DE VALVERSNELLING

JAAR:
2012 – 2013
GEÏNTEGREERDE PROEF
6de Industriële wetenschappen
DE VALVERSNELLING
NAMEN:
Jonathan Deschodt
Frederik Soubry
MENTOR:
Mevr. Deschijnck
COÖRD.:
Mr. Eggermont
KORTRIJK
HARELBEKE
GULLEGEM
VTI
JAAR:
2012 – 2013
GEÏNTEGREERDE PROEF
6de Industriële wetenschappen
DE VALVERSNELLING
NAMEN:
Jonathan Deschodt
Frederik Soubry
MENTOR:
Mevr. Deschijnck
COÖRD.:
Mr. Eggermont
KORTRIJK
HARELBEKE
GULLEGEM
VTI
Woord vooraf
In het woord vooraf willen we iedereen bedanken die ons geholpen heeft bij de realisatie van
onze geïntegreerde proef:
 Onze mentor mevr. Deschijnck voor het controleren van onze voorlopige gip - bundels,
het geven van nuttige tips en het helpen bij bepaalde praktische opstellingen.
 Mevr. Lebbe voor het nuttige taaladvies
 Meneer Eggermont voor de goede tips om ons eindwerk rond dit thema op te bouwen en
voor de vrije uren die wij ter beschikking kregen.
 Meneer Derammelaere en mevr. Callens van de Howest om gebruik te mogen maken van
de opstelling van de omkeerbare slinger.
 Philip Soubry (Vader van Frederik) voor de nodige software, programmatie en advies op
elektronisch vlak.
 Tom Dupont voor het helpen bij de fundamentele principes van onze praktische opstelling.
Het heeft ons veel bloed, zweet en tranen gekost maar we vinden dat onze gip er mag zijn.
Inhoud
Voorblad................................................................................................................................ 1
Voorblad ............................................................................................................................. 2
Woord vooraf ........................................................................................................................ 3
Inhoud ................................................................................................................................... 4
Inhoud................................................................................................................................. 5
Inhoud................................................................................................................................. 6
Inleiding ................................................................................................................................ 7
THEORETISCH GEDEELTE
Hoofdstuk 1: Historiek ......................................................................................................... 8
1.1 Inleiding ........................................................................................................................ 8
1.2 Onderzoekers in de verschillende delen van de geschiedenis ......................................8
1.2.1 Oudheid .............................................................................................................8
1.2.2 Middeleeuwen .................................................................................................... 8
1.2.3 Nieuwe tijd ......................................................................................................... 9
1.2.4 Nieuwste tijd ..................................................................................................... 12
1.2.5 Eigen tijd .......................................................................................................... 14
1.3 Belangrijke theorieën en wetten .................................................................................. 14
1.3.1 Galilei ...............................................................................................................14
1.3.2 Wetten van Newton .......................................................................................... 14
1.3.3 Algemene relativiteitstheorie ............................................................................ 15
Hoofdstuk 2: Zwaartekracht .............................................................................................. 16
2.1 Inleiding ...................................................................................................................... 16
2.2 Definitie zwaartekracht ................................................................................................ 16
2.3 Algemeen.................................................................................................................... 16
2.4 Formule + afleiding ..................................................................................................... 16
2.5 Gravitatieconstante ..................................................................................................... 17
2.6 Aard ............................................................................................................................ 18
2.7 G - Force..................................................................................................................... 18
Hoofdstuk 3: Algemeen ..................................................................................................... 20
3.1 Inleiding ...................................................................................................................... 20
3.2 Definities valversnelling ............................................................................................... 20
3.3 Waarden valversnelling ............................................................................................... 20
3.3.1 Massa en gewicht ............................................................................................ 20
3.4 Vier hoofdkrachten op aarde ....................................................................................... 21
3.4.1 Graviton ........................................................................................................... 22
Hoofdstuk 4: Invloeden op de valversnelling ................................................................... 23
4.1 Inleiding ...................................................................................................................... 23
4.2 Invloed van breedteligging .......................................................................................... 23
4.3 Invloed van hoogte en diepte ...................................................................................... 24
4.3.1 Hoogte ............................................................................................................. 24
4.3.2 Diepte .............................................................................................................. 24
4.4 Invloed van topografie en geologie .............................................................................. 25
4.5 Invloed van andere factoren ........................................................................................ 25
Hoofdstuk 5: Bepalen van de valversnelling .................................................................... 26
5.1 Inleiding ...................................................................................................................... 26
5.2 Supergeleidende gravimeter ....................................................................................... 26
5.3 Massa en tijdtikker ...................................................................................................... 27
5.4 Omkeerbare slinger (van Kater) .................................................................................. 32
5.5 Eigen opstelling: elektronische meetbuis (zie praktisch gedeelte) ............................... 38
PRAKTISCH GEDEELTE
Hoofdstuk 1: Vrije val principe .......................................................................................... 40
1.1 Inleiding ...................................................................................................................... 40
1.2 Definitie vrije val .......................................................................................................... 40
1.3 Valbeweging in lucht ................................................................................................... 40
Eindsnelheid ............................................................................................................. 40
1.4 Valbeweging in luchtledige .......................................................................................... 41
Ontsnappingsnelheid ................................................................................................ 41
1.5 Formules vrije val ........................................................................................................ 41
Hoofdstuk 2: Ontwerp ........................................................................................................ 43
2.1 Inleiding ...................................................................................................................... 43
2.2 Tekeningen ................................................................................................................. 43
2.3 Opbouw ...................................................................................................................... 44
Hoofdstuk 3: Fouten beperken .......................................................................................... 45
3.1 Inleiding ...................................................................................................................... 45
3.2 Luchtweerstand........................................................................................................... 45
3.2.1 Definitie ............................................................................................................ 45
3.2.2 Formule ............................................................................................................ 45
3.2.3 Reduceren ....................................................................................................... 45
3.2.4 Weerstandscoëficiënt ....................................................................................... 46
3.3 Nauwkeurigheden en andere factoren......................................................................... 46
Hoofdstuk 4: Elektronica ................................................................................................... 47
4.1 Inleiding ...................................................................................................................... 47
4.2 Belangrijkste onderdelen meetopstelling ..................................................................... 47
4.2.1 Microcontroller.................................................................................................. 47
4.2.2 Sensoren.......................................................................................................... 48
4.2.3 LEDs ................................................................................................................ 49
4.2.4 Relais .............................................................................................................. 49
Hoofdstuk 5: Verwerking meetresultaten ......................................................................... 50
Zie bijlage 2.
Inleiding
Zoals de legende ons verteld zaten Jonathan en Frederik op een mooie zomerdag tegen een
appelboom een frisse pint te drinken. Toen er een appel uit de boom viel ging bij beiden een
belletje rinkelen …
Om onze opleiding industriële wetenschappen op een gepaste wijze af te sluiten, moeten we
een eindwerk maken.
Waarom valt de appel, hoe snel valt deze en waarvan is de snelheid afhankelijk. Newton had
dit zich 400 jaar geleden ook al eens afgevraagd.
In dit eindwerk zullen we ons meer toespitsen op de valversnelling t.g.v. de zwaartekracht.
Deze basisconstante is het meest gekende en het belangrijkste gegeven in vele
verschillende richtingen van de Fysica. We zullen alle geheimen van deze mysterieuze 9,81
blootleggen en proberen via moderne middelen (PC en elektronica) deze aardversnelling te
registreren.
We hopen dat onze gip op zijn pootjes zal terechtkomen, maar hier zal de zwaartekracht wel
voor zorgen.
Veel leesplezier!
Jonathan en Frederik
THEORETISCH GEDEELTE:
Hoofdstuk 1: Historiek
1.1 Inleiding
In de loop van de geschiedenis veranderde het beeld van de zwaartekracht
geleidelijk aan tot de theorie van vandaag. Verschillende wetenschappers
hebben hun leven gewijd aan deze mysterieuze kracht. Er werden grote
vooruitgangen geboekt door vernieuwende experimenten die compleet ingingen
tegen het wereldbeeld van toen. In dit hoofdstuk doorlopen we alle periodes van
de geschiedenis op zoek naar de belangrijkste mensen/proeven i.v.m. de
valversnelling/zwaartekracht
1.2 Onderzoekers in de verschillende delen van de geschiedenis:
1.2.1 Oudheid:
De eerste geschriften over de ‘zwaartekracht’ dateren uit de 3de eeuw
voor Christus. De Grieken wilden een verklaring voor het vallen van
voorwerpen. Die vonden zij in de indeling van de kosmos: het aardse,
hemelse en bovenhemelse. Ook wel bekeken als de aarde, hemel (met
maan en zon) en de sterren. Hierbij was de ‘zwaartekracht’ van de aarde
de kracht die mensen naar de onderwereld in het centrum van de aardbol
trok. Deze theorie werd bedacht door Aristoteles.
Portret 1: Aristoteles
Aristoteles (384 v. Chr. – 322 v. Chr.) was een Grieks filosoof en werd samen met Socrates
en Plato beschouwd als één van de invloedrijkste filosofen in de westerse geschiedenis.
Naast zijn filosofische werken, was hij ook geïnteresseerd in wetenschap. Zijn theorie werd
zeer goed ontvangen. Aristoteles werd de Homo Universalis genoemd (= iemand die zich op
veel vakgebieden heeft gespecialiseerd).
De aarde werd beschouwd als het middelpunt van het heelal. Deze
theorie heet het geocentrisme en werd bedacht door Ptomelaus. In dit
model draaide alles rond de aarde en was er geen plaats voor
‘zwaartekracht’.
Claudius Ptolemaeus (87 – 150) was een Grieks astroloog, astronoom,
geograaf, wiskundige en muziektheoreticus.
Portret 2: Ptolemaus
1.2.2 Middeleeuwen:
De middeleeuwen waren een donkere periode voor de Europese
wetenschap. In India werd er wel veel geëxperimenteerd en ontdekt.
India was in deze tijden een hoog ontwikkeld land qua wetenschap. De
grootste vooruitgang gebeurde door de wetenschapper Aryabhata.
Aryabhata (476 – 550) was de eerste van een aantal grote Indiase
geleerden in de astronomie en in de wiskunde uit het klassieke tijdperk.
Aryabhata is de vader van het Hindoe-Arabische talstelsel,
dat vandaag de dag over heel de wereld wordt gebruikt.
Portret 3: Aryabhata
8
Hij stelde al in 499 n. Chr. voor dat het zonnestelsel een structuur had met de zon als
centrum waarrond planeten (inclusief de aarde) draaien in elliptische banen. Volgens hem
draaide de aarde zelf om haar as. In zijn zonnestelsel was het de ‘zwaartekracht’ die van
grote invloed was.
Zijn verdere betekenis voor de natuurwetenschap was groot: introductie van de cosinus,
inverse cosinus, sinus en inverse sinus. Ook ontdekte hij technieken voor algebra en
algoritmes.
Al 1200 jaar vóór Newton zag Aryabhata in dat de ‘zwaartekracht’ zowel werkt op aarde, de
maan en in de rest van de kosmos. De Arabieren namen de Indische ideeën over.
In de 7e eeuw schreef de wetenschapper Brahmagupta over een wet van de zwaartekracht.
Definitie van de ‘zwaartekracht’ die hij een natuurwet noemt.
“Alle zware dingen worden aangetrokken door het middelpunt van de
aarde. [...] De aarde is aan alle kanten hetzelfde, alle mensen op aarde
staan rechtop en alle zware dingen vallen neer op aarde door de werking
van een natuurwet. Want het is de natuur van de aarde om dingen aan te
trekken en te behouden zoals de natuur van het water is om te stromen,
de natuur van vuur is om te branden en de natuur van de wind is om
dingen te bewegen... De aarde is het enige lage lichaam, zaden keren
altijd terug op aarde en stijgen nooit naar de hemel in welke richting je ze
ook weggooit”
Portret 4:
Brahmagupta
Brahmagupta (598 – 668) was een Indiase wiskundige en astronoom. Hij
wordt gezien als de ontdekker van het getal nul.
1.2.3 Nieuwe tijd:
Tijdens de Renaissance werd Europa ineens een concentratie van
verlichte denkers. Rond 1500 was Italië een land waar veel
wetenschappers revolutionaire ideeën hadden. De traditionele
wetenschappers zoals Ptolemaeus, Aristoteles en Plato kregen steeds
meer kritiek en mensen gingen hun eigen experimenten uitvoeren. De
Italiaan Da Vinci en de Pool Copernicus beweerden dat de zon het
middelpunt van het heelal was i.p.v.de aarde.
Portret 5: Da Vinci
Leonardo da Vinci (1452 - 1519) was een beroemde Italiaanse architect,
uitvinder, ingenieur, filosoof, natuurkundige, scheikundige, anatomist, beeldhouwer, schrijver,
schilder en componist. Hij wordt gezien als homo universalis en als genie.
Nicolaas Copernicus (1473 - 1543) was een belangrijke Poolse
wiskundige, arts, jurist en sterrenkundige. Copernicus is bekend
geworden door zijn heliocentrische theorie over het zonnestelsel. Deze
gedachten betekenden 60 jaar na zijn dood een omwenteling in het
wetenschappelijk denken en in ons wereldbeeld (de Copernicaanse
revolutie). Het in 1996 ontdekte chemisch element copernicium werd naar
hem genoemd.
Copernicus’ theorie was helemaal in strijd met wat het algemeen
aanvaarde model van Ptolemaus (in de tijd van Aristoteles) aantoonde.
Portret 6:
Copernicus
Ook op anatomisch vlak bood deze periode een grote vooruitgang. De Vlaming Vesalius
deed zelf onderzoek waarbij hij ontdekte dat niet alle theorieën van de Romeinen klopten.
De kerk verloor veel macht en dit gaf aanleiding tot vele nieuwe ideeën.
9
De vernieuwende theorieën van Galilei werden nog niet getolereerd, maar Newton (die later
leefde) genoot al van wat meer vrijheid.
Galileo Galilei (1564 - 1642) was een Italiaans natuurkundige,
astronoom, wiskundige en filosoof. Hij was hoogleraar in Pisa en Padua.
Galilei was één van de eerste wetenschappers die gebruik maakte van
de telescoop (die pas uitgevonden was). Hij leverde bewijs voor
Copernicus’ heliocentrisch systeem.
Galilei is de vader van de moderne astronomie. Op grond van de
waarnemingen van Jupiters manen en vooral Venus' fasen kwam Galilei
Portret 7: Galilei
tot de conclusie dat de Zon in het midden van ons zonnestelsel staat.
Eerder dacht men op grond van wat men zag, de geschriften van Plato,
Aristoteles en later Ptolemaeus dat de aarde in het middelpunt van het gehele universum
stond en dat de zon, de planeten en alle sterren om de aarde heen draaiden. Dit was ook de
opvatting van de Rooms-Katholieke Kerk. De nieuwe waarnemingen van Galilei waren in
strijd met het toen gangbare geocentrische model van Ptolemaeus, terwijl ze wel verklaard
konden worden met de heliocentrische theorie van Copernicus.
Galilei legde de grondslag voor de experimentele natuurkunde. Enkele van zijn bijdragen:
De slingertijd is niet afhankelijk van de grootte van het gewicht dat aan de slinger
hangt. Hetgeen de basis is geweest voor de ontwikkeling van nauwkeurige klokken
met slinger. De slinger waarmee hij deze ontdekking deed is nog steeds te
bezichtigen in de kathedraal van Pisa.
Basis voor de latere dynamica van Newton:
“De versnelling van vallende voorwerpen is onafhankelijk van hun massa.”
Galileo Galilei gaf zijn naam aan de eenheid van deze ‘aardversnelling’.
Gal is een eenheid voor de valversnelling. Het eenheidssymbool is Gal.
Gal is geen SI-eenheid. In SI-basiseenheden uitgedrukt is 1 Gal precies gelijk aan 0,01 m/s².
Hij formuleerde deze stelling op basis van een proef waarbij hij 2 even grote ballen met
verschillende massa liet vallen uit de toren van Pisa. Hierbij zag hij dat beiden ter gelijkertijd
de grond raakten. Galilei verklaarde dit door de luchtweerstand. Op beide ballen treedt er
een gelijke luchtweerstand op doordat de twee massa’s dezelfde vorm hebben. Volgens
Galileo Galilei vallen alle voorwerpen met dezelfde versnelling wanneer er geen
luchtweerstand inwerkt (in het luchtledige).
Boyle bewees dit experimenteel d.m.v. een vacuüm gezogen fles waarin
zich een munt en een veer bevonden. Hij zag dat wanneer de fles werd
omgedraaid de munt en de veer op hetzelfde moment de bodem
bereikten. Ook concludeerde hij dat alle voorwerpen in de fles een
evengrote versnelling hadden onafhankelijk van vorm en massa.
Robert Boyle (1627 – 1691) was een Iers filosoof en
scheikundige/alchemist.
Portret 8: Boyle
Tijdens de apollo 15 missie werd deze getest en gefilmd door
astronauten die een hamer en een veer lieten vallen op de maan.
(http://www.youtube.com/watch?v=KDp1tiUsZw8)
10
Sir Isaac Newton (1642 – 1727) was een Engelse natuurkundige, wiskundige, astronoom,
natuurfilosoof en alchemist. Officieel was hij muntmeester en theoloog. Op verschillende
vlakken heeft Newton vernieuwende theorieën bedacht:
In de wiskunde ontdekte hij onder meer de differentiaalrekening en integraalrekening
(met Leibniz), het Binomium van Newton en benaderingsmethoden.
Door zijn hoofdwerk werd Newton de grondlegger van de
klassieke mechenica. Op het gebied van optica vond hij de
Newtontelescoop uit en ontwikkelde hij een theorie over kleuren
gebaseerd op het prisma dat van wit licht een zichtbaar spectrum
maakt. Hij bestudeerde ook de geluidssnelheid.
Volgens een peiling uit 2005 beschouwden leden van de Britse Royal
Society Newton als de grootste geleerde in de geschiedenis van de
wetenschap. Anders dan Albert Einstein was Newton naast theoreticus
ook een briljant experimentator (=iem. Die experimenten uitvoerd).
Portret 9: Newton
Een ‘legende’ vertelt hoe Newton op het idee van graviatie kwam.
Namelijk: “Newton lag in de boomgaard van zijn moeder te denken. Waarom viel de maan
niet op de Aarde, net zoals de appel die hij op de grond zag vallen?”
Het antwoord op die vraag was toen nog niet duidelijk maar door het stellen ervan brak
Newton volledig met het tweeduizend jaar oude idee van Aristoteles dat op aarde (een appel)
en in de hemel (de maan) andere natuurwetten gelden.
Newton schreef van 1684 - 1686 de Principia. Hierin beschrijft hij de wetten van Newton en
de wet van de gravitatie of zwaartekracht. Het centrale idee van de gravitatietheorie (dat
lichamen met massa elkaar aantrekken) was volstrekt nieuw. Bovendien werd deze
hypothese wiskundig geformuleerd.
Isaac Newton kon in combinatie met al die wetten de banen van planeten om de zon
nauwkeurig narekenen. De empirische (gebaseerd op waarnemingen) wetten voor
planeetbanen die Johannes Kepler al tussen 1609 en 1619 had ontdekt en geformuleerd
kregen hiermee een theoretische basis. De baan van de komeet van Halley alsook de vorm
van de staart konden er ook mee worden verklaard. De getijdenbewegingen kon Newton met
dezelfde wetten verklaren (uit de aantrekkingskracht van de maan). De differentiaalrekening
(door hem ontwikkelde nieuwe wiskunde) speelde bij dit alles een belangrijke rol.
Johannes Kepler (1571 – 1630) was een Duitse astronoom, astroloog
en wis- en natuurkundige die vooral bekend werd door zijn studie van de
hemelmechanica en met name vanwege de berekening van de
planeetbewegingen en de Wetten van Kepler. Hij was een pionier van de
optica en de kristallografie. Als wiskundige was hij een voorloper van de
integraalrekening door zijn volumebepalingen van omwentelingslichamen
zoals wijnvaten. Hij hield zich ook bezig met kosmologische speculaties
en schreef zelfs vroege sciencefiction. Kepler keerde zich tegen de
gebruikelijke astrologie, maar was zelf actief astroloog. Volgens hem kon
astrologie wetenschappelijk beoefend worden.
Portret 10: Kepler
Na het publiceren van Newtons levenswerk, Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica, werd de wetenschap meer beïnvloed dan door
andere werken wegens de revolutionaire inhoud. In één klap kon men bewegingen verklaren
op zowel de aarde als aan de hemel. Toch gaf het werk geen uitleg over de aard of werking
van de zwaartekracht. Het beschreef enkel de zwaartekracht.
11
Huygens gaf wel een verklaring voor de werking van de zwaartekracht. Deze theorie
verklaarde wel waarom voorwerpen loodrecht op het aardoppervlak vallen maar voldeed aan
geen enkele waarneming en leverde dus geen bewijs.
Christiaan Huygens (1629 – 1695) was een vooraanstaande
Nederlandse wis-, natuur- en sterrenkundige, uitvinder en schrijver van
vroege sciencefiction. Hij was een van de leidende figuren van de
zeventiende – eeuwse wetenschap. Ook hij maakte op verschillende
vlakken grote wetenschappelijke vooruitgangen:
In de wiskunde was hij een pionier van de kansrekening en een
wegbereider van de differentiaal- en integraalrekening. Hoewel
zijn methoden strikt meetkundig bleven. Aan de natuurkunde
droeg hij op vele gebieden bij:
Portret 11: Huygens
hij formuleerde als eerste correcte wetten voor de elastische
botsing, uitdrukkingen voor de periode van de mathematische slinger en de
middelpuntvliedende kracht in de mechanica. Tevens verklaarde hij in zijn Traité de la
lumiere als eerste licht als een golfverschijnsel met het Principe van Huygens-Fresnel
dat vanaf de negentiende eeuw de algemeen aanvaarde optische theorie werd en nu
deel uitmaakt van het begrip van de dualiteit van golven en deeltjes. Onderzoek naar
de dubbele breking van licht in IJslands kristal bracht Huygens tot het opstellen van
een theorie voor gepolariseerd licht. Verder verklaarde hij geluidsverschijnselen met
interferentie.
Omdat Huygens als eerste wiskundige formules gebruikte in de natuurkunde, wordt hij
gezien als de eerste theoretische natuurkundige.
In de sterrenkunde droeg Huygens bij door de telescoop verder te ontwikkelen en het
tot dan toe onbegrepen uiterlijk van Saturnus te verklaren als een planeet met ringen.
Hij ontdekte de maan Titan bij deze planeet.
Als uitvinder heeft Huygens onder meer het slingeruurwerk, het principe van de
stoommachine en een buskruitmotor op zijn naam staan.
1.2.4 Nieuwste tijd:
Ook de verlichting kende dus wetenschappelijke groei maar staat vooral bekend om de
politieke en filosofische denkers die aanzet gaven voor de Franse revolutie. Deze denkers
vonden onder andere de vrije wil belangrijk en vonden de absolute heersers tirannen die het
best zo snel mogelijk afgezet moesten worden. Maar het is niet te vergeten dat er
wetenschappelijk ook veel vooruitgang werd gemaakt.
In de afgelopen 2 eeuwen is er een grote technologische vooruitgang geweest en deze is nu
nog aan de gang. Met de betere technische kennis steeg ook de welvaart.
Cavendish bepaalde de G van Newton d.m.v. een torsiebalans –
experiment. Hij wijdde bijna al zijn tijd aan wetenschappelijk onderzoek.
Hij bepaalde in 1798 de verhouding tussen de kracht die twee bollen op
elkaar uitoefenen en hun gewicht. Dat is de kracht die de aarde op die
bollen uitoefent waarmee het mogelijk werd de massa van de aarde en
dus ook de dichtheid ervan te berekenen. Het universele belang van de
gravitatieconstante is pas later ingezien.
Henry Cavendish (1731 – 1810) was een Brits natuurkundige en
scheikundige.
Portret 12:
Cavendish
12
Einstein publiceerde zijn revolutionaire ideeën over de zwaartekracht. En
hij had geluk dat hij dat in het begin van de 20 ste eeuw kon doen. Want
pas vanaf de verlichting begon men vrijer te worden en werd niet alles
meer door de kerk bepaald. Er wordt nu gehandeld via de
wetenschappelijke methode.
Waarnemen  Theorie  Voorspellen  Waarnemen.
Als de theorie die wordt opgesteld aan de hand van de waarnemingen,
goede voorspellingen kan doen voor de toekomst dan wordt deze als
correct beschouwd. De theorie wordt dan wel als correct beschouwd
maar deze tracht slechts de werkelijkheid te omschrijven.
Portret 13: Einstein
Albert Einstein (1879 – 1955) was een Duits – Zwitsers – Amerikaanse theoretisch
natuurkundige en uitvinder. Hij wordt algemeen gezien als een van de belangrijkste
natuurkundigen uit de geschiedenis naast Isaac Newton en James Clerk Maxwell.
Einstein werd vooral bekend vanwege de twee relativiteitstheorieën: de speciale
relativiteitstheorie en de algemene relativiteitstheorie die de speciale relativiteitstheorie
uitbreidt door ook de zwaartekracht in rekening te brengen. In zijn latere jaren schreef
Einstein uitvoerig over filosofische en politieke onderwerpen.
Hij droeg aanzienlijk bij aan verschillende deelgebieden van de natuurkunde:
Voor zijn verklaring van het foto-elektrisch effect ontving hij de Nobelprijs voor de
Natuurkunde en ook zijn beschrijving van de Brownse beweging en de eerste
fluctuatie-dissipatiestelling was een belangrijke doorbraak. Deze twee verklaringen en
de speciale relativiteitstheorie publiceerde hij bovendien allemaal in zijn wonderjaar
1905. Verder werk omvat onder meer onderwerpen in de kwantummechanica, de
theorie van de vaste stof, de nulpuntsenergie, de statistische mechanica, de
kosmologie, de theorie van straling (fotonen, dualiteit van golven en deeltjes, kritische
opalescentie en gestimuleerde emissie, de theorie achter de laser) en de
veldentheorie.
Een Einstein is een eenheid die in de stralingstheorie en fotochemie wordt gebruikt. De
einstein is gelijk aan een mol fotonen (ongeacht hun frequentie). Het aantal fotonen in een
einstein is daarmee gelijk aan de constante van Avogadro. Dus 1 E(instein) = 6.022×10 23 mol
Het chemisch element einsteinium is ook naar hem vernoemd net als de Einsteinring in de
astronomie en de Einsteincoëfficiënten in de optica.
Einsteins verschillende nationaliteiten worden als volgt verklaard:
Hij werd in een liberaal - Joodse familie in het Duitse Keizerrijk geboren, woonde later in
Italië, Zwitserland en het toenmalige Oostenrijk - Hongarije voor hij terugkeerde naar
Duitsland. Toen Adolf Hitler in 1933 in Duitsland aan de macht kwam, besloot Einstein zich in
de VS te vestigen. In 1940 nam hij de Amerikaanse nationaliteit aan en deed afstand van zijn
Duitse. (Hij behield wel de Zwitserse.)
13
1.2.5 Eigen tijd:
Na Einstein zijn er nog kleine aanpassingen gebeurd aan het hedendaagse model van de
zwaartekracht, maar geen vernieuwende ideeën die de problemen met de huidige theorie
oplossen.
De banen van de planeten dijen sneller uit dan te verklaren is met verlies van zon
massa.
De Pioneer-sondes die aan de grenzen van het zonnestelsel vliegen, vertragen
sneller dan te verklaren is met de huidige theorie.
De uitdijing van het heelal lijkt te versnellen, wat moeilijk te verklaren is als er niet een
of andere mysterieuze anti-zwaartekracht werkzaam is.
Vandaag de dag zijn wetenschappers vooral bezig met het verenigen van alle
natuurkrachten. De gravitontheorie en snaartheorie zouden daarin kunnen slagen. Het
probleem is dat er nog geen tastbare bewijzen zijn gevonden. Voorlopig tasten we dus echt
nog in het duister.
Zwaartekracht is de eerste natuurkracht waarvan de constanten en formules zijn bepaald,
maar de enige natuurkracht waarvan de aard nog niet bekend is.
1.3 Belangrijke theorieën en wettten
1.3.1 Galilei:
Zijn natuurkundige ontdekkingen hangen nauw samen met zijn wiskundige inventie
(snelheid-tijddiagram dat hij gebruikte voor de hellingproeven).
Zijn natuurkundige ontdekkingen:
 Wet van isochronisme
 De voorbereiding op de wetten van Newton:
“De valversnelling is niet van massa afhankelijk.”
“Een voorwerp dat beweegt zonder inwerkende krachten wordt niet van richting
veranderd en heeft een constante snelheid.”
 Zijn theorie van relativiteit:
“In een inertiaalstelsel (de ruimte) is er geen verschil in waarnemen tussen twee
waarnemers die eenparig ten opzichte van elkaar bewegen.”
 Pionier in het meten van lichtsnelheid (waarin hij echter niet slaagde).
1.3.2 Wetten van Newton:
Deze zijn drie wetten door Newton ontwikkeld die krachten en bewegingen beschrijven.
De 1ste wet:
De wet van de traagheid
“Voorwerpen in stilstand of beweging waarop geen krachten inwerken,
ondervinden geen snelheids - en/of richtingsveranderingen.”
De 2de wet:
Kracht verandert de beweging.
“Een voorwerp kan van snelheid en richting veranderen als er een
resulterende kracht op inwerkt.”
Vb. Wanneer er in een wrijvingsloze plaats (de ruimte) een bal zou liggen zou de bal stil
liggen volgens de 1ste wet van Newton. Als je op de bal zou trappen dan werkt er een
resulterende kracht op in volgens de 2 de wet van Newton. Dan zou de bal in een rechte lijn
altijd voort bewegen omdat er dan geen resulterende kracht op inwerkt. Dit is weer volgens
de eerste wet van Newton.
14
De 3de wet:
Actie = reactie.
“Als voorwerp A een kracht uitoefent op voorwerp B oefent voorwerp B een
even grote tegengestelde kracht uit op voorwerp A.”
vb. Als je op een tafel drukt, drukt die tafel even hard tegen jouw hand.
1.3.3 Algemene relativiteitstheorie:
Deze theorie van Albert Einstein werd in 1916 gepubliceerd. Het verklaarde het volgende:
Het equivalentieprincipe:
“Waarnemers die eenzelfde snelheid of versnelling hebben, ervaren dezelfde natuurwetten.”
Dus een massa die in een raket met 9,8 m/s² wordt versneld is precies hetzelfde als de trage
massa op aarde die 9,8 m/s² ondervindt.
De kromming van de ruimte-tijd door massa:
“Zwaartekracht is een 'schijnkracht' die slechts voorkomt door de kromming van ruimte om
het voorwerp waar je naartoe valt. Massa en dus energie bepaalt de vorm van de ruimte-tijd.”
Zijn theorieën werden goed onderbouwd door de
zonsverduistering van 1919. Hierbij was goed tezien dat
licht van sterren die achter de zon stonden zichtbaar
afgebogen werd door de zon. Ook wijst de theorie de
klassieke mechanica van Newton gedeeltelijk af. Deze kon
namelijk de periheliumverschuiving (perihelium = het punt
in de baan van een planeet het verst van de zon) van
Mercurius niet verklaren. Er werd geopperd dat de planeet
niet in een elliptische baan (Eerste wet van kepler)
beweegt maar in een 'rozetbaan' (Zie illustratie). Ook
bepaalt aanwezigheid van massa het tijdsverloop.
Figuur 1.1: Rozetbaan van Mercurius.
“Hoe dichter je bij het centrum van de aarde bent, hoe
langzamer de tijd voor jou verloopt.”
Vele ingewikkelde formules beschrijven de kromming van ruimte door middel van
differentiaalmeetkunde. Dat is werkelijk wiskunde van een hoog niveau die we in deze
bundel niet zullen behandelen
15
Hoofdstuk 2: Zwaartekracht
2.1 Inleiding:
Zwaartekracht is lange tijd beschouwd als iets mysterieus totdat in de 17e eeuw
nieuwe ideeën kwamen. Zwaartekracht werd een onderdeel van de
natuurwetenschap. Vanaf toen werd zwaartekracht steeds meer aanzien als iets
dat algemeen (voor alle massa ’s) geldt. In de loop der tijd is dit bewezen en
duidelijk geworden. Zwaartekracht is een onmisbaar gegeven geworden in
mechanica, sterrenkunde en het begrijpen van de kosmos. In dit hoofdstuk
leggen we deze van deze natuurkracht uit om zo de valversnelling t.g.v. de
zwaartekracht beter te begrijpen.
2.2 Definitie zwaartekracht:
“De zwaartekracht of gravitatie is de aantrekkende
kracht die twee massa's op elkaar uitoefenen.”
2.3 Algemeen:
Figuur 2.1: Voorstelling van de zwaartekracht.
De zwaartekracht is één van de vier natuurkrachten.
Deze kracht is zeer klein vergeleken met de andere
krachten maar is de meest inwerkende kracht. Een op elk voorwerp naar het middelpunt van
de aarde werkende kracht is evenredig met de massa van het voorwerp. De zwaartekracht is
op astronomische afstanden in nog sterkere mate de overheersende kracht. Bijvoorbeeld
tussen de aarde en de maan, tussen de zon en alle planeten en zelfs tussen sterrenstelsels.
Deze kracht die verantwoordelijk is voor het vallen van een appel zorgt er eveneens voor dat
de maan of een satelliet in een baan om de aarde blijft, dat de aarde in een baan om de zon
blijft draaien en dat de zon op zijn beurt samen met alle andere sterren van de Melkweg om
een zeker middelpunt heen blijft draaien.
2.4 Formule + afleiding:
De formule voor de zwaartekracht wordt beschreven door de gravitatiewet van Newton.
Deze luidt als volgt:
Fzw = G
Met:
m1 m2
r²
F = zwaartekracht tussen twee voorwerpen [N]
m1 = massa van het eerste voorwerp [kg]
m2 = massa van het tweede voorwerp [kg]
r = afstand tussen de zwaartepunten van die voorwerpen [m]
G = de gravitatieconstante (6,6754 × 10-11 ) [Nm²/kg² of m³/s²kg]
Uit de 1ste wet van Newton blijkt dat:
Bij vrije val werkt enkel de zwaartekracht in op het voorwerp.
Bij de zwaartekracht wordt deze versnelling de aarversnelling:
F=m∙a
Fzw = m1 ∙ g
Met:
m = massa van het betreffende voorwerp [kg]
g = valversnelling aan het aardoppervlak [m/s²]
Wanneer we de twee vergelijkingen voor Fzw gelijkstellen aan mekaar valt m1 weg.
16
Waarbij:
g=G
m2
r²
De aantrekkingskracht die de aarde uitoefent op een voorwerp dat zich op het aardoppervlak
bevindt kan berekend worden door in deze vergelijking voor m 2 de massa van de aarde
(5,9742×1024 kg) te gebruiken, voor r de gemiddelde straal van de aarde (6371 km) en de
gravitatieconstante in te vullen.
Hieruit volgt:
m
g = G r2aarde
𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒
g = ± 9,81 m/s²
2.5 Gravitatie constante G
Definitie:
“De gravitatieconstante of constante van de zwaartekracht of constante van
Cavendish is een natuurkundige constante en is gelijk aan de kracht in
Newton die twee objecten met elk een massa van 1 kilogram op een afstand
van 1 meter op elkaar uitoefenen. Hij komt voor in de gravitatiewet van
Newton.”
Bepaling:
De constante is te bepalen door middel van het torsiebalans - experiment van
Henry Cavendish. Daaruit volgt een waarde van 6,6754 × 10 −11 m³/s²kg.
Inmiddels is de gravitatieconstante op vele verschillende manieren gemeten:
met zonseclipsen, zonseismologie, satellietonderzoek, lasers op de Maan,
planeetbewegingen en pulsarstatistiek. Toch blijft deze constante een van de
minst nauwkeurig bepaalde natuurkundige constanten. De relatieve
onnauwkeurigheid is dus 10 −4 of iets minder.
Aardmassa: Door de waarde van G in te vullen in de bovenstaande zwaartekrachtswet van
Newton kan de massa van de aarde bepaald worden. r is de reeds bekende
straal van de aardbol, F/m1 is de gemakkelijk te meten valversnelling. Dan
wordt met m2 de massa van de aarde gevonden.
17
2.6 Aard
Sinds de nieuwe tijd zijn er twee succesvolle gravitatietheorieën bekend. De oudste wet is de
gravitatiewet van Newton. Deze is in de meeste gevallen meer dan correct genoeg om het
juiste resultaat te bekomen. De ‘opvolger’ van deze wet namelijk de algemene
relativiteitstheorie van Einstein is echter vollediger. De theorie geeft in de meeste situaties
aanleiding tot dezelfde uitkomst en spreekt de wet van Newton dus niet helemaal tegen maar
geeft in bepaalde gevallen een preciezer antwoord dan de Newtoniaanse zwaartekracht.
Het grote verschil tussen Einsteins theorie en Newtons theorie is:
Newton:
“Zwaartekracht gaat uit van een massa en beïnvloedt van daaruit onmiddellijk
alle andere massa in het heelal.”
Einstein:
“Zwaartekracht is een vervorming van het ruimte-tijd-continuüm, het 'weefsel'
van de lege ruimte, veroorzaakt door de aanwezigheid van een massa.”
Figuur 2.2: Verandering in denkwijze over de aard van de zwaartekracht in het universum.
2.7 G - Force
De G - kracht (Engels: G – force)
= de verhouding tussen een kracht t.g.v. een versnelling en de zwaartekracht. Hoeveel keer
kracht er op het voorwerp (de persoon) komt in vergelijking met de zwaartekracht.
G − kracht =
Fversnelling
Fzw
Biologisch effect:
Bij de mens stroomt bij een extra versnelling in dezelfde richting met de valversnelling het
bloed de hersenen in; dit wordt over het algemeen als onprettig ervaren. Bij versnelling in
tegengestelde richting stroomt het bloed uit de hersenen, wat kan leiden tot verlies van
bewustzijn. De grootte van de verticale G - kracht waarbij een mens buiten bewustzijn raakt,
varieert met de lichamelijke gesteldheid, geoefendheid, verloop van de kracht en duur van de
kracht. Een ongeoefend mens kan van 6 g buiten bewustzijn raken als deze langere tijd
aanhoudt. Er is speciale kleding die deze grens kan verhogen. Bijvoorbeeld piloten van de
Red Bull Air Race kunnen (in hun pak) versnellingen van 14 g aan. Zij houden wel een
marge van 2 g aan voor de veiligheid dus ze gaan niet verder dan 12 g.
In een centrifuge worden gevechtsvliegers, autocoureurs en astronauten voorbereid op hoge
G – krachten.
18
Valversnelling (g ≈ 9,81 m/s²)
Symptomen bij ongetrainde mensen
1-2g
2-3g
3-4g
4-5g
5-6g
Goed te verdragen, veiligheidsgordel niet nodig
Verkleining van het gezichtsveld treedt op
Beperkt cilindervormig gezichtsveld, grey-out
Black-out (geheugenverlies)
Bewusteloosheid
Toepassingen:
Ruimtevaart
Pretparken (achtbanen)
19
Hoofdstuk 3: Algemeen
3.1 Inleiding:
De valversnelling draagt twee eenheden met zich mee. Tegenwoordig wordt
zwaartekracht ook tot één van de vier fundamentele natuurkrachten gerekend.
In dit hoofdstuk overlopen we de verschillende definities en situeren we de
oorzaak van deze versnelling (zwaa rtekracht) tussen de andere hoofdkrachten.
3.2 Definities valversnelling:
F
1. Valversnelling in N/kg (g = m)  Newton
“ De valversnelling of zwaarteveldsterkte is de sterkte van het zwaartekrachtsveld.
Deze gravitatieconstante drukt uit hoeveel Newton er uitgeoefend word op 1 kg
materie. “
2. Valversnelling in m/s² (g =
2h
t2
)  Vrijeval
“ De valversnelling is de versnelling waarmee voorwerpen naar de aarde vallen in
vrije val(wanneer enkel de zwaartekracht inwerkt op het voorwerp). De valversnelling
op aarde noemt men de aarversnelling en wordt aangeduid door ‘g’. “
3.3 Waarden valversnelling:
Deze tabel geeft de verschillende waarden van g voor enkele plaatsen op aarde maar ook
voor alle planeten in ons zonnestelsel.
Aarde
Evenaar
Keerkringen
Polen
Benelux
Valversnelling (m/s²)
9,780
9,788
9,832
9,812
Kortrijk
9,811
Heelal
Maan
Mercurius
Venus
Mars
Jupiter
Saturnus
Uranus
Neptunus
Pluto
Valversnelling (m/s²)
1,630
2,78
8,60
3,72
22,9
9,05
7,77
11,0
0,4
Wanneer we de uiterste waarden in het heelal vergelijken met de aarde a.d.h.v. het gewicht
zien we dat je op Jupiter 2,33 keer ‘zwaarder’ bent en op Pluto 24,5 keer ‘lichter’.
3.3.1 Massa en gewicht:
De termen massa en gewicht worden in het dagelijks leven vaak door elkaar gehaald. Er is
echter een groot verschil.
20
Het gewicht van een voorwerp is de kracht die de planeet waarop het zich bevindt op een
voorwerp uitoefent en wordt uitgedrukt in Newton. Gewicht is afhankelijk van de plaats en de
hoogte ten opzichte van het oppervlak. Bijvoorbeeld:
Wie zegt 70 kg te ‘wegen’ dus een ‘gewicht’ van 70 kg te hebben, heeft eigenlijk aan een
massa van 70 kg. Dit is vastgesteld met een weegschaal. Die weegschaal meet weliswaar
het gewicht, maar is voorzien van een schaal waarop de massa wordt afgelezen. Deze
schaal is alleen geldig voor het gebied waarvoor de weegschaal bedoeld is. Wie op reis gaat
naar de tropen en z'n weegschaal meeneemt, zal tot z'n verrassing bemerken dat de
weegschaal in de tropen minder aangeeft. Inderdaad weegt men daar minder. Maar men is
niet afgevallen. Dat valt te controleren door op een weegschaal van het hotel te gaan staan.
Dan ‘weegt’ men weer evenveel als thuis.
De massa van een voorwerp is een natuurkundige grootheid die een eigenschap van
materie aanduidt. Die eigenschap die men kan omschrijven als de hoeveelheid materie uit
zich op twee manieren. Enerzijds is materie 'zwaar' wat betekent dat ze onderhevig is aan
gravitatie en anderzijds is materie 'traag' wat inhoudt dat ze zich verzet tegen verandering
van beweging. De SI-eenheid van massa is de kilogram. Van voorwerpen op de aarde wordt
de massa meestal vastgesteld door het gewicht te meten.
De kilogram werd in 1889 gedefinieerd als de massa van een stuk edelmetaal dat in het
"Bureau International des Poids et Mesures" (Sèvres, Frankrijk) bewaard wordt onder een
luchtdichte stolp.
3.4 Vier hoofdkrachten op de aarde:
In de natuurkunde zijn er vier fundamentele natuurkrachten bekend. Alle krachten volgen uit
deze fundamentele krachten. In volgorde van afnemende sterkte zijn dit:
1. De sterke kernkracht,
die de protonen en neutronen in de kern bij elkaar houdt.
Deze Kracht wordt overgebracht door gluonen.
2. De elektromagnetische kracht,
die de elektronen bij een atoom vasthoudt.
Deze Kracht wordt overgebracht door fotonen.
3. De zwakke kernkracht,
die een rol speelt in diverse vervalprocessen.
Deze Kracht wordt overgebracht door W-bosonen en Z-bosonen.
4. De zwaartekracht,
die de materie op grote schaal bij elkaar houdt
Deze kracht wordt hypothetisch overgebracht door ‘gravitonen’.
Men tracht deze krachten te verenigen in één theorie. De vereniging van de
elektromagnetische en de zwakke kracht is onomstreden. De combinatie van de sterke
kernkracht met deze twee krachten (GUT, Grand Unification Theory) is goed onderweg,
hoewel er nog geen spoor van experimenteel bewijs is. De combinatie van de zwaartekracht
en de andere krachten (TOE, Theory of Everything), is echter nog steeds problematisch
omdat de zwaartekracht door de algemene relativiteitstheorie wordt beschreven en de
andere krachten door de kwantumtheorie. Deze zijn moeilijk te verenigen. Theorieën die hier
mogelijk een oplossing bieden, zijn de snaartheorie en de Loop-kwantumzwaartekracht.
21
3.4.1 Graviton:
Het graviton is een hypothetisch elementair deeltje dat de zwaartekracht overbrengt in de
meeste kwantumzwaartekrachtsystemen. De eigenschappen van dit deeltje zouden zijn:
Altijd en over oneindige afstanden aantrekkend, massaloos, stabiel en beweegt zich voort
met de snelheid van het licht. Het zou kunnen dat gravitonen niet beperkt zijn tot de
afstanden van tijd en ruimte die wij ervaren.
Gravitonen zouden de lege ruimte innemen en mogelijk ook verantwoordelijk kunnen zijn
voor de donkere materie. De snaartheorie voorspelt het bestaan van gravitonen.
22
Hoofdstuk 4: Invloeden op de valversnelling
4.1 Inleiding:
Bij een bolvormige massieve aarde heeft het zwaartekrachtveld eenzelfde
grootte en richting. De praktijk wijst uit dat dit niet het geval is. Enkele
parameters zijn hiervoor erg belangrijk: breedtegraad, hoogte & diepte,
topografie & geologie en andere factoren. In dit hoofdstuk bespreken we de
invloeden van deze variabelen en zoeken we wiskundige modellen om deze in
kaart te brengen.
4.2 Invloed van de breedtegraad.
De traagheid t.g.v. de aardrotatie is sterker aan de evenaar dan op de polen. Hierdoor heeft
de aarde de vorm van een platgedrukte bol (= oblate sferoïde). Hierbij is de afstand van de
polen tot de kern kleiner dan de afstand van de evenaar tot de kern. Aan de hand van de
gravitatiewet van Newton zien we dat de valversnelling daalt naar de polen toe.
d(P,K) < d(E,K) en
Fzw = m2 ∙ g = G ∙
Hieruit volgt:
g =G∙
m1
m1∙m2
r2
r2
Wanneer nu de straal daalt, stijgt de valversnelling.
Dus:
𝑔𝑒 > 𝑔𝑝
Grootte g:
Richting g:
9,780 m/s² (E) > 9,832 m/s² (P)
= 0,5 % meer gewicht op de polen.
Figuur 4.1: Vorm van de aarde
Loodrecht op het oppervlakte van de geoïde (nr. 5).
Figuur 4.2: Het aardoppervlakte met nr. 5 als geoïde = het
vlak dat zee niveaus verbindt doorheen land.
Figuur 4.3: Verandering in valversnelling
rond Antarctica
Figuur 4.4: Verandering in valversnelling in België
(Kortrijk = 9,8113 m/s²).
23
4.3 Invloed van de hoogte en de diepte.
4.3.1 Hoogte:
Wanneer de hoogte stijgt dan daalt de aardversnelling omdat de afstand r tot de kern stijgt.
Bij constante parameters heerst er op de Mount Everst een gewichtsafname van 0,28 %.
Ook op de schijnbare valversnelling heeft de hoogte een invloed. De schijnbare
valversnelling = de gravitatieconstante vermindert met de tegenwerkende versnelling door de
luchtweerstand. Als de hoogte stijgt dan daalt de massadichtheid van de lucht en daalt de
opwaartse stuwkracht.
Zelfs op een hoogte van 400 km (= de baan van de Space Shuttle) ‘ontsnappen’ de
astronauten niet aan de zwaarteveldsterkte. Want deze bedraagt nog steeds 90 % van de
waarde op aarde. De illusie van de nul waarde van g wordt gecreëerd door een constante
vrije val.
Hiervoor geldt de volgende formule:
re 2
gh = g0 ∙ (
)
re + h
Met:
g h = valversnelling op hoogte h
re = gemiddelde straal vd aarde (6371 km)
g 0 = standaard valversnelling (9.80665 m/s²)
h = hoogte
hoogte
4.3.2 Diepte:
Figuur 4.5: Valversnelling in functie van de
hoogte vanaf het aardoppervlak.
Volgens het theoretisch model daalt de g lineair tot nul naar de kern toe. Maar door de
verschillende lagen met verschillende massadichtheden in de aarde verloopt deze volgens
een speciale kromme.
Hiervoor geldt de volgende formule:
4π
4π
r2
gr =
Gρ0 r −
G(ρ0 − ρ1 )
3
3
re
Met:
g r = valversnelling op straal r
G = gravitatieconstante
ρ0 = dichtheid van de kern
ρ1 = dichtheid aan het oppervlak
r = straal
𝑟𝑒 = gemiddelde straal van de aarde
Figuur 4.6: De massadichtheid van de aarde in
functie van de straal van de aarde.
24
Figuur 4.7: De valversnelling in functie van de relatieve straal van de aarde (1 = straal aarde)
4.4 Invloed van de topografie en de geologie.
Aan de hand van metingen kan men lokale zwaartekrachtanomalieën in kaart brengen.
“Een zwaartekrachtanomalie is het lokale verschil tussen de gemeten valversnelling en de
theoretische waarde.“
Door deze verschillen op te meten kunnen oliebronnen en mineralen opgespoord worden.
Deze techniek ligt aan de basis van de geofysica.
Om de valversnelling exact te meten gebruikt men verschillende opstellingen.
(zie verder voor meer uitleg over exacte bepalingen van de valversnelling.)
4.5 Invloed van andere factoren.
Zoals eerder vermeld bij de invloed van de hoogte heeft de opwaartse stuwkracht van de
lucht enkel invloed op de schijnbare zwaartekracht.
De relatieve posities van de zon en de maan (oorzaak van de getijden) hebben een invloed
op de valversnelling. Deze factor zorgt slechts voor een kleine variatie (2µm/s² =0,2mGal).
25
Hoofdstuk 5: Bepalen van de valversnelling
5.1 Inleiding:
Naast onze eigen meetopstelling (die we in een volgend hoofdstuk behandelen)
bestaan er meerdere alternatieve n met elk hun eigen voordelen, nadelen en
nauwkeurigheden. Ook bestaan er grootschalige opstelling over de hele wereld
om een exacte meting te doen met elk hun eigen doel. In dit hoofdstuk werken
we de meest gebruikte manieren volledig uit.
5.2 Supergeleidende gravimeter:
In het geofysisch station van Membach (België) staat 1 van de 20 gravimeters van dit type.
Een supergeleidende gravimeter die de de variaties van de valversnelling g meet tot op 10 -10
nauwkeurigheid (een tienmiljardste). Dit instrument meet onder andere aardbevingen maar
eveneens het effect van lokale variaties in vochtgehalte van de bodem, het niveau van de
grondwater, verandering van het weer en de eigenfrequentie van de aarde.
Figuur 5.3: Magnetische levitatie.
De bol en de spoelen worden
supergeleidend gemaakt in een bad met
vloeibaar helium op -269 ° C (4 K)
Figuur 5.1: Ingang van het
Figuur 5.2: Supergeleidende gravimeter.
geofysisch station te Membach. De zwaartekrachtsvariaties doorheen de tijd worden gemeten door de kracht
die nodig is om een bol die zweeft in een magneetveld in evenwicht te
houden.
Figuur 5.4: De verschillen in valversnelling
(nm/s²) in functie van de tijd (jaren)
26
5.3 Tijdtikker + massa:
Opstelling:
Met dank aan Mevr. Deschijnck (VTI Kortrijk)
Opbouw:
De tijdtikker bevat een elektromagneet en een koperen lat waaraan een scherpe punt
bevestigd is. Ter hoogte van deze punt is een gleuf voorzien waarin de strook papier
geplaatst wordt.
Werking:
Door de spoel aan te sluiten op het net zet de tijdtikker
50 stippen per seconde op de papierstrook
(elektromagnetisme). Met behulp van de verschillende
afstanden tussen de stippen kan de valversnelling
bepaald worden.
Werkwijze:







Bevestig de tijdtikker aan een statief en plaats deze op de rand van de tafel zodat de
massa op de grond valt.
Plaats een zachte ondergrond waarop de massa kan vallen.
Neem een strook papier en bevestig hieraan de massa.
Sluit de tijdtikker aan op het net.
Plaats de strook met de massa in de gleuf en laat deze los. Zorg ervoor dat er zo weinig
mogelijk extra wrijving ontstaat.
Schrijf het gewicht en de vorm van de massa op de strook om de gegevens te
verzamelen.
Herhaal dit voor enkele massa’s verschillend in massa en vorm.
Uitleg:
Bij een constante snelheid (a = 0 m/s²) blijven de afstanden tussen de stippen gelijk. (In
gelijke tijdintervallen worden gelijke afstanden afgelegd.)
Bij een veranderlijk snelheid (g = 9,81 m/s²) worden de afstanden tussen de punten steeds
groter. (In gelijke tijdintervallen worden verschillende afstanden afgelegd.)
27
Meetresultaten:
Stompcilindrische massa 50 g
Stip n
t (s)
s (m)
n * 1/f
0
0
Δs (m)
v (m/s)
Vgem (m/s)
tmidden
g (m/s²)
sn – sn-1
s/t
(vn + vn-1)/2
(tn + tn-1)/2
Vgem/tmidden
0,1
0,01
10
0,25
0,03
8,33
0,375
0,05
7,5
0,5
0,07
7,14
0,725
0,09
8,06
0,95
0,11
8,64
1,2
0,13
9,23
1,45
0,15
9,67
1,575
0,17
9,26
1,7
0,19
8,95
1,825
0,21
8,69
2,075
0,23
9,02
2,45
0,25
9,8
2,65
0,27
9,81
2,675
0,29
9,22
2,75
0,31
8,87
2,95
0,33
8,94
0
0
0,004
1
0,02
0,004
0,2
0,006
2
0,04
0,01
0,3
0,009
3
0,06
0,019
0,45
0,011
4
0,08
0,03
0,55
0,018
5
0,1
0,048
0,9
0,02
6
0,12
0,068
1
0,028
7
0,14
0,096
1,4
0,03
8
0,16
0,126
1,5
0,033
9
0,18
0,159
1,65
0,035
10
0,2
0,194
1,75
0,038
11
0,22
0,232
1,9
0,045
12
0,24
0,277
2,25
0,053
13
0,26
0,33
2,65
0,053
14
0,28
0,383
2,65
0,054
15
0,3
0,437
2,7
0,056
16
0,32
0,493
2,8
0,062
28
17
0,34
0,555
3,1
0,065
18
0,36
0,62
0,38
0,686
0,4
0,756
0,42
0,828
0,44
0,902
0,46
0,977
0,48
1,055
0,5
0,39
8,72
3,55
0,41
8,66
3,65
0,43
8,49
3,725
0,45
8,28
3,825
0,47
8,14
3,975
0,49
8,11
4,15
0,51
8,14
3,9
0,081
25
3,4
3,75
0,078
24
8,85
3,7
0,075
23
0,37
3,6
0,074
22
3,275
3,5
0,072
21
9,07
3,3
0,07
20
0,35
3,25
0,066
19
3,175
1,136
4,05
0,085
Grafiek:
vgem i.f.v. tmidden
Vgem = 8,46 tmidden
6
5
v gem (m/s)
4
3
2
1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
tmidden (s)
29
Meetresultaten:
Bolvormige massa 66,6 g
Stip n
t (s)
s (m)
n * 1/f
0
0
Δs (m)
v (m/s)
Vgem (m/s)
tmidden
g (m/s²)
sn – sn-1
s/t
(vn + vn-1)/2
(tn + tn-1)/2
Vgem/tmidden
0,1
0,01
10,0
0,275
0,03
9,17
0,4
0,05
8,00
0,55
0,07
7,86
0,775
0,09
8,61
1
0,11
9,09
1,2
0,13
9,23
1,375
0,15
9,17
1,5
0,17
8,82
1,65
0,19
8,68
1,8
0,21
8,57
1,925
0,23
8,37
2,125
0,25
8,50
2,375
0,27
8,80
2,6
0,29
8,96
2,75
0,31
8,87
2,875
0,33
8,71
0
0
0,004
1
0,02
0,004
0,2
0,007
2
0,04
0,011
0,35
0,009
3
0,06
0,02
0,45
0,013
4
0,08
0,033
0,65
0,018
5
0,1
0,051
0,9
0,022
6
0,12
0,073
1,1
0,026
7
0,14
0,099
1,3
0,029
8
0,16
0,128
1,45
0,031
9
0,18
0,159
1,55
0,035
10
0,2
0,194
1,75
0,037
11
0,22
0,231
1,85
0,04
12
0,24
0,271
2
0,045
13
0,26
0,316
2,25
0,05
14
0,28
0,366
2,5
0,054
15
0,3
0,42
2,7
0,056
16
0,32
0,476
2,8
0,059
30
17
0,34
0,535
2,95
0,064
18
0,36
0,599
0,38
0,667
0,4
0,737
0,42
0,809
0,44
0,884
0,46
0,963
0,48
1,047
0,5
0,39
8,85
3,55
0,41
8,66
3,675
0,43
8,55
3,85
0,45
8,56
4,075
0,47
8,67
4,325
0,49
8,83
4,6
0,51
9,02
4,2
0,089
25
3,45
3,95
0,084
24
8,92
3,75
0,079
23
0,37
3,6
0,075
22
3,3
3,5
0,072
21
8,79
3,4
0,07
20
0,35
3,2
0,068
19
3,075
1,136
4,45
0,095
Grafiek:
vgem i.f.v. tmidden
6
v gem (m/s)
5
4
y = 8,8954x
3
2
1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
tmidden (s)
Resultaat:
Bij de stompcilindrische massa bedraagt de valversnelling 8,46 m/s²
Bij de bolvormige massa bedraagt deze 8,90 m/s²
31
Besluit:
Bij het bepalen van de valversnelling te bepalen is de invloed van de
wrijving en de luchtweerstand duidelijk te zien in deze opstelling. De proef
geeft een slecht beeld van de waarde (afwijking van ± 1 m/s²). De bolvormige
massa heeft een kleinere luchtweerstand coëfficiënt (ronde vorm) waardoor
zijn waarde veel beter was dan bij de stompe cilinder. Het grootste probleem
licht echter bij de wrijving tussen de papierstrook en de tijdtikker wat dus de
‘slechte’ waarden opleverde.
5.4 Omkeerbare slinger (slinger van Kater)
Opstelling:
Met dank aan mr. Derammelaere en mevr. Callens (Howest Kortrijk)
Theorie:
Omkeerbare slinger:
Met:
l
T0 = 2π√g
T0 = T1 = T2 (omkeerbaarheidspunt)
l = afstand tussen de 2 ophangpunten (zie bewijs)
Hieruit volgt: g = 4π²
l
T20
Opbouw:
De omkeerbare slinger bestaat uit een staaf s voorzien van 2 messen, 1 en 2 als
ophangpunten. Op de staaf kan men twee gewichtsschijven A en B plaatsen van
respectievelijk 1400 g en 1000 g. Deze gewichtsschijven moeten in een stand gebracht
worden zodat de slinger omkeerbaar wordt. Dat wil zeggen dat de periode T 1 van de slinger,
schommelend rond ophangpunt 1, gelijk wordt aan de periode T 2 van de slinger
schommelend rond ophangpunt 2. Zodat T0 gelijk is aan T1 en ook gelijk aan T2 . In deze
enige stand is de slingerlengte l precies de afstand tussen de messen 1 en 2 (zie bewijs).
Deze lengte l en de periode T0 zijn goed meetbaar. Voor de periode T0 wordt een elektrische
counter gebruikt voor hogere nauwkeurigheid
Werking:
Deze proef is gebaseerd op het slingerprincipe. Ook hier is de wet van isochronisme geldig
(massa en uiwijking hebben geen invloed op de periode). De afstanden a en b worden
gemeten vanaf het uiteinde tot aan de rand van de massa
(i.p.v. tot aan het middelpunt). Zo kun je de nauwkeurigheid van
de meetresultaten vergroten. Eerst wordt het
omkeerbaarheidspunt ongeveer gezocht. Daarna worden er
kleine intervallen rond dit punt afgebakend om nauwkeuriger
het omkeerbaarheidspunt te zoeken. Met behulp van dit punt
en de slingerformule kan de valversnelling g bepaald worden.
32
Werkwijze:
Omkeerbare slinger: bepalen van omkeerbaarheidspunt













Plaats schijf B op een afstand b = 50 cm.
Plaats schijf A op een afstand a = 8 cm.
Meet de tijd t1 voor 10 volledige slingeringen rond ophangpunt 1 en de tijd t 2 voor 10
volledige slingeringen rond ophangpunt 2.
Neem tussen 2 metingen in, de slinger telkens uit zijn ophangpunt om de invloed van de
wrijving in rekening te brengen.
Gebruik hiervoor de elektronische counter met instelbaar aantal periodes. De slinger
moet daarbij in een verticaal vlak slingeren met kleine amplitudes (≤ 5 cm).
Bepaal de periode van de slinger schommelend respectievelijk rond de ophangpunten 1
en 2 (t/10).
Herneem de metingen voor andere standen van schijf A. Gekenmerkt door
ai = 10 cm,12 cm,14 cm,16 cm,18 cm,20 cm en i = 2,3,4,…
Maak een grafiek op met als ordinaat (y – as) de periode en als abscis (x – as) de
afstand a.
Teken 2 trendlijnen en geef de vergelijkingen weer.
Het snijpunt van deze rechten geeft de benaderde periode van de omkeerbaarheid T 0 en
de omkeerbaarheidsstand a0.
Voor het nauwkeurige bepalen van T0 wordt de schijf A op kleine afstanden rond a 0
geplaatst.
Bepaal telkens de slingerperiodes T1 en T2 voor beide ophangpunten uit de meettijden
voor 50 slingeringen.
Maak opnieuw een grafiek op met deze waarden.
Het snijpunt van deze rechten geeft de nauwkeurige waarde voor T 0.
Elektronische counter: Periodemeting met voorinstelling.








Detector aansluiten op INPUT B.
Selector in de gewenste stand plaatsen (aangeduide waarden zijn aantal perioden die
worden geteld).
Schakelaar FREQ/PERIOD in de stand PERIOD plaatsen.
Schakelaar MODE A/B in de stand B.
RESET-knop indrukken als display geen 00 toont.
STORE-knop omlaag plaatsen.
START-knop indrukken. De telling begint bij de eerste doorgang.
Lampje ‘CLOCK’ duidt de gedetecteerde perioden aan. Het stoppen gebeurt
automatisch. Maneel stoppen is mogelijk door indrukken van de STOP-knop.
Het resultaat kan op 00 geplaatst worden door indrukken van de RESET-knop.
33
Uitleg:
Theoretische slinger:
= een geïdealiseerde slinger bestaande uit een puntmassa aan een
massaloze staaf (of massaloos koord) die de puntmassa wrijvingsloos
verbindt met het ophangpunt.
Figuur:
Bewijs:
Ft = Fz ∙ sin θ
Ft = m ∙ g ∙ sin θ
Bij kleine θ geldt: sin θ = θ
Ft = m ∙ g ∙ θ
De plaats s of baancördinaat van een
massa op de cirkelboog t.o.v. haar
evenwichtspunt B is gegeven door:
s= l∙θ
s
Ft = m ∙ g ∙
l
m∙g∙s
Ft =
l
Ft =
Fzw =
Aangezien bij kleine θ de kracht evenredig is met de uitwijking is de
slingerbeweging een harmonische trilling. Omdat de vergelijking voor F t
analoog is met F = k ∙ y kunnen we bij de slinger gebruik maken van de
veerformule en de bijhorende formule voor de periode om de formule voor de
periode bij de slinger te bepalen, namelijk:
m
T = 2π√ k met k =
m∙g
l
l
T = 2π√
g
Met:
T = periode van de slinger
l = afstand tussen massa en ophangpunt
g = aardversnelling (9,81 m/s²)
Fysische slinger
= vast lichaam dat vrij in een verticaal vlak om een horizontale as
gaande door het lichaam kan slingeren onder invloed van de
zwaartekracht.
Figuur:
Idem mathematisch slinger maar touw en massa zijn één willekeurige vorm
die rond een punt slingert. Vb. lat met een gaatje rond een nagel.
Bewijs:
Het moment van krachten dat op de slinger werkt als deze niet in evenwicht is,
is gelijk aan:
Mt = −m g s sinθ
Maar ook geldt:
(massatraagheid)
Mt = I α
Dus:
Bij een kleine uitwijking geldt:
En dus:
α
θ
=−
𝑚𝑔𝑠
Is
=−
I α = −m g b sinθ
I α = −m g b θ
4𝜋2
𝑇2
34
Ib
T = 2π√
mgs
Met:
I = traagheidsmoment t. o. v. het ophangpunt
m = massa van de slinger
s = afstand van het ophangpunt tot het massamiddelpunt
g = aardversnelling (9,81 m/s²)
Omkeerbare slinger (OSL)
= Ook wel de Slinger van Kater is een fysische slinger met 2 massa’s en 2
ophangpunten ontworpen en gebouwd door Kapitein Henry Kater om de
valversnelling te meten. De zwaartekracht kan ermee berekend worden zonder dat
het zwaartepunt en de gyratiestraal van de slinger bekend zijn.
Figuur:
Bewijs:
De omkeerbare slinger is in principe een fysische slinger en
heeft dus dezelfde vergelijking voor de periode. Het enige
probleem is welke afstand we gebruiken om deze te
berekenen.
I
I
T1 = 2π√ms1 g en T2 = 2π√ms2 g
1
2
Stelling van Steiner: I1 = Im + ms12
I2 = Im + ms22
Als T1 = T2, dan:
I1
I2
=
s1
s2
Im +ms21
Im
s1
s1
Im +ms22
=
s2
Im
+ ms1 =
1
1
1
2
s2
Zie Steiner
+ ms2
Im (s − s ) = m(s2 − s1 )
l = s 1 + s2
1
1
Im (s − l−s ) = m(l − s1 − s1 )
𝐼𝑚
1
−
𝐼𝑚
1
= m(l − 2s1 )
𝑠1
𝑙−𝑠1
𝐼𝑚 (𝑙−𝑠1 )−𝐼𝑚𝑠1
𝑠1 (𝑙−𝑠1 )
= m(l − 2s1 )
𝐼𝑚 (𝑙 − 𝑠1 ) − 𝐼𝑚 𝑠1 = m(l − 2s1 )𝑠1 (𝑙 − 𝑠1 )
𝐼𝑚 (𝑙 − 2𝑠1 ) = m(l − 2s1 )𝑠1 (𝑙 − 𝑠1 )
𝐼𝑚
= 𝑠1 (𝑙 − 𝑠1 )
𝑚
𝑠12 − 𝑙𝑠1 +
Discriminant:
𝑠1 =
𝐼𝑚
𝑚
=0
4𝐼
𝑙±√𝑙2 − 𝑚
𝑚
2
𝑙
𝑙²
= 2 ± √4 −
𝐼𝑚
𝑚
(1)
Gereduceerde lengte van de fysische slinger:
Steiner:
I
l′ = ms1 =
1
Im +ms21
ms1
(2)
35
2
l′ =
l
l² I
Im +m( ±√ − m )
2
4
m
(1) 𝑖𝑛 (2)
l
l² I
m( ±√ − m )
2
4 m
2
l′ =
2
l
l² I
l
I
Im +m( ±l√ − m + − m )
4
4
m
4
m
l
l² I
m( ±√ − m )
2
4
m
l
l² I
l( ±√ − m )
2
′
Uitwerken:
l =
4
m
l
l² I
( ±√ − m )
2
4
m
I1
l′ = ms = l
1
Dus de slingerlengte l is gelijk aan de afstand tussen de ophangpunten.
Meetresultaten + grafiek:
Stap 1: Het omkeerbaarheidspunt (ongeveer) bepalen.
Afstand l tussen A en B = 100 cm
Punt 1
Punt 2
Trendlijn 1
y = ax+b
Rico (a)
b
-0,0144
2,245
b
2,127
a
(cm)
8,0
10 perioden
(s)
21,293
1 periode
(s)
2,129
10 perioden
(s)
20,682
1 periode
(s)
2,068
10,0
21,044
2,104
20,545
2,055
12,0
20,711
2,071
20,389
2,039
Trendlijn 2
y = ax+b
Rico (a)
14,0
20,414
2,041
20,271
2,027
-0,0073
16,0
20,123
2,012
20,114
2,011
Snijpunt
18,0
19,847
1,985
19,978
1,998
x
y=T0
20,0
19,590
1,959
19,793
1,979
16,648
cm
2,006 s
𝐠 = 𝟒𝛑²
𝐥
𝐓𝟎𝟐
= 𝟗, 𝟖𝟏 𝐦/𝐬𝟐
Periode i.f.v. de afstand a
2,15
Periode (s)
2,1
2,05
Ophangpunt 1
2
Ophangpunt 2
Trendlijn 1
1,95
1,9
7
9
11
13
15
17
19
21
Trendlijn 2
T = -0,0144 l + 2,2454
T = -0,0073 l + 2,1272
Lengte van a (cm)
36
Meetresultaten:
Stap 2: Het omkeerbaarheidspunt nauwkeuriger bepalen.
Afstand l tussen A en B = 100 cm
Punt 1
Punt 2
Trendlijn 1
y = ax+b
Rico (a)
b
-0,0134
2,225
b
2,122
a
(cm)
15,5
50 perioden
(s)
100,933
1 periode
(s)
2,019
50 perioden
(s)
100,725
1 periode
(s)
2,015
16
100,558
2,011
100,575
2,012
16,5
100,289
2,006
100,386
2,008
Trendlijn 2
y = ax+b
Rico (a)
17,0
99,910
1,999
100,209
2,004
-0,0069
Snijpunt
𝐠 = 𝟒𝛑²
x
Y=T0
15,846 cm
2,013
𝐥
= 𝟗, 𝟕𝟒 𝐦/𝐬𝟐
𝐓𝟎𝟐
Grafiek:
Periode i.f.v. de afstand a over interval [15,5;17]
2,02
Periode (s)
2,015
2,01
Ophangpunt 1
Ophangpunt 2
2,005
Trendlijn 1
Trendlijn 2
2
T = -0,0134 l + 2,2254
T = -0,0069 l + 2,1224
1,995
15
15,5
16
16,5
17
17,5
lengte van a (cm)
Resultaat:
Met de omkeerbare slinger bekomen we een valversnelling van 9,81 m/s².
Wanneer we een kleiner interval nemen, bedraagt die constante 9,74 m/s².
Besluit:
De proef geeft een mooi resultaat met een afwijking van slechts 0,08 m/s².
De omkeerbare slinger is een nauwkeurige manier om de gravitatieconstante
te bepalen. Bij onze eerste meting met veel waarden komt de bekomen g
exact overeen met de werkelijke valversnelling. Dit komt eerder door toeval.
Bij deze proef is de kans om waarde van 9,81 m/s² te benaderen veel groter
wanneer men enkel een trendlijn tekent over een klein interval rond het
equivalentiepunt en wanneer er veel perioden gemeten worden (50 in dit
geval).
37
5.5 Eigen opstelling: elektronische meetbuis
Opmerking: In het praktisch gedeelte van deze bundel wordt er dieper ingegaan op deze
opstelling.
Opstelling:
Met dank aan: Frederik Soubry en Jonathan Deschodt
Philip Soubry en Tom Dupont
Theorie:
Vrije valprincipe (Zie praktisch gedeelte: hoofdstuk 1)
g=
Opbouw:
2s
t²
De elektronische meetbuis bestaat uit een PVC buis van ± 1,80 m die steunt
op een voet met drie instelbare pootjes. Bovenaan bevindt er zich een
omgevormde elektromagneet waarin de waterdruppel geplaatst moet worden.
Net onder de massa is de eerste sensorring geplaatst (een sensor recht
tegenover een IR LED). Om de halve meter is er zo’n meetpunt. In totaal zijn
er 4 sensors waarvan één de startwaarde is. Via een microcontroller en een
programma kunnen de verschillende gemeten tijdwaarden worden verwerkt
om de valversnelling te bepalen. De metingen worden gestart voor de val en
gereset na de val door een kleine drukknop.
Werkwijze:
1. Opstarten programma:
 Sluit de arduino correct aan op de computer via de usb poort.
 Start de arduino wanneer de computer volledig is opgestart start u arduino op
en laad u het programma in de interface.
 Laad het programma in de arduino.
2. Opstarten van de meting:
 Druk enkele seconden op de knop zodat de elektromagneet bekrachtigd
wordt.
 Plaats de massa in de elektromagneet zodat deze op haar plaats blijft zitten.
 Plaats nu de elektromagneet bovenaan de buis zodat de meting kan starten
 Vergeet niet onderaan een bakje zand te plaatsen zodat de kogel geen
schade aan de vloer aanbrengt.
 Druk terug enkele seconden op de knop om de meting van start te laten gaan.
3. Tijdens de meting:
 Alle grenswaarden worden automatisch afgesteld.
 De kogel valt.
 De tussentijden worden geregistreerd door de arduino
Dankzij het programma berekend de computer nu zelf valversnelling a.d.h.v. de gemeten
waarden. Alle tijden en tussentijden zijn af te lezen op de printout die op de PC wordt
geopend na de val. Om opnieuw een meting uit te voeren moeten de arduino gereset worden
door enkele seconden op de knop te drukken.
Uitleg:
Deze methode bepaald de valversnelling in zijn puurste vorm.
38
De valversnelling word eenvoudig berekend met de formule van vrije val om
de halve meter. Enkel de luchtweerstand en de nauwkeurigheden kunnen
lichte afwijkingen veroorzaken.
Meetresultaten:
Zie praktisch gedeelte.
Grafiek:
Zie praktisch gedeelte.
Resultaat:
Zie praktisch gedeelte.
Besluit:
Zie praktisch gedeelte.
Programma:
Zie bijlage 1. (Programma met uitleg)
39
PRAKTISCH GEDEELTE:
Hoofdstuk 1: Vrije val principe
1.1 Inleiding:
Onze praktische opstelling steunt op het principe van de vrije val. In dit
hoofdstuk bespreken we invloeden op deze beweging en enkele toepassingen
van dit principe.
1.2 Definitie vrije val:
“Vrije val is de toestand waarin op een lichaam geen enkele externe kracht wordt
uitgeoefend, behalve de zwaartekracht. De versnelling van het lichaam is in dat geval gelijk
aan de valversnelling ten gevolge van de zwaartekracht.”
1.3 Valbeweging in lucht:
De valbeweging doorheen een viscues medium wordt afgeremd door de luchtweerstand.
De tegenwerkende kracht bespreken we grondig in Hoofdstuk 3: Fouten.
Algemeen:
Hoe groter het contactoppervlak van het voorwerp, hoe groter de
luchtweerstand.
De luchtweerstand stijgt kwadratisch met de snelheid.
Op een vallend voorwerp in lucht werken drie krachten in: de zwaartekracht (naar de aarde
toe), de opwaartse kracht of archimedeskracht en de wrijvingskracht tussen de lucht en het
voorwerp (werken de zwaartekracht tegen). De constante valsnelheid wordt bereikt wanneer
de zwaartekracht gelijk is aan de som van de andere twee krachten:
Fzw = Fw + Farch
Voor de wrijvingskracht leidde Stokes
de volgende vergelijking af voor een bol: Fw = 6πrμv
Met:
r = straal van het voorwerp
µ = viscositeit van het medium
v = eindsnelheid van het voorwerp
De gravitatiewet van Newton luidt:
Fzw = mg
4
Voor een bolvormig voorwerp wordt dit:
Fzw = 3 πgρv r³
Met:
g = aardversnelling
ρv = massadichtheid van het voorwerp
r = straal van het voorwerp
De opwaartse kracht is volgens archimedes gelijk aan het gewicht van de verplaatste
vloeistof/gas:
Farch = gρm V
Met:
g = aardversnelling
ρm = massadichtheid van het medium
V = volume van het voorwerp
4
Waaruit volgt:
Farch = gπρm r³
3
De valsnelheid wordt nu bereikt wanneer: Fw = Fzw + Farch
40
4
Of:
Hieruit volgt:
6πrμv = gπr³(ρv − ρm )
3
2
v = 9 r²g
ρv −ρm
µ
Deze snelheid is de maximale snelheid die het voorwerp kan hebben.
Figuur:
1.4 Valbeweging in het luchtledige:
Volgens gallilei en Newton vallen alle voorwerpen (alle massa’s) evensnel in het luchtledige.
Waardes: Zie tabel p. 20
Met deze waarden kan de ontsnappingsnelheid bepaalt worden.
“De ontsnappingssnelheid van een hemellichaam is de minimale snelheid waarmee een nietaangedreven voorwerp vanaf dat hemellichaam wordt weggeschoten (onder ideale
theoretische omstandigheden) zodat het tot in het oneindige van dat hemellichaam af blijft
bewegen en niet naar het hemellichaam terugvalt.”
Voor deze snelheid bij een bol geldt de volgende formule: 𝑣 = √2gR
Met: v = ontsnappingsnelheid (m/s)
g = aardversnelling (m/s²)
R = straal van het voorwerp (m)
1.5 Formules vrije val
Deze formules zijn afkomstig van de eenparig veranderlijke beweging met als versnelling ‘g’.
Ook zijn deze formules slechts geldig in het luchtledige, vandaar de kleine fout in de
praktische proef.
v = v0 + gt
Met: v = snelheid (m/s)
v0 = beginsnelheid (m/s)
g = aardversnelling (m/s²)
t = tijd (s)
Maar in de elektronische meetbuis kennen we enkel de tijden en de afstanden, niet de
snelheden. De formule van afstand bekomen we door bovenstaande functie te integreren.
41
gt 2
2
s = afstand (m)
s0 = beginafstand (m)
v = snelheid (m/s)
v0 = beginsnelheid (m/s)
g = aardversnelling (m/s²)
t = tijd (s)
s = s0 + v0 t +
Met:
Omdat bij onze toepassing de beginafstand en beginsnelheid beiden nul zijn kan de formule
vereenvoudigd worden tot: s =
gt2
2
Wanneer we hier ‘g’ uithalen, krijgen we volgende vergelijking: g =
2s
t²
Hiermee kan de valversnelling automatisch berekend worden bij de elektronische meetbuis.
42
Hoofdstuk 2: Ontwerp
2.1 Inleiding:
In de loop van het jaar heeft onze elektronische meet buis vele verschillende
gedaantes aangenomen om dan tot onze definitieve praktische proef te komen.
In dit hoofdstuk overlopen we de verschillende fases met de problemen en de
oplossingen. Meer foto’s van de definitieve opstelling: zie bijlage 3.
2.2 Tekeningen:
Figuur 2.1 De eerste schetsen om een idee te krijgen van de
opstelling en hoe we de val zouden lanceren.
Figuur 2.2 Paint – tekeningen van het basisprincipe van de
praktische opstelling.
43
2.3 Opbouw:
Figuur 2.3 Testbuis met LDR’s en gewone LED’s
De voorlopige versie van de
praktische proef vertoonde grote
fouten. Deze voorlopige buis werkte
met LDR’s. Dat zijn eenvoudige en
goedkope lichtsensoren die we bij
gebrek aan kennis van de datasheet
gebruikten. De massa werd nooit
gedetecteerd door de sensor, bleek
dat de reageersnelheid van een
LDR veel te laag was voor onze
toepassing. Een andere fout die we
toen ook ontdekt hebben was de
invloed van omgevingslicht. Mede
hierdoor hebben we in de definitieve
opstelling gebruik gemaakt van
infrarood LED’s. De basis legden we
hier in samenwerking met Tom
Dupont (6 I²CT)
Figuur 2.4 Definitieve buis met fotodiodes en IR LED’s
De definitieve versie van de
praktische proef is een nauwkeurig
en professioneel meettoestel
geworden. Het beeld hiernaast is
een prinscreen uit het didactisch
paneel van onze gip die de opbouw
van de buis weergeeft. In het
hoofdstuk elektronica worden alle
componenten nog eens apart
besproken. De verbeteringen t.o.v.
de voorlopige versie zijn: de
elektromagneet die zorgt voor een
automatisch en constant
valmechanisme, fotodiodes en IR
Led’s, een knop om de val mee te
bedienen en een instelbaar statief +
schietlood die ervoor zorgt dat de
gehele constructie waterpas staat.
Het uitwerking van onze ideeën
gebeurde in samenwerking met Filip
Soubry (Vader Frederik)
44
Hoofdstuk 3: Fouten beperken
3.1 Inleiding:
Alle opstelling die we in deze bundel bespreken hebben hun eigen fouten. Z o
ook onze eigen opstelling. In dit hoofdstuk zullen we deze fouten bespreken en
uitleggen hoe we deze zoveel mogelijk hebben greduceert om een beter
resultaat te bekomen.
3.2 Luchtweerstand:
3.2.1 Definitie:
“Luchtweerstand is de kracht die een voorwerp ondervindt als het zich voortbeweegt door de
lucht.”
3.2.2 Formule:
F=
ρ∙v2 ∙A∙Cw
2
F = opwaartse stuwkracht van de lucht (luchtweerstand) [N]
ρ = dichtheid van de stof waarin het voorwerp zich voortbeweegt [kg/m³]
v = snelheid van het voorwerp [m/s]
A = geprojecteerde oppervlakte van het voorwerp loodrecht op de
bewegingsrichting [m²]
Cw = weerstandscoëfficiënt afhankelijk van de vorm en ruwheid [/]
3.2.3 Reduceren:
Deze valt te beperken door volgende factoren aan te passen:
v:
A:
Cw:
Meetpunten relatief dicht bij elkaar nemen.
Klein voorwerp gebruiken.
Waterduppel vorm gebruiken met een glad oppervlak.
Ook zorgen we voor een relatieve brede buis (70 mm) om wervelingen te voorkomen.
45
3.2.4 Weerstandcoëfficiënt:
“De weerstandscoëfficiënt is een natuurkundige grootheid die gebruikt wordt bij het
berekenen van de weerstand die een voorwerp ondervindt in een stromend medium,
bijvoorbeeld lucht of water
Luchtweerstand bij vrije val (normomstandigheden)
0,025
F (N)
0,02
0,015
0,01
0,005
t (s)
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0,22
0,24
0,26
0,28
0,3
0,32
0,34
0,36
0,38
0,4
0,42
0,44
0,46
0,48
0,5
0,52
0,54
0,56
0,58
0
t (s)
3.3 Nauwkeurigheden en andere factoren




Afstanden tussen de sensoren
Microcontroller (nauwkeurigheid)
Sensoren (nauwkeurigheid)
Lengte draden
Uit de voorlopige meetresultaten bleek dat een verplaatsing van 1 mm grote gevolgen heeft
op de bekomen waarden. Om dit probleem op te lossen hebben we omgekeerd te werk
gegaan en vanuit de juiste waarde voor g de afstanden bepaald. Hieruit bleek dat we met
een erg kleine afwijking zitten die we onmogelijk kunnen wegwerken. In het hoofdstuk
elektronica toonden we aan dat de nauwkeurigheden van zowel de microcontroller als de
sensoren verwaarloosbaar klein zijn. En ook de lengte van de draden speelt geen grote rol
daar elektriciteit zich voortbeweegt met de snelheid van het licht (300 000 km/s)
46
Hoofdstuk 4: Elektronica
4.1 Inleiding:
Het doel van onze praktisch opstelling was om met moderne middelen (PC en
elektronica) de valversnelling te registreren. In dit hoofdstuk bespreken we alle
gebruikte componenten met hun belangrijkste specificaties.
4.2 Belangrijkste onderdelen meetopstelling:
4.2.1 Microcontroller
Arduino Duemilanove (2009)
 14 digitale in- of uitgangen
 6 analoge ingangen
 Voeding + massa
Deze relatief goedkope processor haalt hoge prestaties en een laag stroomverbruik
dankzij de Atmel ® AVR ® 8-bit microcontroler. Het bezit 131 krachtige
voorgeprogrammeerde instructies waarvan de meeste in een klokfrequentie uit te voeren.
Deze klokfrequentie bedraagd 16 MHz. De arduino heeft een 16-bits timer met aparte
prescaler, vergelijk-modus en opname modus.
Figuur 4.1 Bovenaanzicht van de Arduino 2009
Figuur 4.2 Principe tekening van de aansluiting op de Arduino
Figuur 4.3. Stuurschema van de Arduino 2009
47
4.2.2 Sensoren
Fotodiode BPW 24R
 P-N halfgeleiderovergang
 Glasvezelverbinding
 Foto-elektrisch effect
 Germanium
Dit is een hoog gevoelige siliconen fotodiode in een standaard TO_18 hermetisch afgesloten
metalen behuizing met een glazen lens. Deze lichtsensor is zeer snel zelfs bij lage
spanningswaarden. De rise en fall time bedraagd 7ns. De fotodiode heeft een kleine
gevoeligheidshoek van 12° waardoor de LED recht tegenover de sensor geplaatst moet
worden. Het heeft een hoge fotosensitiviteit en is zowel geschikt voor zichtbaar als infrarood
licht.
Figuur 4.4 Fotodiode BPW 24R
Figuur 4.5 Printscreen uit de datasheet (Rise and fall time)
Bovenstaande grafiek stelt de rise en fall time voor. De rise en fall time is de tijd die het
signaal moet duren vooraleer de sensor deze registreert. Bij de BPW 24R ligt deze rond de
7ns (zie figuur 4.5).
48
4.2.3 LEDs
IR-LED TSHA620
 Infrarood
 λ = 870 nm
 Spiegelkapje
De golflengte van deze LED (870 nm) licht zo goed als op de piek van de gevoeligheidscurve
van onze sensoren. Ze zijn relatief goedkoop maar toch erg betrouwbaar. De uitsralingshoek
bedraag 12° die we concentreren d.m.v. parabolische spiegelkapjes .
Figuur 4.6 Printscreen uit de datasheet van de
sensoren (gevoeligheidscurve)
4.2.4 Relais
Relais Siemens
 recuperatiemateriaal
Omgebouwde relais zodat hij de kogel loodrecht laat vallen. Het is krachtig genoeg om bij
een spanning van 10V de kogel vast te houden.
49
Hoofdstuk 5: Verwerking meetresultaten
Voorlopige meetresultaten:
Valversnelling in Kortrijk
9,8113 m/s²
Tijd (s)
Hoogte (m)
Valversnelling g (m/s²)
Sensor 1
0,000000
0,00
/
Sensor 2
0,319664
0,50
9,7862
Sensor 3
0,453072
1,00
9,7431
Sensor 4
0,555232
1,50
9,7313
Gemiddelde:
9,7535 m/s²
Verschil:
- 0,0578 m/s²
Sensor 1
0,000000
0,00
/
Sensor 2
0,319552
0,50
9,7930
Sensor 3
0,452848
1,00
9,7527
Sensor 4
0,554896
1,50
9,7431
Gemiddelde:
9,7630 m/s²
Verschil:
- 0,0483 m/s²
Sensor 1
0,000000
0,00
/
Sensor 2
0,317760
0,50
9,9038
Sensor 3
0,451056
1,00
9,8304
Sensor 4
0,553104
1,50
9,8064
Gemiddelde:
9,8468 m/s²
Verschil:
+ 0,0355 m/s²
Sensor 1
0,000000
0,00
/
Sensor 2
0,318208
0,50
9,8759
Sensor 3
0,451840
1,00
9,7963
Sensor 4
0,554336
1,50
9,7628
Gemiddelde:
9,8117 m/s²
Verschil:
+ 0,0004 m/s²
Sensor 1
0,000000
0,00
/
Sensor 2
0,319328
0,50
9,8068
Sensor 3
0,452624
1,00
9,7624
Sensor 4
0,554784
1,50
9,7471
Gemiddelde:
9,7721 m/s²
Verschil:
- 0,0392 m/s²
50
Sensor 1
0,000000
0,00
/
Sensor 2
0,318544
0,50
9,8551
Sensor 3
0,45184
1,00
9,7963
Sensor 4
0,553888
1,50
9,7786
Gemiddelde:
9,8100 m/s²
Verschil:
- 0,0013
Totale gemiddelde g = 9,7928 m/s²
Definitieve meetresultaten:
Zie bijlage 2.
51