Vierkanten Moppen Het langste rijtje

Jos van den Bergh
Illustraties: Leo Faes
Het langste rijtje
Nathan schrijft de telrij op. Hij is nog niet bij de 1000 en
merkt op een zeker moment op:
‘Nu ben ik al een hele poos getallen aan het opschrijven waarin minstens één oneven cijfer voorkomt’.
Waar in de telrij kan Nathan een rijtje opeenvolgende getallen tegengekomen zijn waarvan geen
enkel getal uitsluitend uit even cijfers bestaat? Wat is het
langst mogelijke
rijtje onder de
1000 met deze eigenschap? Hoeveel
van dit soort rijtjes
zijn er onder de
1000? En als je boven de 1000 mag?
En als je ‘even’ vervangt door ‘oneven’.
Vierkanten
In bovenstaande figuur zijn zes verschillende vierkanten te ontdekken waarvan de
hoekpunten gevormd worden door de middelpunten van de bollen. Vul nu de getallen
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 in de bollen in, zo dat
de som van de getallen op de hoekpunten in
elk vierkant gelijk is.
Moppen
Een gehaaste man vraagt aan
een voorbijgangster: ‘Kunt u
mij zeggen, mevrouw, of dit de
derde straat rechts is?’
‘Hallo, met wie?’
‘Ha Wie, met Lo’!
Joep vraagt aan zijn juf: ‘Wat is het verschil tussen een
bakker en een vloerkleed?’ Juf weet het antwoord niet.
Joep wel: ‘De bakker moet vroeg op en het vloerkleed kan
blijven liggen.’
18
Volgens Bartjens jaargang 31 2011/2012 nr. 4
Breuken maken
Verschillende cijfers
Je mag met de cijfers 3, 4, 5 en 6 twee breuken maken. Elk
cijfer mag je één keer gebruiken. Daarna ga je beide breuken achtereenvolgens optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Wat is het grootste getal dat bestaat uit drie verschillende cijfers? Wat is het kleinste getal dat bestaat uit drie verschillende
cijfers?
Je maakt bijvoorbeeld
3
6
en .
4
5
19
9
9
, het verschil en het product ,
20
20
10
5
en het quotiënt . Ga maar na!
8
De som is dan 1
Wat is de grootst mogelijke som van deze twee breuken?
En wat is het kleinst mogelijke verschil?
Weet je ook het grootst mogelijke product?
En het kleinst mogelijke quotiënt?
Kun je het antwoord op de laatste vraag vinden door het antwoord op de voorlaatste vraag nog eens goed te overdenken?
Schuld
Klaas heeft bij zijn ouders wat geld geleend om een computerspel te kunnen kopen. Hij gebruikt het geld van zijn krantenwijk om zijn schuld langzaam af te lossen.
Eerst lost hij een kwart van de schuld af. Een week later een vijfde van de resterende schuld en weer een week later een zesde
deel van wat er toen nog aan schuld over was. Na drie weken
had hij nog € 23 schuld. Hoe groot was zijn oorspronkelijke
schuld? Als hij nu op dezelfde wijze blijft aflossen, dus eerst
een zevende deel, dan een achtste deel enzovoorts, wanneer is
zijn restschuld dan € 6?
Benford
In 1881 deed de wis- en sterrenkundige Newcomb een belangrijke ontdekking.
Hij merkte iets op over de begincijfers van getallen in allerlei
willekeurige tabellen met gegevens. In zo’n tabel, zoals bijvoorbeeld inwonertallen, aandelenkoersen en sterftecijfers
blijken de begincijfers niet allemaal dezelfde kans te hebben. Zo heeft het cijfer 1 een ruim 6 keer grotere kans begincijfer te zijn dan 9. Zo’n 60 jaar later bewees Benford dit vermoeden van Newcomb. De eigenschap staat nu bekend als
‘de wet van Benford’ en geldt zelfs voor wiskundige lijsten
(die dan rijen heten), zoals de rij priemgetallen, de rij van
Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …) of een logaritmetafel. Maar
er is nog meer bijzonders over op te merken: stel je hebt een
lijst met lengtes van grote rivieren in kilometers. Zou je deze
omrekenen in mijlen, dan zal deze wisseling van maateenheid niet van invloed zijn op de wet: in de nieuwe lijst zal
het begincijfer 1 nog steeds in ongeveer 30% van de gevallen
voorkomen!
Ook de website van Volgens Bartjens is geheel
vernieuwd. Naast het volledige archief met
alle artikelen van de afgelopen 10 jaar, vindt
u hier extra materiaal bij de artikelen uit dit
nummer, werkbladen en rekenspellen om mee
aan de slag te gaan in de klas, antwoorden op veelgestelde
rekenvragen, het Ei van Columbus (met de antwoorden), de
agenda en nog veel meer.
Volgens Bartjens jaargang 31 2011/2012 nr. 4
Heeft zo’n ontdekking nou ook praktische waarde? In dit geval wel! Stel dat iemand bijvoorbeeld een belastingaangifte
moet doen of de jaarrekening van een groot bedrijf moet opstellen en hij vervalst de getallen (en hij heeft niet goed opgelet bij wiskunde). Dan kan een inspecteur via deze wetmatigheid de fraude op het spoor komen. Zo zie je dat de wiskunde
vaak erg nuttig kan zijn.
19
Kanowedstrijd
Welke getallen?
Drie vrienden houden een kanowedstrijd over 6 kilometer. Ze starten tegelijk. De winnaar heeft bij de finish een voorsprong
van 2 km op nummer 2 en 3 km op nummer 3. De snelheden van de drie vrienden zijn constant. Welke voorsprong
heeft nummer 2 op nummer 3 bij zijn finish?
Ik vermenigvuldig 2 opeenvolgende hele getallen met elkaar
en trek dan 112 van de uitkomst af. De uitkomst is 5000. Wat
zijn die twee getallen?
GGD
Breuken zijn leuker
dan je denkt
Welke van de volgende breuken is het grootst?
3 3 444 5000 6
,
,
,
44 5 5 5 6 0 0 0 7
En welke van de volgende?
3 3 3 4 3 5 3 6
,
,
,
44 4 5 46 4 7
Hoe zag je dat zo snel?
20
Een deler van 2065 is 5 want als je 2065 deelt door 5 is de
uitkomst een heel getal.
Welk getal is een deler van zowel 2065 als van 1947 en van
2006?
Zo’n deler van twee of meer getallen heet een gemene deler.
Het grootste getal met deze eigenschap heet de grootste gemene deler. Als je breuken gelijknamig wilt maken, zoek je
naar een gemeenschappelijke noemer; de grootste gemene
deler is daar heel geschikt voor.
Volgens Bartjens jaargang 31 2011/2012 nr. 4
Vierkant is driehoek?
_
Vierkant
Vul in de rechthoek de cijfers 1 tot en met 9 in. Zo ontstaan drie driecijferige getallen onder elkaar.
Doe het zo dat, wanneer je het tweede getal van het
bovenste aftrekt je het onderste getal vindt. Hoeveel
oplossingen kun je vinden?
Machtige machten
Van welk getal bestaat de derdemacht uit drie cijfers en
begint en eindigt met 3? Dat was simpel.
Van welk getal bestaat de derdemacht uit vijf cijfers en
eindigt op een 3, terwijl de som van de cijfers gelijk is
aan het gezochte getal?
Da’s andere koek.
Van welke getallen is de som van de cijfers van elke
macht gelijk aan 1?
Bekijk de bovenstaande afbeelding. Valt je iets op?
Kun je nog andere hoeveelheden vinden waarmee
dit ook lukt?
Ja, met 1 ‘bol’ natuurlijk. Maar daarna wordt het lastiger, kijk maar:
Pas met 1.225 bollen kun je een driehoek bouwen
met een basis van 49 bollen en een vierkant met
een zijde van 35 bollen. Daarna wordt het 41.616,
1.413.721, 48.024.900, 1.631.432.881, enz.
De antwoorden van de puzzels
van het Ei van Columbus zijn te
vinden op de website.
www.Volgens-Bartjens.nl
Volgens Bartjens jaargang 31 2011/2012 nr. 4
21