Fourier optica

Licht als golf:
Fouriermethoden
a) Amplitude en faseobjecten
b) De optische fouriertransform
c) Het oplossend vermogen van de
microscoop
d) Zichtbaar maken van faseobjecten
door filtering van de
fouriertransform
1
a) Amplitude- en faseobjecten
Het object O(x,y)
Lichtgolf na passage van het preparaat
O(x,y) = A(x,y)expi(x,y):
 
E( x, y)  A( x, y) E0 exp i(t  k  r   ( x, y))
b) Fasenobject
fasenverschuiving
a) Amplitudeobject
Amplitudeobject:
Faseobject:
Gemengd object:
O(x,y) = A(x,y)expi
O(x,y) = Aexpi(x,y)
O(x,y) = A(x,y)expi(x,y)
Het oog/camera ziet alleen amplitudevariaties  geen details in faseobjecten
2
Fasegevoelige microscopie
"Vertaling" van onzichtbare
faseverschillen (x,y) in zichtbare
amplitudeverschillen A'(x,y):

Camera of oog
fasenobject
vertaling
fasenverschil -->
amplitudeverschil
Twee mogelijkheden:


Via fouriermethoden
Via interferometrie
3
b) De optische fouriertransform
f
f
object
lens 1
f
fourier
transform
f
beeld
lens 2
Lens 1: Creëert fouriertransform
Lens 2: Creëert inverse fouriertransform
(beeld = origineel)
Vertaling faseobject naar amplitudebeeld
geschiedt via filteren van de
fouriertransform.
4
Fouriertransformatie met lens
k
A
D(X,Y)
optische as
A'
O'
object
f
lens
f
Eén straal door object O(x,y) in richting
(kx,ky) met kx = |k|sin en ky = |k|sin naar
punt D(X,Y):
 Fase- + amplitudeverandering O(x,y) =
A(x,y)expi(x,y)
 Weglengteverschil OA' geeft
faseverschuiving (kxx + kyy)
 Weglengteverschil AD en A'D is nul.
Dit geeft:
 
E (k x , k y )  E0 A( x, y) exp i ( x, y). exp i(t  k  r0 ) exp  i(k x x  k y y)
5
Optellen van álle stralen door O(x,y)
geeft:
 
E (k x , k y )  E0 exp i(t  k  r0 ).
 A( x, y) exp i ( x, y) exp  i(k x  k
x
y
y )dxdy
x, y
of
E (k x , k y )   O( x, y ) exp  i (k x x  k y y )dxdy
x, y
Dit is de fouriertransform van het
object O(x,y)!!
6
De fouriertransform is een
complex getal:
E(kx,ky) = |E(kx,ky)|expi(kx,ky),
met:
 amplitude |E(kx,ky)| en intensiteit I(x,y) 
(|E(kx,ky)|)2
 fase (kx,ky).
Amplitudeobject
Fouriertransform
(amplitudedeel)
7
c) Het oplossend vermogen van
de microscoop
Cosinusvormig amplitudeobject:
O( x, y )  A1  A2 cos
of
O( x, y)  A1 
2x
d ,
A2 exp 2ix / d A2 exp  2ix / d

2
2
A1
x
d
Fourier
transform
A2
objectief
Inverse
Fourier
transform
oculair + oog
8
De fouriertransform is:
FT (O( x, y ))  FT ( A1 )  FT (
A2 exp 2ix / d
A exp  2ix / d
)  FT ( 2
)
2
2
of
A2 2
A2
2
FT (O( x, y )  A1 (0,0)   ( ,0)   (
,0)
2
d
2
d
A2(-2/d,0) A1(0,0) A2(2/d,0)
0e orde
apertuur diafragma
D.w.z. drie Dirac -functies op een rij.
9
Beperkte invang door objectief
Als de twee buitenste stralen niet door het
objectief worden ingevangen ontstaat na
inverse fouriertransformatie IFT(A1(0,0))
een egaal beeld.
Straal met
kx=+2/d

x
kx=0
object
Straal met
kx=-2/d
egaal
beeld
Dus om de cosinus met periode d te zien,
moeten de stralen met kx = |k|sin = 2/d
door het objectief ingevangen worden. Dit
kan alleen als


d

sin  obj NA
Dit is het scheidend vermogen van het
objectief.
10
Verbeteren oplossend vermogen
 Olieimmersie objectief: Maak  kleiner
door olie tussen het preparaat en het
objectief te plaatsen:  = lucht/n. De
resolutie wordt (NA = n.sinobj):
d min




n sin  obj NA obj
 Schuine belichting: zodat één 1e orde
reflectie door het objectief wordt
ingevangen (NAcond = n.sincond):
Straal met
kx=+2/d
Straal met
kx=0
A1(0,0)
0e orde
Straal met
kx=-2/d
object
d min 
A2(-2/d,0)

NAobj  NAcond
11
Typische resoluties:
 = 550 nm (groen)
 10x objectief: NAobj = 0.1; NAcond = 0.1
dmin = 0.550/(0.1+0.1) = 2.75 m
 80x objectief: NAobj = 0.9; NAcond = 0.9
dmin = 0.550/(0.9+0.9) = 0.306 m
 125x olieimmersie objectief: nolie = 1.45
NAobj = 1.3; NAcond = 1.3
dmin = 0.550/(1.3+1.3) = 0.211 m
12
d) Fasegevoelige microscopie
Filteren van de fouriertransform:
Faseobject: O(x,y) = Aexpi(x,y)

Fouriertransform object: FT(O(x,y))

Filteren fouriertransform:
B(kx,ky).FT(O(x,y))

Terugtransformeren geeft nieuw beeld:
O'(x,y) = A'(x,y).exp(i'(x,y))

We zien |A'(x,y)|2
13
Beschouw: faseobject met kleine
(x,y):
O(x,y) = Aexpi(x,y)
als (x,y) << 1,
O(x,y)  A(1 + i(x,y))
De fouriergetransformeerde is:
FT (O( x, y ))  A (0,0)  A i ( x, y ) exp  i (k x x  k y y )dxdy
 De eerste term is de heldere nulde orde
piek.
 De tweede, zwakke, term bevat de faseinformatie.
14
Donkerveld microscopie
Verwijdering van de nulde orde piek
A(0,0) in de fouriertransform gevolgd
door inverse transformatie:
Fourier transform
FT (O( x, y ))  A (0,0)  A i ( x, y ) exp  i (k x x  k y y )dxdy

Gefilterde fouriertransform
FT (O( x, y ))  A i ( x, y ) exp  i (k x x  k y y )dxdy

Inverse fouriertransform O'(x,y)
IFT [ A i ( x, y ) exp  i (k x x  k y y )dxdy]  iA ( x, y )

Zichtbare intensiteit
I'(x,y) = O'(x,y).O'(x,y)*=A2[(x,y)]2
15
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
16
Schlieren microscopie
Verwijdering van één helft van de
fouriertransform gevolgd door inverse
transformatie geeft een "gradient"-beeld:
 ( x, y )
I ' ( x, y )  I 0 'C
x
Gevoelig voor snelle veranderingen in
(x,y).
17
Fasencontrast microscopie
Verzwakking (<1) van de nulde orde
piek plus faseverschuiving van 90 graden
(=1/4): A(0,0)  iA(0,0).
Gefilterde fouriertransform
FT (O( x, y ))  iA (0,0)  A i ( x, y ) exp  i (k x x  k y y )dxdy

Inverse fouriertransform O'(x,y)
O' ( x, y )  iA  iA ( x, y )

Intensiteit
I'(x,y) = O'(x,y).O'(x,y)*=A2[+(x,y)]2
als  << 
I'(x,y) =A2[2+2(x,y)]
18
Toepassingen
Donkerveld:
Kleine deeltjes in homogeen medium:
stof, insluitsels, Brownse beweging.
Schlieren:
Afbeelding van gradiënten in
concentraties, dichtheden en
imperfecties in gassen, vloeistoffen en
vaste stoffen.
Fasecontrast:
Microscopische afbeelding van cellen,
bacteriën, kristaloppervlakken, waar de
verschillen in fase erg klein zijn.
19