Congruentie

4
Congruentie
Dit kun je al
1
2
3
4
5
een figuur spiegelen, verschuiven of draaien
de eigenschappen herkennen van de verschuiving, de spiegeling en de draaiing
de middelloodlijn en de bissectrice van een hoek tekenen met de geodriehoek
de afstand bepalen tussen twee punten en van een punt tot een rechte
hoeken berekenen met de hoekensom
Test jezelf
Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel.
Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum.
A
1
Hoe wordt figuur A
afgebeeld op figuur B?
o
fig. A
B
C
Verder oefenen?
r(O, –180°)(fig. A) = fig. B tࢷ
(fig. A) = fig. B
XY
sa(fig. A) = fig. B
oef. nr. 610
X
Y
fig. B
a
2
3
Wat is geen eigenschap van De grootte van de
De lengte van een lijn- De oriëntatie van de
oef. nr. 623
de spiegeling?
hoek blijft behouden. stuk blijft behouden. hoeken blijft behouden.
In welke driehoek is m de
m
m
C
middelloodlijn van een zijde?
C
C
m
ad
A
A
A
B
4
Hoe bepaal je de afstand van
het punt S tot de rechte k?
B
B
S
S
S
ad
k
5
Bereken | A | als je weet dat
| C | = 35°
A
B
k
| A | = 55°
k
| A | = 65°
oef nr. 752
C
Dit heb je nodig
Inhoud
•
•
•
•
•
•
M20
M21
M22
M23
M24
M25
M26
leerwerkboek p. 73 - 98
oefenboek nr. 774 - 871
geodriehoek
passer
groene en rode pen
kleurpotloden
| A | = 145°
Congruente figuren
Congruente driehoeken
Bewijzen met congruente driehoeken
Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk
Eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek
Bewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk
Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek
p. 74
p. 76
p. 82
p. 86
p. 88
p. 90
p. 94
73
Congruente figuren
M20
Op verkenning
X a
a
Congruente figuren
• Welke figuur is een spiegelbeeld van figuur 1?
Y
1
2
3
Figuur 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................
•
Teken de spiegelas en noem ze a.
Welke figuur is een schuifbeeld van figuur 1?
O
.Figuur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................
ࢷ
•
Teken een verschuivingsvector en noem deze XY
.
Welke figuur is een draaibeeld van figuur 3?
4
5
Figuur 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................
•
Teken het centrum O van deze draaiing.
Hebben deze vier figuren dezelfde vorm en
dezelfde grootte?
Ja
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................
Waaruit kun je dit met zekerheid afleiden?
Bij de spiegeling, de verschuiving en de draaiing blijft de vorm en de grootte
.behouden.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Kun je figuur 1 door een spiegeling, een verschuiving of een draaiing afbeelden op figuur 5? Waarom (niet)?
spiegeling, een verschuiving of een draaiing behoudt de lengte
.Neen,
. . . . . . . . . . . . .de
. . . . . .figuren
. . . . . . . . . . . . . . . zijn
. . . . . . . . .niet
. . . . . . . . even
. . . . . . . . . . .groot
. . . . . . . . . . . . en
. . . . . . een
.....................................................................................................................................
.......
Elke figuur, behalve figuur 5, heeft dezelfde vorm en dezelfde grootte als haar
beeld. Als je de figuur en het beeld zou uitknippen en op elkaar zou leggen,
dan zouden ze elkaar volledig bedekken. Figuren die precies op elkaar passen,
zijn congruente figuren.
Weetje
De figuren zijn wel gelijkvormig, niet congruent.
.van
. . . . . . . . de
. . . . . . zijden
. . . . . . . . . . . . . .en
. . . . . .de
. . . . . .grootte
. . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . .de
. . . . . .hoeken.
. . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
Cong rue
nt
Latijnse komt van het
woord c
on
overeen
stemme gruere dat
n beteke
nt.
Wiskundetaal – definitie
DEFINITIE
Congruente figuren zijn figuren die door een
spiegeling, een verschuiving, een draaiing (of een
samenstelling ervan) op elkaar kunnen worden
afgebeeld.
Congruente figuren hebben dezelfde vorm en
dezelfde grootte.
CONTROLE 4
1
2
figuur 1  figuur 2
lees je als figuur 1 is congruent met figuur 2.
Zijn de figuren congruent? Verklaar.
EHVWDDWXLW
KHWJHOLMNKHLGV
V\PERRO= HQKHW
JHOLMNYRUPLJ
KHLGVV\PERRO ~
Neen,
. . . . . . . .de
. . . . . .cirkels
. . . . . . . . .. . . . .kunnen
. . . . . . . . . . . . . . . . .niet
. . . . . . . . op
. . . . . . .elkaar
. . . . . . . . . . . . . .worden
. . . . . . . . . . . . . . . . afgebeeld.
....................
Ja, de letters kunnen door een puntspiegeling . . . . . .
........................................................................................................
of draaiing op elkaar worden afgebeeld.
74
Congruentie
b
A
Congruente veelhoeken
•
Kun je trapezium ABCD afbeelden op trapezium KLMN
•
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
door een spiegeling? . . . .Ja
Teken de spiegelas a.
Welke eigenschappen blijven behouden bij het spiegelen?
van een
.De
. . . . . . . . .spiegeling
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .behoudt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . lengte
. . . . . . . .................................
de vorm
.lijnstuk,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . grootte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .een
. . . . . . . . . . . hoek,
. . . .................................
de onderlinge
.en
. . . . . . . .de
. . . . . . . . grootte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .een
. . . . . . . . . . . .vierhoek,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
.ligging
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .rechten.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
•
Zijn deze trapeziums congruent?
•
Welke hoek uit trapezium KLMN is het spiegelbeeld van C?
C en M noem je overeenkomstige hoeken.
•
Geef de overeenkomstige zijde van [AB].
B
D
C
N
M
a
L
K
Ja
M̂
............................................................................
.......
............................................................................ . . . . . . .
[KL]
............................................................................ . . . . . . .
Wiskundetaal – begrippen en eigenschappen
BEGRIPPEN
E
IGENSCHAP
AFSPRAAK
H
• Congruente veelhoeken zijn congruente figuren.
B
• In congruente veelhoeken zijn overeenkomstige
zijden of overeenkomstige hoeken de zijden en de
hoeken die op elkaar worden afgebeeld door een
verschuiving, een spiegeling of een draaiing. (of een
samenstelling ervan).
G
A
• In congruente veelhoeken zijn alle overeenkomstige
zijden even lang en alle overeenkomstige hoeken
even groot.
• In congruente veelhoeken noteer je altijd de
overeenkomstige hoekpunten in dezelfde volgorde.
ΔABC  ΔDEF
E
C
F
D
ABCD  EFGH
[AB] en [EF] zijn overeenkomstige zijden. A en E zijn
overeenkomstige hoeken.
Oefeningen
1
WEER?
774 - 786
Welke figuren zijn congruent?
• Verklaar.
• Gebruik de juiste notatie.
~ vierkant 7
vierkant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .1
. . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............
~ driehoek 6
driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5
. . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............
~
~ vierkant 4 ~
vierkant
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .2
. . . . .=
. . . . . vierkant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
. . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............
~
vierkant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .9
. . . . .=
. . . . . vierkant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............
~
rechthoek 8 = rechthoek 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............
Elke
. . . . . . . . . . . . .figuur
. . . . . . . . . .. . . . . . . . is
. . . . . .congruent
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met
. . . . . . . . . . . .zichzelf.
. . . . . . . . . . ...............
Def.
. . . . . . . . . . . . .congruente
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .driehoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............
MEER?
787 - 791
2
3
4
1
9
7
5
10
6
8
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............
Wat moet je kunnen?
τ congruente figuren herkennen
τ congruente figuren tekenen
τ congruente figuren definiëren
τ elke figuur is congruent met zichzelf
τ def. congruente driehoeken
75
Congruente driehoeken
M21
Op verkenning
Driehoek DEF is congruent met driehoek ABC.
F
C
A
•
EIGENSCHA
D
B
E
Vul aan.
DE
| . . . . . |. . . . . . . . .
..D
EF
| . . . .|. . . . . . . . . .
..Ê
DF
| . . . . .|. . . . . . . . .
..F
| AB | = .|. . . . . . . . . .|. . . . .
| BC | = .|. . . . . . . . |. . . . . . .
| AC | = .|. . . . . . . . . .|. . . . .
|A| =
|B| =
|C| =
Eigenschap – congruente driehoeken
P
Congruente driehoeken
zijn driehoeken waarvan alle
overeenkomstige zijden even lang
zijn en alle overeenkomstige hoeken
even groot.
P
ΔABC  ΔPQR
| AB | = | PQ |
| A| = |P|
| AC | = | PR |
| B| = |Q|
| BC | = | QR |
| C | = |R|
3,5
3
C
•
3
A
4
Q
4
R
B
3,5
ΔABC  ΔQRP
Moet je telkens al deze gelijkheden gebruiken om een driehoek te tekenen die congruent is met een gegeven
driehoek?
Onderzoek.
Werkwijze:
– Je neemt de begindriehoek ABC. Je tracht telkens een driehoek DEF te tekenen die voldoet aan de gegeven
gelijkheid (of gelijkheden), maar die niet congruent is met de begindriehoek ABC.
– Controleer je tekening met de transparante begindriehoek ABC.
a
1 gelijkheid
|D| = |A|
| DE | = | AC |
F
F
D
•
76
E
D
E
Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als:
–
1 paar zijden even lang is?
–
1 paar hoeken even groot is?
Congruentie
Neen
Neen
.....................................................................
.......
..................................................................... . . . . . . .
b
2 gelijkheden
| DE |
= | AB | en | D | = | A |
| D | = | A | en | E | = | B |
| DE | = | AB | en | DF | = | AC |
F
F
F
D
•
c
E
E
E D
D
Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als:
–
1 paar zijden even lang en 1 paar hoeken even groot zijn?
–
2 paar zijden even lang zijn?
–
2 paar hoeken even groot zijn?
Neen
Neen
.....................................................................
.......
Neen
.....................................................................
.......
..................................................................... . . . . . . .
3 gelijkheden
3 paar hoeken of 3 paar zijden
| D | = | A | en | E | = | B | en | F | = | C |
| DE | = | AB | en | DF | = | AC | en | EF | = | BC |
Gebruik hiervoor je passer.
F
F
D
•
E
E
D
Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze:
–
3 paar hoeken hebben, die even groot zijn?
–
3 paar zijden hebben, die even lang zijn?
Neen
Ja
.....................................................................
.......
..................................................................... . . . . . . .
2 paar hoeken en 1 paar zijden
•
Hoe kun je de zijde tekenen ten opzichte van de gegeven hoeken?
De
of de zijde ligt niet tussen de hoeken.
. . . . . . . . . .zijde
. . . . . . . . . . . . . .ligt
. . . . . . . . . . .tussen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . .hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
| D | = | A | en | DE | = | AB | en | E | = | B |
D
F
E
77
M21
Congruente driehoeken (vervolg)
•
Als je van twee hoeken in een driehoek de hoekgrootte kent, wat weet je dan over de grootte van de derde
hoek?
De som van de hoeken in een driehoek is 180°.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Stel dat je in de vorige tekening de zijde niet tussen de hoeken tekent, kun je dan een driehoek DEF tekenen die
niet congruent is met driehoek ABC?
Neen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Leg dit uit.
Als je twee hoeken kent, ken je ook de derde hoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze:
–
2 paar hoeken hebben, die even groot zijn en als de ingesloten zijde even lang is?
–
2 paar hoeken hebben, die even groot zijn als de aanliggende zijde even lang is?
Ja
............................................. . . . . . . .
Ja
............................................. . . . . . . .
2 paar zijden en 1 paar hoeken
•
Hoe kun je de hoek tekenen ten opzichte van de gegeven zijden?
De hoek ligt tussen de zijden of de hoek ligt niet tussen de zijden.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
| AC | = | DF | en | A | = | D | en | AB | = | DE |
| A | = | D | en | AB | = | DE | en | BC | = | EF |
F
F
F
E
D
•
•
E
D
Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze:
–
2 paar zijden hebben, die even lang zijn en de ingesloten hoek even groot is?
–
2 paar zijden hebben, die even lang zijn en als een aanliggende hoek even groot is?
Ja
............................................. . . . . . . .
Neen
............................................. . . . . . . .
Wat als hoek A recht is?
–
Kun je een rechthoekige driehoek DEF tekenen die niet congruent is
met driehoek ABC als je 2 paar zijden even lang neemt?
E
B
A
Neen
............................................. . . . . . . .
C
D
F
Je ontdekte dat drie goed gekozen gelijkheden voldoende zijn om aan te tonen dat twee driehoeken congruent zijn.
Deze drie gelijkheden vormen een congruentiekenmerk.
78
Congruentie
Wiskundetaal – congruentiekenmerken voor driehoeken
Twee driehoeken zijn congruent als Notatie:
volgende elementen even groot zijn:
Weetje
•
de drie zijden
ZZZ
en
HHH is ge
.
ekenmerk
ti
n
congrue
•
een zijde en twee hoeken
HZH
ZHH
HHZ
Weet je
•
twee zijden en de ingesloten
hoek
HZZ of ZZH zijn geen congruentiekenmerken, tenzij de hoek 90° is.
• twee zijden en een rechte hoek
tegenover één van die zijden
ZHZ
ZZ90°
Oefeningen
2
•
•
a
b
Ja, ZZZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
WEER?
792 - 794
Zijn de driehoeken congruent?
Verklaar met een congruentiekenmerk.
MEER?
795 - 800
c
Neen, ZZH is geen
congruentiekenmerk.
. . . . . . . . . . ............................................................
Ja, ZZ90°
................................................................ . . . . . .
Teken een driehoek DEF congruent met de gegeven driehoek ABC en gebruik het kenmerk ZHZ.
Duid het congruentiekenmerk aan op de figuur.
A
C
MEER?
802
803
D
B
F
WEER?
801
E
Er zijn verschillende oplossingen mogelijk afhankelijk
van de zijden die je hebt gekozen.
79
M21
WEER?
804
Congruente driehoeken (vervolg)
4
MEER?
805
806
•
•
•
Verdeel de figuur telkens in twee congruente driehoeken.
Noteer de congruente driehoeken.
Noteer het congruentiekenmerk.
B
a
b
A
D
5
•
•
B
D
C
A
c
B
C
~ ΔADC
ΔABC
. . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ZZZ
..........
WEER?
807
808
A
D
~
ΔABD
= ΔCDB
. . . . . . . . . .............................................................
ZZZ, ZZ90°, ZHZ
C
~
ΔABC
= ΔCDA
ZZZ
................................................................
......
Teken driehoek ABC met | A | = 60° en | B | = 70°.
Teken driehoek DEF als je weet dat ΔABC  ΔDEF.
MEER?
809
E
70°
C
F
60°
D
60°
70°
B
WEER?
810
MEER?
811
812
6
A
Zijn de gegeven driehoeken congruent?
Indien ja, noteer het congruentiekenmerk en noteer de driehoeken volgens overeenkomstige zijden.
Indien neen, verklaar.
a
C
Voor ΔABC en ΔADC geldt:
| BC | = | DC |
..................................................................................................................... . . . . . . .
| BA | = | AD |
..................................................................................................................... . . . . . . .
B
D
| CA | = | CA |
..................................................................................................................... . . . . . . .
..................................................................................................................... . . . . . . .
Kenmerk ZZZ
ΔABC ~
= ΔADC
.....................................................................................................................
.......
..................................................................................................................... . . . . . . .
A
80
Congruentie
b
A
U
CB // TU
Voor ΔABC en ΔSTU geldt:
|.....................................................................................................................
AB | = | TS |
.......
T
|.....................................................................................................................
B| = | T |
.......
B
|.....................................................................................................................
C | = | U | = 90°
.......
C
..................................................................................................................... . . . . . . .
S
Kenmerk ZHH
ΔABC ~
= ΔSTU
.....................................................................................................................
.......
..................................................................................................................... . . . . . . .
C
E
L
Voor ΔEFG en ΔKLM geldt:
|.....................................................................................................................
GF | = | KL |
.......
F
|.....................................................................................................................
EG | = | LM |
.......
K
|.....................................................................................................................
F | = |K |
.......
G
M
A
d
Je kunt niet met zekerheid zeggen dat
ΔEFG ~
= ΔKLM omdat ZZH geen
.....................................................................................................................
.......
congruentiekenmerk is.
.....................................................................................................................
.......
..................................................................................................................... . . . . . . .
Voor ΔARS en ΔAUT geldt:
| AU | = | AR |
|.....................................................................................................................
Â| = |Â|
.......
|.....................................................................................................................
Ŝ | = | T | = 90°
.......
S
T
U
|.....................................................................................................................
AR | = | AU |
.......
R
..................................................................................................................... . . . . . . .
Kenmerk HHZ
ΔARS ~
= ΔAUT
.....................................................................................................................
.......
..................................................................................................................... . . . . . . .
e
Voor ΔABC en ΔDBE geldt:
A
D
|.....................................................................................................................
AB | = | DB |
.......
|.....................................................................................................................
CB | = | EB |
.......
C
B
E
|.....................................................................................................................
Ĉ | = | Ê | = 90°
.......
..................................................................................................................... . . . . . . .
Kenmerk
ZZ90°
.....................................................................................................................
.......
~
ΔABC
= ΔDBE
.....................................................................................................................
.......
Wat moet je kunnen?
τ congruentiekenmerken van driehoeken formuleren
τ congruentiekenmerken van driehoeken herkennen
τ congruentiekenmerken van driehoeken illustreren
door een tekening
81
M22
Bewijzen met congruente driehoeken
Op verkenning
In de tweede eeuw na Christus bedacht de Romeinse
landmeter Marcus Nipsus een methode om de breedte van
een rivier te bepalen zonder die rivier te moeten oversteken.
Vanuit een punt B kiest hij, loodrecht
op de oever, aan de overkant een
herkenningspunt (bv. de boom in het
punt A).
Hij zet een paaltje in het punt B, stapt
20 passen verder langs de oever en
plaatst in het punt C een tweede
paaltje.
Hij stapt nog eens 20 passen verder
tot in het punt D en plaatst er een
derde paaltje.
Vanuit D gaat hij loodrecht van
de oever weg tot hij A en C op één
rechte lijn ziet. Dit punt noemt hij E.
Hij beweert dat de lengte van [DE]
even lang is als de breedte van de
rivier.
Heeft Marcus Nipsus gelijk?
STAP 1 Verkennen
•
Wat weet je zeker? Duid dit in het groen aan op de derde tekening.
- De afstanden van B tot C en van C tot D zijn gelijk.
90°.
.-. . . De
. . . . . . . . . .hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B
. . . . .en
........D
. . . . . . zijn
. . . . . . . . . . . .beiden
. . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Wat wordt er beweerd? Duid dit in het rood aan op de derde tekening.
De afstand van A tot B is gelijk aan de afstand van D tot E.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
A
1
B
C
2
D
E
vraag
Wat is gegeven?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid in het groen aan op de
figuur.
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid wat bewezen moet
worden in het rood aan op de
figuur.
82
Congruentie
antwoord
| BC | = | DC |
| B | = | D | = 90°
| AB | = | ED |
verklaring
• Noteer en kleur de driehoeken
waarvan je vermoedt dat ze
congruent zijn, elk in een andere
kleur.
Δ ABC en Δ EDC
Kun je op de figuur nog zijden of
hoeken vinden waarvan je zeker
weet dat ze even groot of even
lang zijn?
Denk aan vroegere eigenschappen.
| Ĉ1 | = | Ĉ2 |
• Omcirkel het congruentiekenmerk dat je kunt gebruiken.
ZHZ ZZZ HZH ZHH ZZ90°
Je kent twee hoeken en de
tussenliggende zijde.
• Noteer de gelijkheden.
H | B | = | D | = 90°
Z | BC | = | DC |
H | Ĉ1 | = | Ĉ2 |
Gegeven
Gegeven
Eig. overstaande hoeken
ΔABC ~
= ΔEDC
| AB | = | ED |
Als twee driehoeken congruent zijn, dan zijn alle overeenkomstige zijden even lang.
Marcus Nipsus had dus gelijk.
Wat mag je nu besluiten?
Had Marcus Nipsus gelijk?
Bewijs
Bewijs – congruente driehoeken
Gegeven:
| BC | = | DC |
A
| B | = | D | = 90°
1
B
C
2
Te bewijzen: | AB | = | ED |
Bewijs:
Voor ΔABC en ΔEDC geldt:
H | B | = | D | = 90°
Z | BC | = | DC |
H | C1 | = | C2 |
D
E
(gegeven)
(gegeven)
(eig. overstaande hoeken)
‡HZH
ΔABC  ΔEDC
‡Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken
| AB | = | ED |
Weetje
STAP 3
Overstaande hoeken zijn
even groot.
In een bewijs met
congruente driehoeken noteer je
alle elementen
van de ene drieho
ek links van het
gelijkheidsteken.
De elementen
van de andere dr
iehoek noteer je
rechts van het ge
lijkheidsteken.
De congruentiekenmerken van driehoeken kun je vaak gebruiken om aan te tonen dat in een figuur twee
lijnstukken even lang of twee hoeken even groot zijn.
83
M22
Bewijzen met congruente driehoeken (vervolg)
Oefeningen
WEER?
813 - 816
7
•
•
MEER?
817
Bewijs dat je de vlieger ABCD kunt opsplitsen
in twee congruente driehoeken ABC en ADC.
Wat weet je nu over B en D? Verklaar.
B
A
Gegeven:
C
ABCD is een vlieger
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................
D
~
Te bewijzen: . ΔABC
. . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . .ΔADC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................
Bewijs:
Verbind de punten A en C. Zo bekom je de driehoeken .ABC
. . . . . . . . . . . en .ADC
........... .
Voor Δ .ABC
. . . . . . . . . . . en Δ ADC
. . . . . . . . . . . . geldt:
| . . . . . .|. .AD
|
Z. . . . . . . . . . .|. .AB
. . . . . . . . . . .=
.............
| . . . . . .|. .DC
|
Z. . . . . . . . . . .|. .BC
. . . . . . . . . . .=
.............
| . . . . . .|. .AC
|
Z. . . . . . . . . . .|. .AC
. . . . . . . . . . .=
.............
(def. vlieger)
vlieger)
. (def.
......................................................................................................................................
......
zijde)
. (gemeenschappelijke
.....................................................................................................................................
.......
...................................................................................................................................... . . . . . . .
‡. ZZZ
............
~ ΔADC
ΔABC
. . . . . . . . . . . . . . . . . .=
..........................
Eig. Overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken.
ͺ
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . .B
. . . . . . .=
. . . . . . . .D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
WEER?
818 - 825
8
Bewijs via congruentie dat in de onderstaande figuur | BM | = | CM |.
A
M
D
MEER?
826 - 829
B
Gegeven:
C
| AM | = | DM |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
| AB | = | DC |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
| Â | = | D | = 90°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
Te bewijzen: | BM | = | CM |
.Bewijs:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .Voor
. . . . . . . . . . . . . .ΔABM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . en
. . . . . . . . .ΔDCM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .geldt:
..................................................................................................................................... . . . . . . .
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .Z
. . . . . . . . . . .AB
. . . . . . . . . . .=
. . . . . . . .DC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(gegeven)
. . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .H
..............Â
. . . . . . . .=
. . . . . . . .D
. . . . . . . .=
. . . . . .90°
. . . . . . . . . . . . . . .(gegeven)
. . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .Z
. . . . . . . . .AM
. . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . DM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(gegeven)
. . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‡
. . . . . . .ZHZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
~
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .ΔABM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . .ΔDCM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
zijden in congruente driehoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‡
. . . . . . .Eig.
. . . . . . . . . . . .Overeenkomstige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .BM
. . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . .CM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
84
Congruentie
9
WEER?
830
Toon aan dat het grondvlak en het bovenvlak van dit driezijdig prisma congruent zijn.
Gegeven:
Prisma met grondvlak ΔABC en bovenvlak ΔDEF
Te bewijzen: ΔABC  ΔDEF
MEER?
831
832
F F F D
E F A
B C E
C C
A
D B
C Verkenning:
De zijvlakken van een prisma zijn parallellogrammen (def. prisma).
even lang. Je duidt dit aan in het groen op. . . . . . .
.De
. . . . . . . . .overstaande
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . .dus
. . . . . . . . . . . steeds
. . . .....................................................................................................................................
.de
. . . . . . . .figuur.
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
congruent zijn.
.Er
. . . . . . wordt
. . . . . . . . . . . . . . . .. . .beweerd
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dat
. . . . . . . . . . . de
. . . . . . . . .twee
. . . . . . . . . . . . . . .driehoeken
. . . . .....................................................................................................................................
.......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
Analyseren:
Uit het gegeven leer je dat | AB | = | DE |, | AC | = | DF | en | BC | = | EF |.
~ Δ DEF.
.Te
. . . . . . .bewijzen
. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .is
. . . . .dat
. . . . . . . . . . . . . . . .Δ
. . . . . .ABC
. . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
je al dat de drie overeenkomstige zijden even. . . . . . .
.Als
. . . . . . . . .je
. . . . . .deze
. . . . . . .. . . . . . . .driehoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .inkleurt,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zie
. .....................................................................................................................................
is dus ZZZ.
.lang
. . . . . . . . . . . . . .zijn.
. . . . . . . .. . . . Het
. . . . . . . . . . . .congruentiekenmerk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
Bewijs:
Voor ΔABC en ΔDEF geldt:
| . . . . . . . . |. . .=
| . . . . . . . . .|. . . . . . . . .(in
zijn de overstaande zijden even lang) . . . . . . .
.Z
. . . . . . . . .AB
. .. . . . . DE
. . . . . . . . een
. . . . . . . . . . . .parallellogram
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
| . . . . . . . . .|. .=
| . . . . . . . . |. . . . . . . . .(in
zijn de overstaande zijden even lang) . . . . . . .
.Z
. . . . . . . . .AC
. .. . . . . .DF
. . . . . . . . .een
. . . . . . . . . . .parallellogram
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
| . . . . . . . . |. . .=
| . . . . . . . .|. . . . . . . .(in
zijn de overstaande zijden even lang)
.Z
. . . . . . . . .BC
. .. . . . . EF
. . . . . . . . .een
. . . . . . . . . . . .parallellogram
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‡
. . . .. . . . . . . . . . . . . . .ZZZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
~
Δ
. . . . . .ABC
. . . . . . . . . . . . . .=
. . .. .Δ
. . . . . .DEF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
Wat moet je kunnen?
τ congruentie van driehoeken bewijzen aan de hand van de congruentiekenmerken
τ gelijke lengten van lijnstukken en gelijke grootte van hoeken bewijzen aan de hand van de congruentiekenmerken van driehoeken
85
M23
Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk
Op verkenning
Eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk
Phoebe en Robinah hebben elk een schooltje in een dorp in Afrika.
Je belooft hen te helpen om een waterput te bouwen die langs de
weg ligt maar die ook even ver ligt van het schooltje van Phoebe
(punt P) en het schooltje van Robinah (punt R). Waar bouw je de
waterput?
•
Teken de afstand tussen het schooltje in P en het schooltje in R
in vogelvlucht.
•
Neen
Snijdt de weg dit lijnstuk in het midden? . ...............................................
•
Construeer een punt C op 4 cm van P en R
en een punt D op 3 cm van P en R.
•
–
Teken een rechte m door de punten C en D.
–
m is . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. van [PR].
Weetje
a
De afstand in vogelvlucht
is de kortste afstand tussen twee punten.
Teken nog twee verschillende punten op de rechte m.
C
Ja
Liggen deze punten op gelijke afstand van P en R? .............................
•
m
Teken twee verschillende punten die niet op de rechte m liggen.
Neen
Liggen deze punten op gelijke afstand van P en R? .............................
•
Waar denk je dat de punten moeten liggen opdat de afstanden
tot de punten P en R gelijk zouden zijn?
P
waterput
De. .punten
van [PR] liggen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .moeten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .op
. . . . . . . . .de
. . . . . . . . middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................
•
Bepaal de plaats waar je de waterput gaat bouwen.
R
D
Eigenschap – middelloodlijn van een lijnstuk
Een punt ligt op de middelloodlijn
van een lijnstuk
mZ
Z is een punt op de
middelloodlijn m van [XY].
a.s.a.
het punt op gelijke afstand ligt van
de grenspunten van het lijnstuk.
| ZX | = | ZY |
X
M
Y
Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M25.
b
Constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk
•
Welke eigenschap hebben de punten die op de middelloodlijn van [AB] liggen?
Ze
de grenspunten van dat lijnstuk.
. . . . . . . .liggen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .op
. . . . . . . . .gelijke
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . afstand
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . .....................................................................................................................................
.......
86
•
Hoe kun je gelijke afstanden bepalen zonder te meten?
Met
een passer
.............................................................................
.......
•
Hoeveel punten heb je nodig om een rechte te kunnen tekenen?
Twee
............................................................................. . . . . . . .
Congruentie
Stappenplan – een middelloodlijn van een lijnstuk construeren
nNeem een passeropening groter dan de helft
van [AB]. Construeer twee cirkelboogjes met
middelpunten A en B, en met dezelfde straal.
n
oDuid de twee snijpunten P en Q aan die je bekomt.
o
A
B
A
B
P
A
B
Q
pTeken door de snijpunten P en Q de rechte m. Deze
rechte is de middelloodlijn van [AB].
m
P
p
A
B
Q
qPlaats de nodige merktekens.
Het bewijs van de contructie van de middelloodlijn vind je in het oefenboek: oef. 861.
Oefeningen
WEER?
833
834
10 Verdeel [XY] in twee even lange lijnstukken.
Gebruik alleen passer en liniaal.
11 Construeer alle punten die even ver liggen van A
en B.
WEER?
837
838
MEER?
839 - 850
MEER?
835
836
X
d
m
A
M
Y
B
Wat moet je kunnen?
τ de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden
τ de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk toepassen
τ de middelloodlijn van een lijnstuk met de passer construeren
87
M24
Eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek
Op verkenning
a
Eigenschap van de bissectrice van een hoek
Een houtfabriek wil zich vestigen in de buurt van twee belangrijke
autosnelwegen. Vier vestigingsplaatsen komen in aanmerking. Welke
vestigingsplaats ligt even ver van de twee snelwegen?
• Hoe meet je de afstand van een punt tot een rechte?
De
is de afstand van dat punt
. . . . . . . .afstand
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . een
. . . . . . . . . . punt
. . . . . . . . . . . . .tot
. . . . . . . .een
. . . . . . . . . .rechte
. . ...............................................................................
tot
dat punt op die rechte.
. . . . . . . .het
. . . . . . . . . voetpunt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . .de
. . . . . . .loodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .uit
. . . ...............................................................................
•
Meet telkens de afstand van de punten tot de benen van de hoek X.
Wat stel je vast voor:
–
benen zijn verschillend.
punt A? De
. . . . afstanden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . .A
. . . .tot
. . . . . . .de
. . . . . ..........................................
–
benen zijn verschillend.
punt B? De
. . . . afstanden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . .B
. . . .tot
. . . . . . .de
. . . . . ..........................................
–
benen zijn gelijk.
punt C? De
. . . . afstanden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . .C
. . . .tot
. . . . . . .de
. . . . . ..........................................
–
benen zijn gelijk.
punt D? De
. . . . afstanden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . .D
. . . . tot
. . . . . . .de
. . . . . ..........................................
•
Teken in het groen door C en D een rechte b.
•
Wat is b van de hoek X? Wat vermoed je?
b
B
X
A
C
D
De rechte b is de bissectrice van de hoek X.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................................
•
Wat denk je over de punten die op b liggen?
De punten op de bissectrice b liggen op gelijke afstanden van de benen van de hoek X.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
Eigenschap – de bissectrice van een hoek
Een punt ligt op de bissectrice van
een hoek
P is een punt op de
bissectrice b van A.
B
b A
a.s.a.
het punt op gelijke afstand ligt van
de benen van de hoek.
P
d( P,[AB ) = d( P,[AC )
C
Het bewijs van deze eigenschap vind je in je oefenboek: oef. 861.
b
Constructie van de bissectrice van een hoek
• Welke punten liggen op de deellijn van A?
Alle punten die op gelijke afstand liggen van de benen van Â.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Hoe bepaal je de afstand van een punt tot de benen van een hoek?
•
Wat weet je van de afstanden van de voetpunten van die loodlijnen tot het hoekpunt A?
•
Hoe kun je gelijke afstanden bepalen zonder te meten?
Door een loodlijn te tekenen vanuit dat punt op de benen van de hoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
Die afstanden zijn gelijk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
Met een passer.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
Stappenplan – een bisscetrice van een hoek construeren
nConstrueer een cirkelboog door elk been met als
middelpunt A en een willekeurige straal.
A
88
Congruentie
oDuid de twee snijpunten X en Y aan die de
cirkelboogjes maken met de benen van hoek A.
X
A
Y
pTeken in X en Y telkens een cirkelboog met dezelfde
straal. Deze cirkelbogen snijden in het punt Z.
X
A
Z
Y
qTeken de rechte door Z en het hoekpunt A. Deze
rechte is de bissectrice van A.
X
A
Z
Y
rPlaats de nodige merktekens.
Het bewijs van deze constructie vind je in het oefenboek: oef. 866.
Oefeningen
WEER?
851 - 854
12 Construeer alle punten die even ver liggen van de benen van hoek X.
b
MEER?
855 - 857
X
13 Construeer alle bissectrices van de snijdende rechten a en b.
a
Hoeveel hoeken vormen twee snijdende rechten?
b
c
Hoeveel bissectrices heb je getekend?
Wat stel je vast?
Vier
Twee (want 2 bissectrices . . . . . . .
...........................................................................
vallen samen)
........................................................................... . . . . . . .
WEER?
858
MEER?
859
860
De
vallen samen omdat de overstaande hoeken even groot zijn.
. . . . . . .bissectrices
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . van
. . . . . . . . . .de
. . . . . . overstaande
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken
. . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
d
Wat is op deze tekening de onderlinge ligging van de twee bissectrices?
De bissectrices staan loodrecht op elkaar.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
a
c
d
b
Wat moet je kunnen?
τ de eigenschap van de bissectrice van een hoek verwoorden
τ de eigenschap van de bissectrice van een hoek toepassen
τ de bissectrice van een hoek met de passer construeren
89
M25
Bewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een
en lijnstuk
Op verkenning
Eigenschap – de middelloodlijn van een lijnstuk
Een punt ligt op de middelloodlijn
van een lijnstuk
Z is een punt op de
middelloodlijn m van [XY].
Z
m
a.s.a.
| ZX | = | ZY |
het punt op gelijke afstand ligt van
de grenspunten van het lijnstuk.
X
M
Y
STAP 1 Verkennen
•
Vul aan.
dat de eigenschap uit twee delen bestaat.
In de eigenschap zie je een dubbele pijl. Dit betekent .............................................................................................................
.......
Deel1:
Als een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan
zijn de afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk gelijk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
–
Noteer voor deel 1 het gegeven.
Een punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . .
–
Noteer voor deel 1 het te bewijzen.
De afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk zijn gelijk.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . .
Deel2:
Als een punt op gelijke afstand ligt van de grenspunten van een lijnstuk, dan ligt dat punt
op de middelloodlijn van het lijnstuk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
–
Noteer voor deel 2 het gegeven.
De afstanden van een punt tot de grenspunten van een lijnstuk zijn gelijk.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . .
–
Noteer voor deel 2 het te bewijzen.
Het punt ligt op de middelloodlijn van het lijnstuk.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Je bewijst eerst deel 1 (basis) en dan deel 2 (verdieping).
DEEL 1 eigenschap
Als een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan zijn
de afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk gelijk
Weetje
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
m
Z
1 2
X
90
Congruentie
M
Y
Punt Z ligt op de middelloodlijn m en kun je
symbolisch noteren als
Z ∊ m, want m is een
rechte en dus een verzameling van punten. Z is
een element van deze
verzameling.
vraag
antwoord
Wat is gegeven?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid het gegeven in het groen aan
op de figuur.
m is de middelloodlijn
van [XY].
Z ligt op m
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid wat bewezen moet worden in
het rood aan op de figuur.
| XZ | = | YZ |
Hoe kun je bewijzen dat afstanden
gelijk zijn?
Via congruente
driehoeken
• Noteer en kleur de driehoeken
waarvan je vermoedt dat ze
congruent zijn, elk in een andere
kleur.
Δ XZM en Δ YZM
verklaring
In congruente driehoeken zijn de
overeenkomstige zijden even lang.
ZHZ
def. middelloodlijn
Z | XM | = | YM |
def. middelloodlijn
H | M̂1 | = | M̂2 | = 90° Gemeensch. zijde
Z | ZM | = | ZM |
Welk congruentiekenmerk kun je
gebruiken?
• Noteer de gelijkheden.
Is dit wat je moet bewijzen?
Indien niet, welke stap moet je nog
zetten?
ΔZMX ~
= ΔZMY
Neen
De even lange overeenkomstige zijden kun je afleiden uit
de congruente driehoeken.
STAP 3 Bewijs
Bewijs – eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk (deel 1)
Als een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan zijn
de afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk gelijk.
Gegeven:
m is de middelloodlijn van [XY].
Z is een punt van de middelloodlijn m (Z ∊ m).
m
Z
Te bewijzen: | ZX | = | ZY |
Bewijs:
Voor ΔXZM en ΔYZM geldt:
Z
H
Z
| XM | = | YM |
(def. middelloodlijn)
1
| M | = | M | = 90° (def. middelloodlijn)
1
2
| ZM | = | ZM |
(gemeenschappelijke zijde)
X
M
2
Y
‡ZHZ
ΔXZM  ΔYZM
‡Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken
| ZX | = | ZY |
91
M25
Bewijs: de eigenschap van de middelloodlijn
van een lijnstuk (vervolg)
DEEL 2 eigenschap
Als een punt op gelijke afstanden ligt van de grenspunten van een
lijnstuk, dan ligt dat punt op de middelloodlijn van het lijnstuk
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
m
Z
X
vraag
1 2
M
antwoord
Wat is gegeven?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid het gegeven in het groen aan
op de figuur.
[XY]
| ZX | = | ZY |
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
Z is een punt van de middelloodlijn m van [XY].
Welke bijzondere rechte m verdeelt de
driehoek in twee driehoeken waarvan
je vermoedt dat ze congruent zijn? Je
hebt verschillende mogelijkheden.
• Teken m en noem M het snijpunt
met [XY].
De hoogtelijn m
uit Z met voetpunt
M dus m = ZM
Wat weet je nu nog meer door deze
tekening?
| ZM | = | ZM |
| M̂1 | = | M̂2 | = 90°
92
Welk congruentiekenmerk kun je
gebruiken?
• Noteer de gelijkheden.
ZZ90°
Z | ZX | = | ZY |
Z | ZM | = | ZM |
90° | M̂1 | = | M̂2 |
Is dit wat je moet bewijzen?
Indien niet, welke stap moet je nog
zetten?
ΔZMX ~
= ΔZMY
| XM | = | YM |
Congruentie
Y
verklaring
Door de hoogtelijn krijg je
twee driehoeken die een zijde
gemeenschappelijk hebben en
elk een rechte hoek hebben.
Gegeven
Gemeensch. zijde
Def. hoogtelijn
Uit de congruentie kun je andere
gelijkheden afleiden: ZM snijdt [XY]
in het midden en staat loodrecht op
[XY] bijgevolg is ZM de middelloodlijn
van [XY].
STAP 3 Bewijs
Bewijs – eigenschap van de middelloodlijn (deel 2 verdieping)
Als een punt op gelijke afstanden ligt van de grenspunten van een lijnstuk, dan ligt dat punt op de middelloodlijn
van het lijnstuk.
m
Gegeven:
[XY]
| ZX | = | ZY |
Z
X
1 2
M
Y
Te bewijzen: Z is een punt van m (Z ∊ m), met rechte m de middelloodlijn van [XY].
Bewijs:
Je hebt drie mogelijkheden:
Bv. 1 Je gebruikt in de driehoek de hoogtelijn uit Z.
ZM is een hoogtelijn nM is het snijpunt van ZM en XY.
Voor ΔXZM en ΔYZM geldt:
Z
Z
H
| ZX | = | ZY |
| ZM | = | ZM |
| M | = | M | = 90°
1
2
(gegeven)
(gemeenschappelijke zijde)
(def. hoogtelijn)
‡ZZ90°
ΔXZM  ΔYZM
‡Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken
| XM | = | MY |
‡Def. zwaartelijn
m is de zwaartelijn uit Z op [XY] o
Uitn & o volgt:
ZM is de middel - loodlijn van [XY].
o
n
Wat moet je kunnen?
τ de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen
93
M26
Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek
Op verkenning
Eigenschap – de bissectrice van een hoek
Een punt ligt op de bissectrice van
een hoek
P is een punt op de
bissectrice b van A.
B
a.s.a.
b A
P
d( P,[AB ) = d( P,[AC )
het punt op gelijke afstand ligt van
de benen van de hoek.
C
STAP 1 Verkennen
•
Vul aan.
dat de eigenschap uit twee delen bestaat.
In de eigenschap zie je een dubbele pijl. Dit betekent .............................................................................................................
.......
Deel 1:
Als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan
zijn
tot de benen van de hoek gelijk.
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .afstanden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .dat
. . . . . . . . . . . punt
. . . . . . . ......................................................................................................................................
.......
–
Noteer voor deel 1 het gegeven.
Een punt ligt op de bissectrice van een hoek.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . .
–
Noteer voor deel 1 het te bewijzen.
De afstanden van dat punt tot de benen van de hoek zijn gelijk.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . .
Deel 2:
Als een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek, dan
ligt
van de hoek.
. . . . . . . . . . .dat
. . . . . . . . . . .punt
. . . . . . . . . . . . . . .op
. . . . . . . . .de
. . . . . . . .bissectrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
–
Noteer voor deel 2 het gegeven.
–
Noteer voor deel 2 het te bewijzen.
De afstanden van een punt tot de benen van een hoek zijn gelijk.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . .
Het punt ligt op de bissectrice van de hoek.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Je bewijst eerst deel 1 (basis) en dan deel 2 (verdieping).
DEEL 1 eigenschap
Als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan zijn de afstanden van dat
punt tot de benen van de hoek gelijk
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
A
B
1
2
P
C
94
vraag
antwoord
Wat is gegeven?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid het gegeven in het groen aan
op de figuur.
b is de bissectrice van
hoek A.
P ligt op b (P D b).
| Â1 | = | Â2 |
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid wat bewezen moet worden
in het rood aan op de figuur.
d(P, [AB) = d(P, [AC)
Congruentie
verklaring
Hoe kun je bewijzen dat afstanden
gelijk zijn?
Via congruente
driehoeken
• Noteer en kleur de driehoeken
waarvan je vermoedt dat ze
congruent zijn, elk in een andere
kleur.
In congruente driehoeken zijn
de overeenkomstige zijden
even lang.
Δ ABP en Δ ACP
Zijn er in deze driehoeken nog zijden
die even lang zijn of hoeken waarvan je
weet dat ze even groot zijn?
| B | = | Ĉ | = 90°
| AP | = | AP |
Def. afstand van een punt tot
een rechte
Gemeensch. zijde
Welk congruentiekenmerk kun je
gebruiken?
• Noteer de gelijkheden.
–
HHZ
– | B | = | Ĉ | = 90°
H
– |Â | = |Â |
H
1
2
Z | AP | = | AP |
Def. afstand van een punt tot
een rechte
Def. bissectrice
Gemeensch. zijde
Is dit wat je moet bewijzen?
Indien niet, welke stap moet je nog
zetten?
ΔABP ~
= ACP
Neen.
Uit de congruente driehoeken
de gevraagde even lange overeenkomstige zijden afleiden.
STAP 3 Bewijs
Bewijs – eigenschap van de bissectrice van een hoek (deel 1)
Als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de benen van de hoek
gelijk.
Gegeven:
b is bissectrice van A.
B
P is een punt van de bissectrice b (P ∊ b)
A
Te bewijzen: d( P, [AB ) = d( P, [AC )
Bewijs:
P
1
2
b
C
Uit P worden loodlijnen getekend op de benen van hoek A.
De voetpunten noem je B en C.
d( P, [AB ) = | PB |
d( P, [AC ) = | PC |
Voor ΔABP en ΔACP geldt:
H
H
Z
| B | = | C | = 90°
|A | = |A |
1
2
| AP | = | AP |
(def. afstand van een punt tot een rechte)
(def. bissectrice)
(gemeenschappelijke zijde)
‡HHZ
ΔABP  ΔACP
‡Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken
| PB | = | PC |
‡|B| = |C| = 90°
d( P, [AB ) = d( P, [AC )
Def. afstand punt – rechte
95
M26
Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek (vervolg)
DEEL 2
eigenschap
Als een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek, dan ligt dat punt
op de bissectrice van een hoek
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
B
A
1
2
P
C
vraag
Wat is gegeven?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid het gegeven in het groen aan
op de figuur.
d(P, [AB) = d(P, [AC)
B en C zijn de voetpunten van
de loodlijnen op de benen van
hoek A, dus | PB | = | PC |
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
P is een punt op de
bissectrice b.
| Â1 | = | Â2 |
• Teken de rechte AP.
• Noteer en kleur de driehoeken
waarvan je vermoedt dat ze
congruent zijn, elk in een andere
kleur.
96
antwoord
verklaring
Δ ABP en Δ ACP
Zijn er in deze driehoeken nog zijden
die even lang zijn of hoeken die even
groot zijn?
| B | = | Ĉ | = 90°
Welk congruentiekenmerk kun je
gebruiken?
• Noteer de gelijkheden.
ZZ90°
Z | AP | = | AP |
Z | PB | = | PC |
90° | B | = | Ĉ | = 90°
Gemeensch. zijde
Gegeven
Def. afstand van een punt tot een
rechte
Is dit wat je moet bewijzen?
Indien niet, welke stap moet je nog
zetten?
ΔABP ~
= ΔACP
Neen
Uit het voorgaande afleiden
dat PA de bissectrice van A is.
Congruentie
| AP | = | AP |
Def. afstand van een punt tot
een rechte.
STAP 3 Bewijs
Bewijs – eigenschap van de bissectrice van een hoek (deel 2)
Als een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek,
dan ligt dat punt op de bissectrice van de hoek.
Gegeven:
hoek A
b = AP
d( P, [AB ) = d( P, [AC )
B en C zijn de voetpunten van de loodlijnen op de benen van hoek A.
A
b
1
2
Te bewijzen: P is een punt van de bissectrice b van hoek A (P ∊ b).
|A | = |A |
1
2
Bewijs:
B
P
C
Voor ΔABP en ΔACP geldt:
Z
Z
H
| AP | = | AP |
| BP | = | CP |
| B | = | C | = 90°
(gemeenschappelijke zijde)
(gegeven)
(def. afstand van een punt tot een rechte)
‡ZZ90°
ΔABP  ΔACP
‡Eig. overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken
|A | = |A |
1
2
‡
P ligt op de bissectrice b van hoek A.
Oefeningen
WEER?
861
862
14 De bissectrices c en d van snijdende rechten a en b staan steeds loodrecht op elkaar. Bewijs dit.
Verkenning:
elementen? Bissectrices van snijdende
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .Welke
. . . . . . . . . . . . . . . . . .meetkundige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
rechten.
hoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .In
. . . . . . het
. . . . . . . . . . .snijpunt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vind
. . . . . . . . . . . . . .je
. . . . . .4
. . . . ....................................................
Gegeven:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . a
. . . . . . . . . . . .b
. . . . . . . . . . .c
. . . . .en
. . . . . . . .d
. . . . .zijn
. . . . . . . . . . . bissectrices
. . . . . . . . ....................................................
d
Te
. . . . . . . .bewijzen:
. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .c
. . . .Œ
. . . . . .d
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
Bewijs:
b.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..M
. . . . . .is
. . . . . .het
. . . . . . . . . . snijpunt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .a
. . . . .en
. . ....................................................
M
| . . . . . .180°
|. .M
| . . . . . |. .M
.....1
. . . . . .+
. . .. . .2. . . . .=
. . . . . . . . . . . . . .(def.
. . . . . . . . . . . . .nevenhoeken)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
bissectr. v. M2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .‡. . . . . . . .c. . . .is
. . . . . .biss.
. . . . . . . . . . . . .v.
. . . . . .M
. . . . .1. . . . . . . . . d
. . . . . is
. . ....................................................
2
1 | M | + B
1 | M | = B
1 180°
B
. . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
2
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .‡. . . . . . . .". . .·. . .". . . is
" in q
. . . . . .distr.
. . . . . . . . . . . . . . .t.o.v.
. . . . . . . . . . . . . .". . . +
. . . ....................................................
1 | M | + | M | = 90°
B
. . . . . [. . . . . . . . . .1. . . . . . . .. . . . . . . . . .2
. . . . .]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .‡. . . . . . . .def.
. . . . . . . . . . . loodrechte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .stand.
. . . . . . . ....................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .c
. . . .Œ
. . . . . .d
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
MEER?
863 - 871
a
1
c
b
Wat moet je kunnen?
τ de eigenschap van de bissectrice van een hoek bewijzen
97
Problemsolving
2 cm
m
Een aantal ringen wordt geschakeld tot een ketting als in de figuur. De totale lengte van de ketting is 1,7 m.
Uit hoeveel ringen bestaat de ketting?
3c
1
1,7 m
A
17
B
21
C
30
D
42
E
85
Bij
6 cm.
. . . . . . . . .één
. . . . . . . . . . . schakel
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . de
. . . . . . . . .totale
. . . . . . . . . . . . . . . . . .diameter
. . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
Vanaf
telkens 4 cm bij (6 cm – tweemaal de dikte van. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . .. . . .tweede
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . schakel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .komt
. . . . . . . . . . . . . . . .er
. . .....................................................................................................................................
de
tabel en zo ontdek je regelmaat.
. . . . . . . . .ring).
. . . . . . . . . . . . . .. .Plaats
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .gegevens
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .in
. . . . . . .de
. . . .....................................................................................................................................
.......
n
lengte in cm
1
6 cm
2
10 cm
3
14 cm
4
18 cm
n
4n + 2
(170 – 2) : 4 = 42
170
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
2
Hieronder zijn een aantal ontwikkelingen van een kubus getekend. Welke ontwikkelingen zijn congruent?
1
2
3
4
5
6
Figuur
van fig. 1.
. . . . . . . . . . . . . . . .1
. . . .en
. . .. . . figuur
. . . . . . . . . . . . . . .3
. . . . . . . . .Fig.
. . . . . . . . .3
. . . is
. . . . .spiegelbeeld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
Figuur
van draaibeeld (over een hoek van 90°) en spiegelbeeld van. . . .fig.
. . . . . . . . . . . . . . . .2
. . . .en
. . .. . . figuur
. . . . . . . . . . . . . . .6
. . . . . . . . .Fig.
. . . . . . . . .2
. . . is
. . . . .combinatie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
. . . 6.
Figuur
(over een hoek van 90°) van fig. 1.
. . . . . . . . . . . . . . . .3
. . . .en
. . .. . . figuur
. . . . . . . . . . . . . . .4
. . . . . . . . .Fig.
. . . . . . . . .3
. . . is
. . . . .draaibeeld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
Figuur
van draaibeeld (over een hoek van 90°) en spiegelbeeld van. . . .fig.
. . . . . . . . . . . . . . . .1
. . . .en
. . .. . . figuur
. . . . . . . . . . . . . . .4
. . . . . . . . .Fig.
. . . . . . . . .4
. . . is
. . . . .combinatie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
. . . 1.
3
De diameter |XY| van de cirkel is 10 cm.
Hoe lang is de omtrek van de groene figuur?
2a
‰ a = 2,5 cm
. . . . . . . . .=
. . . . . .5
. . . . cm
. . . .. . . . . . (de
. . . . . . . . . . .helft
. . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . middellijn)
. . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................
Totale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .omtrek
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .figuur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . .8a.
. . . . . .........................................................................
8a
. . . . . . . . .=
. . . . . .8
. . . . .·. . 2,5
.. . . . . . . . .cm
. . . . . . . . . .=
. . . . . .20
. . . . . . . . cm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................
4
Hoeveel procent van de volledige figuur is grijs gekleurd?
Als
binnen plooit, dan
. . . . . . . . . .je
. . . . . .de
. . . . . . .. .grijze
. . . . . . . . . . . . . . . .cirkelsectoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . naar
. . . . . . . . . .........................................................................
wordt
met grijs gevuld.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .het
. . . .. . . . . . binnenste
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vierkant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .helemaal
. . . . . . . .........................................................................
1
Bvan de totale opperHet
. . . . . . . . . . . .binnenste
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .grijze
. . . . . . . . . . . . . . . . .vierkant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . . . . .........................................................................
4
1 = 25 % van het oppervlak grijs
B
vlakte.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Bijgevolg
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................
4
gekleurd.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................
98
problemsolving
X
Y