Logaritmen en getal e 3/1/2017 dr. Brenda Casteleyn Met

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Wiskunde: Logaritmen en getal e
3/1/2017
dr. Brenda Casteleyn
Met dank aan:
Atheneum van Veurne, Leen Goyens
(http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding
Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens,
gerangschikt per thema.
De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het
atheneum van Veurne heeft een prachtige website maar helaas is die niet meer online.
2. Oefeningen uit vorige examens
2000 – Vraag 6
Voor grote waarden van n, kan n! = 1.2.3...n goed benaderd worden met de formule van
Stirling: n! = 2
( )
Het rechterlid van deze formule is bijzonder geschikt voor logaritmische benadering. Welke
van de volgende uitdrukkingen kan hieruit als benadering voor log(100!/50!) afgeleid
worden?
<A>
<B>
<C>
<D>
½ log2 + 50 log(50e)
½ log2 + 50 log (200/e)
½ log 2π + 100 log(100e)
½ log 2π + 50 log (100/e)
2011 – Juli Vraag 6
Gegeven: log 4 = 0,602
Bereken de volgende uitdrukking: 16 log 4 + 16 log 2 + 16 log 8
<A>
<B>
<C>
<D>
28,9
31,3
33,7
53,0
2011 – Augustus Vraag 7
Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking
<A>
<B>
<C>
<D>
dr. Brenda Casteleyn
.
( )
7e
9e
e9
e7
www.keu6.be
Page 2
2012 – Juli Vraag 4
Gegeven is de volgende uitdrukking:
1
3
(
.
)
Hoeveel bedraagt deze uitdrukking?
<A>
<B>
<C>
<D>
-7
–
–log 3
-3
2012 – Augustus Vraag 5
Gegeven is een logaritme met grondgetal 4:
4
"!
/ !
/ .#
Hoeveel bedraagt deze uitdrukking?
<A>
<B>
<C>
<D>
1/5
14/3
12/15
1/3
2013 - Juli Vraag 9 versie 1
Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 83x
<A>
x=
<B>
x=
<C>
x=
<D>
x=
$
$ %& '
$
$
$
'
$ % '
$
$ %( '
2013 - Juli Vraag 9 versie 2
Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 8x
$
<A>
x=
<B>
x=
$ % '
$
<C>
x=
$
<D>
x=
$
'
$ %'
%$
$
dr. Brenda Casteleyn
'
www.keu6.be
Page 3
2013 - Augustus Vraag 2
Gegeven is de volgende vergelijking 52x-1 = 2x
Welke uitdrukking voor x is correct?
<A>
x=
<B>
x=
<C>
x=
<D>
x=
' )
' )%'
' )
'
'
% ' )
% ' )
' )
' )%'
' )
2014 – Juli Vraag 4 versie 1
We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x – 4) - 3│ ≤ 1
Om aan deze ongelijkheid te voldoen,
voldoet alleen x =0
<A>
<B>
voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen
<C>
voldoen geen strikt positieve getallen
<D>
voldoen geen strikt negatieve getallen
2014 – Juli Vraag 4 versie 2
We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x + 4) - 3│ ≤ 1
Om aan deze ongelijkheid te voldoen,
<A>
voldoet alleen x =0
<B>
voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen
voldoen geen strikt positieve getallen
<C>
<D>
voldoen geen strikt negatieve getallen
2014 – Augustus Vraag 4 versie 1
We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
|+,- (2. + 1) − 2| ≤ 2
Om aan deze ongelijkheid te voldoen,
<A>
Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze
ongelijkheid voldoen.
<B>
Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan
oneven gehele getallen
<C>
Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan
even gehele getallen
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 4
<D>
Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen.
2014 – Augustus Vraag 4 versie 2
We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
|+,- (2. − 1) − 2| ≤ 2
<A>
Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze
ongelijkheid voldoen.
<B>
Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan
oneven gehele getallen
<C>
Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan
even gehele getallen
Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen.
<D>
2015 - Juli Vraag 13
Gegeven is een logaritme met grondtal 2: Log2(a) = 1024
Hoeveel bedraagt dan de volgende logaritme? Log2(2.a)?
<A>
1025
<B>
2048
1023
<C>
<D>
512,5
2015 - Juli Vraag 14
Bereken de afgeleide van de volgende functie y = Ln(x-1)2 + Ln (x+1)2
2
<A>
y' =
<B>
y' = 3
<C>
y' =
<D>
y' = 3
%3
2
%
23
%3
23
%
2015 – Augustus Vraag 1
λ
Als e gelijk is aan 4, dan is e
<A>
<B>
<C>
<D>
3/2λ
gelijk aan
e6
e8
6
8
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 5
2016 – Juli Geel Vraag 11
Een persoon wordt blootgesteld aan een schadelijk stof. Deze stof komt terecht in zijn bloed
en wordt afgebroken door de lever. Stel dat de hoeveelheid schadelijke stof in het bloed
daalt volgens het functievoorschrift Ae-bt (met A en b positieve constanten, en t de tijd
uitgedrukt in dagen). Op t = 0 bedraagt de hoeveelheid schadelijke stof in het bloed 5
milligram (5 mg). Na twee dagen (t = 2) is de hoeveelheid gedaald tot 1 mg. Hoeveel van
deze schadelijke stof blijft er in het bloed van deze persoon na zes dagen ( t = 6)?
<A>
<B>
<C>
<D>
0,02 mg
0,04 mg
0,05 mg
0,20 mg
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 6
3. Oplossingen oefeningen
2000 – Vraag 6
Gegeven: Voor grote waarden van n, kan n! = 1.2.3...n goed benaderd worden met de
formule van Stirling: n! = 2
( )
Het rechterlid van deze formule is bijzonder geschikt voor logaritmische benadering.
Gevraagd: Welke van de volgende uitdrukkingen kan hieruit als benadering voor
log(100!/50!) afgeleid worden?
n! = 2
( )
log n! = log( 2
( ) )
log n! = 1/2 log (2
) + n log (n/e)
log n! = 1/2 log (2
) + n log n – n log e
Bereken met deze formule: log(100!/50!) of log 100! – log 50!
= (½log (2 100) + 100 log 100 – 100 log e) - (½log (2 50) + 50 log 50 – 50 log e)
= ½ log (2 100) + 100 log 100 – 100 log e - ½log (2 50) - 50 log 50 + 50 log e
= ½ log (2 100) + 100 log 100 – 50 log e - ½log (2 50) - 50 log 50
= ½ log (2 100) + 100 log 100 – 50 log e-½ log (2 100/2)- 50 log (100/2)
= ½ log (2 100) + 100 log 100 – 50 log e- ½ log (2 100) + ½ log2- 50 log 100 + 50log2
= 50 log 100+ ½ log2 – 50log e + 50 log2
= ½ log2 + 50 (log 100 – log e + log2)
= ½ log2 + 50 (log 100.2/e)
Antwoord B
2011 – Juli Vraag 6
Gegeven: log 4 = 0,602
Gevraagd: Bereken de volgende uitdrukking: 16 log 4 + 16 log 2 + 16 log 8
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 7
Oplossing:
16 log 4 + 16 log 2 + 16 log 8 = 16(log4 + log 2 + log 8)
= 16 (log (4.2.8))
= 16 (log 4.4.4)
=16 (log 4 +log 4 + log 4
= 16(0,602 + 0.602 + 0.602)
= 16 (1,806) = 28,896
Antwoord A
2011 – Augustus Vraag 7
( )
.
Gevraagd: Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking
Oplossing:
Door gebruik te maken van eigenschappen van machten:
.
( )
=
.
( )
.
=
.
( )
=
( )
.
( )
= 3.3. = 9
Of ook door gebruik te maken van eigenschappen van logaritmen
.
( )
=
=
&
&
.
= 9.
Antwoord B
2012 – Juli Vraag 4
Gegeven is de volgende uitdrukking:
1
3
(
.
)
Gevraagd: Hoeveel bedraagt deze uitdrukking?
Oplossing:
Het gaat over logaritme met grondgetal 1/3, dus de uitkomst is de macht die je aan 1/3 moet
geven om 81. 3% 27 te bekomen.
1
3
dr. Brenda Casteleyn
:
.
;
www.keu6.be
Page 8
1
3
1
3
( !.
)
: !.
1
3
1
3
";
:
.;
<
=
= -3
Antwoord D
2012 – Augustus Vraag 5
Gegeven is een logaritme met grondgetal 4:
4
/ !
"! / .#
Gevraagd: Hoeveel bedraagt deze uitdrukking?
Oplossing:
4
/ !
/ .#
"!
4
/
/
"
4
/
4
/
4
#/
4
!
.
/ .
!
>
. ?
2 !/
= 14/3
Antwoord B
2013 - Juli Vraag 9 versie 1
Gevraagd: Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 83x
Oplossing:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 9
ln(3x-1) =ln(83x)
(x-1) ln3= 3x ln8 (eigenschap)
x.ln 3 - ln3 = 3x. ln8
x.ln 3 - ln3 = 3x. ln23
x.ln 3 - ln3 = 3x.3 ln 2 (eigenschap)
x.ln 3 - 9x.ln 2= ln3
x(ln3 - 9 ln2 )= ln3
x =
'
'
%& '
Antwoord A
2013 - Juli Vraag 9 versie 2
Gevraagd: Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 8x
Oplossing:
Neem ln van elk lid:
ln(3x-1) = ln(8x)
(x-1)ln3 = x.ln8 (eigenschap)
xln3 - ln3 = x.ln8
xln3 - xln23 = ln3
xln3 - 3xln2 = ln3
x(ln3 - 3ln2) = ln3
x='
'
% '
Antwoord A
2013 - Augustus Vraag 2
Gegeven: vergelijking 52x-1 = 2x
Gevraagd: uitdrukking voor x?
Oplossing:
ln(52x-1) = ln(2x)
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 10
(2x-1) ln5 = x ln2
2x ln5 - ln5 = x ln2
2xln5 - x ln2 = ln5
x=
' )
' )%'
Antwoord A
2014 – Juli Vraag 4 versie 1
Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x – 4) - 3│ ≤ 1
Gevraagd: waaraan moet x voldoen?
Oplossing:
We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x-4 >0 of x >4/5
Opdat de absolute waarde ≤ 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het
geheel berekenen:
Positief: log2 (5x – 4) – 3 ≤ 1
log2 (5x – 4) ≤ 1 + 3
log2 (5x – 4) ≤ 4
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) ≤ 24; dus (5x – 4) ≤ 16 x ≤ 4
Negatief: -( log2 (5x – 4) – 3) ≤ 1
log2 (5x – 4) – 3 ≥ -1 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal, in dit geval met -1
verandert het ongelijkheidsteken)
log2 (5x – 4) ≥ -1 +3
log2 (5x – 4) ≥ 2
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) ≥ 22 x ≥ 8/5
X is dus groter of gelijk aan 8/5 en kleiner of gelijk aan 4, dus in ieder geval strikt positief
Antwoord D
2014 – Juli Vraag 4 versie 2
Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x + 4) - 3│ ≤ 1
Gevraagd: waaraan moet x voldoen?
Oplossing:
We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x+4 >0 of x >-4/5
Opdat de absolute waarde ≤ 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het
geheel berekenen:
Positief: log2 (5x + 4) – 3 ≤ 1
log2 (5x + 4) ≤ 1 +3
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 11
log2 (5x + 4) ≤ 4
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x+4) ≤ 24; dus (5x + 4) ≤ 16 x ≤ 12/5
Negatief: - (log2 (5x + 4) – 3 )≤ 1
- log2 (5x + 4) + 3 ≤ 1 (haakjes weggewerkt)
- log2 (5x + 4) ≤ -2
log2 (5x + 4) ≥ 2 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal verandert het
ongelijkheidsteken)
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x+4) ≥ 22 x ≥ 0
X is dus groter of gelijk aan 0 en kleiner of gelijk aan 12/5, dus in ieder geval strikt positief
Antwoord D
2014 – Augustus Vraag 4 versie 1
Gegeven: de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
|+,- (2. + 1) − 2| ≤ 2
Gevraagd: voor welke getallen voldoet deze ongelijkheid?
Oplossing:
We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x+1>0; dus x >-1/2
Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve
logaritme berekenen:
Berekening positieve: log2 (2x+1) -2 ≤2
log2 (2x+1) ≤4
2x +1 ≤24
x ≤ 7,5
Berekening negatieve: -(log2 (2x+1) -2)≤2
-log2 (2x+1) + 2 ≤2
2 – 2 ≤ log2 (2x+1)
0 ≤ log2 (2x+1)
20 ≤ 2x +1
1 – 1 ≤ 2x
0≤x
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 12
Dus: 0 ≤ x≤ 7,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 0,1,2,3,4,5,6,7
Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen
Antwoord A
2014 – Augustus Vraag 4 versie 2
Gegeven: volgende ongelijkheid met absolute waarden:
|+,- (2. − 1) − 2| ≤ 2
Oplossing:
We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x-1 >0; dus x >1/2
Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve
logaritme berekenen:
Berekening positieve: log2 (2x-1) -2 ≤2
log2 (2x-1) ≤ 4
2x -1 ≤ 24
x ≤ 8,5
Berekening negatieve: -(log2 (2x-1) -2) ≤2
-log2 (2x-1) + 2 ≤ 2
2 – 2 ≤ log2 (2x-1)
0 ≤ log2 (2x-1)
20 ≤ 2x -1
1 + 1 ≤ 2x
1≤x
Dus: 1 ≤ x ≤ 8,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 1,2,3,4,5,6,7,8
Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen
Antwoord A
2015 - Juli Vraag 13
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 13
Gegeven is een logaritme met grondtal 2: Log2(a) = 1024
Hoeveel bedraagt dan de volgende logaritme? Log2(2.a)?
Oplossing:
Log2(2.a)
= Log2(2) + Log2(a) (eigenschap van Logaritmen)
= 1 + 1024
=
1025
Antwoord A
2015 - Juli Vraag 14
Bereken de afgeleid van de volgende functie y = Ln(x-1)2 + Ln (x+1)2
Oplossing:
y = Ln(x-1)2 + Ln (x+1)2
y = 2. Ln(x-1) + 2 Ln(x+1) (eigenschap logaritme)
y = 2 (Ln(x-1) + Ln (x+1) (2 buiten haakjes)
y = 2 (Ln (x-1)(x+1)
(eigenschap logaritme)
y = 2 Ln (x2 - 1)
y' = 3
. 3
%
=3
23
%
Antwoord D
2015 – Augustus Vraag 1
λ
Als e gelijk is aan 4, dan is e
3/2λ
gelijk aan
λ
Gegeven: e = 4
λ
(e )3/2 = (4)3/2
λ
(e )3/2 = √4 = 8
Antwoord D
2016 – Juli Geel Vraag 11
Gegeven: Een persoon wordt blootgesteld aan een schadelijk stof. Deze stof komt terecht in
zijn bloed en wordt afgebroken door de lever. Stel dat de hoeveelheid schadelijke stof in het
bloed daalt volgens het functievoorschrift Ae-bt (met A en b positieve constanten, en t de tijd
uitgedrukt in dagen). Op t = 0 bedraagt de hoeveelheid schadelijke stof in het bloed 5
milligram (5 mg). Na twee dagen (t = 2) is de hoeveelheid gedaald tot 1 mg.
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 14
Gevraagd: Hoeveel van deze schadelijke stof blijft er in het bloed van deze persoon na zes
dagen ( t = 6)?
Oplossing:
Gegeven zijn twee punten: (0,5) en (2,1) Vul ze in in de vergelijking:
5 = A.e0 = A
1 = 5.e-b.2 dus e-b.2 = 1/5 of -2.b = ln(1/5) of b =
' ( /))
%
-ln(1/5) = ln(1/5)-1 = ln (5), dus b = ln(5)/2
Voor t = 6 wordt de vergelijking dan:
Y=5
AB(?)
.6
Y = 5 e-ln(5).3
Y=5
% $( ) )
Y = 5 e-ln(125)
Y = 5 e ln(1/125)
Y = 5. 1/125 = 1/25 = 0,04
Antwoord B
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 15