Lineaire Algebra 1 - Wiskunde en Informatica

Lineaire Algebra 1
Faculteit Wiskunde en Informatica
Technische Universiteit Eindhoven
2012-2013
ii
Syllabus bij Lineaire Algebra 1 (2WF20)
Inhoudsopgave
1 Complexe getallen
1.1 Rekenen met complexe getallen . . . .
1.2 De complexe e–macht, sinus en cosinus
1.3 Complexe polynomen . . . . . . . . . .
1.4 Meetkunde met complexe getallen . .
1.5 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . .
1.6 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Oefenen op tentamenniveau . .
2 Vectorrekening in dimensies 2 en 3
2.1 Vectoren in het vlak en in de ruimte
2.2 Rechten en vlakken . . . . . . . . . .
2.3 Bases, coördinaten en vergelijkingen
2.4 Afstanden, hoeken en het inproduct
2.5 Het uitproduct . . . . . . . . . . . .
2.6 Vectoren en meetkunde . . . . . . .
2.7 Aantekeningen . . . . . . . . . . . .
2.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Oefenen op tentamenniveau .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Matrices en stelsels lineaire vergelijkingen
3.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rijreductie (vegen) . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Stelsels lineaire vergelijkingen . . . . . . . .
3.4 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Oefenen op tentamenniveau . . . . .
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
8
13
19
26
27
33
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
40
42
47
53
56
60
60
65
.
.
.
.
.
.
67
67
73
76
83
84
88
ii
INHOUDSOPGAVE
4 Vectorruimten
4.1 Vectorruimten en lineaire deelruimten
4.2 Opspansels, (on)afhankelijke stelsels .
4.3 Coördinaten . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . .
4.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Oefenen op tentamenniveau . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
89
89
99
109
114
116
122
5 Rang en inverse van een matrix, determinanten
5.1 Rang en inverse van een matrix . . . . . . . . . .
5.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Oefenen op tentamenniveau . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
123
123
129
143
144
148
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 Inproductruimten
6.1 Inproduct, lengte en hoek . . . . . . . .
6.2 Orthoplementen en orthonormale bases
6.3 De QR-decompositie . . . . . . . . . . .
6.4 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Oefenen op tentamenniveau . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
149
. 149
. 158
. 169
. 171
. 172
. 175
A Voorkennis
A.1 Notaties . . . . . . . .
A.1.1 Verzamelingen
A.1.2 Afbeeldingen .
A.2 Gonioformules . . . . .
A.3 Het Griekse alfabet . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
B Antwoorden van diverse opgaven
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
177
177
177
178
179
180
181
Voorwoord
Deze syllabus hoort bij het vak Lineaire Algebra 1 (2WF20) en is een opvolger van eerdere syllabi uitgegeven aan de TU/e.
Naast deze syllabus is een studeerwijzer beschikbaar op het web.
Hans Sterk
augustus 2012
iii
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1.1
Rekenen met complexe getallen
1.1.1 We kunnen reële getallen opvatten als punten van een rechte lijn, de getallenrechte. Net zo kunnen we complexe getallen opvatten als punten van het
vlak. Om voor punten van het vlak de naam “getallen” waar te maken,
moeten we een optelling en een vermenigvuldiging voor punten in het vlak
gaan definiëren. In deze paragraaf bespreken we
• het begrip complex getal,
• de optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen,
• de beschrijving van complexe getallen in termen van poolcoördinaten,
• quotiënten van complexe getallen,
• de geconjugeerde van een complex getal,
• diverse rekenregels,
• de meetkundige interpretatie van complexe getallen.
1.1.2 We nemen in het platte vlak een loodrecht assenstelsel. Van dit assenstelsel
noemen we de horizontale as de reële as en de verticale as de imaginaire
as. Ieder punt in het vlak wordt ten opzichte van dit assenstelsel bepaald
door twee coördinaten a en b, die uiteraard reëel zijn. We noemen het punt
(a, b) een complex getal, dat we in de regel in plaats van met (a, b) zullen
noteren als a + bi. De punten (a, 0) op de eerste as noteren we eenvoudigweg
met a en de punten (0, b) op de tweede as met bi. In het bijzonder is i het
1
2
Complexe getallen
punt (0, 1). Voor een complex getal gebruiken we vaak de letter z of w. De
verzameling complexe getallen wordt aangegeven met C.
bi
imaginaire as
z = a + bi
-
0
a
6
reële as
1.1.3 De som van twee complexe getallen
We definiëren de som van twee complexe getallen z1 = a1 + b1 i en z2 =
a2 + b2 i als volgt:
z1 + z2 := (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i.
Bijvoorbeeld is (1 + i) + (−2 + 4i) = −1 + 5i. Optelling van complexe
getallen is dus de coördinaatsgewijze optelling in het vlak. Meetkundig is
het de bekende vectoroptelling. Door uitschrijven gaan we eenvoudig na
dat voor deze optelling van complexe getallen alle rekenregels gelden die
we van de optelling van reële getallen kennen. Bijvoorbeeld is de optelling
commutatief : voor alle complexe getallen z en w geldt z + w = w + z.
De optelling is ook associatief : voor alle complexe getallen z1 , z2 , z3 geldt
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ).
1.1.4 Het product van twee complexe getallen
We definiëren het product van twee complexe getallen z1 = a1 + b1 i en
z2 = a2 + b2 i door
z1 z2 := (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 ) i.
Dit lijkt een ingewikkelde formule, maar hij is eenvoudig te onthouden. Werk
het product (a1 + b1 i) (a2 + b2 i) uit, gebruik makend van de rekenregels
voor reële getallen, en gebruik als extra eigenschap i2 = − 1, dan volgt de
formule van het rechterlid. Ga na dat
(1 + i) (−2 + 4i) = −2 + 4i + (−2)i + i(4i) = −6 + 2i.
Vanwege de manier waarop we deze vermenigvuldiging gedefinieerd hebben is het niet verwonderlijk dat voor de vermenigvuldiging van complexe
getallen en de interactie met de optelling van complexe getallen dezelfde rekenregels gelden als voor de reële getallen, met de extra eigenschap i2 = − 1.
1.1 Rekenen met complexe getallen
3
De verificatie hiervan is betrekkelijk veel maar eenvoudig rekenwerk. Naast
commutativiteit en associativiteit is de zogenaamde distributiviteit van de
vermenigvuldiging over de optelling een voorbeeld van zo’n rekenregel: voor
alle complexe getallen z1 , z2 , z3 geldt z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 .
1.1.5 Absolute waarde en argument
Vermenigvuldiging van complexe getallen heeft ook een meetkundige interpretatie. Daarbij gebruiken we de nu te bespreken absolute waarde en argument, zie verder 1.1.9 en 1.1.12. We kunnen in het vlak een punt, behalve
in Cartesische coördinaten, ook weergeven met poolcoördinaten:
• de absolute waarde is de afstand tot de oorsprong;
• het argument is de hoek met de positieve x–as.
De absolute waarde
van het complexe getal z = a + bi (met a en b reëel!)
√
2
is gelijk aan a + b2 . Het argument is slechts op een veelvoud van 2π na
bepaald. Als we het argument kiezen tussen −π en π dan spreken we van
de hoofdwaarde van het argument. De hoofdwaarde van het argument van
punten op de negatieve reële as is π. Voor de oorsprong is het argument
ongedefinieerd.
z O
I
|z|
arg(z)
R
Als een complex getal z absolute waarde |z| en argument ϕ heeft, dan zijn
de coördinaten respectievelijk |z| cos ϕ en |z| sin ϕ, zodat we dat complexe
getal kunnen schrijven als
z = |z| cos ϕ + i|z| sin ϕ,
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
of
√
1.1.6 Voorbeeld. Het complexe getal i heeft absolute waarde 02 + 12 = 1 en
argument π/2.
p
√
Het complexe getal −1 + i heeft absolute waarde (−1)2 + 12 = 2; de
hoofdwaarde van het argument is 3π/4. Het getal is dus ook te schrijven als
√
2 (cos(3π/4) + i sin(3π/4)). Het voordeel van deze schrijfwijze is dat we
onmiddellijk zien wat absolute waarde en argument van −1 + i zijn.
4
Complexe getallen
1.1.7 Reële en imaginaire deel
Als z = a+bi met a, b ∈ R, dan heten a en b respectievelijk het reële deel van
z, genoteerd door Re(z), en het imaginaire deel van z, genoteerd door Im(z).
Re en Im zijn dus afbeeldingen van C naar R. Merk op dat het imaginaire
gedeelte van een complex getal reëel is! De volgende eigenschappen volgen
direct uit de definities:
Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ),
Re(z1 z2 ) = Re(z1 )Re(z2 ) − Im(z1 )Im(z2 ),
Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ),
Im(z1 z2 ) = Re(z1 )Im(z2 ) + Im(z1 )Re(z2 ).
Uit de absolute waarde en het argument van een complex getal z kunnen we
eenvoudig het reële en imaginaire gedeelte vinden:
Re(z) = |z| cos(arg(z)),
Im(z) = |z| sin(arg(z)).
Omgekeerd vinden we uit het reële en imaginaire gedeelte de absolute waarde
van z met de formule
|z| =
p
Re(z)2 + Im(z)2 .
Vaak denkt men dat (de hoofdwaarde van) het argument gegeven wordt
door de formule
³ Im(z) ´
arg(z) = arctan
.
Re(z)
Dit is juist als Re(z) > 0, maar in het algemeen onjuist. Ga dit zelf na aan
de hand van het complexe getal −1 − i. De volgende (niet zo belangrijke)
formule is wel correct als z niet op de negatieve reële as ligt:
arg(z) = 2 arctan
Im(z)
.
|z| + Re(z)
1.1.8 Driehoeksongelijkheid
De absolute waarde heeft de volgende eigenschap:
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
Deze eigenschap staat bekend als de driehoeksongelijkheid. Zie verder Opgave 6.
1.1 Rekenen met complexe getallen
5
1.1.9 Absolute waarde en argument: rekenregels
Beschouw twee complexe getallen z1 en z2 met poolcoördinaten (|z1 |, ϕ1 ) en
(|z2 |, ϕ2 ), respectievelijk. Dan geldt
z1 = |z1 | cos ϕ1 + i |z1 | sin ϕ1 ,
z2 = |z2 | cos ϕ2 + i |z2 | sin ϕ2 ,
waaruit volgt:
³
z1 z2 = |z1 | |z2 | (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) +
´
i(cos ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ2 sin ϕ1 )
³
´
= |z1 | |z2 | cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) .
Hieruit volgen de volgende twee belangrijke formules (mod=modulo):
|z1 z2 | = |z1 | |z2 |,
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )
(mod 2π).
(1.1)
Door herhaald toepassen van deze regels vinden we voor n complexe getallen
z1 , z2 , . . . , zn :
|z1 z2 · · · zn | = |z1 | |z2 | · · · |zn |,
arg(z1 z2 · · · zn ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + · · · + arg(zn )
(mod 2π).
(1.2)
Zijn z1 , z2 , . . . , zn alle gelijk aan het getal z, dan vinden we:
|z n | = |z|n ,
arg(z n ) = n arg(z)
(mod 2π).
(1.3)
1.1.10 Het quotiënt
Voor ieder complex getal z 6= 0 bestaat ook ‘1/z’. Immers, 1/z dient te
voldoen aan
z (1/z) = 1,
dus wegens formule (1.1) aan
|z| |1/z| = |1| = 1 ,
arg(z) + arg(1/z) = arg(1) = 0,
zodat we 1/z in poolcoördinaten kunnen definiëren door
¯1¯
¯ ¯ = 1,
z
|z|
arg(1/z) = − arg(z).
6
Complexe getallen
Het quotiënt z/w van twee complexe getallen (met w 6= 0) definiëren we nu
als het product
z (1/w).
In termen van poolcoördinaten volgt met formule (1.1) voor het quotiënt:
|z/w| = |z|/|w|,
arg(z/w) = arg(z) − arg(w)
(mod 2π).
(1.4)
Voor dit quotiënt gelden de gebruikelijke rekenregels; zo is bijvoorbeeld
z 1 w1
z 1 w1
=
.
z 2 w2
z 2 w2
We kunnen van 1/z ook het reële en imaginaire deel opsporen. Stel z = a+bi
met a, b ∈ R en niet beide nul. Dan is
Ga na dat
1
1
a − bi
a − bi
=
=
= 2
.
z
a + bi
(a + bi)(a − bi)
a + b2
1
3 − 4i
=
3 + 4i
25
en dat
1+i
5−i
=
.
2 + 3i
13
1.1.11 De geconjugeerde
Als z = a + bi met a, b ∈ R een complex getal is, dan heet a − bi de geconjugeerde van z, ook genoteerd als conj(z) of z̄. Conjugeren is dus spiegelen
t.o.v. de reële as. Ieder van de volgende eigenschappen kan eenvoudig nagegaan worden, meetkundig of door “invullen”.
Re(z)
Im(z)
Re(z)
Im(z)
|z|
arg(z)
z1 + z2
z1 z2
z + z̄
z z̄
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Re(z̄),
− Im(z̄),
1
2 (z + z̄),
1
2i (z − z̄),
|z̄|,
− arg(z̄),
z1 + z2 ,
z1 · z 2 ,
2 Re(z),
|z|2 .
Merk op dat uit de laatste formule volgt
1
z̄
= 2 ,
z
|z|
in overeenstemming met 1.1.10. We vinden dus 1/z door eerst te spiegelen
t.o.v. de x–as en dan door |z|2 te delen.
1.1 Rekenen met complexe getallen
7
1.1.12 Meetkundige interpretatie
Laat z = a + bi en w = c + di twee complexe getallen zijn. De absolute
waarde |z − w| heeft
pals meetkundige interpretatie de afstand van z tot w.
Immers, |z − w| = (c − a)2 + (d − b)2 , terwijl de stelling van Pythagoras
vertelt dat dit de afstand is van z tot w. Van deze interpretatie kunnen we
soms gebruik maken:
• De vergelijking |z − i| = 5 heeft als oplossingen precies die complexe
getallen z die afstand 5 tot i hebben. Dit is een cirkel om i met straal 5.
Natuurlijk kunnen we deze vergelijking ook omwerken tot de bekende
vergelijking van een cirkel: als z = x + iy, dan volgt
|z − i| = 5 ⇔ |z − i|2 = 25 ⇔ |x + (y − 1)i|2 = 25 ⇔ x2 + (y − 1)2 = 25.
• De vergelijking |z − a| = |z − b| heeft als oplossingen alle punten z die
dezelfde afstand tot a en b hebben. Dit is de middelloodlijn tussen a
en b.
Er is ook een meetkundige interpretatie voor het vermenigvuldigen met een
complex getal; deze interpretatie volgt uit 1.1.9. We illustreren haar aan de
hand van het vermenigvuldigen met i. Als z 6= 0, dan is |zi| = |z| · |i| = |z|,
terwijl arg(zi) = arg(z) + arg(i) = arg(z) + π/2. Met andere woorden, zi
wordt uit z verkregen door z over de hoek π/2 te roteren. Op een zelfde
manier volgt dat z vermenigvuldigen
√ met 1 + i betekent dat we z in absolute
waarde oprekken met een factor 2 en het resultaat draaien over de hoek
π/4.
1.1.13 Rekenen met complexe getallen vereist een redelijke rekenvaardigheid. We
dienen steeds een keuze te maken of we de representatie in Cartesische
coördinaten of in poolcoördinaten zullen gebruiken. Ruwweg kunnen we
daarbij de volgende vuistregels hanteren:
• als de berekening hoofdzakelijk optellingen bevat, dan is gebruik van
Cartesische coördinaten raadzaam;
• als de berekening hoofdzakelijk vermenigvuldigingen bevat, dan is rekenen in poolcoördinaten aan te bevelen.
Bij het oplossen van vergelijkingen speelt een rol dat twee complexe getallen
aan elkaar gelijk zijn dan en slechts dan als zowel de reële als imaginaire gedeelten aan elkaar gelijk zijn; voor twee complexe getallen ongelijk 0
8
Complexe getallen
geldt dat ze gelijk zijn dan en slechts dan als ze dezelfde absolute waarden hebben en de argumenten op een veelvoud van 2π na gelijk zijn. Met
deze eigenschappen kunnen we complexe vergelijkingen omzetten in reële
vergelijkingen. Dat is overigens niet altijd handig of nodig.
1.1.14 Voorbeeld. We lossen de vergelijking z 2 = 2i op.
• (Eerste oplossing) Bij deze oplossing schrijven we z = x + iy (met x
en y reëel) en vullen in:
x2 + 2ixy − y 2 = 2i.
Gelijkstellen van de reële en imaginaire delen levert de twee vergelijkingen x2 − y 2 = 0 en 2xy = 2. Uit de eerste vergelijking (voor de
reële getallen x en y) volgt x = y of x = −y. Invullen in de tweede
geeft x2 = 1 en x2 = −1. De vergelijking x2 = −1 heeft geen (reële!)
oplossingen en de vergelijking x2 = 1 leidt tot x = 1 of x = −1. We
vinden ten slotte de twee oplossingen 1 + i en −1 − i.
• (Tweede oplossing) Gebruik makend van de absolute waarde en het
argument redeneren we als volgt.
z 2 = 2i ⇔ |z 2 | = 2 en arg(z 2 ) = π/2 + 2kπ (k geheel)
⇔ |z|2 =√2 en 2 arg(z) = π/2 + 2kπ (k geheel)
⇔ |z| = 2 en arg(z) = π/4 + kπ (k geheel).
Hieruit volgen de twee oplossingen
√
√
2 (cos(π/4) + i sin(π/4)) en
2 (cos(5π/4) + i sin(5π/4))
(we gebruiken enkel de waarden k = 0 en k = 1, omdat we voor k = 2
weer dezelfde oplossing vinden als voor k = 0, voor k = 3 dezelfde
oplossing als voor k = 1 enz.). Ga na dat dit dezelfde getallen zijn als
beschreven in de eerste oplossing.
1.2
De complexe e–macht, sinus en cosinus
Tot nu toe kunnen we met complexe getallen alleen optellen en aftrekken,
vermenigvuldigen en delen, en machtsverheffen tot een gehele macht. We
zullen nu laten zien hoe we in de complexe getallen de e–macht en de sinusen cosinusfunctie definiëren.
1.2 De complexe e–macht, sinus en cosinus
9
1.2.1 Definitie. (Complexe e–macht) Voor ieder complex getal z definiëren
we het complexe getal ez door
|ez |
= eRe(z) ,
z
arg(e ) = Im(z) .
1.2.2 Merk op dat we in deze definitie de van de reële getallen bekende e–macht
gebruiken. Als z een reëel getal is, dan is |ez | = ez en arg(ez ) = 0, dus
definitie 1.2.1 levert de reële e–macht op en breidt derhalve de definitieverzameling van de e–macht uit van R naar C. Omdat de reële e–macht nooit
0 is, volgt dat de complexe e–macht ook nooit 0 is: |ez | = eRe(z) 6= 0, en een
getal waarvan de absolute waarde ongelijk 0 is, is zelf ongelijk 0.
1.2.3 Voorbeeld. Het complexe getal eπi heeft absolute waarde eRe(πi) = e0 = 1
en argument Im(πi) = π zodat eπi = −1. Het getal e1+πi/2 heeft absolute
waarde eRe(1+πi/2) = e1 en argument Im(1+πi/2) = π/2 zodat e1+πi/2 = e i.
1.2.4 Voorbeeld. Om de vergelijking ez = 1+i op te lossen stellen we de absolute
waarden links en rechts gelijk en ook de argumenten. Met z = x+iy betekent
dit
√
π
ex = 2 en y = + 2kπ met k geheel.
4
We vinden dus de volgende (oneindige) oplossingsverzameling:
1
π
{ log(2) + i( + 2kπ) | k ∈ Z },
2
4
waarin log de natuurlijke logaritme is.
1.2.5 Stelling. ez1 ez2 = ez1 +z2 .
Bewijs.
|ez1 ez2 | = |ez1 | |ez2 | = eRe(z1 ) eRe(z2 ) = eRe(z1 )+Re(z2 ) ,
|ez1 +z2 | = eRe(z1 +z2 ) = eRe(z1 )+Re(z2 ) .
Het linker– en het rechterlid hebben dus dezelfde absolute waarde. Ook
geldt
arg(ez1 ez2 ) = arg(ez1 ) + arg(ez2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) ,
arg(ez1 +z2 ) = Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) .
Het linker– en het rechterlid hebben dus ook hetzelfde argument, en daarmee
zijn ze gelijk.
¤
10
Complexe getallen
1.2.6 Stelling. (ez )n bestaat voor ieder complex getal z en voor iedere gehele
(dus ook negatieve) n. Voor iedere gehele n en iedere complexe z geldt
(ez )n = enz .
Bewijs. Omdat voor iedere z het getal ez 6= 0, bestaat (ez )n voor iedere z en
iedere gehele (dus ook negatieve) n. Resteert het bewijs van de gelijkheid
(ez )n = enz . Voor positieve n is deze eigenschap een gevolg van de vorige.
Voor n = 0 zijn linkerlid en rechterlid per definitie 1.
Nu n = − 1. Wegens 1.1.10 is de absolute waarde van 1/ez gelijk aan
³
´−1
|(ez )−1 | = |ez |−1 = eRe(z)
= e− Re(z) = eRe(− z)
en analoog vinden we voor het argument
³
´
arg (ez )−1 = − arg(ez ) = − Im(z) = Im(− z) .
Dus is (ez )−1 = e−z . Dat nu de eigenschap voor alle negatieve n waar is
volgt uit Stelling 1.2.5.
¤
1.2.7 Gevolg. e2πin = 1 , eπin = (− 1)n voor iedere gehele n.
Beide eigenschappen volgen direct uit de definitie van ez en Stelling 1.2.6.
1.2.8 Stelling. De functie ez is periodiek met periode 2πi.
Bewijs. ez+2πi = ez e2πi = ez · 1 = ez .
¤
1.2.9 De formules in Gevolg 1.2.7 zijn een bijzonder geval van een algemene eigenschap. Laat ϕ een reëel getal zijn. Dan is eiϕ een complex getal met
absolute waarde 1 en argument ϕ, dus:
Eigenschap. Voor ieder reëel getal ϕ geldt
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ .
Deze relatie legt het verband tussen de e–macht, de sinus en de cosinus en
geeft bovendien een andere veel gebruikte notatie voor een complex getal in
termen van zijn absolute waarde en argument:
Zo is bijvoorbeeld 1 + i =
√
z = |z| ei arg z .
2 eπi/4 .
1.2 De complexe e–macht, sinus en cosinus
11
1.2.10 Uit 1.2.9 volgt voor reële ϕ
e−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ ,
zodat voor iedere reële ϕ geldt
³
´
eiϕ + e−iϕ ,
cos ϕ =
1
2
sin ϕ =
1
2i
³
´
eiϕ − e−iϕ .
We definiëren nu voor complexe z de sinus en de cosinus.
1.2.11 Definitie. (Complexe sinus en cosinus)
³
´
cos z = 21 eiz + e−iz ,
sin z =
1
2i
³
eiz
−
e−iz
´
.
Wegens 1.2.9 resulteren deze definities voor het geval dat z reëel is in de van
ouds bekende sinus en cosinus.
1.2.12 Stelling. De sinus en de cosinus zijn periodiek met periode 2π. Ook geldt
sin2 (z) + cos2 (z) = 1
∀z ∈ C.
Bewijs.
sin(z + 2π) =
1
2i
³
´
ei(z+2π) − e−i(z+2π) =
=
1
2i
³
´
eiz − e−iz = sin z,
1
2i
³
eiz e2πi − e−iz e−2πi
´
want e−2πi heeft absolute waarde 1 en argument − 2π, en is dus ook gelijk
aan 1.
Net zo tonen we aan dat de cosinus periodiek is met periode 2π.
De betrekking sin2 (z) + cos2 (z) = 1 vinden we door de definities van
sin(z) en cos(z) in te vullen.
¤
1.2.13 Voorbeeld. Los op de vergelijking
cos(z) = 2 .
12
Complexe getallen
Het is duidelijk dat er binnen R geen oplossingen zijn. We moeten oplossen
´
1 ³ iz
e + e−iz = 2 .
2
Noem eiz = w, dan is w 6= 0 wegens 1.2.2 en vinden we de vergelijking
w+
1
w
=4,
w2 − 4w + 1 = 0 ,
(w − 2)2 = 3 ,
w =2±
√
3.
Hieruit volgt
|eiz | = e−Im(z) = |w| = 2 ±
√
3 , dus Im(z) = − log(2 ±
√
3) .
arg(eiz ) = Re(z) = arg w = 0 (mod 2π), dus Re(z) = k 2π , k ∈ Z .
Alle oplossingen van de vergelijking zijn dus
√
z = − i log(2 + √3) + k · 2π , k ∈ Z,
z = − i log(2 − 3) + k · 2π , k ∈ Z.
Merk op dat de absolute waarde van de complexe cosinus dus niet altijd
kleiner dan of gelijk is aan 1, zoals voor de reële cosinus!
1.2.14 Stelling.
ez
= ez̄ ,
sin(z) = sin(z̄),
cos(z) = cos(z̄).
Bewijs.
z
Re(z) = eRe(z̄) ,
z
³ |e ´| = |e | = e
= − arg(ez ) = − Im(z) = Im(z̄),
arg ez
dus ez = ez̄ .
´
´ ³ 1 ´³
´
1 ³ īz̄
1 ³ iz
eiz − e−iz = −
e − e−iz =
e − e−īz̄
2i
2i
2i
´
´
1 ³ −iz̄
1 ³ iz̄
=−
e
− eiz̄ =
e − e−iz̄
2i
2i
sin(z) =
= sin(z̄).
1.3 Complexe polynomen
De formule voor cos(z) wordt analoog bewezen.
13
¤
1.2.15 Met de rekenregel ez ew = ez+w voor de complexe e–macht zijn de diverse gonioformules snel af te leiden en handig te onthouden. Herschrijf bijvoorbeeld
de gelijkheid e2it = eit eit (voor reële t) als volgt:
cos(2t) + i sin(2t) = (cos t + i sin t)(cos t + i sin t).
Werk het rechterlid uit en vergelijk het reële deel en het imaginaire deel van
het linkerlid en van het uitgewerkte rechterlid:
cos(2t) = cos2 t − sin2 t en sin(2t) = 2 sin t cos t.
Deze formules gelden ook voor complexe waarden van t; dat is eenvoudig te
verifiëren door de definitie van de complexe sinus en cosinus toe te passen.
Uit de gelijkheid eia eib = ei(a+b) is op soortgelijke manier af te leiden dat
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b;
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
1.3
Complexe polynomen
1.3.1 Het oplossen van vergelijkingen is een belangrijke bezigheid in de wiskunde.
Met complexe getallen kunnen we meer vergelijkingen aan dan enkel met
reële getallen. Een veel voorkomend type vergelijking is de veeltermvergelijking of polynoomvergelijking. In deze paragraaf bespreken we het begrip
complex polynoom en een aantal typen polynoomvergelijkingen.
1.3.2 Complexe polynomen
Een uitdrukking van de gedaante
an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0
waarin a0 , . . . , an complexe getallen zijn, heet een complex polynoom (of
complexe veelterm) in z. Als an 6= 0 dan heet n de graad van het polynoom.
De getallen a0 , . . . , an heten de coëfficiënten van het polynoom. Zijn ze alle
reëel, dan noemen we het polynoom reëel.
Laat p(z) een polynoom zijn. Als p(α) = 0, dan heet α een nulpunt van het polynoom of ook wel een wortel of oplossing van de (polynoom)vergelijking p(z) = 0.
14
Complexe getallen
We gebruiken in deze paragraaf, en ook later, regelmatig de formules
(1.2) en (1.3):
|z1 z2 · · · zn | = |z1 | |z2 | · · · |zn |,
arg(z1 z2 · · · zn ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + · · · + arg(zn )
(mod 2π)
en in het bijzonder als z1 = z2 = ... = zn = z:
|z n | = |z|n ,
arg(z n ) = n arg(z)
(mod 2π).
1.3.3 Voorbeeld. We bepalen alle oplossingen in C van
z3 = i .
Zo’n oplossing moet voldoen aan
|z 3 | = |z|3 = |i| = 1 , dus |z| = 1 .
Ook moet gelden
arg(z 3 ) = 3 arg(z) = arg(i) =
π
+ k · 2π , k ∈ Z ,
2
zodat
2π
π
+k·
, k∈Z.
6
3
Op veelvouden van 2π na vinden we dus slechts 3 verschillende waarden van
arg(z), namelijk voor k = 0, 1 en 2. De drie oplossingen van de vergelijking
zijn dus
arg(z) =
z = cos
π
π
+ i sin ,
6
6
z = cos
5π
5π
+ i sin ,
6
6
z = cos
9π
9π
+ i sin .
6
6
1.3.4 Net zoals in dit voorbeeld lossen we in het algemeen de vergelijking
zn = a
op, waarin n een natuurlijk getal is en a een complex getal met a 6= 0.
Immers, uit z n = a volgt
p
|z n | = |z|n = |a| , dus |z| = n |a| ,
arg(z n ) = n arg(z) = arg(a) + k · 2π , k ∈ Z ,
1.3 Complexe polynomen
15
2π
1
arg(a) + k ·
, k∈Z.
n
n
Op veelvouden van 2π vinden we dus n verschillende waarden voor arg z,
namelijk voor k = 0, ..., n − 1.
De vergelijking p
z n = a heeft dus n verschillende oplossingen, die alle
op de cirkel |z| = n |a| liggen en waarvan de onderlinge hoekafstand van
twee opeenvolgende 2π/n is. Hieronder zijn de vier oplossingen van z 4 = 1
geschetst.
arg(z) =
i
−1
1
−i
De vergelijking z n = 0 geeft aanleiding tot ‘n’ vergelijkingen z = 0. De
vergelijking z n = 0 heeft dus n samenvallende oplossingen 0. Zie ook 1.3.6.
In het bijzonder heeft de vergelijking
z 2 = a , a 6= 0
twee oplossingen, beide met absolute waarde
1
1
2 arg(a) en 2 arg(a) + π als argument.
p
|a| en met respectievelijk
We onderzoeken nu in het algemeen de nulpunten van een ne graads complex
polynoom p(z).
1.3.5 Stelling. Als voor een complex polynoom p(z) van graad n geldt p(α) = 0,
dan bevat p(z) een factor z − α, d.w.z. er bestaat een polynoom q(z) van
graad n − 1 zo dat
p(z) = (z − α) q(z) .
Bewijs. Voor iedere keuze van α kunnen we p(z) delen door z − α. We
vinden dan een quotiënt q(z) en een rest r, een complex getal. Dus:
p(z)
r
= q(z) +
,
z−α
z−α
p(z) = (z − α)q(z) + r .
16
Complexe getallen
Nu is p(α) = 0, zodat
0 = p(α) = (α − α)q(α) + r
dus r = 0.
¤
1.3.6 Als p(α) = 0, dan kan p(z) geschreven worden als (z − α)q(z). Als q(α) = 0,
dan bevat ook q(x) een factor (z − α), en geldt dus
p(z) = (z − α)2 r(z) , enz.
Definitie. α heet een nulpunt van multipliciteit m van een complex polynoom p(z) als er een polynoom t(z) met t(α) 6= 0 bestaat zo dat
p(z) = (z − α)m t(z) .
De multipliciteit van een nulpunt α is dus het aantal factoren (z − α) van
p(z).
1.3.7 Als p(z) een polynoom van graad n is, dan volgt direct uit het voorgaande dat het aantal nulpunten van p(z), ieder geteld met zijn multipliciteit,
hoogstens n is. In feite geldt een nog veel sterkere eigenschap.
1.3.8 Stelling. (Hoofdstelling van de algebra) Ieder complex polynoom van
graad n heeft precies n nulpunten als ieder nulpunt geteld wordt met zijn
multipliciteit.
Het bewijs van deze stelling valt buiten het kader van deze cursus. Merk
op dat we de stelling al bewezen hebben voor polynomen van het type z n −
a. Merk ook op dat de hoofdstelling van de algebra niet geldt binnen de
reële getallen: x2 + 1 is een reëel polynoom van graad 2 dat binnen R geen
nulpunten heeft.
1.3.9 Polynomen van graad 1
Voor polynomen van graad 1 is het nulpunt altijd direct te vinden: Uit
az + b = 0 , a 6= 0
volgt z = − b/a.
1.3.10 Polynomen van graad 2
We beschouwen nu polynomen van graad 2:
az 2 + bz + c , a 6= 0 .
1.3 Complexe polynomen
17
We herschrijven het polynoom als volgt
b
b
4ac − b2
az 2 + bz + c = a(z 2 + z) + c = a(z + )2 +
.
a
2a
4a
Noem nu z +
b
2a
= w, dan vinden we de (kwadratische) vergelijking
w2 =
b2 − 4ac
.
4a2
Deze heeft twee oplossingen voor w (tenzij b2 − 4ac = 0), zie 1.3.4, waaruit
direct de twee oplossingen voor z volgen.
Bovenstaande techniek heet kwadraat afsplitsen. Merk op dat we de
abc–formule niet gebruiken; die geeft aanleiding tot wortels van complexe
getallen en die hebben we niet gedefinieerd.
1.3.11 Voorbeeld. Beschouw de vergelijking
z 2 + (2 + 4i)z + i = 0 .
Kwadraat afsplitsen levert
(z + (1 + 2i))2 = −3 + 3i ,
zodat wegens 1.3.4.
z + 1 + 2i =
√
4
18(cos(
3π
3π
) + i sin( )) of
8
8
z + 1 + 2i =
√
4
18(cos(
11π
11π
) + i sin(
)).
8
8
Hieruit volgt
z = −1 +
z = −1 −
√
4
18 cos(
√
3π
3π
) + i(− 2 + 4 18 sin )
8
8
√
4
18 cos(
√
3π
3π
) + i(− 2 − 4 18 sin ).
8
8
of
1.3.12 Graad 3 en hoger
Het is nog mogelijk om voor polynomen van graad 3 en graad 4 algoritmen
te geven die leiden naar de drie of vier nulpunten van deze polynomen. Voor
polynomen van graad hoger dan vier bestaan dergelijke algoritmen niet, en
is het dus betrekkelijk toevallig als we de nulpunten exact kunnen vinden.
Uiteraard bestaan er algoritmen die de nulpunten numeriek benaderen.
18
Complexe getallen
Tot slot van deze paragraaf besteden we enige aandacht aan polynomen
waarvan de coëfficiënten reëel zijn.
1.3.13 Stelling. Beschouw het polynoom
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 ,
waarin an , an−1 , ..., a1 , a0 reëel zijn. Als het complexe getal α voldoet aan
p(α) = 0, dan geldt ook p(ᾱ) = 0.
Bewijs. Gegeven is
an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 = 0 .
Complex conjugeren geeft
an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 = 0̄ .
Toepassen van de rekenregels 1.1.11. levert dan
an ᾱn + an−1 ᾱn−1 + · · · + a1 ᾱ + a0 = 0,
dus p(ᾱ) = 0.
¤
1.3.14 Gevolg. Elk polynoom (ongelijk het nulpolynoom) met reële coëfficiënten
is ontbindbaar in factoren van graad 1 of 2 met reële coëfficiënten.
Bewijs. Laat p(z) een polynoom met reële coëfficiënten zijn. Als α een reëel
nulpunt van p is, dan kan p(z) geschreven worden als
p(z) = (z − α)q(z) ,
waarin q ook een polynoom met reële coëfficiënten is. Als α een niet–reëel
nulpunt is, dan is ᾱ ook een nulpunt en is
p(z) = (z − α)(z − ᾱ) r(z)
= (z 2 − (α + ᾱ)z + αᾱ) r(z)
= (z 2 − 2Re(α)z + |α|2 ) r(z) .
De eerste factor heeft reële coëfficiënten, dus r(z) ook. Aangezien q(z) en
r(z) lagere graad hebben dan p(z), kunnen we deze constructie herhalen,
net zo lang tot we voor q(z) of r(z) een polynoom van graad 0, dus een reële
constante, gevonden hebben.
¤
1.4 Meetkunde met complexe getallen
19
1.3.15 Voorbeeld. Van het polynoom
p(z) = z 5 − 6z 4 + 25z 3 − z 2 + 6z − 25
is gegeven dat 3 − 4i een nulpunt is. We gaan dit polynoom ontbinden in
reële factoren van graad 1 en 2. Omdat het polynoom reële coëfficiënten
heeft, is 3 + 4i ook een nulpunt, en moet het een factor
(z − 3 + 4i)(z − 3 − 4i) = z 2 − 6z + 25
bevatten. Een staartdeling geeft dan
p(z) = (z 2 − 6z + 25)(z 3 − 1) .
De laatste factor heeft z = 1 als nulpunt en bevat dus een factor z − 1:
p(z) = (z 2 − 6z + 25)(z − 1)(z 2 + z + 1) .
De derde factor is verder onontbindbaar.
1.4
Meetkunde met complexe getallen
1.4.1 Complexe getallen zijn in diverse takken van de wiskunde nuttig gebleken.
In deze paragraaf diepen we de rol van complexe getallen in de vlakke meetkunde wat verder uit. Complexe getallen zijn overigens lang niet bij elk
meetkundig probleem handig. Technieken gebaseerd op complexe getallen
vormen een nuttige aanvulling op het arsenaal aan technieken uit de klassieke en analytische meetkunde.
In het vervolg identificeren we het vlak uit de klassieke meetkunde met
het complexe vlak. Punten uit het vlak beschrijven we met complexe getallen. Hierbij hebben we de vrijheid om de oorsprong handig te kiezen. Ook
veronderstellen we hier en daar wat kennis van klassieke vlakke meetkunde
uit het vwo-programma.
1.4.2 Rechten in het vlak
Is z 6= 0 een complex getal, dan vormen de getallen tz waarbij t de reële
getallen doorloopt de rechte door 0 en z. Het lijnstuk tussen 0 en z beschrijf
je door t alleen waarden uit het interval [0, 1] te laten doorlopen. We geven
dit lijnstuk wel aan met [0, z]. Het midden van het lijnstuk [0, z] is het
1
complexe getal z. Uiteraard is −z de gespiegelde van z in de oorsprong 0.
2
20
Complexe getallen
Zijn z en w twee verschillende complexe getallen dan vormen de getallen
w + t(w − z) met t reëel de rechte door z en w. Het lijnstuk tussen z en
1
w geven we wel aan met [z, w]. Voor t = vinden we het midden van het
2
lijnstuk [z, w]:
1
1
w + (z − w) ofwel (z + w).
2
2
De lengte van het lijnstuk [z, w] is gelijk aan de afstand tussen z en w, dus
gelijk aan |z − w|.
De rechten door z1 en z2 (met z1 6= z2 ) respectievelijk w1 en w2 (met
w1 6= w2 ) zijn parallel precies dan als w2 − w1 een reëel veelvoud is van
w2 − w 1
reëel is.
z2 − z1 ofwel als het quotiënt
z2 − z 1
1.4.3 Voorbeeld. Geef in driehoek △ABC het midden van AC aan met D en
het midden van BC met E. Dan is DE parallel met AB en lijnstuk AB is
twee maal zo lang als lijnstuk DE.
Gebruikmakend van complexe getallen kun je dit als volgt inzien. Geef
met z1 , z2 , z3 achtereenvolgens de hoekpunten A, B, C aan. Dan vinden we
voor de middens D en E:
1
1
(z1 + z3 ) en (z2 + z3 ) .
2
2
Omdat
1
1
1
(z2 + z3 ) − (z1 + z3 ) = (z2 − z1 )
2
2
2
vinden we dat lijnstuk DE en AB parallel zijn en dat lijnstuk DE half zo
lang is als lijnstuk AB.
1.4.4 Translaties
Laat u een complex getal zijn. De afbeelding T : C → C gegeven door
T (z) = z+u is een translatie over u. Translaties voeren bijvoorbeeld rechten
in rechten over en cirkels in cirkels. Translaties zijn eenvoudige voorbeelden
van transformaties van het vlak.
1.4.5 Rotaties en cirkels
Is w een complex getal met absolute waarde 1 en argument α radialen, dan
bewerkstelligt de afbeelding R : C → C gegeven door R(z) = zw een rotatie
over α radialen. Immers,
|zw| = |z| · |w| = |z|,
1.4 Meetkunde met complexe getallen
21
zodat zw en z op dezelfde afstand van de oorsprong liggen, en
arg(zw) = arg(z) + arg(w) = arg(z) + α
(mod 2π),
zodat het argument van zw met α is toegenomen ten opzichte van dat van
z.
Heeft w niet per se absolute waarde 1, dan bewerkstelligt vermenigvuldigen met w een rotatie over arg(w) en een schaling met factor |w|.
Rotaties hebben natuurlijk met cirkels te maken. Een cirkel met straal
r en middelpunt z0 bestaat uit de complexe getallen z die voldoen aan
|z − z0 | = r.
Soms kan het handig zijn deze vergelijking op andere manieren te schrijven,
bijvoorbeeld als |z − z0 |2 = r2 of (z − z0 )(z − z¯0 ) = r2 . Is = x0 + iy0 en
z = x + iy (met a, b, x0 , y0 reëel), dan vind je uiteraard de bekende ‘reële’
vergelijking (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 van een cirkel terug.
Je kunt een punt van de cirkel |z − z0 | = r ook expliciet beschrijven als
volgt: z − z0 heeft absolute waarde r en is dus van de vorm r eit waarbij t
het argument (modulo 2π) van z − z0 is. We vinden dus dat z van de vorm
z0 + reit is.
Het is gemakkelijk na te rekenen dat een rotatie over α radialen van de
cirkel met vergelijking |z| = r de cirkel in zichzelf overvoert. Immers, elk
punt z dat aan |z| = r voldoet gaat over in zw, terwijl |zw| = |z| · |w| =
r · 1 = r. Dus zw ligt weer op de cirkel.
1.4.6 Voorbeeld. Hebben de complexe getallen z en w dezelfde absolute waarde
(6= 0) en is de hoek tussen z en w gelijk aan α, dan is het argument van z/w
gelijk aan α of −α zodat z/w = eiα of z/w = e−iα .
Als bijvoorbeeld in driehoek △αβγ geldt γ − α = e±πi/3 (β − α), dan is
de driehoek gelijkzijdig: |γ − α| = |e±πi/3 | · |β − α| = |β − α|, terwijl de hoek
tussen de zijden αγ en αβ gelijk is aan ±π/3. De driehoek is dus gelijkbenig
met tophoek π/3 radialen, dus een gelijkzijdige driehoek.
1.4.7 Voorbeeld. Is △z1 z2 z3 een driehoek, dan zijn voor elk complex getal w 6= 0
de driehoeken △z1 z2 z3 en △(wz1 )(wz2 )(wz3 ) (hoekpunten met w vermenigvuldigd) gelijkvormig. Dit kun je op allerlei manieren inzien. Je kunt
bijvoorbeeld lengtes van overeenkomstige zijden vergelijken en daarbij zie je
hoe de rekenregels voor complexe getallen van pas komen:
|wz2 − wz1 |
|w| · |z2 − z1 |
=
= |w|,
|z2 − z1 |
|z2 − z1 |
22
Complexe getallen
en
|w| · |z3 − z1 |
|wz3 − wz1 |
=
= |w|
|z3 − z1 |
|z3 − z1 |
enz. Het zzz-criterium voor gelijkvormigheid is dus van toepassing.
1.4.8 Voorbeeld. Gegeven driehoek △ABC. Op de zijden BC en AC plaatsen
we buitenwaarts twee vierkanten: BCDE en ACF G. Het midden van DF
noemen we H. Bewijs dat HC loodrecht staat op AB. Het idee van het
F
H
D
G
C
A
E
B
Figuur 1.1: Driehoek △ABC met de buitenwaarts beschreven vierkanten.
hieronder volgende bewijs is om ‘loodrechte stand’ in verband te brengen
met het vermenigvuldigen met i.
We kiezen de oorsprong in C en geven hoekpunt A verder aan met z en
hoekpunt B met w. Dan hoort hoekpunt D bij iw (B roteren om C over
90◦ ) en hoort hoekpunt F bij −iz (hoekpunt A roteren over −90◦ ). Het
1
midden van lijnstuk DF hoort dan bij (iw − iz). Omdat
2
1
1
(iw − iz) = · i · (w − z)
2
2
en w − z bij lijnstuk AB hoort, vinden we dat lijnstuk HC loodrecht staat
op AB (en bovendien half zo lang is).
1.4.9 De negenpuntscirkel I
We beginnen met driehoek △ABC ofwel △αβγ, waarbij de oorsprong O in
het middelpunt van de omgeschreven cirkel is gelegd. We veronderstellen
1
1
1
verder dat |α| = |β| = |γ| = 1. De punten (β + γ), (α + γ) en (α + β)
2
2
2
zijn achtereenvolgens de middens D, E, F van de drie zijden BC, AC en
AB. De lijnstukken die de oorsprong O met elk van deze middelpunten
verbinden, staan loodrecht op de corresponderende zijden van de driehoek
1.4 Meetkunde met complexe getallen
23
C
P
E
D
Q
Z O
H
A
N
R
F
B
Figuur 1.2: De omgeschreven cirkel van △ABC met middelpunt O en die
van △DEF met middelpunt N . Verder zijn het zwaartepunt Z, het hoogtepunt H en de hoogtelijnen te zien.
1
(klassieke meetkunde). Het punt (α + β + γ) is het zwaartepunt Z van
3
driehoek △αβγ.
Het punt h = α + β + γ is zelf ook een bijzonder punt: h − γ = β + γ =
1
2 · (β + γ), dus h − γ staat loodrecht op AB en is twee maal zo lang als
2
het lijnstuk OD. Het punt h ligt dus op de hoogtelijn uit C. Net zo kun
je beredeneren dat h op de hoogtelijn uit B en die uit A ligt. Kortom,
de hoogtelijnen uit A, B en C gaan door één punt, H (of h in termen
van complexe getallen). Dit punt is het hoogtepunt van driehoek △ABC.
(Vraag: gaan in elke driehoek de hoogtelijnen door één punt, of zijn de
aannames die we gemaakt hebben omtrent △ABC daarvoor te beperkend?)
1
Het punt (α + β + γ) ofwel h/2 blijkt ook een bijzonder punt te zijn.
2
Kijk maar naar de afstanden tot de middens van de drie zijden, bijvoorbeeld
de afstand tot D:
1
1
1
1
| (α + β + γ) − (β + γ)| = | α| = .
2
2
2
2
De afstanden tot de middens E en F zijn ook gelijk aan
1
. Het punt h/2
2
24
Complexe getallen
is dus het middelpunt N van de omgeschreven cirkel van driehoek △DEF
(zie figuur 1.2).
1.4.10 De negenpuntscirkel II
De cirkel door de punten D, E en F blijkt ook door drie andere bijzondere
C
M
E
D
H
O
N
K
A
L
F
B
Figuur 1.3: De omgeschreven cirkel van △DEF met middelpunt N gaat ook
door de middens van AH, BH en CH.
punten te gaan, en wel de middens van de lijnstukken die h met elk van de
1
hoekpunten verbindt. De afstanden tot h zijn steeds gelijk aan :
2
1
1
1
1
| h − (h + α)| = | − α| = ,
2
2
2
2
enz. We zien inmiddels: de middens van de zijden van △ABC en de middens
van de lijnstukken HA, HB en HC liggen op één cirkel.
Deze cirkel blijkt ook nog eens door de drie voetpunten van de hoogtelijnen uit elk hoekpunt te gaan (zoals figuur 1.2 suggereert). Daarom noemt
men deze cirkel wel de negenpuntscirkel. Het bewijs van dit laatste deel
komt bij opgave 24 aan de orde.
1.4.11 Andere transformaties
Translaties, rotaties en spiegelingen (en samenstellingen daarvan) hebben
de bijzondere eigenschap dat ze bijecties van het vlak zijn. Er zijn ook
1.4 Meetkunde met complexe getallen
25
transformaties die niet per se bijectief zijn, zoals de afbeelding die z in z 2
overvoert. We gaan er hier niet verder op in.
26
1.5
Algebra
Verzamelingenleer
en Algebra
Complexe
Analyse
Algebra
Complexe getallen
Aantekeningen
Veel uitgewerkte voorbeelden van het rekenen met complexe getallen zijn te vinden
in [6] en [7] (zie de bibliografie aan het eind van de syllabus).
De constructie van complexe getallen kan opgevat worden als een speciaal geval
van een constructie van rekensystemen die in de algebravakken aan de orde komt.
De formulering van de complexe getallen met behulp van paren reële getallen zoals
in dit hoofdstuk gegeven dateert uit 1833 en gaat terug op W.R. Hamilton (1805–
1865), zie [1], p. 524. Hamilton wist deze constructie nog te generaliseren tot een
rekensysteem met elementen van de vorm a+bi+cj +dk (met a, b, c, d ∈ R), waarin
i2 = −1, j 2 = −1, k 2 = −1, ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik; dit is het
rekensysteem der zogenaamde quaternionen.
Voor de lineaire algebra ligt het nut van complexe getallen daarin dat we allerlei
polynoomvergelijkingen kunnen oplossen (dat zal in de volgende hoofdstukken blijken). Rekenen met polynomen komt bij Verzamelingenleer en Algebra uitgebreider
aan de orde.
De Hoofdstelling van de Algebra gaat terug op C.F. Gauss (1777–1855), zie
[1]; er bestaan diverse bewijzen van deze stelling, sommige algebraı̈sch, sommige analytisch. Een bewijs dat gebruik maakt van complex integreren wordt behandeld bij Complexe functies en Fouriertheorie. Dat er geen expliciete formules
bestaan om veeltermvergelijkingen van graad 5 en hoger op te lossen, vergt de nodige algebraı̈sche voorkennis; soortgelijke algebraı̈sche technieken zijn nodig om een
vergelijkbaar verschijnsel te begrijpen, namelijk dat er van sommige in bekende
functies uit te drukken functies geen primitieven bestaan die zelf weer combinaties
2
van bekende functies zijn (een voorbeeld van zo’n functie is ex ). Zulke technieken
(voornamelijk uit de groepentheorie en de lichaamstheorie) komen aan de orde bij
latere (keuze)vakken in de algebra.
De analyse van functies f : C → C (d.w.z. differentieerbaarheids- en integreerbaarheidskwesties) komt aan de orde bij het vak Complexe functies en Fouriertheorie. Deze complexe analyse wordt veel gebruikt in de elektrotechniek en de
mathematische fysica.
1.6 Opgaven
1.6
27
Opgaven
§1
1 Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm a + bi met a en b reëel:
7+i
a. (2 + 3i)(1 − i),
d.
,
1 + 2i
b.
√
√
(− 12 + 21 i 3)(− 12 − 21 i 3),
e.
9 − 3i
,
1 + 3i
c.
1
,
4 − 3i
f.
√
√
z
, met z = 21 2 + 21 2i.
2
(z + 1)
2 Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm r(cos ϕ + i sin ϕ), waarbij
r > 0 en −π ≤ ϕ ≤ π, en teken deze punten in het complexe
vlak:
√
a. −3,
d.
3 + i,
b.
2i,
e.
5 + 12i,
c.
1 + i,
f.
4 − 4i.
3 Teken in het complexe vlak een willekeurig complex getal z, met ongespecificeerd reëel en imaginair deel en ongespecificeerde absolute waarde en
argument.
a. Teken zonder te rekenen (!) de volgende complexe getallen op hun juiste
positie t.o.v. z:
1
, z − 2i, iz, z, −iz.
z + 2, −2z,
z
b. Idem voor de getallen z(cos(π/2)−i sin(π/2)), 3z(cos(7π/6)+i sin(7π/6))
en z(cos(2π/3) + i sin(2π/3)).
4 Schets in het complexe vlak de verzameling van die z ∈ C die voldoen aan:
π
3π
|z + 1 − i|2 ≤ 2 en
≤ arg z ≤
.
2
4
5 Bepaal de verzameling van complexe getallen z die voldoen aan:√
a. |z − i| = |z + 3i|,
d. Re(z 2 + 1) = 0 en |z| = 2,
b.
|z − 3i| = |4 + 2i − z|,
c.
Re(z 2 ) = Im(z 2 ),
e.
arg(z/z) =
2π
3 .
28
Complexe getallen
6 Bewijs de driehoeksongelijkheid |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | aan de hand van de
volgende onderdelen.
a. Bewijs de ongelijkheid voor z1 = 1; schrijf daarbij z2 in poolcoördinaten:
z2 = r(cos φ + i sin φ).
b. Bewijs de ongelijkheid |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | voor z1 6= 0 door aan beide
kanten een factor |z1 | naar buiten te halen.
Laat verder zien dat voor complexe getallen z1 , z2 , . . . , zn geldt:
|z1 + z2 + · · · + zn | ≤ |z1 | + |z2 | + · · · + |zn |.
§2
7 Teken de volgende getallen in het complexe vlak en schrijf hen in de vorm
a + bi:
a. 2eπi/2 ,
d. e5πi/3 ,
b.
3e2πi/3 ,
e.
e(−πi/3)+3 ,
c.
√
f.
e−5πi/6+2kπi , k ∈ Z.
d.
e|z| = 1,
e.
e−z = −i,
f.
e2iz =
2eπi/4 ,
8 Los de volgende vergelijkingen op:
a. ez = 1 + i,
√
b.
ez = 1 +
c.
eRe(z) = 5,
3i,
2
1+i
1−i .
9 Laat met behulp van de definities van cosinus en sinus zien dat voor alle
complexe z geldt:
a. sin 2z = 2 sin z cos z.
b. cos 2z = cos2 z − sin2 z.
10 Los de volgende vergelijkingen op:
a.
1 iz
2 (e
+ e−iz ) = 0,
b. sin(2z) = 4.
§3
1.6 Opgaven
29
11 Los de volgende vergelijkingen op en teken de oplossingen in het complexe
vlak:
a. z 6 = 1,
e. (z + 2 − i)6 = 27i,
b.
z 3 = 8,
f.
z 2 = z,
c.
z 4 = 16i,
g.
z 3 = −z.
d.
(z + i)4 = −1,
12 Los de volgende vergelijkingen op en teken de oplossingen in het complexe
vlak:
a. z 2 + z + 1 = 0,
b. z 2 − 2iz + 8 = 0,
c. z 2 − (4 + 2i)z + 3 + 4i = 0,
d. z 2 (i + z 2 ) = −6.
13 a. De vergelijking z 3 + (2 − 3i)z 2 + (−2 − 6i)z − 4 = 0 heeft een oplossing
z = i. Bepaal de andere oplossingen.
b. De vergelijking z 4 +4z 3 +3z 2 −14z +26 = 0 heeft een oplossing z = 1+i.
Bepaal de andere oplossingen.
c. Van een derdegraads polynoom met reële coëfficiënten is gegeven dat 5
en 1 + 2i nulpunten zijn. Bepaal zo’n polynoom.
d. Van een vierdegraads polynoom met reële coëfficiënten is gegeven dat i
en 2 − 3i nulpunten zijn. Bepaal zo’n polynoom.
14 Ontbind in reële factoren van zo laag mogelijke graad:
a. z 4 − 3z 2 − 4,
b. z 3 + 3z 2 + 4z + 2,
c. z 4 + z 3 + 2z 2 + z + 1.
15 a. Bereken (1 + i)11 .
30
Complexe getallen
b. Van het complexe getal z is gegeven dat
√
z 4 = 8 3 + 8i
en
π
≤ arg(z) ≤ π.
2
Geef de exacte waarde van |z 23 | en van arg(z 23 ), gemeten tussen 0 en
2π.
16 Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n geldt:
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ
(formule van De Moivre, naar de Franse wiskundige A. de Moivre (1667–
1754)). Bepaal hiermee formules voor cos 3ϕ en sin 4ϕ in termen van cos ϕ
en sin ϕ.
17 Zij p(z) = az 2 + bz + c een complex polynoom met a 6= 0. Bewijs de
volgende bewering: Het polynoom p heeft een dubbel nulpunt (nulpunt met
multipliciteit 2) dan en slechts dan als b2 − 4ac = 0. In de bewering zijn
twee implicaties opgenomen. Behandel beide implicaties apart als volgt.
• Te bewijzen: als p een dubbel nulpunt heeft dan geldt b2 − 4ac = 0.
Neem dus aan dat p een dubbel nulpunt heeft, zeg λ. Lever het bewijs
van deze stap als volgt.
– Er geldt p(z) = az 2 + bz + c = a(z − λ)2 .
– Druk b en c uit in termen van λ en verifieer dat b2 − 4ac = 0.
• Te bewijzen: als b2 − 4ac = 0 dan heeft p een dubbel nulpunt.
Splits een kwadraat af en maak gebruik van de relatie b2 − 4ac = 0.
§4
18 Toon elk van de volgende beweringen aan.
a. Het complexe getal z is reëel dan en slechts dan als z̄ = z.
b. Het complexe getal z is zuiver imaginair (reële deel gelijk aan 0) dan en
slechts dan als z + z̄ = 0.
c. De complexe getallen z en w (beide 6= 0) zijn parallel dan en slechts dan
als z̄w = z w̄. [Hint: onderzoek het quotiënt z/w.]
1.6 Opgaven
31
d. De complexe getallen z en w (beide 6= 0) staan loodrecht op elkaar dan
en slechts dan als z̄w +z w̄ = 0. [Hint: wat kun je zeggen van het quotiënt
z/w als z en w loodrecht op elkaar staan?]
19 (Spiegelen) In termen van complexe getallen komt spiegelen in de reële as
overeen met complex conjugeren: z = x + iy gaat door spiegeling over in
x − iy ofwel z.
a. Toon aan dat bij spiegelen in de imaginaire as het complexe getal z wordt
overgevoerd in −z.
b. Een spiegeling in een andere rechte door de oorsprong, zeg onder een
hoek van α radialen met de positieve reële as, kun je beschrijven door
deze spiegeling via een rotatie in verband te brengen met spiegeling in de
reële as: roteer z eerst over −α radialen, spiegel vervolgens in de reële
as, en roteer tenslotte over α radialen. Beschrijf de gespiegelde van z in
formulevorm.
c. De rechten ℓ en m door de oorsprong maken een hoek van α radialen
met elkaar. We spiegelen eerst in ℓ en vervolgens in m. Bewijs dat deze
samenstelling een rotatie is over 2α radialen.
20 Laat △ABC een gelijkzijdige driehoek zijn. De hoekpunten A, B en C
corresponderen respectievelijk met de complexe getallen α, β en γ.
a. Leg de oorsprong in dit onderdeel in A. Laat zien dat je de hoekpunten
kunt voorstellen door 0, z en ρz waarbij |ρ| = 1. Laat verder zien,
uitgaande van het gegeven dat de drie zijden gelijke lengte hebben, dat
de hoekpunten voor te stellen zijn door 0, z, exp(πi/3) z.
b. Laat ρ = eπi/3 en ω = ρ2 . Ga na dat ρ3 = −1, dat 1 − ρ + ρ2 = 0 en dat
1 + ω + ω 2 = 0.
c. Vanaf dit onderdeel ligt geen der hoekpunten per se in de oorsprong.
Bewijs dat γ − α = ρ(β − α) of γ − α = ρ̄(β − α).
d. Bewijs dat α + ωβ + ω 2 γ = 0 of α + ω 2 β + ωγ = 0 als △ABC een
gelijkzijdige driehoek is.
e. Bewijs dat △ABC een gelijkzijdige driehoek is als α + ωβ + ω 2 γ = 0 of
α + ω 2 β + ωγ = 0.
32
Complexe getallen
21 Laat v en w verschillende complexe getallen zijn en ℓ de rechte door v en
w. De rechte door v en w bestaat uit de complexe getallen van de vorm
v + t(w − v) met t reëel.
z−w
een reëel getal is voor het complexe getal
z−v
z (ongelijk aan v en ongelijk aan w), dan ligt z op de rechte ℓ.
a. Bewijs: als het quotiënt
b. Bewijs: als z (ongelijk v en w) op ℓ ligt, dan is het quotiënt
reëel getal.
z−w
een
z−v
c. Bewijs dat v, w en z op één rechte liggen dan en slechts dan als geldt:
(z − w)(z̄ − v̄) = (z̄ − w̄)(z − v).
22 ABCD en AB ′ C ′ D′ zijn twee vierkanten die alleen hoekpunt A gemeen
hebben en verder buiten elkaar liggen. Het snijpunt van de diagonalen AC
en BD noemen we P ; het snijpunt van de diagonalen AC ′ en B ′ D′ noemen
we Q; het midden van BD′ noemen we R, en het midden van B ′ D noemen
we S. Bewijs dat P QRS een vierkant is, bijvoorbeeld door onder meer aan
te tonen dat lijnstuk P S door rotatie over 90◦ overgaat in P R.
23 Spiegelen in de rechte door u en v
Laat ℓ de rechte door de punten u en v zijn. We bepalen het spiegelbeeld
van een punt z uit het vlak onder loodrechte spiegeling in ℓ.
a. Veronderstel dat u = 0. Laat zien dat we z kunnen schrijven in de vorm
z = reit · v voor zekere reële r en t. Wat is het spiegelbeeld van z in dit
geval?
b. Terug naar het algemene geval: laat zien dat z te schrijven is in de vorm
u + reit · (v − u). Toon aan dat het spiegelbeeld van z gegeven wordt door
u + (z̄ − ū)
v−u
.
v̄ − ū
c. Laat zien dat deze laatste uitdrukking gelijk is aan
u + v − uvz̄
als |u| = |v| = 1.
1.6 Opgaven
33
24 De negenpuntscirkel
De negenpuntscirkel (zie 1.4.9 en 1.4.10) blijkt ook door de voetpunten van
de drie hoogtelijnen te gaan. In deze opgave gaan we in op het bewijs.
a. De hoogtelijn uit A snijdt de omgeschreven cirkel van △ABC in A′ . Laat
zien dat voor het corresponderende complexe getal α′ geldt
α − α′ ᾱ − ᾱ′
= 0.
+
β−γ
β̄ − γ̄
[Hint: omdat α − α′ loodrecht staat op β − γ, is het quotiënt
zuiver imaginair.]
α − α′
β−γ
b. Gebruik nu ᾱ = 1/α, β̄ = 1/β enz. om af te leiden dat
α′ = −
βγ
.
α
[Opmerking: een alternatief is om het spiegelbeeld van h = α + β + γ
in de rechte AB uit te rekenen met behulp van de formule uit opgave
23c) en te constateren dat dit spiegelbeeld op de omgeschreven cirkel van
△ABC ligt.]
c. Laat zien dat de lijnstukken BH en BA′ gelijke lengte hebben.
d. Concludeer dat het voetpunt P uit A gelijk is aan
1
βγ
(h −
).
2
α
1
e. Laat zien dat de afstand van h/2 tot P gelijk is aan . Concludeer dat
2
de negenpuntscirkel inderdaad door de drie voetpunten P , Q en R van
de hoogtelijnen gaat.
1.6.1
Oefenen op tentamenniveau
25 Bepaal de verzameling van de elementen z ∈ C die voldoen aan
¯
¯
¯ z̄ · z ¯
¯
¯
¯ (1 − z)2 ¯ = 1.
34
Complexe getallen
26 Los de volgende vergelijking op in C :
e2iz =
1+i
.
1−i
27 a. Schets in het complexe vlak de verzameling van alle z ∈ C waarvoor
geldt
π
| arg(z)| = ,
4
en de verzameling van alle z ∈ C waarvoor geldt
|z + 2i| = |z − 3|.
b. Bereken alle z ∈ C waarvoor geldt
| arg(z)| =
π
4
en
|z + 2i| = |z − 3|.
28 Het polynoom z 4 − 2z 3 + 9z 2 − 8z + 20 heeft z = 1 + 2i als nulpunt. Geef
de ontbinding in reële factoren van zo laag mogelijke graad en bereken de
andere nulpunten.
29 Gegeven is het polynoom p(z). Bewijs dat p(z) een reëel polynoom is (d.w.z.
dat alle coëfficiënten reëel zijn) dan en slechts dan als voor alle z ∈ C geldt:
p(z) = p(z).
30 Bepaal alle z ∈ C waarvoor geldt
z 3 = i z.
31 Gegeven zijn de vierkanten ABCD en A′ B ′ C ′ D′ met dezelfde oriëntatie.
Bewijs dat de middens van de lijnstukken AA′ , BB ′ , CC ′ en DD′ de hoekpunten van een vierkant zijn.