Getaltheorie Les 4

Getaltheorie Les 4
(Ir)rationale getallen
Wiskunde D
Inhoud les 4
1.
Definitie rationale getallen
2.
Van decimaal naar breuk en omgekeerd
3.
Definitie irrationale getallen
4.
Bewijzen uit het ongerijmde
Getallen zoals bekend
N is de verzameling natuurlijke getallen {0,1,2,3,4,…}
Z is de verzameling gehele getallen {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Q is de verzameling rationale getallen (breuken)
R is de verzameling reële (of irrationale) getallen
Rationale getallen
Definitie:
p
Het rationale getal
met p, q Î Z en q ¹ 0 is de
q
verzameling van geordende paren gehele getallen die
equivalent (onder ratio) zijn me (p,q), dus
p
= {(u, v) | (u, v) ~ (p, q) met u, v Î Z en v ¹ 0}
q
p
q heet de breuk van de gehele getallen p en q.
Hierbij heet p de teller en q de noemer van de breuk.
De streep noemen we de verhoudingsstreep.
Rationale getallen
Definitie:
p
Het rationale getal
met p, q Î Z en q ¹ 0 is de
q
verzameling van geordende paren gehele getallen die
equivalent (onder ratio) zijn me (p,q), dus
p
= {(u, v) | (u, v) ~ (p, q) met u, v Î Z en v ¹ 0}
q
Voorbeeld:
-6
= {(..., (12,-8),(9,-6),(6,-4), (3,-2),(-3, 2),(-9, 6), (-12,8),...}
4
want (12,-8) ~ (-6, 4), (9,-6) ~ (-6, 4), (6,-4) ~ (-6, 4), enz.
Rationale getallen
Definitie:
p
Het rationale getal
met p, q Î Z en q ¹ 0 is de
q
verzameling van geordende paren gehele getallen die
equivalent (onder ratio) zijn me (p,q), dus
p
= {(u, v) | (u, v) ~ (p, q) met u, v Î Z en v ¹ 0}
q
Voorbeeld:
-6
= {(..., (12,-8),(9,-6),(6,-4), (3,-2),(-3, 2),(-9, 6), (-12,8),...}
4
3
= {(..., (12,-8),(9,-6),(6,-4), (3,-2),(-3, 2),(-9, 6), (-12,8),...}
-2
Rationale getallen
Definitie:
p
Het rationale getal
met p, q Î Z en q ¹ 0 is de
q
verzameling van geordende paren gehele getallen die
equivalent (onder ratio) zijn me (p,q), dus
p
= {(u, v) | (u, v) ~ (p, q) met u, v Î Z en v ¹ 0}
q
Voorbeeld:
-6
= {(..., (12,-8),(9,-6),(6,-4), (3,-2),(-3, 2),(-9, 6), (-12,8),...}
4
3
= {(..., (12,-8),(9,-6),(6,-4), (3,-2),(-3, 2),(-9, 6), (-12,8),...}
-2
Deze breuken zijn gelijk vanwege gelijke verzamelingen.
Rationale getallen
Verzameling van Rationale getallen (Q):
p
Q = {r | r = met p, q Î Z en q ¹ 0}
q
Definities:
p
Een breuk heet niet te vereenvoudigen als GGD(p,q) = 1
q
p
Een breuk heet wel te vereenvoudigen als GGD(p,q) > 1
q
Rationale getallen
Verzameling van Rationale getallen (Q):
p
Q = {r | r = met p, q Î Z en q ¹ 0}
q
Voorbeeld:
Neem p=4 en q=7.
Er geldt nu GGD(4,7)=1, (relatief priem)
dus
p
is niet te vereenvoudigen.
q
Rationale getallen
Verzameling van Rationale getallen (Q):
p
Q = {r | r = met p, q Î Z en q ¹ 0}
q
Voorbeeld:
Neem p=4 en q=8.
Er geldt nu GGD(4,8)=4 > 1,
dus p is wel te vereenvoudigen.
q
Van decimaal naar breuk
Stelling:
Iedere afbrekende decimaalontwikkeling stelt een rationaal
getal voor.
Voorbeeld: 0,27162 =
27162
100000
Algemeen:
Neem het getal 0,abcd…..K., met K cijfers achter de komma.
De breuk die hier bij hoort is:
abcd...K
10 K
Van decimaal naar breuk
Stelling:
Iedere repeterende decimaalontwikkeling stelt een rationaal
getal voor.
Voorbeeld:
Stel x = 0,131313… (notatie 0,|13|)
dan 100x = 13,1313…
aftrekken geeft 99x = 13
dus
13
x=
99
Van decimaal naar breuk
Stelling:
Iedere repeterende decimaalontwikkeling stelt een rationaal getal
voor.
Voorbeeld2:
Stel
dan
en
x = 0,467131313… (notatie 0,467|13|)
100000x = 46713,1313…
1000x = 467,1313…
aftrekken geeft 99000x = 46246
dus
46246
x=
99000
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8/3
\
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8/3
\0
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8/3
0–
\0
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8/3
0–
3
\0
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8 / 3,000..\0
0–
30
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8 / 3,000..\0,3
0–
30
24–
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8 / 3,000..\0,3
0–
30
24–
6
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8 / 3,000..\0,3
0–
30
24–
60
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8 / 3,000..\0,37
0–
30
24–
60
56
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8 / 3,000..\0,37
0–
30
24–
60
56–
4
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8 / 3,000..\0,37
0–
30
24–
60
56–
40
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8 / 3,000..\0,375
0–
30
24–
60
56–
40
40–
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk.
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
wordt
8
8 / 3,000..\0,375
0–
30
24–
60
56–
40
40–
0
Van breuk naar decimaal
Stelling:
Iedere rationaal getal heeft een bijbehorende breuk..
3
Voorbeeld mbv staartdelen:
= 0,375
8
8 / 3,000..\0,375
0–
30
24–
60
56–
40
40–
0
Repeterende decimaalontwikkeling
1
Voorbeeld mbv staartdelen:
12
12 / 1,000..\
Repeterende decimaalontwikkeling
1
Voorbeeld mbv staartdelen:
12
12 / 1,000..\0
0–
10
Repeterende decimaalontwikkeling
1
Voorbeeld mbv staartdelen:
12
12 / 1,000..\0,0
0–
10
0–
100
Repeterende decimaalontwikkeling
1
Voorbeeld mbv staartdelen:
12
12 / 1,000..\0,08
0–
10
0–
100
96–
40
Repeterende decimaalontwikkeling
1
Voorbeeld mbv staartdelen:
12
12 / 1,000..\0,083
0–
10
0–
100
96–
40
36–
40
Repeterende decimaalontwikkeling
1
Voorbeeld mbv staartdelen:
12
12 / 1,000..\0,0833
0–
10
0–
100
96–
40
36–
40
36–
Repeterende decimaalontwikkeling
1
Voorbeeld mbv staartdelen:
12
12 / 1,000..\0,0833…
0–
10
0–
100
96–
40
36–
40
36–
:
:
Repeterende decimaalontwikkeling
1
Voorbeeld mbv staartdelen:
= 0,08|3|
12
12 / 1,000..\0,0833
0–
10
0–
100
96–
40
36–
40
36–
:
:
Irrationale getallen
Definitie:
Getallen die niet als breuk kunnen worden geschreven
noemen we irrationale getallen
Voorbeelden:
0,303003000300003…..
maar ook:
3,141592654…..(= π)
1,4142136….(= √2)
2,718281…(= e)
Irrationale getallen
Stelling:
√2 is niet te schrijven als breuk van twee positieve gehele
getallen.
Bewijs 1 (vanuit ongerijmde):
p
Neem aan dat het wel kan, dan √2 = met p, q Î N en q ¹ 0
q
We stellen dat de breuk niet verder te vereenvoudigen is.
2
p
Kwadrateren geeft 2 = 2
q
Dus p2 = 2q2
Hieruit volgt dat p2 een even getal moet zijn.
Irrationale getallen
Stelling:
√2 is niet te schrijven als quotiënt van twee positieve gehele
getallen.
…
Dus p2 = 2q2
Hieruit volgt dat p2 een even getal moet zijn.
Dit houdt in dat p zelf ook even is (ga maar na…)
dus p = 2r
Invullen geeft (2r)2 = 2q2
oftewel
4r2 = 2q2
2r2 = q2, dus q2 even, en dus ook q even.
Als p en q even zijn, is de breuk nog verder te vereenvoudigen.
Dit is een tegenspraak.
QED
Irrationale getallen
Stelling:
√2 is niet te schrijven als quotiënt van twee positieve
gehele getallen.
Bewijs 1I (vanuit ongerijmde met priemfactoren):
p
Neem aan dat het wel kan, dan √2 = met p, q Î N en q ¹ 0
q
Voor p en q geldt dat ze te onbinden zijn in priemfactoren:
p = r1 x r2 x r3x …… x rm
q = s1 x s2 x s3 x …… x sn
Irrationale getallen
Stelling:
√2 is niet te schrijven als quotiënt van twee positieve gehele getallen.
…
p = r1 x r2 x r3 x …… x rm
q = s1 x s2 x s3 x …… x sn
p2
Kwadrateren geeft 2 = 2
q
Dus
2 q2 = p2
Dus 2 x s12 x s22 x s32 x …… x sn 2= r12 x r22 x r32 x …… x rm2
Links komt de priemfactor 2 een oneven aantal keren voor.
Rechts komt de priemfactor 2 een even aantal keren voor.
Vanwege de uniekheid van de priemfactorontbinding kunnen twee
gelijke natuurlijke getallen niet een verschillend aantal priemfactoren
2 bevatten.
Dus tegenspraak.
QED
Klas- en huiswerk.
maken opgaven 4.1 t/m 4.10