Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen
arts/tandarts
Wiskunde: functies
3/1 /2017
dr. Brenda Casteleyn
Met dank aan:
Atheneum van Veurne
Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding
Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt
per thema.
De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het
atheneum van Veurne had een prachtige website maar deze is helaas niet meer online.
2. Oefeningen over functies
1997 – Juli Vraag 6
In 1995 voorziet het ministerie van sociale zaken dat het aantal bejaarden met psychische
problemen in België de komende 15 jaren zal verdubbelen van 200 000 tot 400 000.
Hiervoor zullen meer hulpverleners opgeleid moeten worden. In een voorstudie stelt een
socioloog voor de groei van het aantal bejaarden met psychische problemen twee modellen
op: een lineaire groei in model I en een exponentiële groei in model II, in functie van het
aantal jaren t na 1995.
Welke van de volgende beweringen is fout?
<A>
Voor t=22,5 jaar voorspelt model I, 500 000 bejaarden met psychische
problemen.
<B>
Voor t=22,5 jaar voorspelt model II, 2 .400 000 bejaarden met psychische
problemen.
Volgens model II zouden er in 2015 meer bejaarden zijn met psychische
<C>
problemen dan volgens model I.
<D>
Volgens model II zouden er in 2005 meer bejaarden zijn met psychische
problemen dan volgens model I.
1997 – Augustus Vraag 7
Een populatie van dieren groeit exponentieel volgens de formule
N = 100 e0,1t waarbij t in jaren uitgedrukt is; de starttijd is t=0.
Welke van de volgende beweringen is niet juist?
<A>
<B>
<C>
<D>
De groeisnelheid neemt lineair toe
De groeisnelheid na 10 jaar is 100e
De groeisnelheid na 5 jaar is √ keer zo groot als op t=0.
De groeisnelheid is evenredig met het aantal dieren
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 2
2000 – Juli Vraag 4
Het wijfje van een bepaalde mot legt 60 eitjes. In een jaar kunnen 5 generaties elkaar
opvolgen. Onderstel dat 2/3 van de eitjes niet uitkomen en dat 50% van de motten wijfjes
zijn. Als elke larve ongeveer 20 mg wol eet, schat de hoeveelheid wol die gedurende één
jaar gegeten kan worden door de nakomelingen van 1 wijfje.
<A>
<B>
<C>
<D>
44 kg
22 kg
4,4 kg
2,2 kg
2002 - Juli Vraag 6
Als f(x) = x2 – x dan kan men aantonen dat f(x+1) gelijk is aan:
<A>
<B>
<C>
<D>
–f(-x)
–f(x)
f(-x)
f(x)
2008 – Juli Vraag 6
Gegeven f(x) = 5x + 1
<A>
<B>
<C>
<D>
(f(x+2)-f(x+1)) / (f(x+1)-f(x)) = 5
Altijd waar
Nooit waar
Enkel waar als x positief is
Niet waar als x rationeel is
2008 – Augustus Vraag 4
Gegeven F(x) = 3x Wat is de waarde van
<A>
<B>
<C>
<D>
+ 1/9
3
6
9
12
2009 – Juli Vraag 9
Gegeven is een rationele functie f(x) =
Als f(x) = 1/2 , hoeveel bedraagt dan de waarde van f(-3x/2)?
<A>
<B>
<C>
-2/11
-5
-7/11
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 3
<D>
7/10
2010 Vraag 6
Een virus wordt verspreid. Het aantal infecties in functie van de tijd in dagen wordt gegeven
als: y(t) = at2 + bt + a
Na 2 dagen zijn er 3 geïnfecteerde mensen, na 3 dagen zijn er 7 zieken. Hoeveel dagen zal
het duren vooraleer 31 mensen geïnfecteerd zijn?
<A>
<B>
<C>
<D>
4 dagen
5 dagen
6 dagen
7 dagen
2010 Vraag 10
Gegeven is de functie f(x) = 5-x. Hoeveel bedraagt de waarde van de volgende uitdrukking?
f x+1 . f x+1 −f x+2
f 2x
<A>
<B>
<C>
<D>
10/4
-1/4
5/4
4/125
2015 – Augustus Vraag 12
Als f(x) =
<A>
en g(x) =-
dan is f(g(x)) gelijk aan
−
<B>
−
<C>
-
<D>
-
2016 – Augustus Geel Vraag 1.
Als f(x) = e4x-3, wat is dan f(1 – ln (1/x))?
<A>
e+
<B>
<C>
<D>
ex4
(ex)4
e - x4
2016 – Augustus Geel Vraag 3
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 4
Voor een functie f op een interval [a,b] definieert men haar gemiddelde waarde als GW(f) =
Beschouw drie functies f1, f2 en f3, op het interval [0,1] gegeven door de voorschriften f1 (x) =
x f2 (x) = sin x en f3 = x2
Welke van de volgende uitspraken is correct?
<A>
<B>
<C>
<D>
GW(f3) < GW(f2) < GW (f1)
GW(f3) < GW(f1) < GW (f2)
GW(f2) < GW(f1) < GW (f3)
GW(f1) < GW(f2) < GW (f3)
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 5
3. Oplossingen oefeningen
1997 – Juli – Vraag 6
Gegeven: psychische problemen zullen de komende 15 jaren verdubbelen van 200 000 tot
400 000.
Twee modellen op: een lineaire groei in model I en een exponentiële groei in model II, in
functie van het aantal jaren t na 1995.
Gevraagd: Welke van de volgende beweringen is fout?
<A>
Voor t=22,5 jaar voorspelt model I, 500 000 bejaarden met psychische
problemen.
<B>
Voor t=22,5 jaar voorspelt model II, 2 .400 000 bejaarden met
psychische problemen.
Volgens model II zouden er in 2015 meer bejaarden zijn met
<C>
psychische
problemen dan volgens model I.
<D>
Volgens model II zouden er in 2005 meer bejaarden zijn met
psychische
problemen dan volgens model I.
Oplossing:
Model 1 is lineair, dus op de grafiek een rechte. Model 2 is exponentieel, dus een kromme.
Uit de tekening blijkt dat voorbij punt t=15 de exponentiële kromme oven de lineaire komt,
dus C is juist. Maar in het stuk voor 2015 ligt model 2 (exponentieel) onder model 1, dus D is
fout.
Controle mogelijkheden A en B:
Lineair: N = 200 000 + 200 000/15.t
(van 1995 tot 2010 is 15 jaar)
Voor t = 22,5 jaar vinden we dan 200 000 + 200 000/15.22,5 = 500 000
Exponentieel: N = 200 000 . 2 t/15
Voor t = 22,5 jaar vinden we 200000.222,5/15 = 200000.21,6 = 400 000.√2
Antwoord D
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 6
1997 – Augustus Vraag 7
Gegeven: Een populatie van dieren groeit exponentieel volgens de formule
N = 100 e0,1t waarbij t in jaren uitgedrukt is; de starttijd is t=0.
Gevraagd: Welke van de volgende beweringen is niet juist?
<A>
<B>
<C>
<D>
De groeisnelheid neemt lineair toe
De groeisnelheid na 10 jaar is 100e
De groeisnelheid na 5 jaar is √ keer zo groot als op t=0.
De groeisnelheid is evenredig met het aantal dieren
Oplossing:
Antwoord A is fout vant de populatie groeit exponentieel, dus per definitie neemt de
groeisnelheid dan niet lineair toe.
Antwoord A
2000 – Juli Vraag 4
Gegeven: Het wijfje van een bepaalde mot legt 60 eitjes. In een jaar kunnen 5 generaties
elkaar opvolgen. Onderstel dat 2/3 van de eitjes niet uitkomen en dat 50% van de motten
wijfjes zijn. Elke larve eet ongeveer 20 mg wol
Gevraagd: hoeveelheid wol die gedurende één jaar gegeten kan worden door de
nakomelingen van 1 wijfje.
Oplossing:
In 1 generatie: 1/3 van 60 = 20 nakomelingen, waarvan 10 wijfjes en 10 mannetjes
Generatie 2: voor elk wijfje 20 nakomelingen, waarvan 10 wijfjes, dus 100 wijfjes en 100
mannetjes
Generatie 3: voor elk van de 100 wijfjes 20 nakomelingen, waarvan de helft wijfjes, dus 1000
wijfjes en 1000 mannetjes
Generatie 4: voor elk van de 1000 wijfjes 20 nakomelingen, waarvan de helft wijfjes, dus
10000 wijfjes en 10000 mannetjes
Generatie 5: voor elk van de 10000 wijfjes 20 nakomelingen, waarvan de helft wijfjes, dus
100 000 wijfjes en 100 000 mannetjes
Er zijn na 5 generaties 100 000 + 10 000 + 1000 + 100 +10 vrouwtjes en evenveel mannetjes,
Dus in het totaal 222220 motten, die elk 20 mg eten = 4 444 400 mg of 4,44 kg
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 7
Antwoord C
2002-Juli Vraag 6
Gegeven: Als f(x) = x2 – x
Gevraagd: f(x+1) ? welke van de opgegeven waarden?
Oplossing:
We vullen voor x de waarde (x+1) in in de gegeven functie:
f(x+1) = (x+1)²−(x+1)
= (x²+2x+1)−(x−1)=
= x² + x
Vul nu de waarden van elke antwoordmogelijkheid in f(x) en kijk of dat gelijk wordt aan x2 +
x
-f(-x) = - ((-x)2 - (-x) = -x +x = 0 (niet gelijk aan x2+x, dus fout)
-f(x) = -((x2) - (x)) = -x2 + x (niet gelijk aan x2+x,, dus ook fout)
f(-x) = (−x)² -(−x) = x2 + x
Antwoord C
2008 – Juli Vraag 6
Gegeven f(x) = 5x + 1
Gevraagd: (f(x+2)-f(x+1)) / (f(x+1)-f(x)) = 5 ?
Oplossing:
(5 (x+2)+1) – (5(x+1)+1))/ (5(x+1)+1) – (5x+1))
(5x.52 +1)- (5x.5+1) / (5x.5 +1)-(5x+1)
(25.5x +1)- (5.5x+1) / (5x.5 +1)-(5x+1)
20.5x / 4.5x = 20/4 = 5
Antwoord A
2008 – Augustus Vraag 4
Gegeven F(x) = 3x
Gevraagd: de waarde van
+ 1/9
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 8
Oplossing:
+ 1/9
+1/9
32 - 3-2 + 1/9
9 – 1/9 +1/9 = 9
Antwoord C
2009 – Juli Vraag 9
Gegeven:
rationele functie f(x) =
f(x) = 1/2 ,
Gevraagd: f(-3x/2)?
Oplossing: f(x) = ½ =
f(-3x/2) =
!.!
x=3
= -2/11
Antwoord A
2010 – Augustus Vraag 6
Gegeven: aantal infecties in functie van de tijd in dagen: y(t) = at2 + bt + a
Na 2 dagen zijn er 3 geïnfecteerde mensen, na 3 dagen zijn er 7 zieken.
Gevraagd: Hoeveel dagen zal het duren vooraleer 31 mensen geïnfecteerd zijn?
Oplossing:
Vul de vergelijking in voor 2 en 3 dagen en los het stelsel op:
y(t) = a22 + b2 + a = 3
y(t) = a32 + b3 + a = 7
b = -1 en a = 1
Voor 31 mensen geldt dan volgende vergelijking:
t2 – t + 1 = 31
t2 – t = 30
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 9
Enkel voor waarde t=6 klopt deze vergelijking
Antwoord C
2010 Vraag 10
Gegeven: f(x) = 5-x.
" #
Gevraagd: de waarde van de
. " #
" #
" #
5—(x+1). (5-(x+1) – 5-(x+2))/5-2x
5—x-1. (5-x-1) – 5-x-2))/5-2x
(5-2x-2 – 5-2x-3)/ 5-2x
5-2 – 5-3 = 1/25 - 1/125 = 5/125 -1/125 = 4/125
Antwoord D
2015 – Augustus Vraag 12
Gegeven: f(x) =
en g(x) =-
Gevraagd: f(g(x)) ?
Oplossing
F(g(x)) =
$
$
=
:
=
.
)
)
=
= -
Antwoord C
2016 – Augustus Geel Vraag 1.
Gegeven: f(x) = e4x-3,
Gevraagd: f(1 – ln (1/x))?
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 10
Oplossing
%
&'
$
=
% % &'
$
% &'
=
$
=
(
(
)*
$
=
(
$
+( ,
=
(
$
- .
= e.x4
Antwoord B
2016 – Augustus Geel Vraag 3
Gegeven: Voor een functie f op een interval [a,b] definieert men haar gemiddelde waarde
als GW(f) =
Beschouw drie functies f1, f2 en f3, op het interval [0,1] gegeven door de voorschriften f1 (x) =
x f2 (x) = sin x en f3 = x2
Welke van de volgende uitspraken is correct?
<A>
<B>
<C>
<D>
GW(f3) < GW(f2) < GW (f1)
GW(f3) < GW(f1) < GW (f2)
GW(f2) < GW(f1) < GW (f3)
GW(f1) < GW(f2) < GW (f3)
Oplossing:
GW (f1) =
= 1.0 1 = 1. ½ = 1/2
/ /
GW (f2)=
/ /
GW (f3)=
/ /
/
= 1. 6−789:/ =1( -cos 1 + cos 0) = -0,54 +1 = 0,46
sin
!
= 1.0 1 = 1/3
/
GW(f3) < GW(f2) < GW (f1)
Antwoord A
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 11