Als de rechte y = 3x -2 dezelfde
richting heeft als de raaklijnen van de functie , dan is de afgeleide van de functie y = 3.
Bepaal de afgeleide van de gegeven functie: 3x2 - 2en stel ze gelijk aan 3. We vinden dan
twee oplossingen: x = -5 en x = 5
Er zijn dus twee raaklijnen evenwijdig
Antwoord C
2013 - Juli Vraag 8 versie 1
Gevraagd: Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer?
Oplossing:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 42
Zie onderstaande figuur: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2 En voor
y = Ln(x-2) is het nulpunt dan x = 3 (dit vind je door x-2 gelijk te stellen aan 1). Vermits er
nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =3 niet 0 maar 1. Dat is het geval voor
grafiek D
Antwoord D
2013 - Juli Vraag 8 versie 2
Gegeven: In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend.
Gevraagd: Welke van de volgende curven geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer?
Oplossing:
Zie de grafiek in vorige oefening: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2
En voor y = Ln(2-x) is het nulpunt dan x = 1 (dit vind je door 2-x gelijk te stellen aan 1).
Vermits er nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =1 niet 0 maar 1. Dat is het geval
voor grafiek D
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 43
Antwoord D
2013 - Augustus Vraag 4
Gegeven: volgende rationale functie: y(x) =
Gevraagd: Welke uitspraak is correct?
A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1
B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1
C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -√3
D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = √3
Oplossing:
Verticale asymptoten voor x = -1 en x = 1. Op die punten kan er dus geen locaal maximum
liggen. A en B zijn dus fout.
Om maxima te berekenen, moeten we het tekenverloop van de eerste afgeleide berekenen:
y' =
"
(
#
)
.
=
dr. Brenda Casteleyn
&
(
)
&
=
(
&
)
=
(
(
)
)
www.keu6.be
Page 44
nulpunten: x= 0; x= +√3 en x = -√3
Tekenverloop:
x
-√3
-1
0
1
x2
+++++
+
++++
/
++
0
+++
x2-3
+++++
0
-----
/
----
-
----
(x2-1)2 +++++
+
++++
/
+++
+
y'
0
-----
/
----
0
+++++
y
max
+√3
++++
+
++++
---
0
++++
++++ /
+++
+
++++
----
---
0
++++
VA
/
/
/
VA
min
Dus: enkel bij -√3 is er een locaal maximum.
Antwoord C
2013 - Augustus Vraag 7
Gevraagd: Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x2 + 2x door het punt
(-1/2, -3)?
Oplossing: De raaklijn aan de functie en de lijn door het punt moeten dezelfde helling of
richtingscoëfficiënt hebben.
Richtingscoëfficiënt van een lijn: a =
6 6,
,
Richtingscoëfficiënt van raaklijn aan grafiek = afgeleide van y
Dus: y' =
6 6,
,
Dus: ingevuld voor de functie y en punt (-1/2, -3) geeft dat:
(x2 +2x)' =
6 (
,
(
)
)
bereken afgeleide links en vervang y rechts:
2x + 2 =
(
)
/
(2x+2)(x+1/2) = x2 + 2x +3
2x2 +1 + 2x +x = x2 + 2x +3
x2 + x -2 = 0
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 45
Oplossing: x = -2 en x = 1. Dus 2 oplossingen
Antwoord C
2013 - Augustus Vraag 8
Gegeven: Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek.
y = 1 - (x - 2)3
y = 1 + (x - 2)3
y = 2 - (x - 1)3
y = 1 + (x - 1)3
Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2)3 voor?
Oplossing: de grafieken hebben vier verschillende nulpunten en vier verschillende snijpunten
met de y-as. Gemakkelijkste om te berekenen: snijpunten met y-as: stel voor elk x = 0 Uit
de posities van de snijpunten kunnen we dan de grafieken bepalen:
y = 1 - (0 - 2)3 --> y= 9 (grafiek D)
y = 1 + (0 - 2)3 --> y = -7 (grafiek B)
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 46
y = 2 - (0 - 1)3 --> y = 3 (grafiek C)
y = 1 + (0 - 1)3 --> y = 1 (grafiek A)
Antwoord B
2014 – Juli – Vraag 3
Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie.
y
x
Welk functievoorschrift is correct?
Oplossing: vul voor x de waarde 0 in en de waarde ∞
Als x 0 is moet y = 300 (zie tekening). Dat is enkel bij oplossingen C en D. Naarmate x stijgt,
moet ook y stijgen, dat geldt enkel bij negatieve exponent van e (getal dat van 500 moet
worden afgetrokken moet kleiner worden).
Y = 500 - 200.
Antwoord C
.
2014 – Juli Vraag 8
Gegeven: zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte.
Y = -x – ¼
y = x2 +m.x + 2
Gevraagd: Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool.
Hoeveel bedraagt de som van die waarden voor m?
Oplossing: In het raakpunt zijn de twee vergelijkingen aan elkaar gelijk.
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 47
x2 + m.x + 2 = X – ¼ =
x2 + m.x - x + 2 + 1/4= 0
x2 + (m-1).x + 9/4= 0
Bereken de discriminant en stel die gelijk zijn aan 0 vermits er maar één raakpunt is.
Discriminant = (m-1)2 – 4.1.9/4 = 0
m2 + 2m +1 -9 = 0
(m-2)(m+4) = 0
m kan dus gelijk zijn aan 2 of -4. Optelling geeft -2
Antwoord D
2014 – Augustus Vraag 3
Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie
y
700
500
300
x
Gevraagd: Welk functievoorschrift is correct?
Oplossing:
Bereken voor elke oplossing de waarde voor y bij x = 0 en x = ∞
Voor oplossing A:
Y = 700 – 200.e-0,025 (0)= 700 – 200.1 = 500
Y = 700 – 200.e-0,025 (∞) = 700 – 200/e∞ = 700 – 0 = 700
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 48
Voor oplossing B:
Y = 700 – 200.e0,025 (0)= 700 – 200.1 = 500
Y = 700 – 200.e0,025 (∞) = 700 – 200.e∞ = 700 - ∞ = -∞
Voor oplossing C:
Y = 500 + 200.e0,025 (0)= 500 + 200.1 = 700
Y = 500 + 200.e0,025 (∞) = 500 + 200.e∞ = 500 + ∞ = ∞
Voor oplossing D:
Y = 500 + 200.e-0,025 (0) = 500 + 200.1 = 700
Y = 500 + 200.e-0,025 (∞) = 500 + 200.e-∞ = 500 + 200/e∞= 500 +0 = 500
Antwoord D
2015 - Juli Vraag 4
Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x2 + x + 1 en y = 2x2 -2x +3
Oplossing:
Stel de vergelijkingen gelijk aan elkaar: x2 + x + 1 = 2x2 -2x +3 en bepaal x
x2 + x + 1 - 2x2 +2x - 3 = 0
- x2 + 3x - 2 = 0
Discriminant = 9 - 4.(-1)(-2) = 1
x1 = (-3 + 1)/-2 = 1
x2 = (-3 - 1)/-2 = 2
Er zijn dus twee snijpunten
Antwoord B
2015 - Juli Vraag 9
Bepaal het domein van S, als
een sinus van hoek α is.
Teken de grafiek.
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 49
Bepaal de grenzen sin α ligt tussen -1 en 1: aangeduid met accolade op tekening
= -1
en
=1
s-1 = -1 + 2s
s-1 = 1 - 2s
s - 2s = 0
s+ 2s = 2
-s = 0
3s = 2
s=0
s = 2/3
De waarden van s in het linkerdeel van de grafiek lopen van -∞ tot 0 en aan de rechterkant
van 2/3 tot + ∞
]- ∞ , 0]U [2/3, + ∞ [
Antwoord B
2015 - Juli Vraag 10
Gegeven is een parabool: y = 2x2 + (a-1)x + (a2 - 1) met a ϵ 0,1
We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool.
Hoeveel bedraagt deze som maximaal?
Oplossing:
Bepaal de nulpunten:
Discriminant = (a-1)2 - 4.2.(a2 -1) = a2 + 1 - 2a -8a2 + 8 = -7a2 -2 a +9
x1 =
(
8) √
8
8 9
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 50
x2 =
(
8) √
8
8 9
Bepaal de som van de kwadraten:
S = x12 + x22
= (
(
8) √
8
(
8 9
8) √
) +(
8 9
8
)
=
:(
=
8)
.(
8) √
8
8 9
( 8
(1 - 2a + a2 - 7a2 - 2a + 9) =
8 9);.
+
:(
8)
.(
8) √
8
8 9
( 8
8 9);.
(1 - 2a + a2 - 7a2 - 2a + 9) = * (-6a2 -4a + 10)
Afgeleide S' berekenen en gelijkstellen aan 0
S' = *. (-12a - 4) = 0
S' = . (-6a - 2) = 0
--> a = - 2/6 = -1/3
De som stijgt voor a: 1 --> 0 en is maximaal in a =0
S = 1/4 (-3.02 - 2.0 + 5) = 1/4 . 5 = 5/4
Antwoord B
2015 – Augustus Vraag 3
De functie f is bepaald door het voorschrift f(x) = x2e-x. Over welk interval is deze functie
monotoon dalend?
Oplossing
y = x2e-x = x2 / ex
Bepaal afgeleide y’ =
.< =
.< =
=
(< )
=
(
(< = )
)< =
=
(
(< = ),
)
=
(
<=
)
Nulpuneten: x(2-x) = o voor x =2 of x = O en ex is altijd positief
Functieverloop
X
Y’
0
---------------
Y
dr. Brenda Casteleyn
0
2
+++++
0
-----
0
www.keu6.be
Page 51
Min
Max
y’ is negatief voor ]-∞,0[ en in ]2,+∞[
Antwoord D
2015 - Augustus Vraag 5
Het aantal snijpunten van de parabolen met vergelijking y = x2 en x = y2 is gelijk aan ?
Oplossing
y = x2
x = y2: vervang hierin y door x2 (gegeven in eerste vgl): x = (x2)2 = x4
x – x4 = 0
x(1-x3) = 0
x kan 0 of 1 zijn. De twee snijpunten zijn dus (0,0) en (1,1)
Antwoord C
2016 - Juli Geel Vraag 10
Gegeven is de functie met voorschrift f(x) = x3 – 11 x2 – 25x – 13 . De rechte met vergelijking
y = px + q raakt de grafiek van f in het punt A(a,f(a)) en snijdt de grafiek van f in het punt
B(13,0). A en B zijn verschillende punten
Gevraagd: p + q
Oplossing
Ontbind x3 – 11 x2 – 25x – 13 met Horner:
1
13
1
-11
-25
-13
13
26
13
2
1
0
f(x) = (x-13)(x2 + 2x +1)
Bepaal nulpunten voor (x2 + 2x +1)
D=0
x1 = x2 = -2/2 = -1
Tekenverloop:
X
dr. Brenda Casteleyn
-1
13
www.keu6.be
Page 52
(x-13)
+
+
+
+
+
0
-
-
(x2 + 2x +1)
+
0
+
+
+
+
+
+
(x-13)(x2 + 2x +1)
+
0
+
+
+
0
-
-
Grafiek
De enige raaklijn die door het punt (13,0) gaat en een ander raakpunt heeft dan (13,0) is de
x-as: y = 0, dus p + q = 0
Antwoord C
2016 - Juli Geel Vraag 13
Gegeven: Beschouw drie functies f, g en h met functievoorschriften
f(x) = sin (x/2)
g(x) = 1 – e-x
h(x) =
De grafieken van f, g en h gaan door de oorsprong O. De volgende figuur toont de grafieken
van deze functies op een gesloten interval waarvan het linkereindpunt de oorsprong is.
Gevraagd: Welke grafiek stemt overeen met welke functie?
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 53
Oplossing:
Voor x = 1 f(x) = sin (1/2) = 0,48
g(x) = 1 – e -1 = 1- 1/ 2,718 = 0,63
h(x) =( 2.1 -1)/6 = 1/6 = 0,16
Antwoord B
2016 - Augustus Geel Vraag 4
Gegeven: Beschouw de punten P(√2, √2) en Q (√4, √2) De grafieken van de functies f en g
met voorschrift f(x) : x2 - √2 en g(x) = √
!
Gevraagd: waar snijden de functies f en g?
Oplossing:
Voor P:
f(√2) = ( √2) - √2 = 2
/
g(√2) = 5( √2) = "2
#
/
-21/3 = 22/3 – 21/3
/
= 21/6 = √2
!
Voor Q
f(√4) = ( √4) - √2 = 4
/
-21/3 = 24/3 – 21/3 = 21/3(23/3-1) = 21/3 = √2
g(√4)= 5" √4# = 41/3.1/2 = 41/6 = 22/6 = 21/3 = √2
Antwoord C
2016 - Augustus Geel Vraag 5
In deze figuur staat de grafiek van één van de functies f waarvan het voorschirft hieronder is
gegeven. Wat is dat voorschrift?
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 54
Oplossing
Bij de functie sin x is de periode 2π en bij sin 2x is de periode π. De periode is hier π, dus
oplossingen A of D
De functie ex nadert naar 0 bij waarden x kleiner dan 0 en bij x = -1 is ex ongeveer 1/2,70 of
1/3. In het dit interval is de sinusoïde sin 2x negatief. Om dus tot een positieve y te komen
moet ze worden afgetrokken
Antwoord A
2016 - Augustus Geel Vraag 10
Gegeven: functie f bepaald door het voorschrift f(x) = (x – 1).e-x. De punten A(a,f(a)) en
B(b,f(b)) zijn de raakpunten uit de oorsprong aan de grafiek van f,
Gevraagd: a + b
Oplossing
Voor waarden van x groter dan 0 zal de grafiek naderen naar 0, voor waarden kleiner dan 0
wordt de y snel groter.
Een eerde raaklijn is de y-as zelf. We vinden als raakpunt:
(x – 1).e-x = 0 voor x = 1
dr. Brenda Casteleyn
raakpunt (1,0)
www.keu6.be
Page 55
Een lijn door de oorsprong heeft als vergelijking y=ax
De tweede raaklijn vinden we door x gelijk te stellen aan 0.
De raaklijn is dan y = -x, met als raakpunt: (0,-1)
Antwoord C
2016 - Augustus Geel Vraag 11
Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) =
]-4,-3[, ]-3,-2[,
]-2,-1[,
en de acht open intervallen
]-1,0[, ]0,1[,
]1,2[,
]2,3[,
]3,4[
Gevraagd: in hoeveel van deze intervallen is de functie negatief
Oplossing:
f(x) =
$
%$
%
$
%$
%
Tekenverloop:
-2
-1
+1
+2
x+1
-
-
-
0
+
+
+
+
+
x-1
-
-
-
-
-
0
+
+
+
x+2
-
0
+
+
+
+
+
+
+
x-2
-
-
-
-
-
-
-
0
+
f(x)
+
/
-
0
+
0
-
/
+
Negatief voor de intervallen ]-2,-1[en ]1,2[
Antwoord B
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 56
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 57