Speciale relativiteitstheorie

versie 13 februari 2013
Speciale relativiteitstheorie
J.W. van Holten
NIKHEF
Amsterdam
en
LION
Universiteit Leiden
c
1
Lorentztransformaties
In een inertiaalstelsel bewegen alle vrije deeltjes met een constante snelheid langs een rechte
lijn. Twee stelsels die allebei inertiaalstelsel zijn moeten daarom ook een constante snelheid
(grootte en richting) t.o.v. elkaar hebben.
Neem twee inertiaalstelsels Σ = (t, x, y, z) en Σ0 = (t0 , x0 , y 0 , z 0 ), waarvan de oorsprongen op
zeker ogenblik samenvallen; op dat moment starten beide hun klok, zodat de gebeurtenissen
met tijd-ruimte coördinaten (0, 0, 0, 0) in beide stelsels samenvallen. We orienteren de
stelsels zo, dat de relatieve beweging van de stelsels langs de x-as, resp. x0 -as plaats heeft.
Deze assen liggen dus altijd in elkaars verlengde. De snelheid van Σ0 t.o.v. Σ is v, die van
van Σ t.o.v. Σ0 is −v. De relatie tussen de tijd- en ruimtecoördinaten in beide stelsels is
dan
x − vt
t − vx/c2
,
x0 = p
,
y 0 = y,
z 0 = z.
t0 = p
(1)
2
2
2
2
1 − v /c
1 − v /c
Equivalent:
t0 + vx0 /c2
,
t= p
1 − v 2 /c2
x0 + vt0
x= p
,
1 − v 2 /c2
y = y0,
z = z0.
(2)
Een periode ∆t en een afstand ∆x in Σ komen dan in Σ0 overeen met een periode en
afstand
∆t − v∆x/c2
∆x − v∆t
∆t0 = p
,
∆x0 = p
,
(3)
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
terwijl afstanden in de transversale richting gelijk zijn: ∆y 0 = ∆y, ∆z 0 = ∆z.
Invariantie van de lichtsnelheid
In bovenstaande relaties staats c voor de lichtsnelheid in stelsel Σ. Een lichtflits langs de
x-as legt in tijd ∆t dan een afstand ∆x = c∆t af, zodat
(∆x)2 − c2 (∆t)2 = 0.
(4)
In Σ0 meet men voor deze lichtflits een afstand ∆x0 afgelegd in een tijd ∆t0 , gegeven door
(3), of de equivalente relatie:
∆x0 + v∆t0
∆x = p
.
1 − v 2 /c2
∆t0 + v∆x0 /c2
,
∆t = p
1 − v 2 /c2
(5)
Invullen in (4) geeft
2
(∆x0 + v∆t0 )2 c2 (∆t0 + v∆x0 /c2 )
−
= (∆x0 )2 − c2 (∆t0 )2 = 0.
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
Dus ook in Σ0 geldt dat ∆x0 = c∆t0 , en de lichtsnelheid in Σ0 is hetzelfde als die in Σ.
1
(6)
Tijddilatatie
In Σ staat een klok in de oorsprong, die een tijd ∆t loopt; in die tijd blijft de klok op zijn
plaats: ∆x = 0. Volgens een waarnemer die meebeweegt met het stelsel Σ0 is de tijd die
op zijn klok is verlopen
∆t
∆t0 = p
,
(7)
1 − v 2 /c2
en hij ziet dat de klok in de oorsprong van Σ in die tijd t.o.v. hem een afstand
−v∆t
= −v∆t0
∆x0 = p
2
2
1 − v /c
(8)
in de x0 -richting heeft afgelegd. Een bewegende klok lijkt dus te langzaam te lopen, vergeleken met eenzelfde klok die t.o.v. de waarnemer stil staat, een verschijnsel bekend als
tijddilatatie.
Lengtecontractie
Een meetlat ligt in Σ in rust langs de x-as. De afstand ∆x tussen de uiteinden wordt
gemeten op een vaste tijd, zodat ∆t = 0. Wanneer een waarnemer in Σ0 de lengte van
de meetlat bepaalt, meet hij de afstand ∆x0 tussen de uiteinden op gelijke tijden in zijn
stelsel, dus onder de conditie dat ∆t0 = 0. Dat betekent omgerekend in Σ: hij bepaalt de
afstand die in Σ hoort bij de afstand ∆x en het tijdsverschil
∆t − v∆x/c2 = 0
⇒
v∆t = v 2 ∆x/c2 .
(9)
De daarmee corresponderende afstand gemeten in Σ0 is nu
p
∆x − v∆t
= ∆x 1 − v 2 /c2 .
∆x0 = p
1 − v 2 /c2
(10)
De afstand tussen de uiteinden van de meetlat in Σ0 op gelijke tijden t0 is dus korter dan
de afstand in Σ op gelijke tijden t. Dit verschijnsel staat bekend als de lengtecontractie.
Het samenstellen van snelheden
Omdat afstanden en tijdverschillen in stelsel die t.o.v. elkaar bewegen verschillend zijn, is
de snelheid van een voorwerp gemeten in Σ niet gewoon de som van de snelheid gemeten
in Σ0 plus de relatieve snelheid v. De juiste manier om snelheden (langs de x-as) om te
rekenen is als volgt. Een voorwerp legt in Σ0 een afstand ∆x0 af in een tijd ∆t0 ; dan is de
snelheid t.o.v. Σ0 :
∆x0
0
v =
.
(11)
∆t0
Volgens een waarnemer in Σ legt het voorwerp een afstand ∆x af in een tijd ∆t, die worden
gegeven door vgl. (5):
∆x0 + v∆t0
(v 0 + v)∆t0
p
p
∆x =
=
,
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
∆t0 + v∆x0 /c2
(1 + vv 0 /c2 )∆t0
p
∆t =
= p
.
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
2
In Σ is de snelheid dus
u=
∆x
v0 + v
=
.
∆t
1 + vv 0 /c2
(12)
Hieruit kan je meteen afleiden, dat de lichtsnelheid een limiet is waar je niet bovenuit kunt
komen. Neem namelijk v 0 = c, dan is
u=
c+v
= c.
1 + v/c
(13)
Opnieuw zien we, dat de lichtsnelheid hetzelfde is in beide stelsels, ondanks de relatieve
beweging met snelheid v.
2
Energie en impuls
Energie en impuls spelen in de mechanica een belangrijke rol, omdat het behouden grootheden zijn. Concreet: in de afwezigheid van externe krachten zijn de totale energie en
impuls van een systeem bestaande uit N deeltjes met massa’s mi , i = 1, ..., N , behouden.
In de newtonse mechanica is de energie en impuls van individuele deeltjes, die met snelheid
vi in de x-richting bewegen, gegeven door
1
Ei = mi vi2 ,
2
pi = mi vi .
Bij botsingen tussen deze deeltjes gelden dan de behoudswetten
X
X
E=
Ei = constant,
P =
pi = constant.
i
(14)
(15)
i
In de speciale relativiteitstheorie kunnen we ook een energie en impuls aan individuele
deeltjes toekennen die aan deze behoudswetten voldoen, maar de uitdrukkingen voor Ei
en pi moeten worden aangepast:
m i c2
Ei = p
,
1 − vi2 /c2
mi vi
pi = p
.
1 − vi2 /c2
(16)
Om dit te motiveren stellen we eerst vast, dat de waarde van de energie en de impuls
verschilt voor waarnemers die t.o.v. elkaar in beweging zijn. Deze waarnemers meten
immers ook verschillende snelheden. Het behoud van totale energie en impuls bij botsingen
of andere interacties moet echter in alle inertiaalstelsels gelden.
Om te laten zien dat dit wordt bereikt met de definities (16), berekenen we om te
beginnen hoe de energie van een enkel deeltje verandert t.o.v. verschillende waarnemers.
Neem een deeltje met massa m en snelheid v 0 t.o.v. het stelsel Σ0 . Dan zijn de energie en
impuls volgens een waarnemer in dat stelsel:
mv 0
p
p =
.
1 − v 0 2 /c2
mc2
p
E =
,
1 − v 0 2 /c2
0
0
3
(17)
In het stelsel Σ heeft het deeltje de snelheid u gegeven door vgl. (13); de energie en impuls
in dat stelsel worden dan
E=p
mc2
1 − (v 0 + v)2 /c2 (1 + vv 0 /c2 )2
,
p= p
m(v 0 + v)/(1 + vv 0 /c2 )
1 − (v 0 + v)2 /c2 (1 + vv 0 /c2 )2
.
(18)
Enige algebra laat zien dat
1−
zodat
(v 0 + v)2 /c2
(1 − v 0 2 /c2 ) (1 − v 2 /c2 )
=
,
(1 + vv 0 /c2 )2
(1 + vv 0 /c2 )2
(19)
vv 0
1+ 2
E = p
c
(1 − v 2 /c2 )(1 − v 0 2 /c2 )
mc2
1
= p
1 − v 2 /c2
0
2
mc
mv v
p
+p
1 − v 0 2 /c2
1 − v 0 2 /c2
!
(20)
0
0
E + vp
=p
.
1 − v 2 /c2
Evenzo
m(v 0 + v)
m(v 0 + v)
p = p
=p
(1 + vv 0 /c2 )2 − (v 0 + v)2 /c2
(1 − v 2 /c2 )(1 − v 0 2 /c2 )
1
= p
1 − v 2 /c2
0
2
2
mc · v/c
mv
p
+p
0
2
2
1 − v /c
1 − v 0 2 /c2
!
(21)
0
0
2
p + vE /c
=p
.
1 − v 2 /c2
Merk op, dat de enige parameter die een rol speelt in het omschrijven van de transformatie
de relatieve snelheid v van de inertiaalstelsels is. Dat heeft een simpel maar belangrijk
gevolg. Neem een systeem van deeltjes met massa’s mi hebt, zoals een gas of een vloeistof,
met een totale energie en impuls
X
X
E0 =
Ei0 ,
P =
p0i .
(22)
i
i
Als in een stelsel Σ0 deze energie en impuls constant in de tijd zijn, omdat de botsingen in
het gas of de vloeistof deze grootheden behouden, dan geldt in een ander stelsel Σ dat
P 0
P 0
X
E 0 + vP 0
i Ei + v
i pi
=p
,
E=
Ei = p
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
i
(23)
P 0
P 0 2
0
0 2
X
p
+
v
E
/c
P
+
vE
/c
i
i i
P =
pi = i p
= p
.
2
2
2 /c2
1
−
v
/c
1
−
v
i
Dus als (E 0 , P 0 ) constant zijn in Σ0 , dan zijn (E, P ) dit in stelsel Σ ook. Omdat de definities
(16) voor energie en impuls consistent zijn met de behoudswetten (15), zijn deze de meest
geschikte in de praktijk.
4
Energie-impuls relatie
Uit de definities (16) volgt direct, dat voor een deeltje met massa m
E 2 − p2 c2 = m2 c4
⇔
E 2 = m 2 c4 + p 2 c2 .
(24)
Omdat dit een som van kwadraten is, is de minimale energie
E0 = mc2 .
(25)
Deze wordt bereikt bij impuls p = 0, en wordt daarom de rustenenergie genoemd. Merk
verder op, dat volgens de vergelijkingen (20) en (21) de relatie hetzelfde blijft in een ander
stelsel:
(E 0 + vp0 )2 − (p0 + vE 0 /c2 )2 c2
= E 0 2 − p0 2 c2 = m2 c4 .
(26)
2
2
1 − v /c
Limiet van kleine snelheden
In de limiet van kleine deeltjessnelheden v c kun je alle termen ∼ v 2 /c2 verwaarlozen
ten opzichte van termen ∼ v/c. De uitdrukkingen (16) reduceren dan tot
1
E = mc2 + mv 2 + ...,
2
p = mv + ...,
(27)
waarbij de puntjes staan voor termen die minimaal van de orde v 2 /c2 zijn. Hierin herkennen
we weer de newtonse energie en impuls, met als extra een constante (snelheidsonafhankelijke) bijdrage van de rustenergie E0 .
3
Het Dopplereffect
Stel een licht bron beweegt met snelheid v van een waarnemer af. Als de lichtbron op
t = 0 begint met het uitzenden van een lichtgolf, en op tijd t = T heeft hij een hele golf
uitgezonden, dan heeft het golffront een afstand cT afgelegd naar de waarnemer toe; in
dezelfde tijd heeft de bron een afstand vT in de tegenovergestelde richting afgelegd. De
golflengte, de afstand tussen het golffront en het achtereind van de golf, is dan volgens de
waarnemer
λ = (c + v)T.
(28)
In een stelsel dat met de bron meebeweegt duurt het uitzenden van de golf korter:
T0
T =p
1 − v 2 /c2
⇔
T0 = T
p
1 − v 2 /c2 .
(29)
In dat stelsel is de golflengte
λ0 = cT 0 = cT
5
p
1 − v 2 /c2 .
(30)
De verhouding tussen de golflengten in het stelsel van de waarnemer en in het stelsel van
de bron is dus
λ
c+v
= p
0
λ
c 1 − v 2 /c2
r
(31)
c+v
c+v
= p
=
.
c−v
(c + v)(c − v)
Als de bron van een waarnemer af beweegt wordt de door hem gemeten golflengte dus
langer; de kleur van licht wordt dan roder, en we spreken van roodverschuiving. Evenzo
neemt de golflengte af als de bron naar een waarnemer toe beweegt; in dat geval wordt v
vervangen door −v, zodat
r
c−v
λ
=
.
(32)
λ0
c+v
We spreken dan over blauwverschuiving. De periode T van een lichtgolf is de duur van
een enkele golflengte; de frequentie f is het omgekeerde: het aantal golflengten dat per
seconden langs komt. Dus
λ
1
c
T = ,
f= = .
(33)
c
T
λ
Voor frequenties leidt het Dopplereffect dan tot de vergelijkingen
 r
c−v



, bij roodverschuiving;


c+v
f
(34)
=
r

f0


c+v


, bij blauwverschuiving.
c−v
6
Opgaven
1. De meest gebruikte energie-eenheid in de atoomfysica en deeltjesfysica is de elektronvolt
(eV), de energie die een elektron met lading e = 1.602 × 10−19 C erbij krijgt als het een
spanningsverschil van 1 volt (1 V) doorloopt.
a. Laat zien dat 1 eV = 1.602 × 10−19 J.
b. Met hoeveel elektronen correspondeert een lading van 1 C?
c. De massa van een elektron is 9.11 × 10−31 kg; wat is de rustenergie van een
elektron gemeten in MeV (mega-elektronvolt; 1 MeV = 106 eV)?
2. Kosmische straling maakt hoog in de atmosfeer via kernbotsingen instabiele deeltjes,
waaronder muonen die in het laboratorium een gemiddelde levensduur hebben van τ =
2.2 × 10−6 sec.
a. Een muon wordt hoog in de atmosfeer geproduceerd en komt met een snelheid
van 299 400 km/sec vanuit de ruimte recht op het aardoppervlak af. Wat is de
(gemiddelde) levensduur van zo’n muon voor een waarnemer op aarde?
b. Hoe ver kan zo’n muon door de atmosfeer reizen voordat het vervalt?
c. Als het muon precies bij aankomst op aarde vervalt, op welke hoogte is het dan
ontstaan? Hoe groot is die hoogte gemeten in het ruststelsel van het muon?
d. De rustenergie van het deeltje is E0 = mc2 = 106 MeV; hoe groot is de energie
E gemeten door de waarnemer op aarde?
Neem voor de lichtsnelheid c = 299 800 km/sec.
3. Een neutron (neutraal kerndeeltje) is niet stabiel. Neutronen in rust vallen gemiddeld
na 14 min 46 sec uiteen in een proton, een elektron en een neutrino. De rustenergie van
een neutron is
En = mn c2 = 939.6 MeV
a.
Een neutron wordt geproduceerd in een kernreactor met een totale energie die het
dubbele van de rustenergie bedraagt: E = 2En = 1879.2 MeV.
Bereken v/c (de snelheid van het neutron als fractie van de lichtsnelheid),
en reken de snelheid om naar km/sec.
b. Hoe lang zal zo’n neutron gemiddeld leven?
c. Welke afstand legt het neutron af voordat het uiteenvalt?
d. Welke aanwijzing hierboven was strikt genomen overbodig?
7
4. In laboratoriumomstandigheden kunnen waterstofatomen energie omzetten in radiostraling met een golflengte λ = 0.21 m. Deze straling wordt ook geproduceerd door de grote
hoeveelheden waterstofgas in sterrenstelsels, en kan worden gebruikt om ze waar te nemen
m.b.v. radiotelescopen.
a. Bereken de standaardfrequentie van deze straling in MHz.
b. De straling van een sterrenstelsel op grote afstand van de aarde blijkt bij
waarneming op aarde een golflengte van 0.42 m te hebben. Hoe snel beweegt
dit stelsel van ons af? Geef de snelheid als fractie van de lichtsnelheid (v/c)
en in km/sec.
Het heelal dijt uit: hoe verder een sterrenstelsel van ons af staat, hoe sneller het van ons af
beweegt. De Hubble-parameter geeft het verband tussen afstand d en snelheid v van een
sterrenstelsel; in het direct waarneembare deel van het heelal is
H=
c.
d.
v
= 72 km/sec/Mpc.
d
Zoek op hoeveel km overeenkomt met 1 Mpc (Megaparsec).
Bereken de afstand tot het sterrenstelsel uit opgave b.
5. Een GPS satelliet vliegt in een cirkelbaan 20 200 km boven het aardoppervlak; de straal
van de aarde is 6400 km.
a. Bereken m.b.v. de zwaartekrachtwet van Newton de baansnelheid v van de satelliet.
b. De lichtsnelheid is c = 3 × 108 m/sec; laat zien dat v/c = 0.13 × 10−4 .
c. De draagfrequentie van het signaal dat de GPS satelliet uitzendt is f = 1.58 GHz.
Hoe groot is de verandering in de frequentie van het signaal in voorwaartse
en in achterwaartse richting?
8