Inleiding

Formularium Elektriciteit: Macroscopische Elektriciteit
Janwillem Swalens ([email protected])
Versie 1 17 januari 2010
Deel I
Inleiding
1
De bronnen van de elektromagnetische krachtwerking
1.1 De elektrische ladingsdichtheid ρ
∆Q
∆τ → ∆τ
ρ , lim
met > 0 een limietvolume
Bijgevolg: dQ = ρdτ
1.2 De oppervlakteladingsdichtheid σ
∆Q
∆S→S ∆S
σ , lim
met S > 0 een limietoppervlak
Bijgevolg: dQ = σdS
1.3 De vectoriële stroomdichtheid J~
J~ , ρ+~v + + ρ−~v −
n
P
met ~v = h~vpositieve ladingsdragers i ,
+
qi+ ~
vi+
i=1
n
P
qi+
en analoog voor ~v −
i=1
1.4 De oppervlaktestroomdichtheid J~
k
J~k , σ +~vk+ + σ −~vk−
met ~vk+ = h~vpositieve ladingsdragers in grenslaag i en analoog voor ~vk−
2
De elektromagnetische krachtwerkingen
2.1 De vergelijkingen van Maxwell
~ en B
~
2.1.1 Met E
Ruimtelijke vergelijkingen
~ =
div(E)
ρ
0
Lokale wet van Gauss
1
~ = 0 Het niet bestaan van magnetische deeltjes
div(B)
~ = − ∂ B Lokale wet van Lenz
rot(E)
∂t
~
~ = µ0 J~ + µ0 0 ∂ E Veralgemeende wet van Ampère
rot(B)
∂t
~
met:
µ0 , 4π · 10−7 Hm−1 permeabiliteit van het vacuüm (exact)
· 10−9 F m−1 permettiviteit van het vacuüm (exact af te leiden uit µ0 en formule hieronder)
0 ≈
1
36π
c0 ,
√1
0 µ0
≈ 3 · 108 ms−1 lichtsnelheid in het vacuüm (exact bepaald)
Oppervlaktevergelijkingen
~ t− = 0
~t = E
~ t+ − E
δE
~n = E
~ n+ − E
~ n− =
δE
σ
0
~t = B
~ t+ − B
~ t− = µ0 (J~k × ~1n )
δB
~n = B
~ n+ − B
~ n− = 0
δB
~ en H
~
2.1.2 Met D
~ , 0 E
~
D
~ ,
H
1 ~
µ0 B
Ruimtelijke vergelijkingen
~ = ρ Lokale wet van Gauss
div(D)
~ = 0 Het niet bestaan van magnetische deeltjes
div(B)
~ = − ∂ B Lokale wet van Lenz
rot(E)
∂t
~
~ = J~ +
rot(H)
~
∂D
∂t
, J~tot Veralgemeende wet van Ampère
Oppervlaktevergelijkingen
~t = E
~ t+ − E
~ t− = 0 · ~1t
δE
~n = D
~ n+ − D
~ n− = σ
δD
~t = H
~ t+ − H
~ t− = J~k × ~1n
δH
~n = B
~ n+ − B
~ n− = 0
δB
2.2 De vergelijking van Lorentz
~ + ~v × B
~
F~ = q E
´
~ + J~ × B
~ dτ
Bijgevolg: F~ = ρE
τ
2
3
Binding tussen elektromagnetische bronnen
3.1 Elektrische stroom door een oppervlak
IS ,
dQ
dt
´
~ S
~ (uxintegraal)
Bijgevolg: IS = Jd
S
3.2 De continuïteitsbetrekking
Lading is invariant, d.w.z:
1. De elektrische lading is onafhankelijk van de beweging van de drager.
2. Er is behoud van lading: men kan lading noch scheppen, noch vernietigen.
´ ∂ρ
Continuïteitsbetrekking in globale vorm
∂t
τ
Continuïteitsbetrekking in lokale vorm
∂ρ
∂t
+ div J~ dτ = 0
+ div J~ = 0
Opmerkingen
1. Dit is een bilanvergelijking met bronterm 0. (Volgt uit het behoud van lading.)
2. Bijgevolg:
∂ρ
∂t
= −div J~
3. In elektro-magnetostatische omstandigheden:
∂ρ
∂t
= 0 dus div J~ = 0
Deel II
Vectoranalyse en theoretische elektriciteit
4
De operator gradiënt
4.1 Denitie
~ =
grad(f ) = ∇f
∂f ~
∂x 1x
+
∂f ~
∂y 1y
+
∂f ~
∂z 1z
~ =
met ∇
∂ ~
∂x 1x
+
∂ ~
∂y 1y
+
∂ ~
∂z 1z
Eigenschap grad(f ) staat loodrecht op de equipotentiaalvlakken van f
~ · grad(f
~
Fysische interpretatie: de toename van de scalaire potentiaalfunctie df = dr
)
4.2 Veralgemening van de denitie van de gradiënt
~
~
~
~ F~ = ax ∂ F + ay ∂ F + az ∂ F
(~agrad) F~ , (~a · ∇)
∂x
∂y
∂z
~ = d~r · grad
~
~
Toename dA
(A)
3
4.3 De materiële afgeleide
Df
Dt
, lim
∆t→0
Bijgevolg:
5
f (t+∆t,x+∆x,y+∆y,z+∆z)−f (t,x,y,z)
∆t
Df
Dt
=
∂f
∂t
~
+ ~v · grad(f
)
De operator divergentie
5.1 Denitie
~ · F~ =
div F~ , ∇
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
5.2 Solenoïdale vectoren uxbuizen
5.2.1 Denities
~ heet solenoïdaal ⇐⇒ div X
~ =0
• Een vectorveld X
• Aan elk vectorveld (solenoïdaal of niet) kunnen we een uxbuis associëren.
5.2.2 De uxstelling
In een uxbuis geassocieerd aan een solenoïdaal vectorveld is de ux constant (invariant).
De ux door de uxbuis is dus constant.
5.2.3 Voorbeelden van solenoïdale velden
~ = 0 =⇒ B
~ is solenoïdaal
Het magnetisch inductieveld div B
¸
~
~ · dS
Bijgevolg is er een constante magnetische ux: Φ = B
S
De totale stroomdichtheid Uit de continuïteitsbetrekking volgt div J~tot = 0 =⇒ J~tot is solenoïdaal
6
De operator rotatie
6.1 Denitie
~ × F~
rotF~ = ∇
7
De operator Laplaciaan
7.1 De Laplaciaan van een scalaire functie
∆f (~r, t) , div(grad f ) =
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y 2
+
∂2f
∂z 2
Harmonische functies Een functie heet (plaats)harmonisch ⇐⇒ ∆f (~r, t) = 0
7.2 De Laplaciaan van een vectoriële functie
∆F~ (~r) , grad(div F~ ) − rot(rot F~ ) = ∆Fx~1x + ∆Fy~1y + ∆Fz~1z
4
8
Vectoridentiteiten, integraalstellingen en denities
Zie cursus pagina 32-33.
9
Potentialen van Newton
9.1 Denities
9.1.1 De scalaire (ruimte)potentiaal van Newton
Onderstel g(~r) een verdelingsfunctie (bvb. de ladingsdichtheid ρ of de massadichtheid d) en de overeenstemmende grootheid G (bvb. de lading Q of de massa M ). Dan:
dG = g(~r)dτ
Onderstel dat er een interactie ϕ uitgaat van G, omgekeerd evenredig met de afstand. Dan:
dϕP ,
k g(~rA )dτA
k dGA
=
4π rAP
4π rAP
met dϕP de elementaire interactie, verwekt in het gepotentieerd punt P door de hoeveelheid dGA aanwezig
in dτ rond het potentiërend punt A.
De totale interactie ϕP is dan:
ϕP (~rP ) =
k
4π
˚
g(~rA ) dτA
rAP
τ
met τ het potentiërend volume, dit is het ganse volume waarin grootheid G aanwezig is. Deze functie ϕP
noemt men de scalaire (ruimte)potentiaal van Newton, opgebouwd uit de verdelingsfunctie g(~r).
9.1.2 De vectoriële ruimtepotentiaal van Newton
Analoog aan hierboven, met een vectoriële dichtheidsfunctie F~ (~r), bouwt men de vectoriële ruimtepotentiaal:
~ P (~rP ) = k
W
4π
˚ ~
FA (~rA ) dτA
rAP
τ
9.1.3 De scalaire oppervlaktepotentiaal van Newton
Onderstel dat de grootheid G verdeeld is over een oppervlak S met oppervlaktedichtheidsfunctie gS (~r),
dan:
dG = gS (~r)dS
En de scalaire oppervlaktepotentiaal:
ϕS (~rP ) =
k
4π
¨
S
5
gS (~rA ) dSA
rAP
9.1.4 De vectoriële oppervlaktepotentiaal van Newton
Analoog aan hierboven, met een vectoriële oppervlaktedichtheidsfunctie F~S (~r), bouwt men de vectoriële
oppervlaktepotentiaal:
~ P (~rP ) = k
W
4π
¨ ~
FS (~rA ) dSA
rAP
S
9.2 Voorbeelden
9.2.1 De elektrische scalaire ruimtepotentiaal
Stel g = ρ en k =
VP (~rP ) =
˝
1
4π0
τ
1
0
, dan:
ρA (~
rA ) dτA
rAP
~ = −grad(V ) − ∂ A~
Bijgevolg: E
∂t
9.2.2 De elektrische vectoriële ruimtepotentiaal
Stel F~ = J~tot en k = µ0 , dan:
~ P (~rP ) =
A
µ0
4π
˝
τ
J~tot (~
rA ) dτA
rAP
~ = rot(A)
~
Bijgevolg: B
9.2.3 De elektrische scalaire oppervlaktepotentiaal
Stel gS = σ en k =
VS (~rP ) =
1
4π0
˜
S
1
0
, dan:
σA (~
rA ) dSA
rAP
9.2.4 De elektrische vectoriële oppervlaktepotentiaal
Stel F~S = J~k en k = µ0 , dan:
~ P (~rP ) =
A
µ0
4π
˜
S
J~k (~
rA ) dSA
rAP
Deel III
Inleiding tot de potentiaaltheorie
10
Denities
10.1 Potentialen
VP ,
~P ,
A
1
4π0
µ0
4π
˝
τ
ρA dτA
rAP
+
˝ (J~tot )A dτA
τ
rAP
˜
S
+
σA dSA
rAP
+
n
P
i=1
˜ (J~k )A dSA
S
rAP
qi
rAP,i
Elektrische scalaire potentiaal
Elektrische vectoriële potentiaal
6
Eigenschap div(A~ P ) = 0 =⇒ A~ is solenoïdaal.
10.2 Velden
~ P , −gradP (VP ) −
E
lijk is)
~P
∂A
∂t
Het elektrisch veld (opmerking: de laatste term valt weg als ρ tijdsonafhanke-
~ P , rotP (A
~ P ) Het magnetisch inductieveld
B
~ P , 0 E
~ P Het elektrisch inductie-, verplaatsings- of verschuivingsveld
D
~P ,
H
11
1 ~
µ0 BP
Het magnetisch veld
Enkele belangrijke experimentele wetten
11.1 Wet van Coulomb
11.1.1 De experimentele wet
F~P =
1 qA qB ~
1AP
2
4π0 rAP
~ P met E
~P =
of: F~P = qp E
qA ~
1
1AP
2
4π0 rAP
11.1.2 Het superpositiebeginsel
Discreet:
n
~P = P E
~ P,i
E
Continu:
~P =
E
i=1
1
4π0
˝
τ
ρA~
1AP dτA
2
rAP
~P =
⇒D
1
4π
˝
τ
ρA~
1AP dτA
2
rAP
11.2 Wet van Biot en Savart
11.2.1 Het begrip lijnstroomelement
Onderstel een stroombuis met lengte ∆l, doorsnede ∆S en volume ∆τ = ∆l · ∆S ; waardoor een stroom
met dichtheid J~ loopt. Daardoor is de stroom I = J · ∆S .
~ . (Cfr. 'elementaire lading': q = ρ∆τ )
Het stroomelement is per denitie J∆τ
~ = q~v
~
In het limietgeval van een puntlading geldt: J∆τ
= I dl
11.2.2 De experimentele wet van Biot en Savart
~
F~ = q~v × B
~P =
met B
µ0
4π
˝
τ
J~A ×~
1AP dτA
2
rAP
11.3 De wet van Lenz
RI +
Q
C
= U (t) −
DΦ
Dt
7
Deel IV
De elementaire gelijkstroomkring
12
De batterij
12.1 De elektrische dipool
~ met AB
~ van − naar +.
Het elektrisch dipoolmoment p~ , q · AB
1
De elektrische potentiaal opgewekt door p~ in P Vd,P = − 4π
(~
p · gradP )
0
1
rAP
~ d,P =
Het elektrisch veld opgewekt doorp~ in P , d.i. het elektrisch dipoolveld E
1
4π0
h
(~
p · gradP ) gradP
12.2 De georiënteerde ruimtehoek
dΩ ,
~
1n ·~
1P A
dΣ
|~1n ·~1P A |
˜
⇒Ω=
S
~
1 ·~
1
met dΣ = | nr2 P A | dS
AP
1
gradA − rAP
~
· dS
12.3 De elektrische dubbellaag als model voor de batterij
De elektrische dubbellaag geeft aanleiding tot een elektrische potentiaal:
1
Vd = − 4π
0
met p ,
p~!)
˜
p dΩ
S
l·∆Q+
lim
∆S→+0, l→+0 ∆S
de polarisatie-intensiteit (opgelet: heeft niets te maken met dipoolmoment
pΩ
Bij constante polarisatie-intensiteit Vd = − 4π
0
13
De wet van Ohm
13.1 Lokale vorm
~ + ~v − × B
~
J~geleiding = σ E
met:
• σ het geleidingsvermogen (opgelet: heeft niets te maken met oppervlakteladingsdichtheid!)
• ~v − = ~vr− + ~vg− waarin ~vr− de relatieve snelheid van de elektronen t.o.v. de geleider is, en ~vg− de
absolute snelheid van de geleider is.
~ ≈ 0, waardoor:
In de praktijk is meestal ~vg− × B
J~ = σE
8
1
rAP
i
13.2 Geïntegreerde vorm
13.2.1 Voorafgaande begrippen
I = GUAB ⇐⇒ UAB = RI
dus: RG = 1
met:
• R = de weerstand in Ω (Ohm) of V /A (Volt per Ampère)
• G = de conductantie in S (Siemens) of Ω−1 (1/Ohm)
13.2.2 Particulier geval I: lange, smalle geleider
J~ constant over S = equipotentiaaloppervlak van V .
ˆ
dl
1
=
σSequi
G
R=
l
13.2.3 Particulier geval II: dunne, brede geleider
~ constant langs l = veldlijn van E
~.
E
¨
G=
σdS
1
=
l
R
Se
13.2.4 Algemeen geval I
¨
´
G=
S0 l
dS0
dl
σ(~
r )f (~
r0 ,l)
=
1
R
13.2.5 Algemeen geval II
ˆ
˜
R=
l0 S
dl0
σdS
g(~
r0 ,l)
=
1
G
13.2.6 De basisvergelijking voor de stroomverdeling in een geleider (niet-statische situatie)
(p69)
~
~
+ µ0 ∂∂tJ +
rot rot Jσ
14
0 µ0 ∂ 2 J~
σ ∂t2
=0
Substitutieweerstand voor parallel- en seriegeschakelde weerstanden
14.1 Seriegeschakelde weerstanden
RS = R1 + R2
1
GS
=
1
G1
+
1
G2
⇔ GS =
G1 G2
G1 +G2
9
14.2 Parallelgeschakelde weerstanden
GP = G1 + G2
1
RP
=
15
1
R1
+
1
R2
⇔ RP =
R1 R2
R1 +R2
Vermogenverbruik geassocieerd aan een stroom
15.1 Het vermogenverbruik
+
~ en analoog voor dP −
Het vermogenverbruik dP + = ~v + · dF
~ · dτ
Het totaal vermogenverbruik dP = J~ · E
De dichtheid van het vermogenverbruik = het Joulse vermogen
dP
dτ
~ >0
= J~ · E
15.2 Macroscopisch vermogenverbruik
Ptot = U · I
16
De wetten van Kirchho
16.1 De eerste wet van Kirchho = KCL
n
P
Ik = 0 met Ik de takstroom = de stroom door tak k .
k=1
16.2 De tweede wet van Kirchho = KVL
n
P
Vk = 0 met Vk de takspanning = de spanning over tak k .
k=1
16.3 Relatie tussen takspanning en takstroom = VAL
Vk = Rk Ik ± Ek met Ek de spanning opgewekt door de batterijen in tak k , met positieve oriëntatie van
de stroom t.o.v. de polariteit van de batterij.
Deel V
De elementaire magnetische kring
17
De magnetische dipool
~
Het magnetisch dipoolmoment m
~ , I · ∆S
~ d,P =
De elektrische vectorpotentiaal opgewekt door m
~ in P A
µ0
4π gradA
~ d,P =
Het magnetisch inductieveld opgewekt door m
~ in P B
(m
~ · gradP ) gradP
10
µ0
4π
1
rAP
×m
~
1
rAP
18
Magnetisch dipoolmoment voor een lijnvormige geleiderskring
met eindige afmetingen
Beschouw een willekeurige lijnvormige geleiderskring l. Dan:
m
~ =
˜
~ =I
I dS
S
˜
~
dS
S
met S een willekeurig oppervlak dat op de stroomkring l steunt. Dit oppervlak hoeft niet meer elementair
of vlak te zijn.
Belangrijk besluit We kunnen de denitie van het magnetisch dipoolmoment, geldig voor een elementaire, vlakke, lijnvormige stroomkring, uitbreiden tot een willekeurige, lijnvormige stroomkring met
eindige afmetingen.
M.a.w: Een lijnvormige stroomkring l [⇒ m
~ ] ≡ oppervlak S (steunend op l) bedekt met elementaire
˜
~ ]
aanliggende magnetische dipolen (met allen dezelfde stroom en draaizin) [⇒ I dS
S
19
Vergelijking elektrische en magnetische dipool
Elektrische dipool
~
p~ , q · AB
1
~d = −~p gradP
V
4π0
rAP
1
1
~
p · gradP ) gradP rAP
Ed = 4π0 (~
1
~ d = 1 (~
D
4π p · gradP ) gradP rAP
20
Magnetische dipool
~ =
m
~ , I · ∆S
˜
S
~d =
A
−µ0 m
~
4π
× gradP
~
I dS
1
rAP
~d =
B
µ0
4π
(m
~ · gradP ) gradP
~d =
H
1
4π
(m
~ · gradP ) gradP
1
rAP 1
rAP
De zelnductiecoëciënt
L = n2 · P in H = Henry uitgedrukt
met:
• P de permeantie van de uxbuis zodat Φ = P · mmk = P · Iomvat = P · nI , hierin is:
˜
~ is de uitgestuurde ux
~ · dS
Φ= B
S
¸
~
~ · dl
I = mmk = H
l
n het aantal wikkelingen
Bijgevolg:
Φtotaal = nΦ = n2 · P · I = L · I
21
De magnetische weerstand en conductantie (niet bewezen in
de cursus)
21.1 Voorafgaande begrippen
Φ = P I ⇐⇒ I = Rm Φ
dus: Rm P = 1
met:
• Rm = de magnetische weerstand = reluctantie, in A/W (Ampère per Weber) of H −1 (1/Henry)
• P = de magnetische conductantie = permeantie, in H (Henry)
11
21.2 Particulier geval I
~ constant over S = equipotentiaaloppervlak.
B
ˆ
Rm =
dl
1
=
µSequi
P
l
21.3 Particulier geval II
~ constant langs l = veldlijn van H
~.
H
¨
P =
1
µdS
=
l
Rm
S
21.4 Algemeen geval I
ˆ
´
Rm =
l0 S
21.5 Algemeen geval II
ˆ
P =
´
S0 l
dl0
µdS
g(~
r ,l0 )
dS0
dl
µf (~
r0 ,l)
=
=
1
P
1
Rm
Deel VI
De diëlektrische uxkring
22
De geleider in elektrisch evenwicht
22.1 Relaxatietijd
τ=
σ
(maat, geen echte tijd, maar wel uitgedrukt in s)
Een ladingsonevenwicht zal dan exponentieel uitsterven volgens de functie: ρ = ρ0 e− τ .
t
22.2 De geleider in elektrisch evenwicht
Een geleider is in elektrisch evenwicht als:
• ~v − = 0
•
~vk−
=0
∀P ∈ inwendige van de geleider
∀P ∈ buitenopp. van de geleider
Dan:
• J~k = 0
• J~ = 0
~ =0
• E
~ =0
• D
~ -veld staat loodrecht op het buitenoppervlak
Dus de geleider is equipotentiaal (V is constant), en het E
van de geleider.
12
23
Het begrip diëlektrische ux
23.1 Veld binnen en buiten een opgeladen geleider
Beschouw een geleider met oppervlakteladingsdichtheid σ . Neem L+ en L− twee punten respectievelijk
juist buiten en juist binnen de geleider. Dan:
~ − ) = ~0
• D(L
~ + ) = σ~1n
• D(L
~
• D(L)
= σ2 ~1n
en:
~ − ) = ~0
• E(L
~ +) =
• E(L
~
• E(L)
=
σ~
0 1n
σ ~
20 1n
= het eectief elektrisch veld op de geleider
23.2 Fluxbuis tussen twee opgeladen geleiders
Beschouw twee opgeladen geleiders gescheiden door een ongeladen diëlektricum. Tussen deze twee geleiders bestaan oneindig veel uxbuizen die telkens twee overeenstemmende oppervlakken, ∆S1 en ∆S2 ,
verbinden. Op deze oppervlakken bevinden zich gelijke maar tegengestelde ladingen,
˜ ∆Q1 = −∆Q2 .
~ = Qtot .
~ · dS
Door de uxbuis loopt een ux die we de diëlektrische stroom noemen, deze is Id ,
D
f luxbuis
24
De condensator de capaciteit
24.1 Het concept condensator
Een condensator bestaat uit twee geleiders, gescheiden door een ongeladen diëlektricum, en waarbij alle
diëlektrische uxbuizen onderling uitgewisseld worden.
Stel V1 en V2 de potentialen van de binnenste en de buitenste geleider. Neem l een veldlijn tussen deze
geleiders, en L en K respectievelijk het snijpunt van l met de binnenste en buitenste geleider. σ is de
oppervlakteladingsdichtheid van de binnenste geleider. Dan zijn:
~ +) =
• E(L
σ~
0 1n
met L+ het punt L juist buiten de geleider.
´
~
~ · dl
• V1 − V2 = VL − VK = E
• Q1 =
¸
l
σ dS = −Q2
S1
• We deniëren de capaciteit C zodat Q1 = C (V1 − V2 ) ⇔ Q2 = C (V2 − V1 )
24.2 De capaciteit en diëlektrische weerstand (niet bewezen in de cursus)
24.2.1 Voorafgaande begrippen
Q = CU12 ⇐⇒ U12 = Rd Q
dus: Rd C = 1
met:
• Rd = de diëlektrische weerstand in F −1 (1/Farad) of V /C (Volt per Coulomb)
• Gd , C = de diëlektrische conductantie = de capaciteit in F (Farad) of C/V (Coulomb per Volt)
13
24.2.2 Particulier geval I
~ constant over S = equipotentiaaloppervlak.
D
ˆ
dl
1
=
Sequi
C
Rd =
l
24.2.3 Particulier geval II
~ constant langs l = veldlijn van E
~.
E
¨
C=
1
dS
=
l
Rd
S
24.2.4 Algemeen geval I
ˆ
˜
Rd =
l0 S
dl0
dS
g(~
r0 ,l)
=
1
C
=
1
Rd
24.2.5 Algemeen geval II
¨
C=
´
S0 l
dS0
dl
f (~
r0 ,l)
14