verbetersleutel
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Meetkunde 4 Congruentie M20 Congruente figuren 262 M21 Congruente driehoeken 268 M22 Bewijzen met congruente driehoeken 276 M23 Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk 285 M24 Eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek 293 M25 Bewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk 298 M26 Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek 300 261 figuren Titel M20 1 Congruente HUG :DW]RQGHUEHZLMVEHZH HU QG ]R RRN NDQ GW ZRU EHZLMVRQWNHQGZRUGHQ Welke figuren zijn congruent? 774 B 1 (XFOLGHV 4 2 3 5 7 6 9 8 Figuur Figuur 6 ...... . . . . . . . . . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... Figuur 7 Figuur 9 Figuur ...... . . . . . . . . . . . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . 775 B • • Welke figuren zijn congruent? Gebruik de juiste notatie. 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 14 13 15 16 17 18 Figuur 9 Figuur 11 Figuur 14 Figuur ...... . . . . . . . . . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... 17 Figuur 18 ...... . . . . . . . .Figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . Figuur Figuur 10 Figuur 16 ...... . . . . . . . . . . . . . .2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... Figuur 12 Figuur 13 Figuur ...... . . . . . . . . . . . . . .5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... 262 M20 Congruente figuren 776 E • • Duid telkens de overeenkomstige zijden en de overeenkomstige hoeken van de congruente driehoeken met eenzelfde merkteken aan. Noteer volgens de afspraak. a b A U M L S K A C T B B C ΔABC = 777 B • • • ΔSTU ΔABC = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................. ΔKLM ................................................................................ . . . . . Welke driehoeken zijn congruent? Noteer van de congruente driehoeken alle overeenkomstige zijden en hoeken. Gebruik de juiste notatie. ΔABC ≈ ΔIHG | . . . . .|. . .= | | | | AB | . . . . .|. .IH ...... . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . . . . . . I. . ........................... | . . . .|. . .= | . . ........................... | | | BC | . . . . .|. .HG ...... . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B . . . . . . .H | . . . . .|. . .= | . . ........................... | | | AC | . . . . . |. .IG ...... . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C . . . . . . .G ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... A G H D C B I ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... F ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... 778 B • • E Zijn de figuren congruent? Verklaar. a b fig. 1 fig. 2 fig. 2 fig. 1 _ Ja, de figuren kunnen door een verschuiving t XY› Neen, de bomen hebben niet dezelfde grootte, ze kunnen niet op elkaar worden afgebeeld door een .................................................................................................. ..... .op . . . . . . .elkaar . . . . . . . . . . . . . afgebeeld/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . .figuren . . . . . . . . . . . . . . . hebben . . . . ................................. dezelfde spiegeling, verschuiving of draaiing. vorm en grootte. c d fig. 1 fig. 1 a fig. 2 120° fig. 2 draaiing r(0,120°) .Ja, . . . . . . .de . . . . . .driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kunnen . . . . . . . . . . . . . . . . .door . . . . . . . . . . een . . . . . ................................. Ja, de cirkels kunnen door een verschuiving of . . . . . .................................................................................................. op elkaar worden afgebeeld. spiegeling sa op elkaar worden afgebeeld. Congruente figuren M20 263 779 B • • Zijn de figuren congruent? Verklaar. a b o 90° c Ja, de figuren kunnen door een puntspie.................................................................................................. ..... geling sO op elkaar worden afgebeeld. Ja, een draai. . . . . . . . de . . . . . . . . .figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kunnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .door . . . . . . . . ................................. ing r(O,–90°) op elkaar worden afgebeeld. Neen, bij één van de honden ontbreekt de tong, de honden kunnen niet op elkaar worden afgebeeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . 780 B 781 B Gegeven ABCD en EFGH. Verbind de overeenkomstige hoeken en de overeenkomstige zijden in de congruente vierhoeken. [AB] • • [EF] [BC] • • [FG] [CD] • • [GH] [DA] • • [HE] A • • E B • • F C • • G D • • H E F H A G B C D Δ ZOT is congruent met Δ GEK. a Schrijf dit in symbolen: b Vul aan. | | ZO | = .|. .GE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ | K | = ΔZOT ΔGEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . | KE | 264 M20 | = .|. .TO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ | O | Congruente figuren |T| |E| = ....................................................................................... ..... ....................................................................................... . . . . . Figuur SMAK ݐfiguur ZOEN. Noteer de overeenkomstige hoekpunten bij de figuur ZOEN. 782 B Z N S M K E A O Vierhoek HOND ݐvierhoek MUIS. 783 B a b Noteer de overeenkomstige punten bij vierhoek MUIS. Vul in. |H| | = .|. .M ................................. | | HO | = .|. .MU ................................. | | UI | = .|. .ON ................................. |S| |O| H | | U = .................................... IS | | ND | = |.................................... M D a b Noteer de overeenkomstige punten bij vierhoek CASH. Schrijf dit in symbolen: c vierhoek GELD Vul in. S | HC | • • G vierkant CASH = . . .CA ................................ | S A E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................... | | LD | = .|. .SH . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | AS | = .|. .EL . . . . . . . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 B N Vierhoek GELD is congruent met vierhoek CASH. | GE | U D| = |.................................... | | SM | = .|. .DH ................................. 784 B I O | = .|. .DG ................................ |G| |S| |D| |A| | | |L| = ................................... |H| = ................................... |E| = ................................... C = ................................... C D L H Verdeel de figuren in twee congruente figuren. Wat teken je telkens? Een ...... . . . . . .symmetrieas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .of . . . . . . .symmetriemiddelpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................... . . . . a b Congruente figuren M20 265 Verdeel de figuren in vier congruente figuren. 786 B 266 M20 b c d Verdeel de figuren in congruente figuren. 787 V* 788 B a • • a Verdeel de figuur in vier congruente figuren. b Verdeel de figuur in drie congruente figuren. c Verdeel de figuur in twee congruente figuren. d Verdeel de figuur in twee congruente figuren. Teken een figuur congruent met de gegeven figuur. De langste zijde is al gegeven. Congruente figuren 789 V* • • • Is figuur 1 congruent met figuur 2? Wordt figuur 1 afgebeeld op figuur 2 door een verschuiving en/of een spiegeling en/of een draaiing? Zo ja, welke? b a c a 1 1 1 2 2 3 X 2 Y De. .twee Een................................................................ puntspiegeling sO. . . . . . . . . . . . . . .figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . .niet ................. congruent, wel gelijkvormig. Verdeel de figuur in twee congruente figuren. 790 V* a 791 V* Figuur 1 verschuif je naar figuur. .3. . . ........................................................... _ volgens t XY›. Daarna spiegel je de Figuur 3 rond de rechte a. Zo bekom je figuur 2. Er zijn nog verschillende andere mogelijkheden. • • • b Markeer in de tekeningen van de Nederlandse kunstenaar M.C. Escher, de basisfiguur aan die telkens herhaald wordt. Noteer telkens de spiegeling en/of de verschuiving en/of de draaiing. Duid de nodige gegevens op de tekening aan. a b c v v v verschuiving en spiegeling verschuiving en spiegeling d e verschuiving f v Niet alle beelden kunnen op elkaar draaiing en verschuiving afgebeeld worden. Laat je oplossing controleren door je leerkracht. Congruente figuren draaiing M20 267 M21 Congruente driehoeken 792 B • • Welke driehoeken zijn onderling congruent? Noteer de gelijkheden. Gebruik de juiste notatie. A D H I J K N B C E F G P Q S L M O V T U W R X ΔGHI ΔACB ΔSTU want ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔJLK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔPRQ . . . . . . . . . . . . . . . . .want . . . . ................................................................................................................................................... ..... | | | | | | | | | | |...... | | | | | | | | | AB. . . . . . .= = J = P GH = ST G = S . . . . . . . .JK . . . . . . . . .= . . . . . . . .PQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A . ................................................................................................................................................... ..... | ................................................................................................................................................... | = |K| = |Q| |H| = |T| | . . . . . . . |. . .= | HI | = | TU | |...... BC. . . . .|. .= en . . . . . . . .KL . . . . . .|. QR . . . . . . . . . .|. . . . . . . . .en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B ..... | | | | | | | | | | | | | | |...... | | | | | AC = L = R IG = US I = U .......= . . . . . . . .JL . . . . . . . . .= . . . . . . . .PR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C . ................................................................................................................................................... ..... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . ΔDFE of ΔDFE ΔMON ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔOMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... | . . . . .|. . .= | . . . . ................................................................................................................................................... | | D | = | M | ..... |...... | . . . . .|. .OM | DF | = | MO | | DF . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .D . . . . . . .O | . . . . .|. . = | . . . . ................................................................................................................................................... | | F | = | O | ..... |...... | . . . . . . . . . . .|. . . . . . .en | FE | = | ON | FE. . . .|. .= en . . . . . . . .MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .F . . . . . . . .M | . . . . .|. . = | . . . ................................................................................................................................................... | | E | = | N | ..... |...... | . . . . .|. .ON | DE | = | MN | | DE . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E . . . . . . . .N ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . 793 B • • Vul aan. Noteer de gelijkheden. a 6ABD ΔCDB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. A 12 b ΔPRQ 6ABC ............................................................................. ..... B P Q A R D 12 | AB | = | CD | ......................................... M21 | A |=|C| . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. ......................................... | BD | = | BD | | B | = |D | | . . . . . . .|. . = |B | . . . .D . . . .............................. ......................................... . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. | AD | = | CB | ......................................... 268 C C Congruente driehoeken ......1 . . . . . . . . . . .............................. 2 1 2 B |A|=|P| ......................................... | AB | = | PR | ......................................... . . . . . ......................................... | AC | = | PQ | ......................................... . . . . . ......................................... | BC | = | RQ | ......................................... . . . . . ......................................... ......................................... . . . . . |B| = |R| |C| = |Q| ΔABC ΔDEF | AB | = 10 cm en | F | = 30° 794 B a Welke zijde heeft dezelfde lengte als [AB]? Verklaar. | AB | = | DE | = 10 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . want het zijn overeenkomstige zijden in congruente driehoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . b Welke hoek heeft dezelfde grootte als F? Verklaar. | F | = | C | = 30° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . want het zijn overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 795 B • • Welke driehoeken zijn congruent? Noteer de gelijkheden. P J F A 2 C 60° 4,03 2,06 2 60° 60° 2 B H 3 2,55 K 38,68° 10,31° 3,91 2,5 G 4,03 2,06 3 R Q 39,81° Z 2 L 2 60° 60° 60° X 2 Y ΔABC ΔXYZ (ΔXYZ is gelijkzijdig, je kunt de hoekpunten ook in een andere volgorde noemen) ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . want: |A| = | X | | AB | = | XY | ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . | BC | = | YZ | en |B| = | Y | ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . |C| = | Z | | AC | = | XZ | ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . ΔFGH ΔPQR | ................................................................................................................................................... | = |Q| | . . . . . . .|. .= want: ...... . . . . . . . . . . . . . . . .FG . . . . .|. .PQ . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .G ..... | ................................................................................................................................................... |=|R| | . . . . . . . .|. . = ...... . . . . . . . . . . . . . . . .GH . . . . .|. .QR . . . . . . . .|. . . . . . . . . . en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .H ..... |=|P| | . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. . F | . . . . . . .|. .= ...... . . . . . . . . . . . . . . . .FH . . . . . . .PR ................................................................................................................................................... ..... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . 796 B ΔABC ΔDEF a b Markeer in elke driehoek een zijde of hoek zodat je een congruentiekenmerk bekomt. Noteer het congruentiekenmerk. E E D B B F C D F A ....... HH. . .Z C De of . . . . . . . . zijden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .BC . . . . . . . . .en . . . . . . . .EF . . . . ............................. de zijden AB en DE A ZZ. .Z ........ De zijden AB en ED ......................................................................... ..... De hoeken B en E ZZ. .90° . . . . . . . . ......................................................................... ..... Congruente driehoeken M21 269 E E D B B D F F A . . . . . . zijden . . . . . . . . . . . . . .BC . . . . . .en . . . . . .EF . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. ZH. . . .Z. . . . . . de D ZH. . . .H. . . . . . de . . . . . . hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . .B . . . en . . . . . .E . . . .of . . . . . . . . .en . . . . ............................. 797 B • • C A C zijden AB en DE of de zijden BC en HH. . . Z. . . . . . . De ........................................................................ . . . . .EF of de zijden AC en FD ....................................................................... . . . . . Mag je besluiten aan de hand van de gegevens in de tekening dat de driehoeken congruent zijn? Indien ja, noteer het congruentiekenmerk. a b De . . . . . . . . . .driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .congruent: . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. ZZ90°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. c A Neen, de driehoeken hebben dezelfde vorm maar .............................................................................................. . . . . .ze zijn niet congruent. HHH is geen congruentiekenmerk. .............................................................................................. ..... d B G E D I H E C F De . . . . . . . . . .driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .congruent: . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. HHZ . . . . . . . . . . . . . . of . . . . . . . HZH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. 798 B • • Neen, je mag niet besluiten dat de driehoeken congru.............................................................................................. ..... ent zijn, omdat ZZH geen congruentiekenmerk is. .............................................................................................. ..... Mag je besluiten aan de hand van de gegevens in de tekening dat de driehoeken congruent zijn? Indien ja, noteer het congruentiekenmerk en noteer de congruente driehoeken. a b A E A F C F D B C E B D Neen,. . . .de twee driehoeken hebben maar 1 hoek (over. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. eenkomstig) even groot. De overeenkomstige zijden zijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. niet even lang. Dit is onvoldoende om te kunnen besluiten dat de twee driehoeken congruent zijn. 270 M21 Congruente driehoeken De driehoeken zijn congruent: ZHZ. .............................................................................................. ..... ΔDEF ΔABC .............................................................................................. ..... c A d B E D E C A C B D De of ZHZ . . . . . . .driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . congruent: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ZZZ . . ............................. Neen, de zijden die even lang zijn, zijn geen. . . . . .............................................................................................. overeenkomstige zijden. De hoek tussen deze twee zijden is verschillend. .............................................................................................. ..... (de groot). . . . . . . . .overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . .even . . . . . . ............................. 799 B ΔABE ΔDCE Gegeven: ΔPQR is gelijkbenig. S is het snijpunt van PS en RQ. a b Is ΔPSR congruent met ΔPSQ? Zo ja, wat is het congruentiekenmerk? Zo neen, welke gelijkheid moet je dan nog toevoegen? P R S Q Neen, zijden even lang, nl. | PR | = | PQ | en | PS | = | PS | [PS] is een gemeen...... . . . . . . .er . . . . .zijn . . . . . . . . maar . . . . . . . . . . . . twee . . . . . . . . . . . paar . . . . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... schappelijke je alleen maar met zekerheid dat deze gemeenschappelijk is. Je weet . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijde. . . . . . . . . . . . .Over . . . . . . . . . . de . . . . . . zijde . . . . . . . . . . .PS . . . . . .weet . . . . . . ................................................................................................................................................... niet recht zijn om het congruentiekenmerk ZZ90° te kunnen gebruiken. ...... . . .of . . . . . PS . . . . . . . . . . .RQ. . . . . . . . .De . . . . . . hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . .in . . . . .S. . .moeten . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... of om het congruentiekenmerk ZHZ te bekomen. ......de . . . . . hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . .in . . . . .P. . .moeten . . . . . . . . . . . . . . . . .even . . . . . . . . . . .groot . . . . . . . . . . . .zijn . . ................................................................................................................................................... ..... of congruentiekenmerk ZZZ te bekomen. ......S. . .moet . . . . . . . . . . . .het . . . . . . . midden . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . van . . . . . . . . .RQ . . . . . . .om . . . . . . . .het . ................................................................................................................................................... ..... 800 V* Gegeven: ΔABC ΔPQR | A | + | C | = 120° Gevraagd: | Q | Oplossing: | A | + | B | + | C | = 180° (In ΔABC: eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... |. .B. . . . .|. . = | . . . . . |. . .+ |C| . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . .– . . . . . . . . .A . . . . . ................................................................................................................................................... ..... | | | | . . .ͺ. . . . . . . . . . . . . . .A. . . . . . . + . . . . . . . .C . . . . . . . .= . . . . . 120° . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . |. .B. . . . .|. . = . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . .– . . . . .120° . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . | B | = 60° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ( ) | B | en | Q | zijn overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken. Dus | B | = | Q | = 60° Congruente driehoeken M21 271 Gegeven ΔABC. Teken ΔDEF als je weet dat ΔABC ΔDEF. 801 B | DE | = | AB | , | D | = | A | , | DF | = | AC | a A b | DF | = | AC | , | F | = | C | = 90° , | DE | = | AB | F D F A C C E E B D B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. .............................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. .............................................................................................. . . . . . | E | = | B |, | DE | = | AB |, | D | = | A | c A C F E D B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. Driehoek ABC is congruent met driehoek DEF. Vervolledig driehoek DEF. 802 V* a A C b A E D D E B B F C F c A F D B C E A 803 V* • • C Twee ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ 272 M21 Z1 Construeer het punt Z zodanig dat ΔABC ΔXYZ Hoeveel oplossingen kun je tekenen? Congruente driehoeken X Y B Z2 Weetje 804 B • • Een vlieger is een vierhoek waarvan twee paar aanliggende zijden even lang zijn. In lesgeheel 6 leer je meer over de vlieger, een speciale vierhoek. Verdeel de figuur in twee congruente driehoeken. Noteer het congruentiekenmerk. a b Vlieger ABCD. ZZZ RechthoekABCD. Je tekent een diagonaal. ZZZ of ZHH of HZH .............................................................................................. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. B A B D C C D c A d Parallellogram ABCD. Je kunt .De . . . . . . figuur . . . . . . . . . . . . . .is . . . .een . . . . . . . .parallellogram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .HZH . . . . ............................. Ruit ABCD. De figuur is een ruit. ZZZ of HZH of ZHZ .............................................................................................. . . . . . hier verwisselende binnenhoeken gebruiken. A A B 2 1 B D 2 D 1 C C 805 V* • • Teken een driehoek met de volgende gegevens: | AB | = 2 cm | BC | = 4 cm | C | = 20° Kun je met deze gegevens twee niet-congruente driehoeken tekenen? Verklaar. 4 cm B C 20° 2 cm A1 Ja, met ...... . . . .driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . .1 . . BC . . . . . . . . . is . . . . . .niet . . . . . . . . . . . .congruent . . . . . . . . . . .................................... driehoek ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . . .2. .BC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... ZZH ...... . . . . . . . .is . . . . .geen . . . . . . . . . . . . . . . .congruentiekenmerk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... B m 2c 4 cm C 20° 2 cm A1 ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... 806 V* Gegeven: | AB | = | AC | AD is de hoogtelijn uit A. D is het snijpunt van AD en BC. a b c A2 Gevraagd: Is ΔADC ΔADB? Zo ja: noteer het congruentiekenmerk. Zo neen, welke gelijkheid moet je dan nog weten? De ...... . . . .driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . congruent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... Twee : ...... . . . . . . . . . .gelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . . .gegeven . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... |...... | . . . . . . . . .|. .en AB. . . . .|. .= . . . . . . . .AC . . . . . . . . . .omdat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AD . . . . . . . . . . hoogtelijn . . . . . . .................................... | . . . . . . . .|. .= | . . . . . . .................................... | is ......uit . . . . . . . . .A . . . . .weet . . . . . . . . . . . . . . . je . . . . . . dat . . . . . . . . . . . . .D 1 . . . . . . . .D 2 = 90°. De twee een ...... . . . . . . . . . .driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hebben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .bovendien . . . . . . .................................... gemeenschappelijke zijde | AD | = | AD | Het congruentiekenmerk is ZZ90° ΔADC ΔADB A 1 2 C D Congruente driehoeken B M21 273 807 B • • Teken ΔABC met | A | = 60° en | B | = 70°. Teken ΔDEF als je weet dat ΔABC ΔDEF. Welk congruentiekenmerk gebruik je? HZH C D 60° F 60° 70° 70° A B E Teken twee driehoeken met een hoogte van 4 cm en een oppervlakte van 10 cm² die niet congruent zijn. 808 B 4 cm 10 cm2 10 cm2 4 cm 5 cm 809 V* • • 5 cm Teken in een assenstelsel de driehoek ABC en de driehoek PQR met als coördinaten A(–3,4), B(–3,1), Q(3,–1) en R(1,–1). Bepaal de coördinaten van de punten C en P als je weet dat ΔABC ΔPQR en dat B en Q rechte hoeken zijn. A 4 3 P’ 2 1 C’ C B 0 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 0 –1 R 2 3 4 5 6 Q –2 –3 –4 P C(-1,1) ............... . . . . . . . . . of . . . . . . . . . . . . . .C’(-5,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . P(3,-4). . . . . . . . . . .of ............... . . . . . . . . . . . . .P’(3,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 274 M21 Congruente driehoeken 810 V* • • • Is driehoek ABC congruent met driehoek DEF? Zo ja, noteer het congruentiekenmerk. Maak een schets op een kladblad. a | AB | = | DE | = 3 cm c | BC | = | EF | = 3 cm | A | = | D | = 40° | AC | = | DF | = 5 cm Ja, ZHZ. Ja, ZZZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. b | AB | = | DE | = 4 cm | AC | = | DF | = 4 cm | A | = | D | = 40° | B | = | E | = 65° | C | = | F | = 75° d .............................................................................................. . . . . . | AB | = | DE | = 5 cm | AC | = | DF | = 6 cm | C | = | F | = 50° Neen, HHH is geen congruentiekenmerk. Neen, ZZH is geen congruentiekenmerk F is niet .............................................................................................. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. de ingesloten hoek van | DE | en | DF | , wel D. 811 V* • • • Zijn de gegeven driehoeken congruent? Zo ja, noteer het congruentiekenmerk. Maak een schets op een kladblad. a | L | = |A| c | SL | = | AN | | S | = |N| b ΔELS ΔJAN (je mag E en J door om het vervangen). HZH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .even . . . . . . . . . .welke . . . . . . . . . . . . .andere . . . . . . . . . . . . . . .letter . . . . . ............................. | MA | = | OM | | SM | = | TO | | SA | = | TM | ZZZ ΔSAM ΔTMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. 812 V* • • d |A| = |U| |W| = |K| Neen, want bij ΔAWL is het een aanliggende en een niet-aanliggende | WL | = | KU | hoek, bij de tweede driehoek, zijn het HZH twee aanliggende hoeken. .............................................................................................. ..... | UD | = | DI | |U| = | I | | UN | = | IK | ZHZ ΔDUN ΔDIK .............................................................................................. . . . . . Zijn de uitspraken waar of niet waar? Indien niet waar, verklaar. a Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als de twee overeenkomstige rechthoekszijden even lang zijn. Waar, ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . b Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als een overeenkomstige rechthoekszijde even lang is en de overeenkomstige aanliggende scherpe hoek even groot is. Waar, HZH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . c Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als de overeenkomstige hoeken even groot zijn. Niet waar, HHH is geen congruentiekenmerk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . d Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als de overeenkomstige schuine zijde even lang is en een overeenkomstige scherpe hoek even groot is. Waar, ZHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . e Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als een overeenkomstige rechthoekszijde even lang is en de overstaande scherpe hoek even groot is. Waar, ZHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Congruente driehoeken M21 275 M22 Bewijzen met congruente hoeken 813 B • • Noteer het gegeven en het te bewijzen. Beantwoord de bijkomende vraagjes. Als ΔABC gelijkbenig is met tophoek A en AD is de hoogtelijn uit A en D is het snijpunt van AD en BC dan zijn de driehoeken ABD en ACD congruent. Gegeven: A AD is hoogtelijn uit A . .ΔABD . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔACD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... D is het voetpunt . . . AB . . . . . . . . .= . . . . . AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... | | | | Te bewijzen: . .ΔABD . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔACD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... a Wat weet je van D1 en D2? Tip: Gebruik de definitie van een hoogtelijn. 1 B D 2 C hoogtelijn staat loodrecht op de zijde BC. |. .D. . .1. .|. .=. . . .|. .D. . .2. . |. . . =. . . . 90° . . . . . . . . . .def. . . . . . . . . hoogtelijn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . .......................................................... b Welke gelijkheden vind je? Verklaar. |. .AD | . . . . . |. .AD | zijde . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gemeenschappelijke . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... |. .AB | . . . . . |. . AC | driehoek . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .def. . . . . . . . . . . . .gelijkbenige . . . .......................................................... | D1 | = | D2 | = 90° def. hoogtelijn driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... c 814 B • • Duid de gelijkheden die je gevonden hebt aan op de tekening. Noteer het gegeven en het te bewijzen. Beantwoord de bijkomende vraagjes. B D Bewijs dat C het midden is van [DE]. Gegeven: ADC en ΔBEC | . . . . . . . . |. . .= | . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... . . .AC . . . . . . . BC | . . . . .|. . .= | . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... . . .A . . . . . . . .B 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... C 2 E A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . | . . . . .|. .EC | Te bewijzen: .|. .DC . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . a b c Duid de gelijkheden die je gegeven hebt in het groen aan op de tekening. Duid datgene wat je moet bewijzen in het rood aan op de tekening. Van welke twee driehoeken vermoed je dat ze congruent zijn? d Welke twee gelijkheden heb je gegeven? ΔADC en ΔBEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . | AC | = | BC | en | A | = | B | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . e Welke gelijkheid vind je nog als je een eigenschap van hoeken gebruikt? f Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? |C |=|C | Overstaande hoeken zijn even groot. .......1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . HZH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . g Is dit wat je moet bewijzen? h Kun je wat je moet bewijzen afleiden uit congruente driehoeken? Neen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Ja, als driehoeken congruent zijn, dan zijn overeenkomstige zijden even lang. | . . . . . . . . .................................................................................................................................................. | = | CE | en dan is C per definitie het midden van [DE].. . . . . .Je . . . . . . .kunt . . . . . . . . . . . . . . besluiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dat . . . . . . . . . . . . . DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 276 M22 Bewijzen met congruente hoeken 815 B • • Noteer het gegeven en het te bewijzen. Beantwoord de bijkomende vraagjes. ABCD is een parallellogram. Bewijs dat ΔABC en ΔCDA congruent zijn. Gegeven: A B 1 2 parallellogram ABCD | . . . . . . . . .|. .= | . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... . . . .AB . . . . . . . .CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... Te bewijzen: a b c d ΔABC ΔCDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... 2 C D Vind je nog gelijkheden bij de driehoeken? Verklaar. H |A1| = |C2| (eig. verwisselende binnenhoeken met AB // DC en snijlijn AC). .Z . . . . . . .|. .AC . . . . . .|. .= . . . .|. .CA . . . . . . |. . . . . . . .(gemeenschappelijke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... zijde). Duid de gelijkheden die je gegeven hebt in het groen aan op de tekening. Duid de even lange zijden of de even grote hoeken die je kent in het groen aan op de tekening. Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 816 B • • Noteer het gegeven en het te bewijzen. Beantwoord de bijkomende vraagjes. BC ⊥ AB en DA ⊥ AB Als in de figuur [AC] en [BD] even lang zijn dan zijn ook [BC] en [AD] evenlang. Bewijs dit. Gegeven: C D B A BC AB en DA AB | . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... | . . . . . . . . .|. . = . . . .AC . . . . . . . .BD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... | | . . . . . .|. .AD Te bewijzen: . .|. .BC . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . a Van welke elementen weet je nog dat ze dezelfde grootte hebben? Verklaar. | B | = | A | = 90° (def. loodrechte stand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . b c d Duid de gelijkheden die je gegeven hebt in het groen aan op de tekening. Duid datgene wat je moet bewijzen in het rood aan op de tekening. Wat is de derde gelijkheid? e Van welke twee driehoeken vermoed je dat ze congruent zijn? | AB | = | AB | (gemeenschappelijke zijde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ΔABC en ΔBAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . f Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? g Is dit wat je moet bewijzen? h Kun je wat je moet bewijzen afleiden uit de congruente driehoeken? ZZ90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Neen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . zijn overeenkomstige zijden even lang. .Ja, . . . . . .als . . . . . . .driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .congruent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn, . . . . . . . . . .dan .................................................................................................................................................. ..... Je kunt besluiten dat | BC | = | DA | 817 V* • • Onderzoek of je met de gekregen gegevens mag besluiten of de 2 driehoeken congruent zijn. Noteer het gegeven, het te bewijzen en de gelijkheden. Formuleer het besluit. Indien de driehoeken congruent zijn, geef je ook het congruentiekenmerk. a E is het midden van [CD] en [AB]. Is ΔAED congruent met ΔBEC? A C Gegeven: [AB] en [CD] van [AB] .E . . . . is . . . . . .het . . . . . . . . . . midden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. van [CD] .E . . . . is . . . . . .het . . . . . . . . . . midden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. 1 E 2 D B Bewijzen met congruente hoeken M22 277 ΔAED ΔBEC Te bewijzen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. Bewijs: Voor ΔAED en ΔBEC geldt: | AE | = ................................................. | BE | def. midden Z (.................................................................................. ... ) eig. overstaande hoeken . . . ) | E2| . .H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. . E . . . .1. . .|. . . . = ................................................. (.................................................................................. | DE | | . . . . . . . |. . . . = ................................................. def. midden . .Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .CE (.................................................................................. ... ) ⇓ ZHZ Besluit: Congruentiekenmerk: ............................................................................................................................................... ..... ΔAED ΔBEC De hoeken C en D zijn rechte hoeken. Is ΔACB congruent met ΔADB? C | . . . . .|. .= | . . . . .|. . .=. . . . .90° D Gegeven: . . . . .C . . . . . . . .D . . . . . . . . ............................................................. ............................................. b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ΔACB ΔADB Te bewijzen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. Bewijs: Voor ΔACB en ΔADB geldt: A B De twee driehoeken hebben een gemeenschappelijke zijde AB = ................................................. (.................................................................................. ... ) van slechts twee (gelijkheden niet aantonen dat. . . ) . . Je . . . . . . .kunt . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . . . .behulp . . . . . . . . . . . = ................................................. .................................................................................. zijn. . . driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .congruent . . . . . . . . . . . . = ................................................. (.................................................................................. . . . ) ............................................. Besluit: c Congruentiekenmerk: ............................................................................................................................................... . . . . . De rechten a en b zijn evenwijdig. Is ΔIJK congruent met ΔKML? Te bewijzen: a // b van de rechte a . . I. . . en . . . . . . . . .J . . . .zijn . . . . . . . . . . .punten . . . . . . . . . . . . ............................................................. van de rechte b . .L . . . . .en . . . . . . . .M . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . .punten . . . . . . . ............................................................. van IM en LM . .K . . . . . is . . . . . .het . . . . . . . . . . .snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. . . ΔIJK . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔKML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. Bewijs: Voor ΔIJK en ΔKML geldt: Gegeven: I a J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. K L M b hoeken even groot zijn. ( eig. verwisselende binnenhoeken. . . ) . . Je . . . . .weet . . . . . . . . . .dat . . . . . . . . de . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . = ................................................. (.................................................................................. en eig overstaande hoeken) maar HHH is geen congruentiekenmerk. Je weet niet of de zijden = ................................................. (.................................................................................. . . . ) Je kunt dus niet aantonen dat de driehoeken congruent zijn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = ................................................. (.................................................................................. . . . ) . . even . . . . . . . . . .lang . . . . . . . . . .zijn. ....................... Besluit: 818 E Congruentiekenmerk: ............................................................................................................................................... . . . . . Bewijs met behulp van de volgende gegevens dat ΔABC congruent is met ΔPQR. Gegeven: . . ΔABC . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔPQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. A | AB | = | PQ | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. |A | = |P| . . |. .C . . . .|. .= . . . .|. .R . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. Te bewijzen: . . ΔABC . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔPQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. Bewijs: | AB | = | PQ | |A| = |P | |C | = |R | (gegeven) (gegeven) (gegeven) B C P ZHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. ΔABC . .ΔPQR .............. ................ 278 M22 Bewijzen met congruente hoeken Q R 819 E Bewijs met behulp van de volgende gegevens dat ΔABC congruent is met ΔADC. ΔABC en ΔADC | . . . . . . . . .|. .= | . . . . . . . . . .|. . . . . . . . ............................................................................. | BC | = | DC | . . . . .AB . . . . . . . AD Gegeven: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. Te bewijzen: Bewijs: ΔABC ΔADC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. (gegeven) (gegeven) | BC | = | DC | . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................ (gemeenschappelijke zijde) | AC | = | AC | . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. | AB | = | AD | . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................ A C ZZZ .ΔABC . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔADC .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. 820 B Bewijs met behulp van de volgende gegevens dat de driehoeken ABC en EDC congruent zijn. Gegeven: D B D . . .ΔABC . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔEDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. | AB | = | ED | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. | BC | = | DC | . . .|. .B . . .|. .= . . . .|. .D . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. Te bewijzen: . . .ΔABC . . . . . . . . . . . . . . . . ΔEDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. Bewijs: C geldt: . . .Voor . . . . . . . . . . .ΔABC . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔEDC . . . . . . . . . .............................. (gegeven) . . .Z . . . . . . . |. .AB . . . . . . |. . = . . . . |. .ED . . . . . . |. . . . . . . . . .............................. A E | | | | (gegeven) . . .H . . . . . . . . .B .....= . . . . . .D . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... (gegeven) . . .Z . . . . . . . |. .BC . . . . . . |. . = . . . . |. .DC . . . . . . .|. . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . .ΔABC . . . . . . . . . . . . . . . . ΔEDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 821 B Jonathan heeft in zijn tuin tussen vijf paaltjes een draad gespannen. De lijnstukken [AB] en [CD] zijn even lang en de hoeken in A en D zijn rechte hoeken. Jonathan plaatst een paaltje in het midden M van [AD] en beweert dat de afstanden van B tot M en van C tot M gelijk zijn. a C Heeft hij gelijk? B D M b A Bewijs. A Verkennen Vraag Antwoord Bekijk de tekst en de tekening aandachtig. Maak een eenvoudige tekening. B A C M D Bewijzen met congruente hoeken M22 279 Wat is gegeven? • | AB | en | CD | zijn even lang. • De hoeken in A en D zijn recht. • M is het midden van [ AD ]. Duid dit in het groen aan op de tekening. • De afstanden van B tot M en van C tot M zijn gelijk. Wat wordt er beweerd? Duid dit in het rood aan op de tekening. B Analyseer: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken Vraag Antwoord Schrijf de gekende elementen in wiskundige symbolen. Dit noem je het gegeven. Gegeven: | AB | = | CD | | A | = | D | = 90° M is het midden van [ AD ] Schrijf wat aangetoond moet worden in wiskundige symbolen. Dit noem je het te bewijzen. Te bewijzen: | BM | = | CM | Zoek twee driehoeken waar deze elementen van het gegeven en het te bewijzen voorkomen en waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn. ΔABM en ΔDCM Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken om aan te tonen dat de gekozen driehoeken congruent zijn? ZHZ Noteer de gelijkheden. Voor ΔBAM en ΔCDM geldt: • | AB | = | CD | gegeven • A = D = 90° gegeven • | AM | = | DM | M is midden van [ AD ] Zijn de twee driehoeken congruent? Schrijf dit in symbolen. ΔABM ΔDCM Als twee driehoeken congruent zijn, dan zijn alle overeenkomstige zijden even lang. Hieruit kun je besluiten dat de bewering klopt. | BM | = | CM | Bewijs opschrijven Jonathan heeft op zijn gazon tussen vijf paaltjes draad gespannen. [AB] en [CD] zijn even lang. De hoeken in A en D zijn recht en in het midden van [AD] is een paaltje geplaatst. Jonathan beweert dat de afstanden van B tot M en van C tot M gelijk zijn. Gegeven: . ΔABM . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . . ΔDCM . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. | AB | = | CD | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. | A | = | D | = 90° [ ] .M . . . . . is . . . . het . . . . . . . .midden . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . ............................. AD Te bewijzen: | . . . . . . . |. . .= | . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . ............................. . . .BM . . . . .CM Bewijs: geldt: . Voor . . . . . . . . . . .ΔABM . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔDCM . . . . . . ............................. Z | AB |= | CD | | AM | = | BM | (def. midden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. ⇓ ZHZ . . . . . . . .ΔABM . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔDCM . . . . . . . . . . . . ............................. ⇓ Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken | | | BM = CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. . . ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. 280 M22 Bewijzen met congruente hoeken C (gegeven) .H . . . . . . . .|. .A . . . |. . .= . . . .|. D . . . . |. . = . . . . 90° . . . . . . ............................. (def. loodrechte stand) Z B A M D 822 B Bewijs met behulp van de volgende gegevens dat | M | = | R |. Gegeven: ΔMPQ en ΔRTS |P|=|S| | . . . . . . . . . .|. . .= | . . . . . . . .|. . . . . . . . . ............................................................................. | PQ | = | ST | . . . .MP . . . . . . . RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. M R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. |M|=|R| Te bewijzen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. Bewijs: geldt: . . Voor . . . . . . . . . . .ΔMPQ . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔRST . . . . . . . . ............................................................................. P S | . . . . . . . .|. .= . .Z . . . . . . . . . MP . . . .|. RS . . . . . .|. . . . . . . .(gegeven) . ............................................................................. | | | | . .H . . . . . . . . .P . . . . . .= . . . . .S . . . . . . . . . . . . . . . . . .(gegeven) . ............................................................................. . .Z . . . . . . . .|. PQ . . . . . . .|. .= . . . .|. .ST . . . . . |. . . . . . . . .(gegeven) . ............................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. T Q . . .ΔMPQ . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. hoeken in congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .Eig. . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . ............................................................................. | | | | . . . . . . . . . .M . . . . . . .= . . . . .R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. 823 B Bewijs dat | AB | = | DC |. Gegeven: . . cirkel . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . .straal . . . . . . . . . . . . . . .AM . . . ............................................................................. | | A,B,C,D zijn punten van de cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. ΔABM en ΔDCM . . |. .M . . . . . .|. . .= . . . . . |. .M . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. 1 2 | . . . .|. .DC | Te bewijzen: . .|. .AB . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. Bewijs: B geldt: . . Voor . . . . . . . . . . .ΔABM . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔDCM . . . . . . . . ............................................................................. cirkel) . .Z . . . . . . . .|. BM . . . . . . . .|. .= . . . .|. CM . . . . . . . .|. . . . . . . (def. ............................................................................. | | | C 1 A 2 D M | . .H . . . . . . . . .M . . . . .1. . . .= .....M . . . . .2. . . . . . . . . . . (gegeven) ............................................................................. cirkel) . .Z . . . . . . . .|. AM . . . . . . . .|. .= . . . .|. .DM . . . . . . . .|. . . . . . (def. ............................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. . . . .ΔABM . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔDCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. zijden in congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .Eig. . . . . . . . . overeenkomstige . . . . . . . . . . . . ............................................................................. . . . . . . .|. AB . . . . . . .|. .= . . . .|. DC . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . ............................................................................. 824 B Net zoals op de figuur staat Maarten (M) even ver van Ans (A) en van Burk (B). Hij staat ook juist in het midden tussen Carlos (C) en Dieter (D). Bewijs dat de afstand tussen Ans en Carlos even groot is als de afstand tussen Dieter en Burk. Te bewijzen: M is het snijpunt van [ AB ] en [ CD ] van [ AB ] . .M . . . . . . .is . . . . . .het . . . . . . . . . . midden . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................ van [ CD ] . .M . . . . . . .is . . . . . .het . . . . . . . . . . midden . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................ | . . . . . . . . .|. . . . . . . . . ............................................................................ | . . . . . . . . .|. . = . . . .AC . . . . . . . .BD Bewijs: geldt: . . Voor . . . . . . . . . . .ΔAMC . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔBMD . . . . . . . . ............................................................................ Gegeven: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................ A 1 M 2 C D B Z | AM | = | BM | (def. M is het midden van [ AB ]) . .H . . . . . . . .|. M . . . . . . .|. .= . . . .|. M . . . . . . .|. . . . . . . .(eig. . ................................................................................................................................................... ..... overstaande hoeken) 1 2 Z | CM | = | DM | (def. M is het midden van [ CD ]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ⇓ ZHZ . . . .ΔAMC . . . . . . . . . . . . . . . . . ΔBMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ⇓ Eig.overeenkomstige zijden in congruente driehoeken . . . . . . . |. . . . . . . . . |. . . . . .|. . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . AC = DB De afstand van Ans tot Carlos is even groot als de afstand van Dieter tot Burk. Bewijzen met congruente hoeken M22 281 825 B Bewijs dat | BD | = | AC |. Te bewijzen: ΔABC en ΔDCA | . . . . . . . . |. . .= | . . . . . . . . . .|. . . . . . . . . ............................................................................. . . . .AB . . . . . . . DC | . . . . .|. . .= | . . . . .|. .= . . . .B . . . . . . . .C . . . . . .90° . . . . . . . . ............................................................................. | . . . . . . . . .|. . = | . . . . . . . . .|. . . . . . . . . ............................................................................. . . . .BD . . . . . . . .AC Bewijs: geldt: . .Voor . . . . . . . . . . .ΔABC . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔDCA . . . . . . . . . . ............................................................................. Gegeven: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. B C (gemeenschappelijke zijde) . .Z . . . . . . . . . . . . . . . .AD . . . . . . . . .= . . . . . .AD . . . . . . . . ............................................................................. | | | | (gegeven) . .Z . . . . . . . . . . . . . . . .AB ........= . . . . . .DC . . . . . . . . . ............................................................................. | | | | A D | | | | (gegeven) . .90° . . . . . . . . . . . . . . . .B . . . . . .= . . . . .C . . . . . .= . . . . 90° . . ............................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .ZZ90° . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. . . . . . . . . . . .ΔABC . . . . . . . . . . . . . . . .ΔDCA . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. zijden in congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .Eig. . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . ............................................................................. . . . . . . . . . . . . . .BD . . . . . . . . .= . . . . . .AC . . . . . . . . . . . . ............................................................................. | 826 V* | | | ΔABC ΔPQR. a b Teken vanuit C en P de hoogtelijn op de overstaande zijde. Noem de voetpunten respectievelijk D en T. Bewijs dat | AD | = | PT |. Te bewijzen: ΔABC en ΔPQR uit C met voetpunt D . . . .De . . . . . . . . .hoogtelijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. uit P met voetpunt T . . . .De . . . . . . . . .hoogtelijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. | . . . . . . . .|. . . . . . . . ............................................................................. | . . . . . . . . .|. . = . . . . . .CD . . . . . . . .PT Bewijs: geldt: . . . .Voor . . . . . . . . . . ΔADC . . . . . . . . . . . . . en . . . . . . ΔRTP . . . . . . . . ............................................................................. Gegeven: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. | AC | = | RP | Z A 1 C D B P (eig. overeenkomstige zijden in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. congruente driehoeken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . |. . . . . .|. . . . . .|. . . . .|. . . . . . ............................................................................. H C = R (eig. overeenkomstige zijden in 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. congruente driehoeken) | D | = | T | = 90° (def. hoogtelijn) H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . .1. . . . ............................................................................. Q ⇓ ZHH T R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. ΔADC ΔPTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .Eig. . . . . . . . .overeenkomstige . . . ............................................................................. zijden in congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . .AD . . . . . . . . .= . . . . . .PT . . . . . . . . . ............................................................................. | 827 V* | | | Voor een groepsopdracht PO heb je twee congruente driehoeken nodig. Eline tekent twee evenwijdigen a en b. Vervolgens tekent ze op de rechte a een lijnstuk AB en op de rechte b een lijnstuk CD dat even lang is. Ze beweert dat ze klaar is als ze de begin- en eindpunten met elkaar verbindt, zodat ze twee driehoeken bekomt. Klopt haar werkwijze? Bewijs of verklaar waarom niet. Maak een tekening. Gegeven: de rechte a. C en D zijn punten op de rechte b. AD en BC snijden elkaar. .in . . . .A . . . en . . . . . . .B. . .zijn . . . . . . . . punten . . . . . . . . . . . . . . . .op ................................................................................................................................................... . . . het punt E a // b A B a 1 1 AB = CD E Te bewijzen: . . . .ΔAEB . . . . . . . . . . . . . . . ΔDEC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . C 1 b 1D geldt: Bewijs: . . . .Voor . . . . . . . . . . ΔAEB . . . . . . . . . . . .en . . . . . . ΔDEC . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... H (eig. verwisselende binnenhoeken met a // b en snijlijn BC) | B1 | = | C1 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . |. . . . . . . . |. . . . . . |. . . . . . . . .|. .................................................................................................................................................. . . . . . Z AB = CD (gegeven) (eig. verwisselende binnenhoeken met a // b en snijlijn AD) . . . .H . . . . . . . . . . . . . . |. .A . . .1. .|. .= . . . .|. .D . . .1. .|. . . . .................................................................................................................................................. ..... ⇓ HZH . . . . . . . . . . . . .ΔAEB . . . . . . . . . . . . . . .ΔDEC . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Eline heeft gelijk: de driehoeken zijn congruent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . .|. . . . . . . |. . . . . . .|. . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . 282 M22 Bewijzen met congruente hoeken 828V* Gegeven: a // b. D en E zijn punten op de rechte a en A en B zijn punten op de rechte b. C is het snijpunt van AE en DB. C is midden van [AE]. Bewijs dat | AB | = | ED |. Gegeven: van a, A en B . .a . . . .// . . . .b . . . .D . . . . .en . . . . . .E. . .zijn . . . . . . . .punten . . . . . .......................................... a D b C A is het snijpunt van . .zijn . . . . . . . . punten . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . .B. . . . . .C . .......................................... 2 E 1 [ ] van AE . .AE . . . . . . en . . . . . . BD. . . . . . . . . .C . . . .is . . . .het . . . . . . . .midden . . .......................................... Te bewijzen: . . . .AB . . . . . . . .= . . . . . .ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................... Bewijs: geldt: . .Voor . . . . . . . . . . .ΔABC . . . . . . . . . . . .en . . . . . . ΔEDC . . . . . . . . . . .......................................... | | | B | | | | | (eig. overstaande hoeken) . .H . . . . . . . . . . . . . . . . .C . . .1. . . .= . . . . . .C . . . 2. . . . . . ................................................................................................................................................... ..... (def. midden) . .Z . . . . . . . . . . . . . . . . .AC . . . . . . . .= . . . . . .CE . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... | | | | | | | | (eig. verwisselende binnenhoeken met a // b en snijlijn AE) . .H . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . . . . .= .....E . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .HZH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . .ΔABC . . . . . . . . . . . . . . . .ΔEDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . zijden in congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .Eig. . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... . . . . . . . . . . . .AB . . . . . . . .= . . . . . .ED . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . | 829 V* | | | Ward en Jef hebben ieder een driehoekig stuk grond. Ze besluiten om een stuk grond te ruilen. Ward ploegt een lijn van E naar F door D. Met D het midden van [AB] en [EF] . Ze ruilen de driehoeken AED en DFB. Is dit een eerlijke ruil? A G A G Ward E D F E B Gegeven: Te bewijzen: Bewijs: 2 F Jef Jef C 1 Ward D C B ΔADE en ΔDFB van [EF] . .D . . . . . .is . . . . . .het . . . . . . . . . . midden . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... van [AB] . .D . . . . . .is . . . . . .het . . . . . . . . . . midden . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... . .ΔADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔBDF . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . ΔBDF geldt: . .Voor . . . . . . . . . . . . . . .ΔADE . . . . . . . . . . . . . . . . . en . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... | . . . . . . . . . .|. .= | . . . . .................................................................................................................................................. | (def. midden) . .Z . . . . . . . . . . . . . . . .AD . . . . . . . .BD ..... (eig. overstaande hoeken) | . .H . . . . . . . . . . . . . .|. .D . . . . .1. . .|. .= . . . . . .|. .D ....2 . . .................................................................................................................................................. ..... | | | | (def. midden) . .Z . . . . . . . . . . . . . . . .ED . . . . . . . . . . .= . . . . . . . .FD . . . . . .................................................................................................................................................. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . . .ZHZ . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . .ΔADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ΔBDF . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Er wordt eerlijk geruild. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Bewijzen met congruente hoeken M22 283 Bewijs dat in de gegeven kubus ΔAHE ΔDGH. 830 B Gegeven: B C . . .de . . . . . . . . kubus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................... A D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................... ΔAEH ΔDHG Te bewijzen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................... Bewijs: geldt: . . .Voor . . . . . . . . . . .ΔAEH . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔDHG . . . . . . . . . ...................................................................... (even lange ribben in een kubus) . . .Z . . . . . . . . .AE . . . . . . . .= . . . . . .DH . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................... | | | | F G H E | | | | (ribben in een kubus staan . . .H . . . . . . . . .E .....= . . . . . .H . . . . . .= . . . .90° . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... loodrecht op elkaar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... (even lange ribben in een kubus) . . .Z . . . . . . . . .EH . . . . . . . .= . . . . . .HG . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... | | | | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . ΔAEH . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔDHG . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Bewijs dat de opstaande ribben van een regelmatige vierzijdige piramide even lang zijn. 831 V* Gegeven: met als grondvlak een vierkant .Regelmatige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . piramide . . . . . . . . . . . . . ...................................................................... A BCDE en top A .Hoogte . . . . . . . . . . . . . . . . .|. AM . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . ...................................................................... EBCD is een vierkant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................... | . . . .|. .AD | . . . .|. AC | AB | | . ...................................................................... Te bewijzen: .|. .AE . . . . . . . .= . . . . . . . . .= . . . . . . . . .= Het bewijs wordt gegeven voor | AB | = | AC |. Bewijs: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................... Voor de andere ribben is het bewijs analoog. geldt: .Voor . . . . . . . . . . .ΔAMB . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔAMC . . . . . . . . . ...................................................................... (gemeenschappelijke zijde) .Z . . . . . . . . . . . . AM . . . . . . . . . .= . . . . . .AM . . . . . . . . . . . . ...................................................................... | | | | E M D C 90° (definitie hoogte) .H . . . . . . . . . AMB . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .AMC ............= ................................................................................................ Weetje (def. cirkel) .Z . . . . . . . . . . .|. .MB . . . . . . .|. .= . . . .|. .MC . . . . . . .|. . . . . . ............................................................................................... Een regelmatige piramide is een piramide met als grondvlak een regelmatige veelhoek. De hoogtelijn uit de top gaat door het middelpunt van het grondvlak (= middelpunt van de cirkel die door de vier hoekpunten van het grondvlak (ongeschreven cirkel). | | | | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................... . . . . . . . . . .ΔAMB . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔAMC . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................... zijden in congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . Eig. . . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . ............................................................................................... . . . . . . . . . . . . .|. .AB . . . . . .|. .= . . . .|. .AC . . . . . .|. . . . . . . ............................................................................................... 832 V*** B In de kubus worden de ribben [AB], [BE]en [BC] in de middens X, Y en Z gesneden. Bewijs d.m.v. congruentie dat het snijvlak XYZ een gelijkzijdige driehoek is. Gegeven: .Kubus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................... [AB],[BE]en [BC] zijn ribben van een kubus .X . . . .is . . . .het . . . . . . . .midden . . . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . ..................................................................... [AB] Y is het midden van [BE] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................... Z is het midden van [BC] Te bewijzen: .|XY| . . . . . . . . .= . . . .|YZ| . . . . . . . . .= . . . .|XZ| . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................... Bewijs: G E Y B A X Z F ZHZ: .congruentiekenmerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................... 1: Voor ΔXBY en ΔXBZ geldt: D C .Z . . . . . . . .|BX| . . . . . . . .= . . . . |BX| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................... (gemeenschappelijke zijde) H | XBY | = | XBZ | = 90° (def. vierkant) Z |BY| = |BZ| (def. midden van even lange zijden) ⇓ ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ΔXBY ΔXBZ ⇓ Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken |XY| = |XZ| n Bewijzen met congruente hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . 284 M22 2: Voor ΔZBX en ΔZBY geldt: (bewijs analoog aan vorige) Z |BZ| = |BZ| (gemeenschappelijke zijde) H | ZBX | = | ZBY | = 90° (def. vierkant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Z |BX| = |BY| (def. midden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ΔZBX ΔZBY . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .Eig. . . . . . . . . overeenkomstige . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... zijden in congruente driehoeken |XZ| = |YZ| o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Uit = |YZ| = |XY| . . . . . . .n . . . . . en . . . . . .o . . . . . .volgt: . . . . . . . . . . . . .|XZ| . . . . . .................................................................................................................................................. ..... ⇓ Def. van een gelijkzijdige driehoek Driehoek XYZ is een gelijkzijdige driehoek. M23 Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk Construeer de middelloodlijn van [AB]. 833 B a b c A A A B B B 834 B • • Verdeel het lijnstuk in vier even lange lijnstukken. Gebruik alleen passer en liniaal. Y X 835 V** • • Verdeel de gelijkzijdige driehoek in drie congruente vierhoeken. Bewijs. A Bewijs ..... . . . . . . . . . dat . . . . . . . . ΔAMF . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔCMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... Gegeven: van [AC] ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔABC . . . . . . . . . . . . . . . . .BF . . . . . .is . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .AE . . . . . . is . . . . middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . .[BC] . . ................................................................... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .CD . . . . . . .is . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . .[AB] . ................................................................... F2 middelloodlijnen ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M . . . . .is . . . .het . . . . . . . .snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . .de . . . . . .drie . . . ................................................................... 1 D M Te ..... .bewijzen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ADMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EMDB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .FMEC . . . . ................................................................... Bewijs: ..... . . . . . . . . . . Voor . . . . . . . . . . .ΔAMF . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔCMF . . . . . . . . . . . . .geldt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... C E B Z . . . . . . . . . . . .AF ..... . . . . . . . .= . . . . . .FC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(def. . . . . . . . . . middelloodlijn) . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... | | | | | | | | H . . . . . . . . . . . .F. . .1. . . .=. . . . . .F. .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(def. ..... . . . . . . . . . middelloodlijn) . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................. . . . . . Z . . . . . . . . . . . .FM zijde) ..... . . . . . . . . .= . . . . . .FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(gemeenschappelijke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................. ..... | | | | ..... . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................. . . . . . ΔAMF ΔCMF Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk M23 285 Op dezelfde driehoeken in de gelijkzijdige driehoek congruent zijn. ............... . . . . . . . . . . .manier . . . . . . . . . . . . . . . .kun . . . . . . . . je . . . . .bewijzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .dat . . . . . . . .de . . . . . .zes .................................................................................................................................................. ..... Elke vierhoek De vierhoeken zijn congruent. ............... . . . . . . . . . . . . . bestaat . . . . . . . . . . . . . . . . .uit . . . . . . twee . . . . . . . . . . . congruente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .driehoeken. . .................................................................................................................................................. ..... ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Construeer drie verschillende cirkels die door A en B gaan. 836 B A 837 B • B Mario gaat op zoek naar alle punten die op gelijke afstand liggen van twee punten A en B. Welke raad geef je Mario? Construeer van [ AB ] ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................... .... • Verklaar. Als van [ AB ] ligt dan ligt het punt op gelijke ...... . . . .een . . . . . . . . . . . punt . . . . . . . . . . . . . . . op . . . . . . . . .de . . . . . . . . middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................... .... afstand van [ AB ] (zie eigenschap). ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . .grenspunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................... .... 286 M23 Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk 838 B • • Construeer een punt dat op gelijke afstand ligt van drie punten A,B,C. Verklaar. Constructie: d B c C A S Noteer de stappen die je zet. n c van [ AB ]. ..... . . . . . . . . . .Construeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... o d van [ CD ]. ..... . . . . . . . . . .Construeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... p middelloodlijnen is het gevraagde punt. ..... . . . . . . . . . .Het . . . . . . . . . . . snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S . . . . van . . . . . . . . . . . . beide . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... Verklaring: n Het punt S ligt op de middelloodlijn van [ AB ], dus | SA | = | SB |. o van [ CD ], dus | SB | = | SC |. ..... . . . . . . . . . . Het . . . . . . . . . . . .punt . . . . . . . . . . . . . . .S . . . .ligt . . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .de . . . . . . . .middelloodlijn . . . . .................................................................................................................................................. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Uit n en o volgt: | SA | = | SB | = | SC |. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 839 V* • • Construeer een cirkel die door de punten A, B en C gaat. Verklaar. Constructie: B A M C Noteer de stappen die je zet. n van [ AB ]. ..... . . . . . . . . . . Construeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... o. . . . . . . . . .Construeer van [ BC ]. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... p middelloodlijnen is het middelpunt van de cirkel.. . . . . ..... . . . . . . . . . . Het . . . . . . . . . . . .snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .beide . . . . . . . . .................................................................................................................................................. Verklaring: n middelloodlijn van [ AB ], dus | MA | = | MB |. ..... . . . . . . . . . . . . . . Het . . . . . . . . . . . .punt . . . . . . . . . . . . . . .M . . . . . . ligt . . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .de . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... o. . . . . . . . . . . . . .Het middelloodlijn van [ BC ], dus | MB | = | MC |. ..... . . . . . . . . . . . .punt . . . . . . . . . . . . . . .M . . . . . . ligt . . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .de . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Uit n en o volgt: | MA | = | MB | = | MC | m.a.w. het punt M is het middelpunt en |.....MA | . . . . . .de cirkel. . . . . . . . . . . is . . . . . . . .straal . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .gevraagde . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk M23 287 840 V* • • Construeer het punt dat op gelijke afstand ligt van de punten A en B en dat op de rechte c ligt. Verklaar. A Constructie: m B c S Noteer de stappen die je zet. n van [ AB ]. ..... . . . . . . . . . . . . . .Construeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... o de middelloodlijn met de rechte c. ..... . . . . . . . . . . . . . .Zoek . . . . . . . . . . . . . . .het . . . . . . . . . . .snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S . . . . .van . . . . .................................................................................................................................................. ..... punt. ..... . . . . . . . . . . . . . .Het . . . . . . . . . . . punt . . . . . . . . . . . . . . .S . . . . .is . . . . . het . . . . . . . . . . .gevraagde . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... Verklaring: n van [ AB ], dus | SA | = | SB |. ..... . . . . . . . . . .Het . . . . . . . . . . . punt . . . . . . . . . . . . . . .S . . . . .ligt . . . . . . . . . . op . . . . . . . . .de . . . . . . . . middelloodlijn . . . . . .................................................................................................................................................. ..... o c. ..... . . . . . . . . . .Het . . . . . . . . . . . punt . . . . . . . . . . . . . . .S . . . . .ligt . . . . . . . . . . op . . . . . . . . .de . . . . . . . . rechte . . . . . .................................................................................................................................................. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Is het altijd mogelijk een punt te construeren dat op gelijke afstand ligt van twee punten en tot een gegeven rechte behoort? 841 V* Neen, evenwijdig is met de ...... . . . . . . . . . . . .als . . . . . . . . . de . . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................... gegeven en is er geen ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . . er . . . . . . . geen . . . . . . . . . . . . . . . .snijpunt . . . . ........................................................... punt afstand ligt van ...... . . . . . . . . . op . . . . . . . . .die . . . . . . . . . .rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .dat . . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .gelijke . . . . ........................................................... de ...... . . .punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . . . .en . . . . . . . . B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................... 842 V* • • A B d m Thomas zoekt een standplaats voor zijn ijskar op het plaatselijke rockfestival. Hij wil graag dat zijn ijskar even ver staat van het podium P als van de camping C. Hij wordt wel verplicht de ijskar aan het wandelpad te plaatsen. Construeer het punt waar de ijskar kan staan. wandelpad C Noteer de stappen die je zet. n van [ PC ]. ..... . . . . . . . . . . Construeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... o middelloodlijn met ..... . . . . . . . . . . Het . . . . . . . . . . . .snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I. . .van . . . . . . . . . . . .deze . . . . . . . . . . . . .......................................................... punt. ..... . . . . . . . . . . het . . . . . . . . . . .wandelpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . . het . . . . . . . . . . .gevraagde . . .......................................................... I P Verklaring: n van | PC |, dus | PI | = | IC |. ..... . . . . . . . . . . Het . . . . . . . . . . . .punt . . . . . . . . . . . . . . .I. . .ligt . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .de . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... o ..... . . . . . . . . . . Het . . . . . . . . . . . .punt . . . . . . . . . . . . . . I. . . ligt . . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .het . . . . . . . . . . wandelpad. . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Het Thomas de ijskar moet plaatsen. ..... . . . . . . .punt . . . . . . . . . . . . . . .I. . .is . . . . .de . . . . . . . . plaats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .waar . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... 288 M23 Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk 843 V* • • Construeer de punten die even ver liggen van de punten B en C en op 2 cm van het punt D. Verklaar. Constructie: B a M D X C Y Noteer de stappen die je zet. n Construeer de middelloodlijn van | BC |. o. . . . . . . . . . Teken D en straal 2 cm. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . .cirkel . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . . . . middelpunt . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... p. . . . . . . . . . De de cirkel en de middelloodlijn zijn de gevraagde punten. ..... . . . . . . . . . .snijpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .X . . . . .en . . . . . . . . .Y . . . . .van . . . .................................................................................................................................................. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Verklaring: n De punten X en Y liggen op de middelloodlijn van [ BC ], dus | XB | = | XC | en | . . . . . . . . |. . .= | . . . . . . . . .|... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . YB . . . . . . . YC o. . . . . . . . . . De op de cirkel met middelpunt D en straal 2 cm, liggen ..... . . . . . . . . . .punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .X . . . . .en . . . . . . . .Y . . . . .liggen . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... D. ..... . . . . . . . . . . dus . . . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .2 . . . . .cm . . . . . . . . . .afstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . .................................................................................................................................................. ..... p. . . . . . . . . . De de middelloodlijn en de cirkel zijn de gevraagde punten. ..... . . . . . . . . . .snijpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .X . . . . .en . . . . . . . . .Y . . . . .van . . . .................................................................................................................................................. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 844 V* Construeer de loodlijn l door het punt P op de rechte s. a Constructie: l A P B s Noteer de stappen die je zet. n Construeer een cirkel met middelpunt P en willekeurige straal. o. . . . . . . . . . Bepaal en B van deze cirkel met de rechte s. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .snijpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . .................................................................................................................................................. ..... p. . . . . . . . . . Construeer l van [ AB ]. Deze rechte l is de gevraagde rechte. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Verklaring: n De rechte l staat loodrecht op de rechte s door de constructie. o. . . . . . . . . . . . . . Het l want | PA | = | PB | =straal van de cirkel. ..... . . . . . . . . . . . .punt . . . . . . . . . . . . . . .P . . . . ligt . . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .de . . . . . . . .rechte .................................................................................................................................................. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . De rechte l is de loodlijn door het punt P op de rechte s. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk M23 289 b Constructie: l B A P s Noteer de stappen die je zet. n Construeer een cirkel met middelpunt P en willekeurige straal die s snijdt. o en B van deze cirkel met de rechte s. ..... . . . . . . . . . . Bepaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . .snijpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . .................................................................................................................................................. ..... p. . . . . . . . . .Construeer l van [ AB ]. Deze rechte l is de gevraagde rechte. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Verklaring: n De rechte l staat loodrecht op de rechte s door de constructie. o. . . . . . . . . .Het l want | PA | = | PB | = straal van de cirkel. ..... . . . . . . . . . . . .punt . . . . . . . . . . . . . . .P . . . . ligt . . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .de . . . . . . . .rechte . . . . .................................................................................................................................................. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . De rechte l is de loodlijn door het punt P op de rechte s. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 845 V* • Construeer de middelloodlijnen van [AB] en [AC]. Noem het snijpunt van de middelloodlijnen M. B oek Weetje oodlijnen van een drieh ell . De midd aar in één punt an de v lk e n n u . delp t snijde het mid an de driehoek is t n u p v l e Dit k ir c hreven omgesc M A C a Waarom is | AM | = | BM |? b van een lijnstuk, ligt even ver van de grenspunten van het lijnstuk. . . . . . .Een . . . . . . . . punt . . . . . . . . . . .gelegen . . . . . . . . . . . . . . . . . .op . . . . . .de . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. Waarom is | AM | = | CM |? van een lijnstuk, ligt even ver van de grenspunten van het lijnstuk. . . . . . .Een . . . . . . . . punt . . . . . . . . . . .gelegen . . . . . . . . . . . . . . . . . .op . . . . . .de . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. c Volgt uit het voorgaande dat | BM | = | CM |? d Ligt M ook op de middelloodlijn van [BC]? Ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . • Teken de cirkel met middelpunt M met straal | OA |. e Welke punten van de driehoek liggen op deze cirkel? De punten A,B en C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Deze cirkel noem je de omgeschreven cirkel van ΔABC. 290 M23 Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk 846 V* Construeer de omgeschreven cirkel van ΔPQR. a b P P R R Q Q c Q P R 847 V** • • Heeft de constructie uit oefening 842 altijd twee oplossingen? Geef een voorbeeld. B Neen. ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... 1 . .Soms middelloodlijn ...... . . . . . . . . . . . . is . . . . er . . . . .maar . . . . . . . . . . . . één . . . . . . . . .oplossing, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .als . . . . . . de .................................... D a [ ] ...... . .van . . . . . . . . . . .BC . . . . . . . . de . . . . . . cirkel . . . . . . . . . . . .raakt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... M 2 . .Soms van ...... . . . . . . . . . . . . is . . . . er . . . . .geen . . . . . . . . . . . oplossing, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .als . . . . . . .de . . . . . .middelloodlijn . . . .................................... A [ ] de cirkel niet snijdt. ...... . . . .BC . . . . . . . . .volledig . . . . . . . . . . . . . . . . .buiten . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . cirkel . . . . . . . . . . . .ligt . . . . . . . .en . . .................................... 848 V** • • C Gegeven: drie verschillende punten. Gevraagd: zoek alle punten die op gelijke afstand liggen van de drie punten. a De drie punten liggen niet op één rechte. De punten zijn niet-collineair. • Vind je altijd een oplossing? Ja, je vindt altijd juist één punt dat even ver van de drie punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is: . . . . .het . . . . . . . .snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . ................................... verwijderd de middelloodlijnen. • Kun je meerdere oplossingen vinden? s B A t M C Neen, elkaar in één punt. . . . . . . . . . . . . .de . . . . . .middelloodlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . snijden . . . . . . ................................... Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk M23 291 b De drie punten liggen op één rechte, de punten zijn collineair. p m A C B De evenwijdig, er is geen snijpunt, dus je kunt geen punt. . . . . . . . . . . . . . .middelloodlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. vinden drie punten verwijderd is. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dat . . . . . . . . . . . even . . . . . . . . . . . . . . .ver . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . .................................................................................................................................................. ..... 849 V*** Is het altijd mogelijk een punt te construeren dat op gelijke afstand ligt van vier verschillende punten? Dit is enkel mogelijk als de vier punten tot eenzelfde cirkel behoren. Het middelpunt op gelijke afstand van de vier punten en is het ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . . die . . . . . . . . . .cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . ligt . . . . . . . . . . .dan . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... gevraagde ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .punt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Als. . . . de cirkel behoren is er geen oplossing mogelijk.. . . . . ...... . . . . . . . . .vier . . . . . . . . . . . punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . niet . . . . . . . . . . . . .tot . . . . . . . . .eenzelfde . . . . . .................................................................................................................................................. ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 850 V*** a Teken in het assenstelsel de punten A(–1,0), B(3,0), C(0,4) en D(–3,3). 4 D F C 3 E 2 M 1 B 0 –6 –5 –4 –3 –2 A –1 1 0 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 b De punten A, B, C en D stellen vier dorpen voor. Er wordt een ringweg (= in de vorm van een cirkel) aangelegd zodat elk dorp even ver van de ringweg ligt. Construeer die ringweg. Noteer de stappen die je zet. [ ] van ΔABC Noem het middelpunt M. MD snijdt deze cirkel in het punt .n . . . . . . . .Construeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . .omgeschreven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cirkel . .................................................................................................................................................. . . . . . E. [ ] en noem het midden F. .o . . . . . . . .Construeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .het . . . . . . . .midden . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . DE . . . .................................................................................................................................................. ..... M die door F gaat. Dit is de ringweg. .p . . . . . . . .Construeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . .cirkel . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . .middelpunt . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... Verklaring: drie dorpen A, B en C. .n . . . . . . . .Het . . . . . . . .punt ..........M . . . . . ligt . . . . . . . .even . . . . . . . . . . .ver . . . . . . .van . . . . . . . . .de . . . .................................................................................................................................................. ..... DM snijdt de cirkel in het punt E. Als je een cirkel tekent met middel- . . . . . .o . . . . . . . .D . . . .ligt . . . . . . . niet . . . . . . . . . op . . . . . . .deze . . . . . . . . . .cirkel. . . . . . . . . . . . . .De . . . . . . .rechte . . . . .................................................................................................................................................. lijnstuk DE, dan liggen de drie punten A,B en C even ver van deze cirkel. . . . . . . . . . . . . .punt . . . . . . . . . .M . . . . . door . . . . . . . . . . .het . . . . . . . .midden . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . het . . .................................................................................................................................................. wordt met FE . De afstand van DF = FE (def. midden). . . . . . . . . .omdat . . . . . . . . . . . . . . overal . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . .straal . . . . . . . . . . . . .vermeerderd . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... | | | | | | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 292 M23 Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk M24 Eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek Construeer de bissectrice van de hoek A. 851 B a b c A A Pieterjan wil het laatste stuk taart delen met zijn vriend Rogier. Construeer de snijlijn zodat de twee taartstukken even groot zijn. 852 B 853 B A • • • Teken twee snijdende rechten a en b met snijpunt S. Construeer de punten die even ver van a en b liggen en op 2 cm van S liggen. Hoeveel punten vind je? 4 ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................... . . . . Noteer de stappen die je zet. n de snijdende ...... .Construeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . .twee . . . . . . . . . . .bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . ................. rechten a en b. ...... .Teken . . . . . . . . . . . . .de . . . . . .cirkel . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . .middelpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S . . . en . . . . ................. o straal 2 cm. p De snijpunten X en Z van de cirkel met de eerste ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. bissectrice en de snijpunten Y en T van de cirkel met punten. ...... .de . . . . . .tweede . . . . . . . . . . . . . . . .bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . .de . . . . . .gevraagde . . . . . . . . . . . . . ................. a Y S Verklaring: n ...... .De . . . . . . .punten . . . . . . . . . . . . . . . .X. . .en . . . . . .Z . . . .liggen . . . . . . . . . . . . . .op . . . . . .een . . . . . . . . .bissectrice, . . . . . . . ................. ze liggen op gelijke afstand van a en b. ...... .De . . . . . . .punten . . . . . . . . . . . . . . . .Y. . .en . . . . . .T . . . .liggen . . . . . . . . . . . . . op . . . . . . .de . . . . . .andere . . . . . . . . . . ................. bissectrice, ze liggen op gelijke afstand van a en b. ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. o De punten X, Y, Z, T liggen op de cirkel met dus op 2 cm ...... .middelpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S . . . .en . . . . . .straal . . . . . . . . . . . .2 . . . .cm, . . . . . . . .liggen . . . . . . . . . . . . . ................. afstand van S. Z X b T ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. De punten X, Y, Z, T zijn de gevraagde punten. ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. Eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek M24 293 854 B Construeer het punt P even ver van de benen van A en B. P A B Noteer de stappen die je zet. n Construeer de bissectrice (deellijn) van A. o Construeer de bissectrice (deellijn) van B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Het snijpunt P van de twee bissectrices (deellijnen) is het gevraagde punt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Verklaring: n Het punt P ligt op de deellijn van A, P ligt even ver van de benen van A. deellijn van B, P ligt even ver van de benen van B. . . . . . .o . . . . . . . . . . . . . . Het . . . . . . . . . . . .punt . . . . . . . . . . . . . . .P . . . . ligt . . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .de . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Het punt P is het gevraagde punt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 855 V* Construeer de bissectrices van A, B en C. Wat stel je vast? a De bissectrices snijden elkaar in 1 punt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . b c d Noem het snijpunt van de bissectrices M. Teken de loodlijn uit M op AB en noem het voetpunt N. Teken de cirkel met middelpunt M met straal | MN |. De cirkel past precies in driehoek ABC. De cirkel raakt alle drie de zijden van de driehoek. Deze cirkel noem je de ingeschreven cirkel van ΔABC. B Weetje In een driehoek snijden de bissectrices elkaar in één punt. Dit punt is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek. M A C 294 M24 Eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek 856 V* Construeer de ingeschreven cirkel van ΔPQR. a b P P R Q Q 857 V* a b c R Teken een ongelijkbenige driehoek ABC. Construeer een punt P dat even ver ligt van de drie zijden van de driehoek. Verklaar. Kun je een cirkel construeren met middelpunt P en die de drie zijden van de driehoek raakt? Ja, de cirkel is de ingeschreven cirkel van de driehoek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Noteer de stappen die je zet. n Construeer de bissectrice van A. van B. .o . . . . . . . . . . . . . . Construeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .bissectrice . . . . . . . . . . . . . . ............................... .Het . . . . . . . . . . .snijpunt ........................P . . . . . van . . . . . . . . . . . . beide . . . . . . . . . . . . . . . . . bissectrices ............................... .is . . . . .het . . . . . . . . . . .gevraagde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .punt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... A P Verklaring: n P ligt op de bissectrice van A, P ligt [ AC ]en [ AB ]. . . . . . . . . . . . . . . . op . . . . . . . . . gelijke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .afstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . ............................... van B, P ligt .o . . . . . . . . . . . . . .P . . . . . ligt . . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .de . . . . . . . .bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... [ BA ] en [ BC ]. . . . . . . . . . . . . . . . op . . . . . . . . .gelijke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .afstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . ............................... afstand van de .Het . . . . . . . . . . .punt . . . . . . . . . . . . . . .P . . . . .ligt . . . . . . . . . . op . . . . . . . . .gelijke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... .drie . . . . . . . . . . . .zijden . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . driehoek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... C Eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek M24 295 858 V* • • Vul aan. Maak een tekening. a b Als je alle punten op gelijke afstand r van een gegeven punt A wilt tekenen, teken je een cirkel met middelpunt A en straal r. Als je alle punten op gelijk afstand van twee punten A en B wilt tekenen, teken je de middelloodlijn van het lijnstuk [AB]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. .............................................................................................. . . . . . r = 2 cm. B m r A A c d Als je alle punten op gelijke afstand van twee snijdende rechten a en b met snijpunt S wilt tekenen, teken je Als je alle punten op 2 cm van een rechte a wilt tekenen, teken je aan weerskanten een evenwijdige rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. de bissectrices van de hoeken rond S. .............................................................................................. . . . . . m.a.w. de bissectrices van de snijdende 2 cm van de rechte a. b2 rechten a en b 2 cm b b1 b C a A S 2 cm a D e Als je alle punten even ver van drie punten A,B en C wilt tekenen, teken je f c Als je alle punten even ver van drie zijden van een driehoek wilt tekenen, dan teken je twee bissectrices van de hoeken , , en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. teken je twee middelloodlijnen van de lijn- A B ..... .............................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. stukken [AB], [BC] en/of [AC]. Het snijpunt C .............................................................................................. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. M van die middelloodlijnen is het punt dat .............................................................................................. . . . . . even ver ligt van de drie gegeven punten. .............................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. /of . Het snijpunt van de bissectrices is het punt S dat even ver van de drie zijden ligt. B B A M A C 296 M24 Eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek S C 859 V* a Construeer de punten die even ver van A en B liggen en op 1 cm van a. a c m b B S A T b Hoeveel punten voldoen aan die voorwaarden? n van [AB]. . . . . . . . . . . . . . . .Construeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... o a op 1 cm van a. . . . . . . . . . . . . . . .Teken . . . . . . . . . . . . . . . . . .een . . . . . . . . . . . rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b . . . . . // . . .................................................................................................................................................. ..... a op 1 cm van a. . . . . . . . . . . . . . . .Teken . . . . . . . . . . . . . . . . . .een . . . . . . . . . . . rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c . . . . .// . . .................................................................................................................................................. ..... p rechte b en c met de middelloodlijn m zijn de oplossingen. . . . . . . . . . . . . . . .De . . . . . . . . . snijpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . .................................................................................................................................................. ..... c Kun je altijd een oplossing vinden? Verklaar en illustreer met een voorbeeld. Als de middelloodlijn van [AB] evenwijdig is met de gegeven rechte a heb je a niet precies op 1 cm van de middelloodlijn . . . . . .geen . . . . . . . . . . . . . . . oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .als . . . . . . . . .de . . . . . . . . rechte . .................................................................................................................................................. oplossingen als de rechte a precies op 1 cm van de. . . . . .gelegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . . en . . . . . . . . .oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .veel . . . . .................................................................................................................................................. .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gelegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . 860 V** De gemeente wil een fietsstalling bouwen die aan volgende voorwaarden voldoet. De halte moet even ver van het station als van het politiebureau liggen en op gelijke afstand van de Langestraat en de Zonnestraat. Waar is de ideale plaats voor de fietsenstalling? Station F Politie Lan ges tr at tra nes Zon t ra a rst e jv Vi aat Eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek M24 297 M25 Bewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk 861 V* • Bewijs dat de passerconstructie van de middelloodlijn van een lijnstuk juist is. a Verkennen: • Waarover gaat het? Welke meetkundige elementen komen erin voor? Gegeven: Te bewijzen: • [AB], passerconstructie met P en Q snijpunten van cirkelboogjes passeropening en | AP | = | BP | = | AQ | = | BQ |. . . .met . . . . . . . . . . . . eenzelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... van [ AB ]. . . .PQ . . . . . . . . . is . . . . . .de . . . . . . . . middelloodlijn . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Wat weet je van de lijnstukken [AP][BP][AQ] en [BQ]? Duid dit aan op de schets. Deze lijnstukken hebben dezelfde lengte, omdat je dezelfde passeropening hebt genomen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . • Wat wordt er beweerd? Duid dit aan op de schets. PQ is de middelloodlijn van [ AB ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . b Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken P P A A B Q Bewijs: B Q Je getekend met middelpunt A en B en met dezelfde. . . . . . . . . . . . .hebt . . . . . . . . . . . . . .twee . . . . . . . . . . . . . . .cirkels . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. passeropening. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . Je lengten: | PA | = | PB | en | QA | = | QB | . . . . . . . .bekomt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... ⇓ Eig. middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . P. . . . . ligt van [ AB ] . . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .de . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . Q van [ AB ] . . . . . . .ligt . . . . . . . . . .op . . . . . . . . .de . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... ⇓ Twee verschillende punten bepalen een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . PQ van [ AB ] . . . . . . . . . .is . . . . . .de . . . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . 298 M25 Bewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk M is het midden van [AB]. m is de middelloodlijn van [AB]. De cirkel met middelpunt M en een straal kleiner dan | AM | snijdt [AB] in de punten Y en Z en de middelloodlijn m in de punten X en T. Maak een tekening en bewijs dat | YX | = | ZT |. 862 V* X m M A Y X m Z B A Y 1 M 2 Z B T. . . .................................................................................................................................................. T . . . . . is . . . . het . . . . . . . .midden . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . .[. .AB ..... ] M Gegeven: m van [ AB ]. Cirkel met middelpunt M en straal | MY | met | MY | < | AM | . . . . . . . . . . .= . . . .XT . . . . . .is . . . .de . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. Y en Z liggen op de cirkel en op het lijnstuk [ AB ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . X en T liggen op de cirkel en op de middelloodlijn: m Te bewijzen: . . . . . .|. .= . . . .|. .ZT . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . |. .YX Bewijs: Voor . . . . . . . . . . .ΔXYM . . . . . . . . . . . . . en . . . . . . .ΔTZM . . . . . . . . . . . . geldt: . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . | . . . . . . .|. . = | . . . . . . .|. . . . . . . . ................................................................................................................................................... Z (straal van de cirkel) . . . . . . . . . . . . . . . . .XM . . . . . .TM ..... H (definitie middelloodlijn) . . . . . . . . . . . . . . .|. .M . . . .1. .|. .= . . . .|. .M . . . .2. .|. . = . . . . 90° . . . . ................................................................................................................................................... ..... | . . . . . . .|. .= | . . . . . . .|. . . . . . . . ................................................................................................................................................... Z (straal van de cirkel) . . . . . . . . . . . . . . . . .YM . . . . . .ZM ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .ΔXYM . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔTZM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . zijden in congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .Eig. . . . . . . . . overeenkomstige . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... . . . . . . . . . . . . . . . .YX . . . . . . . .= . . . . . .ZT . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . | | | | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . 863 V* • • Gegeven: X en Y liggen op de middelloodlijn van [PQ]. Te bewijzen: In de vierhoek PXQY zijn de hoeken P en Q even groot. Gegeven: [ ] . . .PQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................ X [ ] PQ .XY . . . . . .is . . . .de . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . ............................................ .vierhoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . XQYP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................ P Q | Te bewijzen: .|. P. . . .|. .=. . . .|. Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................ Bewijs: .Voor . . . . . . . . . . ΔXYP . . . . . . . . . . . . en . . . . . . ΔXYQ . . . . . . . . . . . . .geldt: . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................ zijde) .Z . . . . . . . . . . . . . . . .XY . . . . . . . .= . . . . . .XY . . . . . . . . . . . . . . . . .(gemeenschappelijke . . . . . . . . . . ............................................ | | | | middelloodlijn) .Z . . . . . . . . . . . . . . . .PX . . . . . . . .= . . . .|. .QX . . . . . . |. . . . . . . . . . .(eigenschap . . . . . . . . . . ............................................ | | middelloodlijn) .Z . . . . . . . . . . . . . . . .PY . . . . . . . .= . . . .|. .QY . . . . . . |. . . . . . . . . . .(eigenschap . . . . . . . . . . ............................................ | | Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . ZZZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . ΔXYP . . . . . . . . . . . . . . . . ΔXYQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... hoeken in congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . Eig. . . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... | | | | . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P. . . . .= . . . . . .Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... manieren bewijzen . .Je . . . . .kunt . . . . . . . . . .dit . . . . . . .ook . . . . . . . . nog . . . . . . . . . .op . . . . . .andere . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... Bewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk M25 299 864 V* In driehoek ABC is a de middelloodlijn van [AB] en b de middelloodlijn van [BC]. S is het snijpunt van a en b. Bewijs dat S een punt is van de middelloodlijn c van [AC]. a A b B S C Gegeven: . ΔABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . [AB], b de middelloodlijn van [BC], S is het snijpunt van a en b. .a . . . .de . . . . . .middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... Te bewijzen: van [AC]. .S . . . .is . . . .een . . . . . . . .punt . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . de . . . . . . middelloodlijn . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... Bewijs: eig. S is een punt van de middelloodlijn van [AB]. .n . . . . . . . . . . . . . . . . .AS . . . . . . . .= . . . . . .BS . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... | | | | eig. S is een punt van de middelloodlijn van [BC]. .o . . . . . . . . . . . . . . . . .BS .......= . . . . . .CS . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... | | | | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .no . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .AS . . . . . . . .= . . . . . .BS . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . | | | | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .Eig. . . . . . . . . middelloodlijn . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . van [AC] .S . . . .is . . . .een . . . . . . . .punt . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . de . . . . . . middelloodlijn . . . . . ................................................................................................................................................... ..... M26 Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek 865 V* In vierhoek ABCD is AC de bissectrice van hoek A. Ook is | AD | = | AB |. Bewijs dat AC ook de bissectrice is van C. Gegeven: . Vierhoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. | AD | = | AB | . AC . . . . . . .is . . . .bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . .A. . . . . . ............................................................. Te bewijzen: C . AC . . . . . . .is . . . .de . . . . . .bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . ............................................................. Bewijs: . voor . . . . . . . . . . .ΔACD . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔACB . . . . . . . . . . . .geldt: . . . . . ............................................................. Z | AD | = | AB | (gegeven) H |A1| = |A2| (def. AC is bissectrice van A) A 12 B D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. Z | AC | = | AC | (gemeenschappelijke zijde) ..........................⇓ . . . . ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. . . . . . . . . . . . . .ΔACD . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔACB . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ⇓ Eig. overeenkomstige hoeken in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. |C1| = |C2| ..........................⇓ . . . . Def. . . . . . . . . . .bissectrice . . . . . . . . ............................................................. AC is bissectrice van C . 300 M26 Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek C 866 V* Bewijs dat de passerconstructie van de bissectrice van een hoek juist is. X A Z 1 2 Y Gegeven: van AZ. X en Y zijn snijpunten van de benen van de hoek en een . . . . . .Hoek . . . . . . . . . . .A . . . .en . . . . . .de . . . . . .passerconstructie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. cirkel met middelpunt A. Z is het snijpunt van de cirkelboogjes met eenzelfde passeropening met .middelpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x. . .en . . . . . .middelpunt . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. ..... Y Te bewijzen: A. .AZ . . . . . . is . . . . de . . . . . . bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . .hoek .................................................................................................................................................. ..... Bewijs: .Voor . . . . . . . . . . ΔAXZ . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .ΔAYZ . . . . . . . . . . . .geldt: . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . (dezelfde afstand straal van de cirkel) .Z . . . . . . . . . . . . . . . .AX . . . . . . . . .= . . . . . AY . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... | | | | (dezelfde afstand straal van de cirkel) .Z . . . . . . . . . . . . . . . .XZ . . . . . . . .= . . . . . .YZ . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... | | | | (gemeenschappelijke zijde) .Z . . . . . . . . . . . . . . . .AZ . . . . . . . . .= . . . . .AZ . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... | | | | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .ZZZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ΔAXZ . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔAYZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . hoeken in congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .Eig. . . . . . . . . overeenkomstige . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... | | | | . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . . .1. . . .= .....A . . . .2. . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .Def. . . . . . . . . .bissectrice . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . AZ is de bissectrice van hoek A 867 V* • • Construeer een hoek B die even groot is als hoek A. Bewijs deze constructie. A B Stappenplan – een even grote hoek construeren n Teken een halfrechte met B als grenspunt. Dit is één been van B. B X o Teken in hoekpunt A een cirkelboog die beide benen snijdt. Noem de snijpunten X en Y. A Y p Teken met dezelfde passeropening een cirkelboog met middelpunt B die de halfrechte snijdt.Dit snijpunt noem je S. B S Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek M26 301 q Neem passeropening | XY | en pas deze afstand af op de laatst getekende boog. Plaats je passerpunt op S en trek een boogje door de cirkel. Het snijpunt noem je R. X A Y R r Teken het tweede been [BR van hoek B. B S s Plaats de nodige merktekens. R B Te bewijzen: Hoek A met X en Y gelegen op de benen van hoek A. gelegen op de benen van hoek B. .Hoek . . . . . . . . . . . . . . . .B . . . . .met . . . . . . . . . . . . .R . . . . .en . . . . . . . .S .................................................................................................................................................. ..... | . . . . .|. . .=. . . . .|. . .B. . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . .A Bewijs: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Gegeven: 868 V* S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Voor ΔAXY en ΔBRS geldt: | . . . . . . . . .|. . .= | . . . . . . . . .|. . ................................................................................................................................................... (gelijke afstand = zelfde passeropening, stap 3) . . . . . .Z . . . . . . . . . . . . . . . . AX . . . . . . . BR | . . . . . . . . .|. .= | . . . . . . . |. . . . ................................................................................................................................................... (gelijke afstand = zelfde passeropening, stap 3) . . . . . .Z . . . . . . . . . . . . . . . . AY . . . . . . . .BS | . . . . . . . . .|. . = | . . . . . . . .|. . . ................................................................................................................................................... (gelijke afstand = zelfde passeropening, stap 4) . . . . . .Z . . . . . . . . . . . . . . . . XY . . . . . . . .RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . . .ZZZ . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .ΔAXY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ΔBRS . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . hoeken in congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . . .Eig. . . . . . . . . . . .overeenkomstige . . ................................................................................................................................................... | . . . . .|. .= | . . . . .|. . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . . . . . . .B Construeer een hoek D die even groot is als de gegeven hoek C. a b D D C C 302 M26 Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek 869 V* Construeer een driehoek XYZ die congruent is met driehoek ABC. Maak gebruik van het congruentiekenmerk ZHZ. C X Y B A Met welk congruentiekenmerk kun je driehoek XYZ het handigst construeren? Z Met het congruentiekenmerk ZZZ. Je past de drie zijden af met de passer. ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . 870 V* Construeer een driehoek XYZ die congruent is met driehoek ABC. Maak gebruik van het congruentiekenmerk ZZ90°. Z A X Y C B Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek M26 303 871 V** • • • Construeer de bissectrice van BAC volgens het stappenplan. B is het snijpunt van [AB en de cirkel met middelpunt A. C is het snijpunt van [AC en de cirkel met middelpunt A. Noem het snijpunt van de cirkels met middelpunten B en C en dezelfde passeropening P. Bewijs dat AP de middelloodlijn is van [BC]. P C D A B Gegeven: | AC | = | AB | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . AP is de bissectrice van A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . D is het snijpunt van AP en BD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . AP is middelloodlijn van [BC]. Te bewijzen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Bewijs: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . Voor ΔACD en ΔABD geldt: Z | AC | = | AB | (gelijke afstand passerconstructie def. straal cirkel) H |A |=|A | (def. bissectrice) Z | AD | = | AD | (gemeenschappelijke zijde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . ⇓ ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . ΔACD ΔABD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . ⇓ Eig. overeenkomstige zijden en hoeken bij congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . | CD | = | DB | n | D | = | D | o en | D | + | D | = 180° p(def. nevenhoeken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... 1 2 1 2 ⇓ o en p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . | D | = | D | = 90° q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... ..... 1 2 ⇓ n en q Def. middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . AD is de middel-loodlijn van [ CB ]. n q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................... . . . . . 304 M26 Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek
