Aantekening VWO 5 Wis D Hfst 12 : Complexe getallen gebruiken

Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 12 : Complexe getallen gebruiken
Les 1 De formule van Euler
Je kunt complexe getallen op 3 manieren schrijven :
 z = a + bi
 z = |z| (cosφ + i sin φ)
 z = r ⋅ eiφ = ep ⋅ eiφ = ep+iφ met eiφ = cosφ + i sin φ en r = ep = |z| =
a2 b2
VB1 Schrijf als z = a + bi
a. ei1/2π { = e0+i1/2 π = e0 (cos ½ π + i sin ½ π) = 1 (0 + i) = i }
b. 5e1-1/3iπ { = 5e1 e-1/3iπ = 5e (cos -1/3 π + i sin -1/3 π) = 5e ( ½ - ½ √3) }
VB2 Schrijf als z = r ⋅ eiφ
a. 2 - 2i { r =
2 2  2 2  8 en φ = -45 = - ¼π dus z = √8 e- ¼πi }
b. (2-2i)4 { (√8 e- ¼πi)4 = (√8)4 ⋅ (e- ¼πi)4 = 64 e- πi }
c.
( 2  2i )4
64e i
64 e i
i  41 i
 3 i


  1 i  16 2  e
 16 2  e 4
 41 i
2  2i
8 e 4
8e
Les 2 Vergelijkingen oplossen met de formule van Euler
VB1 Los op z3 = 2 - 2i mbv formule van Euler.
Opl
In het vorige voorbeeld hebben we al gezien dat : z = 2 – 2i = √8 e- ¼πi+k2π. Het
herhaalt zich iedere 2π vandaar deze algemene oplossing. Dus
z3 = √8 e- ¼πi+k2π (3e machtswortel)
z = (√8 e- ¼πi+k2π)1/3 = ((8)½)1/3 (e- ¼πi+k2π)1/3 =
z = (8)1/6 e- 1/12πi+k2/3π
Aangezien er 3 oplossingen zijn geldt :
z1 = (8)1/6 e- 1/12πi
z1 = (8)1/6 e3/12πi
z1 = (8)1/6 e7/12πi
Les 3 f(z) = ln(z)
VB1. Bereken exact :
a. f(-2e)
b. f( ½i)
Opl
a1.
ln(-2e) = ln(-2) + ln(e) = ln(-2) + 1
a2.
Omdat ln(-2) niet bestaat gaan we dit omzetten in een complex getal
Ln(-2) = ln(2 eπi) = ln(2) + ln(eπi) = ln(2) + πi
a3.
ln(-2e) = ln(-2) + 1 = ln(2) + πi + 1 = (1 + ln(2)) + πi
b1.
ln( ½ i) = ln( ½ ) + ln(i)
b2.
Omdat ln(i) niet bestaat gaan we dit omzetten in een complex getal
Ln(i) = ln(e½πi) = ½ πi
b3.
ln(-2e) = ln( ½ ) + ln(i) = ln( ½ ) + ½ πi
Les 4 De factorstelling
De factorstelling is te gebruiken bij allerlei 3e graadsvergelijkigen, dus ook bij
complexe.
VB1. Los op x3 + 5x2 + 13x + 9 = 0.
Opl. Stappenplan 3 e graads met staartdeling
1. Gebruik de GR om de eerste oplossing te vinden, dus
Y1 = x3 + 5x2 + 13x + 9
Y2 = 0
Intersect geeft x = -1
2. Voer een staartdeling uit
x+1 /
x3 + 5x2 + 13x + 9
\ x2 +4x + 9
x3 + 4x2
x2 + 13x
x2 + 4x
9x + 9
9x + 9
0
Dus
x3 + 5x2 + 13x + 9 = 0
(x+1)( x2 +4x + 9) = 0
3. Nu oplossen x2 +4x + 9 = 0
x2 +4x + 9 = 0
x2 +4x + 4 + 5 = 0
(x+2)2 + 5 = 0
(x+2)2 = -5 = 5i2 (!!!!)
x+2= √(5) i v x+2= - √(5) i
x = -2 + √(5) i v x = -2 - √(5) i
De oplossingen zijn dus x = -1 ; x = -2 + √(5) i ; x = -2 - √(5) i
Les 5 De formule van Cardano voor 3 e graads vergelijkingen op te lossen
Om iedere 3e graadsvergelijking op te lossen kun je gebruik maken van de formule
van Cardano.
Stappenplan : De formule van Cardano voor 3 e graadsvergelijkingen z 3 + pz = q
1. Stel z = u + v en p = -3uv.
2. Herleid de oorspronkelijke vergelijking z3 + pz tot u3 + v3 = q.
3. Gebruik p = -3uv om te herleiden tot u 6 – qu3 – r = 0.
4. Bereken u3 en v3 en daarmee één oplossing van z.
5. Gebruik een staartdeling (factorstelling) voor de andere 2 oplossingen.
VB1. Los op in C : x3 – 9x = 80
Opl
1. Stel z = u + v en -9 = -3uv.
2. Dan is z3 = (u+v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 +v3.
Dan is pz = -3uv (u+v) = - 3u2v - 3uv2
Dus is z3 + pz = u3 + 3u2v + 3uv2 +v3 + (- 3u2v - 3uv2) = u3 + v3 = 80 (=q)
3. Uit -9 = -3uv volgt dat uv = 3 dus v = 3 / u.
Dan is
u3 + v3 = u3 + (3 / u)3 = u3 + 27 / (u3) = 80
Dit geeft
u6 + 27 = 80u3
Dit geeft
u6 - 80u3+ 27 = 0
4. Met abc is
u3 = (80 + √6292)/2 v u3 = (80 - √6292)/2
Omdat u3 + v3 = 80 is
u= ((80 + √6292)/2)^(1/3)
en
v = (80 - (80 + √6292)/2))^(1/3)
Omdat z = u + v en is z =((80 + √6292)/2)^(1/3) + (80 - (80 + √6292)/2))^(1/3)
Dit geeft
z=5
5. Voer een staartdeling uit
x - 5 / x3
- 9x - 80
\ x2 + 5x + 16
x3 - 5x2
5x2 -9x
5x2 -25x
16x - 80
16x - 80
0
Dus
x3 – 9x - 80 = 0
(x - 5)( x2 + 5x + 16) = 0
Dit verder oplossen met abc complex.
Algemeen Stappenplan voor 3 e graadsvergelijkingen z 3 + az 2 + bz + c = 0
1. Substitueer z = x – 1/3 a in z3 + az2 + bz + c = 0. Je krijgt dan een vergelijking
van de vorm x3 + px - q = 0 oftewel x3 + px = q.
2. Gebruik nu de formule van Cardano (zie boven).
VB2. Los op in C : z3 + 12z2 – 9z +5 = 0
1. Neem z = x – 1/3 ⋅ 12 = x – 4.
Je krijgt dan
(x-4)3 + 12(x-4)2 – 9(x-4) +5 = 0
Je krijgt dan
x3 – 12x2 + 48x – 64 + 12(x2-8x+16) – 9x + 36 + 5 = 0
Je krijgt dan
x3 – 12x2 + 48x – 64 + 12x2 - 96x + 192 – 9x + 36 + 5 = 0
Je krijgt dan
x3 – 57x + 169 = 0
Je krijgt dan
x3 – 57x = - 169
2. En nu Cardano ……
Les 6 Directe formule bij recursievergelijkingen u(n-1) en u(n-2)
Gegeven is de recursievergelijking : u(n) = a⋅u(n-1) + b⋅u(n-2). Hoe bereken je de
oplossingen van deze vergelijking ?
Opl. Door middel van de karakteristieke vergelijking op te stellen !!
Stel dat u(n) = gn. Er geldt dan
 gn = a⋅gn-1 + b⋅gn-2 (:
 g2 = a⋅g + b
 g2 - a⋅g - b = 0 (dit heet ook wel de karakteristieke vergelijking)
 Deze kun je oplossen (binnen C) met de abc-formule !!!
Samengevat
Algemeen Stappenplan voor oplossen u(n) = a⋅u(n-1) + b⋅u(n-2).
1. Stel dat u(n) = gn. Er ontstaat dan de karakteristieke vergelijking : g 2 - a⋅g - b = 0
2. Gebruik nu de abc-formule (evt. complex) voor de twee oplossingen g 1 en g2.
3. D > 0 : u(n) = A (g1)n+ B (g2)n
D = 0 : u(n) = (A + Bn) (g1)n
{ g1 = g 2 }
D < 0 : u(n) = (A cos(φ1n) + B sin (φ1n)) ⋅(g)n
{met φ1 = arg (g1) en g = |g1| of g2 }
4. Bereken A en B met behulp van de twee startwaarden.
VB. Los op u(n) = 4⋅u(n-1) - 5⋅u(n-2) en u(0) = 2 en u(1) = 6.
Opl
1. Neem u(n) = gn. Je krijgt dan :
g2 - 4g + 5 = 0
2. Los op :
(g-2)2 + 1 = 0
(g-2)2 = -1 = i2
g-2 = i v g-2 = -i
g=2+i v g=2–i
3. φ1 = arg (2+i) = 26,6 en |2+i| = √5. Dit geeft
u(n) = (A cos(26,6n) + B sin (26,6n)) ⋅(√5)n
4. u(0) = (A cos(26,6⋅0) + B sin (26,6⋅0)) ⋅(√5)0 = A (cos(0) + B sin (0)) ⋅ 1 = A = 2
u(1) = (2 cos(26,6⋅1) + B sin (26,6⋅1)) ⋅(√5)1 = 6
u(1) = (1,79 + B ⋅ 0,45) ⋅ (√5) = 6
4 + 1,01B = 6
1,01B = 2
B = 1,99
Dus de oplossing is : u(n) = (2 cos(26,6n) + 1,99 sin (26,6n)) ⋅(√5)n
Les 7 Stelsels bij recursievergelijkingen u(n-1) en u(n-2)
VB1. Los op
 x n  x n 1  3 y n 1 ( 1)

 y n  2 x n 1  y n 1 ( 2 )
met x0 = 3 en y0 = 7
Opl.
1. Schrijf één van de twee in de x n-1 vorm, dan kun je de twee combineren
 x n 1  x n  3 y n

 y n  2 x n 1  y n 1
2. Combineren geeft
x n 1  x n  3( 2 x n 1  y n 1 )  x n  6 x n 1  3 y n 1
3. Nu moet yn-1 nog weg. Uit (1) volgt dat : 3 y n 1  x n  x n 1
Dus x n 1  x n  6 x n 1  3 y n 1  x n  6 x n 1 ( x n  x n 1 )  2 x n  5 x n 1
4. Schrijf een weer in de xn vorm terug
x n  2 x n 1  5 x n  2
Deze vergelijking kun je oplossen met de karakteristieke vergelijking en x0 = 3 en
x1 = x0 + 3y0 = 3 + 3⋅7 = 24
{ vergelijking (1) }