Uitwerkingen huiswerk week 1

Lineaire algebra 2
najaar 2007
Uitwerkingen huiswerk week 1
Opgave 1.
(Opgave 1.1.21 in het dictaat) Zij V een vectorruimte, u, v, w ∈ V en a ∈ R.
Bewijs (vanuit de axioma’s uit de definitie van een vectorruimte):
(1) a.0 = 0 (waarbij 0 = de nulvector in V ).
(2) als u + v = u + w, dan v = w.
(3) −(−v) = v.
(4) −(av) = (−a)v = a(−v) en (−a)(−v) = av.
(5) als av = 0, dan a = 0 of v = 0.
Oplossing.
(1) Er geldt a.0 = a.(0+0) = a.0+a.0 en optellen van de tegengestelde vector
−a.0 geeft 0 = a.0 + (−a.0) = a.0 + (a.0 + (−a.0)) = a.0 + 0 = a.0.
(2) Optellen van −u aan beide zijden geeft v = (−u + u) + v = −u + (u + v) =
−u + (u + w) = (−u + u) + w = w.
(3) −(−v) = −(−v) + 0 = −(−v) + (−v + v) = (−(−v) + −v) + v = 0 + v = v.
(4) −(av) = −(av) + (a − a)v = (−(av) + av) + (−a)v = (−a)v. De tweede
gelijkheid volgt met −(av) = −(av) + a(v − v) = (−(av) + av) + a(−v) =
a(−v). Vervangen van a door −a in (−a)v = a(−v) geeft av = (−a)(−v).
(5) Stel av = 0 en a 6= 0. Dan is v = 1.v = ( a1 a)v = a1 (av) = a1 0 = 0 (volgens
(1)).
Opgave 2.
(Opgave 1.1.18 in het dictaat) Zij V een vectorruimte en v1 , . . . , vn vectoren uit
V . Een vector van de vorm c1 v1 + · · · + cn vn , waarbij c1 , . . . , cn reële getallen
zijn, heet een lineaire combinatie van v1 , . . . , vn . De verzameling van alle lineaire
combinaties van v1 , . . . , vn noteren we met hv1 , . . . , vn i.
Bewijs dat hv1 , . . . , vn i een lineaire deelruimte van V is (en dus een vectorruimte). Deze ruimte heet het opspansel van v1 , . . . , vn .
Oplossing. Omdat 0.v = 0 voor iedere vector v, is 0.v1 + · · · + 0.vn = 0, dus
bevat hv1 , . . . , vn i de nulvector.
Stel nu dat v = c1 v1 + · · · + cn vn en w = d1 v1 + · · · + dn vn , dan is v + w =
(c1 + d1 )v1 + · · · + (cn + dn )vn ∈ hv1 , . . . , vn i.
Als λ ∈ R en v = c1 v1 + · · · + cn vn , dan is λv = (λc1 )v1 + · · · + (λcn )vn ∈
hv1 , . . . , vn i.
Opgave 3.
Zij V een vectorruimte en laten U en W lineaire deelruimtes van V zijn.
(i) Laat zien dat de vereniging U ∪ W alleen maar een lineaire deelruimte
van V is als U ⊆ W of W ⊆ U .
2
x
2
2
(ii) Bewijs of weerleg: D :=
∈R x =y
is een vectorruimte.
y
Oplossing.
(i) Stel dat noch U ⊆ W noch W ⊆ U , dan bestaan er vectoren u ∈ U \ W en
w ∈ W \ U . Als u + w ∈ U , dan is ook w = (u + w) − u ∈ U , tegenspraak.
Net zo, als u + w ∈ W , dan ook u = (u + w) − w ∈ W , tegenspraak. Dus
is u + w 6∈ U ∪ W , en dus is U ∪ W niet afgesloten t.o.v. de optelling van
vectoren.
Als wel U ⊆ W geldt, is natuurlijk U ∪ W = W een lineaire deelruimte,
net zo voor W ⊆ U .
2 volgt x = y of x = −y, dus is D de vereniging van de twee
(ii) Uit x2
= y
x
x
lijnen
en
, d.w.z. van de twee diagonalen in het gewone
x
−x
vlak. Men gaat eenvoudig na dat deze twee lijnen lineaire deelruimten
van R2 zijn, dus is volgens deel (i) de vereniging D geen vectorruimte.
1
Men kan natuurlijk ook rechtstreeks opmerken dat v =
∈ D en
1
1
2
w=
∈ D maar v + w =
6∈ D, dus is D niet afgesloten t.o.v.
−1
0
de optelling en dus i.h.b. geen vectorruimte.
Opgave 4.
(i) Zij V de vectorruimte der functies f : R → R (zie voorbeeld 1.1.10 in het
dictaat) en zij U de verzameling der functies van de vorm
f (t) = A sin(t + B) met A, B ∈ R.
Laat zien dat U een lineaire deelruimte van V is.
(Hint: Er geldt sin(a + b) = cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b).)
 

 x

(ii) Voor c ∈ R zij Uc := y  ∈ R3 x + y + z = c . Voor welke c ∈ R is


z
Uc een lineaire deelruimte van R3 ?
Oplossing.
(i) Door A = B = 0 te kiezen, vinden we de nulfunctie f (t) = 0. sin(t) in U .
Zij v = A1 sin(t + B1 ) en w = A2 sin(t + B2 ), dan geldt (volgens de
aangegeven regel voor sin(a + b)) v = A1 cos(B1 ) sin(t) + A1 sin(B1 ) cos(t)
en w = A2 cos(B2 ) sin(t) + A2 sin(B2 ) cos(t). Voor de som v + w geldt dan
v + w = (A1 cos(B1 ) + A2 cos(B2 )) sin(t)
+ (A1 sin(B1 ) + A2 sin(B2 )) cos(t)
= C sin(t) + D cos(t)
waarbij C = A1 cos(B1 ) + A2 cos(B2 ) en D = A1 sin(B1 ) + A2 sin(B2 ).
We moeten dus inzien dat C sin(t) + D cos(t) = A sin(t + B) voor zekere
A, B ∈ R. Nu is sin(t) de projectie van een wijzer van lengte 1 op de y-as,
die met de x-as een hoek van t (radialen) heeft. Net zo is cos(t) = sin(t+ π2 )
de projectie van een wijzer van lengte 1, die de wijzer voor sin(t) om
π
◦
2 (= 90 ) voorop loopt. De som van deze twee wijzers (geschaald met C
en D) wordt in het plaatje hieronder geı̈llustreerd:
C sin(t) + D cos(t)
O
D cos(t)
I
C sin(t)
ϕ
Uit dit plaatje blijkt dat
√ de som van de twee wijzers C sin(t) en D cos(t)
een wijzer van lengte C 2 + D 2 is die de wijzer van C sin(t) om ϕ =
arctan( D
C ) vooruit loopt, dus is inderdaad
p
D
C sin(t) + D cos(t) = A sin(t + B) met A = C 2 + D 2 , B = arctan( ).
C
Als f (t) = A sin(t + B) en λ ∈ R is ook λf (t) = (λA) sin(t + B) ∈ U .
(ii) Omdat Uc alleen maar een lineaire deelruimte
is als de nulvector
in Uc
 

x1
x2
ligt, moet c = 0 zijn. Stel nu dat v =  y1  en w =  y2  in U0 liggen,
z1
z2
d.w.z. x1 + y1 + z1 = 0 en x2 + y2 + z2 = 0. Dan is ook v + w ∈ U0 , want
(x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) + (z1 + z2 ) = 0.
Net zo volgt uit v ∈ U0 en λ ∈ R dat λv ∈ U0 , want λx1 + λy1 + λz1 = 0.
Webpagina: http://www.math.ru.nl/∼souvi/la2 07/la2.html