Kleine didactiek DE VERSCHILFORMULE VOOR

Kleine didactiek
DE VERSCHILFORMULE VOOR DE SINUS
[ Dick Klingens ]
In de vierde klas vwo komt de uitbreiding van de goniometrische verhoudingen sinus en cosinus voor
andere dan scherpe hoeken aan de orde. Daaraan voorafgaand worden die verhoudingen meestal eerst
opgevat als functies van reële getallen, waarbij dan bijvoorbeeld wordt afgesproken dat sin(x) =
sin(x rad), met x reëel. Dan volgen nieuwe definities van de sinus en cosinus als verhoudingen van de
coördinaten van punten op de eenheidscirkel.
Dat dit niet noodzakelijk is – en dat er direct kan worden voortgebouwd op leerstof uit de onderbouw –
wordt in onderstaande ‘kleine didactiek’ geïllustreerd, waarbij ‘formulevaardigheid’, zo belangrijk in het
vervolg, voorop staat.
Inleiding
Als van hoeken van 30° en 60° de waardes van de sinus be(re)kend zijn – het uitrekenen gebeurt
(nog steeds) in de onderbouw – dan kan eenvoudig worden vastgesteld dat een formule als sin(p –
q) = sin p – sin q onjuist is.
Immers met p = 60° en q = 30° hebben we:
sin(60° – 30°) = sin(30°) = ½
en
sin(60°) – sin(30°) = ½√3 – ½
Dat sommige functies wél en andere weer níet deze eigenschap hebben, kan met elementaire
functies worden geïllustreerd.
Is f (x) = 4x , dan is:
f (6 – 3) = f (3) = 12
f (6) – f (3) = 24 – 12 = 12
en er blijkt ook dat:
f (p – q) = 4(p – q) = 4p – 4q = f (p) – f (q) voor iedere reële p en q.
Echter, met g(x) = 4x + 5 hebben we:
g(6 – 3) = g(3) = 17
g(6) – g(3) = 29 – 17 = 12
Toch kunnen we ook een uitdrukking als sin(60° – 45°) = sin(15°) berekenen, zonder rekenmachine, exact! Want er bestaat daarvoor tóch een formule, de verschilformule voor de sinus – en
natuurlijk is dat niet sin(p – q) = sin p – sin q.
We kunnen deze verschilformule direct – zij het met een enkele aanvullende afspraak (definitie) –
afleiden uit de definitie van de sinus (zoals gebruikelijk vastgelegd in een rechthoekige driehoek)
en uit de oppervlakte van een driehoek, daarmee terug grijpend op de lesstof in de onderbouw (en
dat kan zeker geen kwaad!).
Voorkennis
A.
In een willekeurige, maar scherphoekige driehoek ABC geldt voor de oppervlakte V(ABC) van die
driehoek, waarbij F de projectie is van C op AB:
V(ABC) = ½ · CF · AB
Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus
[1]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
Met sin(A) = CF/AC = CF/b is dan:
V(ABC) = ½ · ( b · sin(A) ) · c
of:
V(ABC) = ½bc · sin(A)
Maar geldt deze formule ook als (bijvoorbeeld) hoek A stomp is?
In zo’n stomphoekige driehoek geldt analoog:
V(ABC) = ½ · CF · AB
Maar de lengte van CF kan nu slechts in de sinus van hoek A1
(de nevenhoek of buitenhoek van hoek A van driehoek ABC)
worden uitgedrukt:
CF = b · sin(A1)
Om toch in dit geval dezelfde formule te kunnen gebruiken als bij een scherphoekige driehoek,
wordt een afspraak gemaakt (die overigens ook in andere situaties van pas zal komen), vervat in de
volgende definitie:
Definitie. Voor hoeken X met 0° ≤ X ≤ 180° geldt:
sin(X ) = sin(180° – X )
Gevolg
In de in A stomphoekige driehoek ABC is sin(A) = sin(180° – A) = sin(A1) .
En dan hebben we bij deze driehoek:
V(ABC) = ½ · CF · AB = ½ · (b · sin(A1)) · c
Zodat ook bij een stomphoekige driehoek, als gevolg van de afspraak:
V(ABC) = ½bc · sin(A)
In woorden:
De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden en de sinus van de
door die zijden ingesloten hoek.
Opmerking. Uit het bovenstaande blijkt dat het niet uitmaakt of er in de formule voor de oppervlakte van de driehoek gebruik gemaakt wordt van een scherpe of van een stompe hoek.
B.
Voor de oppervlakte V(ABCD) van het trapezium ABCD (AB // CD,
a > c) geldt, met E, F als projecties van A, B op de lijn CD en met CE
= x, DF = y:
V(ABCD) = V(ABEF) – V(BEC) – V(ADF)
Dus:
V(ABCD) = a · h – ½h · x – ½h · y
Of:
V(ABCD) = a · h – ½h(x + y) = a · h – ½h(a – c) = ½ha + ½hc
Zodat:
V(ABCD) = ½h(a + c)
In woorden:
Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus
[2]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
De oppervlakte van een trapezium is gelijk aan het halve product van de hoogte en de som van de
(lengtes van de) evenwijdige zijden.
De verschilformule
We gaan uit van twee scherpe hoeken ter grootte van p en q (met p > q, en
beide gemeten in graden), die we zo plaatsen dat ze één been OX gemeenschappelijk hebben, en daarmee beide het punt O als hoekpunt.
We plaatsen de hoeken verder zo, dat hoek p de hoek q overlapt.
Is ∠XOA = p en ∠XOB = q, dan is: ∠BOA = p – q .
De punten A en B liggen zó op de benen van de hoeken dat AB in het punt D loodrecht staat op
OX.
De oppervlakte V(OBA) van driehoek OBA is met behulp van de formule
uit de paragraaf Voorkennis te berekenen:
V(OBA) = ½OA · OB · sin(p – q)
Na vermenigvuldiging met 2:
(1a)… V(OBA)·2 = OA · OB · sin(p – q)
De oppervlakte van driehoek OBA kunnen we echter ook op een andere manier bepalen:
V(OBA) = V(ODA) – V(ODB)
Of, opnieuw na vermenigvuldiging met 2:
(2a)… V(OBA)·2 = OD · OA · sin p – OD · OB · sin q
Dan volgt uit (1a) en (2a):
OA · OB · sin(p – q) = OD · OA · sin p – OD · OB · sin q
Deling van het linker en rechter lid van deze uitdrukking door (OA · OB) geeft:
sin(p – q) = OD/OB · sin p – OD/OA · sin q
In driehoek ODB is OD/OB = cos q; in driehoek ODA is OD/OA = cos p.
Zodat:
sin(p – q) = sin p · cos q – cos p · sin q
Dit is de bedoelde verschilformule voor de sinus.
Voorbeeld
sin(15°) = sin(60° – 45°) = sin(60°) · cos(45°) – cos(60°) · sin(45°)
of:
sin(15°) = ½√3 · ½√2 – ½ · ½√2 = ¼√2 · (√3 – 1)
En verder…
Bij het bovenstaande bewijs zijn we uitgegaan van twee scherpe hoeken p en q. We zullen nu p en
q beide stomp kiezen (met opnieuw p > q).
Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus
[3]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
Het gevolg daarvan is dat de projectie van D van A en B aan de ‘andere’
kant van O op de lijn OX ligt.
Ook hier is dan ∠AOB = p – q (een scherpe hoek).
Voor de oppervlakte van driehoek OBA geldt:
(1b)… V(OBA)·2 = OA · OB · sin(p – q)
Ook is V(OBA)·2 = V(OBD)·2 – V(OAD)·2, zodat:
(2b)… V(OBA) · 2 = OB · OD · sin(180° – q) – OA · OD · sin(180° – p)
Uit (1b) en (2b) volgt, na deling door (OA · OB) en op grond van de hierboven vermelde definitie:
OD
(3)… sin( p − q ) = OD
OA ·sin q − OB ·sin p
In driehoek OAD is OD/OA = cos(180° – p) en in driehoek OBD is OD/OB = cos(180° – q).
Om nu op dezelfde formule voor sin(p – q) uit te komen als in de vorige paragraaf, maken we opnieuw een (op alle plaatsen in de wiskunde geldende) afspraak – en let daarbij op het minteken
dat in het rechter lid vóór ‘cos’ staat:
Definitie. Voor hoeken X met 0° ≤ X ≤ 180° geldt:
cos(X ) = - cos(180° – X )
Uitdrukking (3) gaat op grond hiervan over in:
sin(p – q) = (- cos p) · sin q – (- cos q) · sin p
Zodat inderdaad ook nu geldt:
sin(p – q) = sin p · cos q – cos p · sin q
We moeten nu (ook) nog kijken naar het geval dat de projecties D en E van A en B op de lijn OX
aan verschillende kanten van O liggen.
Hier is:
(4)… V(OBA)·2 = OA · OB · sin(p – q)
Verder is:
V(DEBA)·2 = (OD + OE)(AD + BE)
Uitwerking van het rechter lid geeft:
V(DEBA)·2 = (OD · AD) + OD · BE + OE · AD + (OE · BE)
De termen tussen haakjes in het rechter lid zijn opvolgend het dubbele van de oppervlaktes van
de driehoeken OAD en OEB, zodat:
(5)… V(OBA)·2 = OD · BE + OE · AD
Uit (4) en (5) volgt na deling door (OA · OB):
BE OE AD
(6)… sin( p − q ) = OD
OA · OB + OB · OA
In driehoek OAD is OD/OA = cos(180° – p) = - cos p en AD/OA = sin(180° – p) = sin p; in driehoek OEB is BE/OB = sin q en OE/OB = cos q .
Uitdrukking (6) gaat daarmee over in:
sin(p – q) = (- cos p) · sin q + (cos q) · sin p
Zodat ook in dit geval geldt:
sin(p – q) = sin p · cos q – cos p · sin q
Conclusie. Met 0° < q < p < 180° geldt de verschilformule voor de sinus:
Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus
[4]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
sin(p – q) = sin p · cos q – cos p · sin q
En ook…
We kiezen q = 0° en passen daarmee de verschilformule toe:
sin p = sin(p – 0°) = sin p · cos 0° – cos p · sin 0°
Het ligt op basis hiervan voor de hand af te spreken:
Definitie. sin 0° = 0 en cos 0° = 1
Opmerking. Hiermee geldt de verschilformule dus voor q = 0°.
Dat dit een handige (goede) afspraak is, kunnen we zien in een in D rechthoekige driehoek ODA
waarvan de lengte van de rechthoekszijde OD gelijk is aan 1 en ∠ODA = x.
Laten we de waarde van x hoe langer hoe kleiner worden – we schrijven dat als:
lim x ↓0
(spreek uit: limiet(waarde) als x nadert tot 0), dan kunnen we ook de waarde van de sinus van x en die van de
cosinus van x bekijken:
AD = 0 = 0
lim x ↓0 (sin x ) = lim x ↓0 OA
1
OD
lim x ↓0 (cos x ) = lim x ↓0 OA = 11 = 1
In het eerste geval wordt de zijde AD eveneens hoe langer hoe kleiner:
lim x ↓0 AD = 0
In beide gevallen gaat het lijnstuk OA hoe langer hoe meer ‘lijken’ op het lijnstuk OD, waarvan
de lengte onveranderd gelijk is aan 1:
lim x ↓0 OA = OD = 1
Gevolgen
- Door handig te vermenigvuldigen met 0 en 1 kunnen we schrijven:
sin(180°) = sin(180°) · 1 – cos(180°) · 0 = sin(180°) · 1 – cos(180°) · 0
= sin(180°) · cos(0°) – cos(180°) · sin(0°)
En ook is, vanzelfsprekend:
sin(180°) = sin(180° – 0°)
De verschilformule geldt dus ook voor p = 180°.
- sin(90°) = 1 en cos(90°) = 0
- sin(180°) = 0 en cos(180°) = -1
- sin(90° – p) = sin(90°) · cos p – cos(90°) · sin p = 1 · cos p – 0 · sin p
= cos p
Conclusie. Voor de cosinus geldt: .cos(X) = sin(90° – X)
- En dan is volgens deze laatste formule, met X = 90° – p:
cos(90° – p) = sin(90° – (90° – p)) = sin p
Conclusie. Voor de sinus geldt: .sin(X) = cos(90° – X)
- sin(-p) = sin(0° – p) = sin(0°) · cos p – cos(0°) · sin p = - sin p
Conclusie. Voor de sinus geldt: .sin(-X) = - sin(X)
- We beschouwen de functie f (X) = sin(90° + X).
Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus
[5]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
Met X = p is dan:
f (p) = sin(90° + p) = sin(90°) · cos p + cos(90°) · sin p
= 1 · cos p + 0 · sin p
= cos p
Met andere woorden: f (X) = cos X .
Dan is dus: f (-p) = cos(-p) .
Maar ook is: f (-p) = sin(90° + (-p)) = sin(90° – p) = cos p .
Dus: cos(-p)= cos p .
Conclusie. Voor de cosinus geldt: .cos(-X) = cos(X)
De somformule voor de sinus
We leggen de hoeken p en q opnieuw met één been langs de lijn OX, maar nu zó dat de niet-samenvallende benen aan verschillende kanten van OX liggen.
Met ∠DOA = p en ∠DOB = q, is dan ∠AOB = p + q .
Nu is:
(7)… V(OBA)·2 = OA · OB · sin(p + q)
En ook:
V(OBA)·2 = V(ODA)·2 + V(ODB)·2
Of:
(8)… V(OBA)·2 = OA · OD · sin p + OD · OB · sin q
Uit (7) en (8) volgt, na deling door (OA · OB):
OD
sin( p + q ) = OD
OB ·sin p + OA ·sin q
In driehoek ODB is OD/OB = cos q en in driehoek ODA is OD/OA = cos p; zodat:
.sin(p + q) = sin p · cos q + cos p · sin q
Dit is de somformule voor de sinus.
Opmerking. We kunnen de somformule ook afleiden uit de verschilformule. Immers, op basis van
de Gevolgen uit de vorige paragraaf geldt:
sin( p + q ) = sin( p − (- q ))
= sin p ·cos(- q ) − cos p ·sin(- q )
= sin p ·cos q − cos p ·(- sin q )
= sin p ·cos q + cos p ·sin q
Voorbeelden
We zagen reeds:
- sin(90° + p) = sin(90°) · cos p + cos(90°) · sin p = 1 · cos p + 0 · sin p
= cos p
- sin(90° – p) = cos(-p) = cos p
En ook is:
- sin(180° + p) = sin(180°) · cos p + cos(180°) · sin p
= 0 + (-1) · sin p
Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus
[6]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
-
-
= - sin p
sin(270°)
= sin(180°+ 90°) = - sin(90°) = -1
sin(360° – p) = sin(180° + (180° – p))
= sin(180°) · cos(180° – p) + cos(180°) · sin(180° – p)
= 0 + (-1) · sin p
= - sin p
sin(360° + p) = sin(360° – (-p))
= - sin(-p)
= sin p
Som- en verschilformule voor de cosinus
Uit het bovenstaande kunnen we nu eenvoudig afleiden:
cos(p + q) = sin(90° – (p + q)) = sin((90° – p) – q)
= sin(90° – p) · cos q – cos(90° – p) · sin q
Zodat:
.cos(p + q) = cos p · cos q – sin p · sin q
Dit is de somformule voor de cosinus.
Voorbeelden
- cos(135°) = cos(90° + 45°) = cos(90°) · cos(45°) – sin(90°) · sin(45°)
= 0 – 1 · ½√2 = - ½√2
- cos(270°) = cos(180° + 90°) = cos(180°) · cos(90°) – sin(180°) · sin(90°)
= (-1) · 0 – 0 · 1 = 0
- cos(360°) = cos(270° + 90°) = cos(270°) · cos(90°) – sin(270°) · sin(90°)
= 0 · 0 – (-1) · 1 = 1
- cos(360° + p) = cos(360°) · cos p – sin(360°) · sin p = 1 · cos + 0 = cos p
Met vervanging van q door -q kan uit de somformule voor de cosinus worden afgeleid dat:
cos(p – q) = cos (p + (-q))
= cos p · cos(-q) – sin p · sin(-q)
= cos p · cos q – sin p · (- sin q)
Zodat:
.cos(p – q) = cos p · cos q + sin p · sin q
En dit is de verschilformule voor de cosinus.
Voorbeelden
- cos(135°) = cos(180° – 45°) = cos(180°) · cos(45°) + sin(180°) · sin(45°)
= (-1) · ½√2 + 0 = - ½√2
- cos(225°) = cos(270° – 45°) = cos(270°) · cos(45°) + sin(270°) · sin(45°)
= 0 + (-1) · ½√2 = - ½√2
En natuurlijk kan dit laatste ook gevonden worden met onder meer:
- cos(225°) = cos(360° – 135°) = cos(360°) · cos(135°) + sin(360°) · sin(135°)
= 1 · (- ½√2) + 0 = - ½√2
Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus
[7]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
Leerlingen
Natuurlijk is bovenstaande tekst, in deze vorm, niet geschikt voor leerlingen. Maar wellicht geeft
de wijze waarop de theorie in dit artikel is benaderd, de onderwijsgevende lezer voldoende inspiratie om er een werkblad of ‘lesbrief’ van (bij) te maken.
Noot
Zie ook:
Dick Klingens (2009): Klassikaal / Pythagoras via de goniometrie. In: Euclides 84(6), april 2009, p.
232-233.
Over de auteur
Dick Klingens is eindredacteur van Euclides en was tot aan zijn pensioen in 2010 wiskundeleraar
en schoolleider aan het Krimpenerwaard College te Krimpen aan den IJssel.
E-mailadres: [email protected]
Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus
[8]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)