ga verder met de opgave op de achterkant

Tentamen Klassieke Elektrodynamica, 15 april 2015, 14–17 uur.
1. Veronderstel dat er aanwijzingen gevonden worden voor het bestaan van
magnetische monopolen. De divergentie van het magneetveld hoeft dan
~ r , t) = µ0 ρM (~
niet overal gelijk te zijn aan nul: div B(~
r , t), met ρM de monopooldichtheid.
~ r ) van één enkele
(a) Bereken het tijdsonafhankelijke magnetische veld B(~
magnetische monopool (lading qm ) in de oorsprong.
~ = −∂ B/∂t,
~
(b) Waarom moet de wet van Faraday, rot E
aangepast worden
aan het bestaan van magnetische monopolen?
(c) De stroomdichtheid j~M van de magnetische monopolen voldoet aan de
vergelijking
Z
I
d
~
ρM (~
r , t) d~
r = − j~M (~
r , t) · dS,
dt V
S
met V een willekeurig volume en S het oppervlak van dat volume. Waarom
noemt men dit een “behoudswet”? (Wat is behouden?) Welke aanpassing
van de wet van Faraday is in overeenstemming is met deze behoudswet?
2. Een elektromagnetisch veld in vacuum wordt beschreven door de potentia~ = A0 ŷ sin(kx − ωt).
len Φ = 0, A
~ en B.
~
(a) Bereken de bijbehorende velden E
(b) Bereken de relatie tussen het golfgetal k en de frequentie ω.
(c) Is het mogelijk om een ijktransformatie te vinden zodanig dat de vektorpotentiaal overal gelijk wordt aan nul? Zo neen, waarom niet; Zo ja, wat is
dan die transformatie.
~
3. In een metaal1 (geleidingsvermogen σ ) geldt de wet van Ohm: j~ = σ E.
(a) Leid af dat de ladingsverdeling ρ(~
r , t) in het metaal voldoet aan de differentiaalvergelijking
σ
∂ρ
= − ρ.
∂t
ε0
Laat zien dat ρ → 0 voor t → ∞.
(b) We veronderstellen nu ρ = 0 in het metaal. Leid af dat het elektrische
~ r , t) voldoet aan de vergelijking2
veld E(~
~
~
~
∂ 2E
∂E
∂ 2E
=
ε
µ
+
µ
σ
.
0
0
0
∂ r~2
∂t 2
∂t
ga verder met de opgave op de achterkant
1
De dielektrische constante en magnetische permeabiliteit in het metaal stellen we gelijk aan die
van vacuum, nl. ε0 en µ0 .
2
notatie: ∂ 2 /∂ r~2 ≡ ∆ ≡ Laplaciaan.
(c) We zoeken een oplossing in de vorm van een vlakke golf,
h
i
~ r , t) = ŷ Re E0 ei(kx−ωt) .
E(~
Bereken de dispersierelatie, d.w.z. de relatie tussen het (complexe) golfgetal
k en de frequentie ω. Geef aan hoe de indringdiepte van het elektrische veld
in het metaal afhangt van σ in het geval dat σ ε0 ω.
~ r , t). Leg uit wat de
4. (a) Geef de Liénard-Wiechert potentialen Φ(~
r , t) en A(~
gebruikte symbolen betekenen. Geef expliciet aan waar de geretardeerde
tijd voorkomt in Uw formules. Geef ook de definitie van de geretardeerde
tijd.
(b) Een puntlading beweegt met constante snelheid v naar rechts langs de
x-as. Op t = 0 is de puntlading in de oorsprong. Bereken de potentialen Φ
~ op de x-as rechts van de lading.
en A
(c) Het resultaat voor de elektrische potentiaal Φ op t = 0 hangt niet af van
de snelheid v waarmee de puntlading door de oorsprong beweegt. Leg uit
~ daarentegen wèl van v zal afhangen.
waarom het elektrische veld E
antwoorden tentamen KED, 15 april 2015
R
~ = r̂ qM (µ0 /4π )r −2 , met qM = ρM d~
1. (a) B
r de magnetische “lading”.
~ = −µ0 ∂ρM /∂t is ongelijk aan nul als ρM tijdsafhankelijk is, maar
(b) div rot E
de divergentie van de rotatie van elke vectorveld moet gelijk zijn aan nul,
dus er is een tegenstrijdigheid; deze kan opgelost worden door een extra
~ = −∂ B/∂t
~
term toe te voegen aan de wet van Faraday: rot E
− µ0 j~M , zodanig
dat ∂ρM /∂t = −div j~M .
(c) In differentiële vorm luidt deze vergelijking ∂ρM /∂t = −div j~M . Deze
volgt uit bovengenoemde aanpassing van de wet van Faraday.
~
~ = −∇Φ − ∂ A/∂t
2. (a) E
= ωA0 ŷ cos(kx − ωt);
~
~
B = ∇ × A = kA0 ẑ cos(kx − ωt).
~ = ε0 µ0 ∂ E/∂t
~
(b) ∇ × B
⇒ k 2 = ε 0 µ0 ω 2 .
~ nul moeten zijn.
(c) Neen, want dan zou B
~ = −(σ /ε0 )ρ; oplossing: ρ(t) = ρ(0) exp(−σ t/ε0 ) →
3. (a) ∂ρ/∂t = −div j~ = −σ div E
0 voor t → ∞.
2
~ = grad div E−∆
~
~ = −∆E
~ = −rot ∂ B/∂t,
~
~ = ε0 µ0 ∂ 2 E/∂t
~
(b) rot (rot E)
E
dus ∆E
+
2~
2
~
~
µ0 ∂ j/∂t = ε0 µ0 ∂ E/∂t + µ0 σ ∂ E/∂t.
2
(c) −k2 = −ε
; indringdiepte
p 0 µ0 ω − iωµ0 σ
p is het imaginaire deel van k:
√
√
1
k = ε0 µ0 ω 1 + iσ /ε0 ω ≈ ε0 µ0 ω + 2 iσ µ0 /ε0 voor σ /ε0 ω 1.
4. (a) zie college.
~ r , t) = (qµ0 /4π )x̂v|x − vt|−1 . De aflei(b) Φ(~
r , t) = (q/4π ε0 )|x − vt|−1 , A(~
ding is behandeld op het college.
~
~ hangt van v af, dus E
~ = −grad Φ − ∂ A/∂t
~ zal dat ook doen.
(c) E
en A