Quantumtheorie

versie 21 februari 2013
Quantumtheorie
J.W. van Holten
NIKHEF
Amsterdam
en
LION
Universiteit Leiden
c
1
Deeltje-golf dualisme
Een vlakke golf wordt gekenmerkt door een golflengte λ en een periode T , of equivalent:
een golfgetal k = 2π/λ en een hoekfrequentie ω = 2π/T . Deeltjes worden gekenmerkt door
een impuls p en een energie E. De quantumtheorie associëert met deeltjes een vlakke golf
van de vorm
ψk (x, t) = ei(kx−ωt) ,
(1)
waarbij het golfgetal en de frequentie evenredig zijn met impuls en energie:
p = ~k,
E = ~ω.
(2)
Hierin is ~ = h/2π de gereduceerde constante van Planck:
~ = 1.0546 × 10−34 J s.
De energie E is een functie van de impuls p; voor een niet-relativistisch deeltje is
E=
p2
,
2m
(3)
terwijl voor een relativistisch deeltje
E 2 = m2 c4 + p2 c2 .
(4)
In golftermen betekent dit
~k 2
ω
=
,
c
2mc
of
ω 2 mc 2
=
+ k2.
c2
~
(5)
Daarom volstaat het de golf (1) met de golfvector k te labelen. De vlakke golf ψk voldoet
aan de eenvoudige differentiaalvergelijkingen
−i~
∂ψk
= p ψk ,
∂x
−i~
∂ψk
= E ψk .
∂t
(6)
Het verband tussen energie en impuls (3) voor een niet-relativistisch deeltje volgt uit de
Schrödingervergelijking:
∂ψk
~2 ∂ 2 ψk
−i~
=−
.
∂t
2m ∂x2
De relativistische energie-impuls relatie (4) wordt op vergelijkbare manier verkregen uit de
Klein-Gordon vergelijking:
1 ∂2
m2 c2
∂2
− 2 2 + 2 ψk = 2 ψk .
c ∂t
∂x
~
Dat deeltjes inderdaad golfeigenschappen hebben blijkt b.v. uit de diffractiepatronen van
Röntgen- en elektronverstrooiing door aluminumkristallen, zie fig. Q.1.
1
,
Fig. Q.1: Röntgen- en elektronverstrooiing aan aluminium.
2
Comptonverstrooiing
NIet alleen hoort bij ieder deeltje een golf, maar golven hebben ook deeltjeseigenschappen.
Licht, een elektromagnetisch golfverschijnsel, kan worden beschreven in termen van lichtquanta, of fotonen, terwijl elastische golven in een vaste stof op microscopisch niveau uit
fononen bestaan, deeltjes met een vaste gequantiseerde energie en impuls bepaald door de
relaties (2).
Dat lichtquanta zich geheel als deeltjes gedragen blijkt uit het Comptoneffect, de verstrooiing van elektromagnetische golven aan elektronen. Deze verstrooiing kan volledig
beschreven worden als een elastisch botsingsproces tussen een foton een elektron. Omdat
fotonen altijd met de snelheid van het licht bewegen, hebben ze geen massa, zodat
2π~c
.
(7)
λ
Hoe groter de energie, hoe korter dus de golflengte. Bij de botsing van een foton met
een elektron wisselen ze energie en impuls uit; dat resulteert dan in een verandering van
de fotonenergie, ofwel in de golflengte van de verstrooide straling. Die verandering in de
energie en golflengte kun je als volgt uitrekenen. Een stilstaand elektron met rustenergie
Ee = me c2 wordt geraakt door een foton dat aankomt met impuls pγ , en dus met energie
Eγ = |pγ |c.
E = |p|c =
Fig. Q.2: Comptonverstrooiing.
Het foton en elektron komen eruit met impuls p0γ en p0e , zodat
p
Ee0 = m2e c4 + p0e2 c2 .
Eγ0 = |p0γ |c,
2
(8)
De wetten van behoud van energie en impuls vertellen ons dan, dat
p
Eγ + me c2 = Eγ0 + m2e c4 + p0e2 c2 ,
(9)
p0γ
+
p0e .
pγ − p0γ
2
c2 = p2γ c2 + p0γ2 c2 − 2c2 |pγ ||p0γ | cos θ
pγ =
Nu is
p0e2 c2 =
(10)
= Eγ2 + Eγ0 2 − 2Eγ Eγ0 cos θ.
Herschikken en kwadrateren van de eerste vergelijking (9) geeft nu
2
me c2 + Eγ − Eγ0
= m2e c4 + Eγ2 + Eγ0 2 + 2me c2 Eγ − Eγ0 − 2Eγ Eγ0
(11)
=
m2e c4
+
Eγ2
+
Eγ0 2
−
2Eγ Eγ0
cos θ.
Combineren van de laatste twee uitdrukkingen leidt dan uiteindelijk tot
1
1
1
(1 − cos θ) .
−
=
0
Eγ
Eγ
me c2
(12)
In termen van de golflengte van de straling:
λ0 − λ =
h
(1 − cos θ)
me c
(here h = 2π~).
(13)
De grootheid
h
= 2.43 × 10−12 m,
(14)
me c
wordt de Comptongolflengte van het elektron genoemd.
Vergelijking (13) kan experimenteel getoetst worden door de golflengte van de verstrooide straling te meten als functie van de verstrooiingshoek. Dat is wat Compton deed
(met Röntgenstraling), en waarvoor hem in 1927 de Nobelprijs werd toegekend.
λe =
3
Spin
Behalve door hun massa, energie en impuls worden de eigenschappen van deeltjes ook
bepaald door spin, elektrische lading en ladingen voor andere dan elektromagnetische wisselwerkingen. De spin van een deeltje is het inwendig impulsmoment, de hoeveelheid
intrinsieke draaiing die deeltjes altijd met zich meedragen. Deze heeft een grootte en een
richting; tegelijk komt spin alleen voor in gequantiseerde hoeveelheden, gehele veelvouden
van ~/2. Dit leidt ertoe dat de volledige spintoestand van een deeltje altijd moet worden
vastgelegd door twee getallen: het eerste getal n = (0, 1, 2, ...) geeft de totale spin:
s=
n~
,
2
3
(15)
en het tweede getal m geeft de component van de spin in een vooraf bepaalde richting,
zoals de bewegingsrichting of de richting van een uitwendig veld:
sz = m~,
m=
n n
n
, − 1, ...., − .
2 2
2
(16)
Er zijn dus n + 1 mogelijke waarden voor m, alle behorend bij dezelfde totale spin s, die je
als polarisatietoestanden van de spin kunt opvatten. Uit deze quantumvoorwaarden volgt,
dat er twee klassen van deeltjes te onderscheiden zijn:
- als n even is: n = (0, 2, 4, ...) dan is m een geheel getal en heeft het deeltje een oneven
aantal polarisatietoestanden; zulke deeltjes vormen de klasse van bosonen;
- als n oneven is: n = (1, 3, ...) dan is m halftallig (d.w.z. een oneven veelvoud van 1/2),
en heeft het deeltje een even aantal polarisatietoestanden; deze deeltjes vormen de klasse
van fermionen.
Ononderscheidbaarheid
Bosonen en fermionen verschillen fundamenteel van elkaar in het soort collectief gedrag dat
ze kunnen vertonen. Collecties van quantumdeeltjes, zoals een gas van bosonen of een gas
van fermionen, gedragen zich anders dan een collectie klassieke deeltjes. Terwijl klassieke
deeltjes altijd kunnen worden gelabeled en hun identiteit behouden, ook in systemen met
grote aantallen deeltjes, zijn quantumdeeltjes fundamenteel ononderscheidbaar. Als je twee
fotonen, of twee elektronen, tijdelijk onobserveerbaar maakt door ze b.v. door een tunnel
te laten gaan, of door ze op te sluiten in een doos, dan is het principiëel onmogelijk om
naderhand vast te stellen welk van de quantumdeeltjes die er uit komen correspondeert
met welk van de deeltjes die er zijn ingegaan. Stel je stopt twee identieke deeltjes (A en B)
na elkaar in een doos, en na enige tijd laat je één van de deeltjes er weer uit. Klassiek zijn
er dan twee mogelijke uitkomsten: deeltje A komt eruit en B blijft erin, of deeltje B komt
eruit en deeltje A blijft erin. Voor quantumdeeltjes is deze conclusie fout; er is maar een
enkele eindtoestand met een deeltje buiten en een deeltje binnen in de doos, en de deeltjes
zijn wezenlijk niet meer te onderscheiden in A en B.
Niettemin is er ook in deze situatie een belangrijk verschil tussen bosonen en fermionen.
Voor fermionen geldt namelijk het Pauliverbod: er kan nooit meer dan een fermion van
hetzelfde type in een gegeven energie-impuls-spintoestand voorkomen. Als je b.v. een grote
tabel zou maken van alle toestanden met gegeven energie, impuls en spin die elektronen in
het heelal ter beschikking hebben, dan bestaat de boekhouding van die toestanden volledig
uit nulletjes en eentjes: 0 als een toestand niet bezet is, 1 als de toestand bezet is.
Voor bosonen is er geen Pauliverbod: die kunnen in willekeurig grote aantallen bij
elkaar klitten met dezelfde energie, impuls en spin. En dan doen ze ook, b.v. identieke
fotonen in een coherente laserbundel, of identieke 4 He-atomen in supervloeibaar helium.
Het gebrek aan identiteit van deeltjes hangt nauw samen met hun duale golfeigenschappen; deeltjes zijn eigenlijk minimale energie- en impulstoestanden van een veld. Dat geldt
niet alleen voor fotonen, maar ook voor elektronen en ander deeltjes: bij ieder type deeltje
hoort een veld, waarvan de quanta de deeltjes zijn die we in de natuur waarnemen. Die
velden onderscheiden zich o.a. door het aantal polarisatietoestanden van de quanta, d.w.z.
4
door de spin van de deeltjes. We onderscheiden daarom in het bijzonder scalaire velden,
waarvan de quanta geen spin dragen (n = 0), en dus bosonen zijn; spinorvelden, waarvan
de quanta fermionen zijn die in twee polarisatietoestanden kunnen voorkomen (n = 1); en
vectorvelden waarvan de quanta weer bosonen zijn met in principe drie polarisatiemogelijkheden (n = 2).
4
Botsingen en strooiprocessen
We kunnen veel over de eigenschappen van deeltjes en hun wisselwerkingen leren door
het bestuderen van botsingsprocessen tussen deeltjes. Rutherford en Geiger ontrafelden
de structuur van atomen: een kleine, massieve, positief geladen kern omgeven door een
wolk van lichte, negatief geladen elektronen, door α-deeltjes op een trefplaatje te schieten.
Op een soortgelijke manier ontdekten Friedmann, Kendall en Taylor in Stanford dat het
proton een inwendige structuur heeft van geladen deeltjes (quarks), door zeer energetische
elektronen te verstrooien aan waterstof.
In de laatste decennia zijn botsingsexperimenten met behulp van deeltjesversnellers
vooral gebruikt om nieuwe vormen van materie te ontdekken: nieuwe soorten quarks en
leptonen, de W - en Z-deeltjes die de zwakke wisselwerkingen tot stand brengen, en meest
recent het Higgsdeeltje. Al deze deeltjes en hun interacties gedragen zich volgens de regels
van de quantumtheorie. Er moest dus een quantumtheoretisch raamwerk worden ontwikkeld om deze processen te beschrijven: een manier om uit te rekenen hoe groot de
waarschijnlijkheid is dat twee deeltjes (twee protonen, elektronen of hun anti-deeltjes) met
gegeven energie bij botsing een bepaalde eindtoestand van dezelfde en/of nieuwe deeltjes
opleveren. Deze waarschijnlijkheid wordt aangeduid met het begrip werkzame doorsnede,
en is quantumtheoretisch het resultaat van het kwadrateren van een waarschijnlijkheidsamplitude:
Pi→f = |hf |S|ii|2 .
(17)
Hierin is hf |S|ii de quantumamplitude voor de kans dat een begintoestand i zich ontwikkelt
tot een eindtoestand f . Deze amplitude is een element van een oneindig-dimensionale
matrix S die de overgangsamplitude geeft voor ieder mogelijk paar toestanden (i, f ). Deze
matrix wordt de strooimatrix (engels: scattering matrix) of kortweg S-matrix genoemd.
Twee belangrijke bijdragen aan het formalisme om deze S-matrix uit te rekenen werden
geleverd door Richard Feynman. De eerste en meest fundamentele was, dat Feynman liet
zien dat de quantumamplitude op een speciale manier gerepresenteerd kon worden als
samengesteld uit alle mogelijke manieren om van begin- naar eindtoestand te komen die in
overeenstemming zijn met de fundamentele behoudswetten van energie, impuls, elektrische
lading, enz. Het systeem kan daarbij ook paden van i naar f nemen die volgens de klassieke
mechanica niet toegestaan zijn, b.v. omdat de massa van deeltjes niet behouden is. De
theorie laat namelijk toe dat de massa van deeltjes onderweg in tussentoestanden verandert,
zolang de deeltjes die worden waargenomen aan het begin en aan het eind maar de juiste
massawaarde hebben. De onobserveerbare deeltjes in tussentoestanden worden virtuele
deeltjes genoemd; ze spelen wel een rol door hun bijdrage aan de quantumamplitude, maar
5
kunnen niet als waarneembare deeltjes in de eindtoestand optreden. De uitdrukking voor
de elementen van de strooimatrix verkegen door combinatie van alle paden i → f in de
ruimte van mogelijke deeltjesconfiguraties staat bekend als de padintegraal.
Feynman’s tweede bijdrage was een visueel hulpmiddel om al de mogelijke paden, d.w.z.
alle mogelijke tussentoestanden, mee te genereren: de Feynmandiagrammen. Dit kunnen
we illustreren aan de hand van de quantumelectrodynamica (QED), de theorie van fotonen,
elektronen en hun antideeltjes (positronen). De verstrooiing van twee elektronen via de
Coulombwisselwerking wordt schematisch weergegeven door fig. Q.3:
Fig. Q.3: Verstrooiing van twee elektronen; tijd loopt van links naar rechts.
De wisselwerking vindt plaats via het elektromagnetische veld, d.w.z. door uitwisseling van
fotonen. Het elementaire proces daarbij is de emissie of absorptie van een foton door een
elektron, zoals in fig. Q.4:
Fig. Q.4: Elementaire elektron-foton wisselwerking.
In dit proces kan een fotonlijn (golflijn) eindigen of beginnen bij een elektron; daarbij moet
de totale energie en impuls door het elektron en foton gedeeld worden, in overeenstemming
met de behoudswetten. Het foton kan daarentegen geen lading meenemen, dus een elektronlijn kan nooit beginnen of eindigen op een fotonlijn: dat zou de spontane creatie of
vernietiging van elektrische lading impliceren. De pijlen op de lijntjes geven het stromen
van de lading aan, en deze stroom mag nooit onderbroken worden.
Met behulp van dit elementaire proces kan de elektronenverstrooiing in fig. Q.3 nu
ontleedt worden in een som van bijdragen van toenemende aantal intermediaire virtuele
deeltjes; de eerste paar zijn weergegeven in fig. Q.5:
6
Fig. Q.5: Elektronverstrooiing via uitwisseling van virtuele fotonen.
Ieder diagram als in fig. Q.5 is representeert een wiskundige uitdrukking voor de bijdrage
van dat diagram aan het S-matrix element hf |S|ii. In die uitdrukking is met iedere vertex
uit het diagram waar een fotonlijn en een elektronlijn bij elkaar komen een factor e, de
elektronlading, verbonden. De grootte van de lading van een deeltje vertelt namelijk hoe
sterk dat deeltje het elektromagnetische veld voelt, in dit geval hoe sterk de koppeling
van het foton aan het elektron is. Dat betekent dat de uitdrukking die hoort bij het
eerste diagram een factor e2 bevat, de uitdrukkingen voor het tweede en derde diagram
een factor e4 , en ingewikkelder diagrammen nog hogere machten van e. Deze factoren
worden vergezeld van factoren c en ~ zodat de diagrammen uiteindelijk factoren bevatten
met steeds hogere machten van de dimensieloze grootheid
α=
1
e2
≈
.
4πε0 ~c
137
(18)
Het gevolg is dat hogere termen corresponderend met gecompliceerde diagrammen minder bijdragen en het in de praktijk vaak voldoende is om alleen de eerste paar simpele
diagrammen voor de berekening van hf |S|ii mee te nemen.
Een nieuw effect treedt op als de verstrooiing niet plaats heeft tussen twee elektronen,
maar tussen een elektron en zijn anti-deeltje, een positron. In diagrammen wordt een
positron voorgesteld door eenzelfde soort lijn als een elektron, alleen met de pijl in de
andere richting om aan te geven dat de lading tegengesteld is, dus dat de stroom de andere
kant op loopt. De bijdragen van orde e2 aan dit proces zijn weergegeven in fig. Q.6.
Fig. Q.6: Elektron-positronverstrooiing via uitwisseling van virtuele fotonen.
In orde e2 is er nu niet alleen een diagram waarbij het elektron en positron een virtueel foton
uitwisselen, maar ook een diagram waarbij het elektron en positron elkaar annihileren om
een enkel virtueel foton te maken dat dan weer uiteenvalt in een elektron en een positron.
Dit is mogelijk, omdat het elektron-positron paar geen netto lading heeft, net als het foton.
Er worden dus geen behoudswetten geschonden. Wel is het zo, dat het virtuele foton de
7
totale energie en impuls van het inkomende elektron en positron meedraagt, zodat voor dit
foton in het algemeen Eγ 6= cpγ , en het virtuele foton dus niet massaloos is. Om dezelfde
reden kan het ook weer uiteenvallen in een elektron en een positron.
Er zijn ook processen waarvoor het eerste diagram in fig. Q.6 de enige bijdrage in orde
e2 is. Dit gebeurt als het virtuele foton niet weer uiteenvalt in een elektron en positron,
maar in een ander deeltje/antideeltje paar, b.v. een muon en een antimuon. De eerste paar
diagrammen voor zo’n proces zijn weergegeven in fig. Q.7.
Fig. Q.7: Elektron-positron annihilatie met een muon/antimuon eindtoestand.
Het tweede diagram uit fig. Q.6 ontbreekt, omdat een elektron en positron niet in een
muon en antimuon kunnen overgaan door gewoon een foton uit te wisselen.
Tenslotte kan de annihilatie van een elektron en een positron niet alleen tot de creatie
van een deeltje/antideeltje paar leiden, maar b.v. ook twee of meer fotonen opleveren. De
eenvoudigste bijdrage (orde e2 ) aan dit proces komt van het diagram in fig. Q.8.
Fig. Q.8: Elektron-positron annihilatie tot een paar fotonen.
Het omgekeerde kan natuurlijk ook: uit twee fotonen kunnen bij voldoende energie een
elektron en een positron gemaakt worden. Het diagram Q.8 moet dan gespiegeld worden,
zodat de tijdrichting omdraait. Deze mogelijkheid leidt nu tot een bijzondere uitkomst:
het is mogelijk om twee fotonen aan elkaar te verstrooien en zo hun bewegingstoestand
(impuls) te veranderen; dat kan door de vorming van een tussentoestand met virtuele
geladen deeltjes, zoals in fig. Q.9.
Fig. Q.9: Fotonverstrooiing aan virtuele geladen deeltjes.
8
Dit proces is in de klassieke electrodynamica niet mogelijk, omdat fotonen geen lading
bezitten. Door de tussenkomst van virtuele elektronen en positronen, die alleen in de
quantumtheorie optreden, kan het proces toch voorkomen. Wel is de amplitude van de
orde e4 , dus de werkzame doorsnede evenredig met α4 ∼ 10−8 . Dat maakt de kans op dit
proces, zeker voor fotonen met lage energie, zeer klein.
9