Wiskunde D vwo ∙ Lineaire algebra

Wiskunde D vwo ∙ Lineaire algebra
Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres
19 november 2015
Harm Houwing en John Romkes
Vwo
D
Lineaire algebra
Harm Houwing
John Romkes
Hoofdstuk
4
Onderwerpen
Rekenen met matrices
Stelsels vergelijkingen
Kansen en matrices
Determinanten
Inverse matrices
Toepassingen
Stelsels
De temperatuur in een bepaalde plaats wordt
vaak berekend met behulp van gegevens
van weerstations.
In de figuur hiernaast zie je de plaatsen
A, B, C en D en de temperaturen die zijn
gemeten in acht naburige weerstatons.
We nemen aan dat de temperatuur in ieder
punt het gemiddelde is van de temperaturen
van de vier naastgelegen punten.
Voor de temperatuur TA in A geldt dus
TA  14 (10  TD  TB  6).
Bereken de temperatuur in A, B, C en D
door een stelsel op te lossen. Rond af op
één decimaal.
Uitwerking
Bij de figuur horen de vergelijkingen 4TA  TB  TD
TA  4TB  TC
TB  4TC  TD
TA  TC  4TD
 16
 18
 17
 20
Dit geeft de matrix  4 1
0 1 16 


1

4
1
0

18


 0 1 4 1 17 


1
0
1

4

20


De optie rref (TI) of Rref (Casio)
geeft afgerond op één decimaal
1

0
0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
Dus de temperaturen in A, B, C en D zijn
respectievelijk 8,5 °C, 8,8 °C, 8,8 °C, en 9,3 °C.
0
0
0
1
8,5 

8,8 
8,8 

9,3 
Hoofdstuk
11
Onderwerpen
Geogebra
Lineaire afbeeldingen
Eigenwaarden en eigenvectoren
Diagonaliseren
Machtreeksen
Differentievergelijkingen
Toepassingen
GeoGebra (1)
Onderzoek met GeoGebra
 0 1
a welke rotatie bij M  
 hoort
1 0 
 0 1
b welke spiegeling bij M  
 hoort
 1 0 
 2 2
c welke draaivermenigvuldiging bij M  
 hoort.
 2 2 
GeoGebra (2)
1 2
a Voer de matrix M  
 in, maak een schuifknop a
3 2
waarvan de waarde varieert van ‒10 tot 10 met
stapgrootte 0,1 en teken de lijn k: y  ax.
b Teken een punt A op k, het punt B = M ∙ A
en de vectoren OA en OB.
c Onderzoek voor welke waarden van a geldt
dat OB op k ligt.
d Voor de waarden van a die je bij vraag c hebt
gevonden geldt OB    OA.
Geef voor elke waarde van a de bijbehorende .
GeoGebra (3)
 3 2 
a Voer de matrix M  
 in en teken
 1 2 
een punt A en de vector v  OA.
b Een van de eigenwaarden van M is gelijk aan 1.
Dit betekent dat origineel en beeld samenvallen.
Welke eigenvectoren horen hierbij?
2
c Een van de eigenvectoren van M is v    .
 1
Welke eigenwaarde van M hoort hierbij?
Lineaire afbeeldingen
a Het punt A(3, ‒5) wordt ten opzichte van de oorsprong
over ‒45° geroteerd en vermenigvuldigd met 2 2.
Bereken de coördinaten van het beeld A’.
b Het punt B(4, ‒1) wordt ten opzichte van de oorsprong
over 30° geroteerd en vermenigvuldigd met 2.
Bereken de coördinaten van het beeld B’.
Uitwerking
Vraag a
1
 0  wordt afgebeeld op
 
0
 2
 2  , en  1  wordt afgebeeld op
 
 
 2
 2,
 
 2 2
dus M  
.

2
2


 2 2   3   4 
Dit geeft M  a  
   5    16  , dus A’(‒4, 16).
 2 2     
Vraag b
 1  wordt afgebeeld op  3  , en  0  wordt afgebeeld op  1  ,
 3
1
0
 1 
 
 
 
 
 3
dus M  
 1

1 
.
3 
 3 1   4  1  4 3 
   
Dit geeft M  b  
,
 1


1
3    4  3 

dus B 1  4 3, 4  3 .


Eigenwaarden
De matrix M beeldt A(2, 3) op A’(4, 6) en B(‒2, 4) op B’(‒1, 2) af.
Geef de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van M
zonder M op te stellen.
Om de eigenwaarden van een 2 × 2-matrix te berekenen moet een
tweedegraadsvergelijking worden opgelost. Een 2 × 2-matrix heeft
dus 0, 1 of 2 eigenwaarden.
Geef bij de volgende afbeeldingen aan of de bijbehorende matrix
0, 1 of 2 eigenwaarden heeft. Licht steeds je antwoord toe.
a Vermenigvuldiging met 3 ten opzichte van O.
b Rotatie om O over 120°.
c Rotatie om O over 180°.
d Spiegeling in een lijn door O.
e Vermenigvuldiging met 2 ten opzichte van de x-as
en met 3 ten opzichte van de y-as.
Diagonaliseren
De matrix M heeft de eigenwaarden 1  2 en 2  5.


Bijbehorende eigenvectoren zijn v1  3 en v2  5 .
2
1
a Stel de matrix M op.
b Bereken Mn.
Uitwerking
3
a P
1
3
M 
1
5
 2 5 
1
 geeft P  

2

1
3


5   2 0   2 5   13 45 




2   0 5   1 3   6 20 
n
3
5

2
0   2 5 


n
b M 



n 
1
2

1
3
0
5

 

 
 3 5   2  2n 5  2n 

 n
n 
1
2
35 

  5
 6  2n  5  5n 15  2n  15  5n 

n
n
n
n 
5  2  6  5 
 2 2  25
Heel bijzonder
Gegeven is de 2 × 2-matrix M met de eigenwaarden
1  12 π en 2   π.
Bijbehorende eigenvectoren zijn v1 
a
b
c
d


1
1
.
en v2 
1
0
Bereken M.
Bereken sin(M).
Bereken cos(M).
Onderzoek of geldt sin 2 ( M )  cos 2 ( M )  I .
Uitwerking
a Bereken M.
1 1 
0 1 
1
P
 geeft P  

1
0
1

1




1 1   12 π 0   0 1 
M 



1
0
1

1
0

π

 

 
1 1   0 12 π 



1 0    π π 
  π 1 12 π 


1
0
π

2

Uitwerking
b Bereken sin(M).
1
sin( M )  
1
1

1
0

0
1   sin( 12 π)
0  0 1 



0  0
sin( π)   1 1
1 1 0 0 1 



0   0 0   1 1
1

1
Uitwerking
c Bereken cos(M).
1
cos( M )  
1
1

1
1   cos( 12 π)
0  0 1 



0  0
cos(  π)   1 1
1 0 0  0 1 



0   0 1  1 1
 1 1 


0
0


Uitwerking
d Onderzoek of geldt sin 2 ( M )  cos 2 ( M )  I .
 0 1  0 1  0 1
sin ( M )  



0
1
0
1
0
1

 
 

 1 1   1 1   1 1
cos 2 ( M )  



 0 0  0 0 0 0 
 0 1  1 1  1 0 
Dus sin 2 ( M )  cos 2 ( M )  


  I.
 0 1  0 0   0 1 
2
Conclusie
• Leerlingen maken kennis met kernbegrippen
uit de lineaire algebra.
• Van intuïtief werken met GeoGebra naar
rekenen en bewijzen.
• Wij verwachten dat de leerlingen hierdoor
met een flinke voorsprong beginnen in het
vervolgonderwijs.